四川省泸州市某中学2025届高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.

第I卷（选择题58分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.）

!设全集U={1,2,3,45},集合〃={1,4},N={2,5},则NU电"=（）

A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5）

【答案】A

【解析】

【分析】利用集合的交并补运算即可得解.

【详解】因为全集。={1,2,3,4,5},集合M={1,4},所以令河={2,3,5},

又小={2,5},所以={2,3,5},

故选：A.

2.使不等式x>l成立的一个充分不必要条件是（）

A.2<x<3B.x>0C.-2<x<5D.x>1

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的知识确定正确答案.

【详解】不等式x>l成立的一个充分不必要条件是2<x<3,

x〉0是x>1的必要不充分条件，

-2<x<5是x>l的非充分非必要条件，

X>1是X>1的充分必要条件.

故选：A

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3.命题“有一个偶数是素数”的否定是(

A.任意一个奇数是素数B.任意一个偶数都不是素数

C.存在一个奇数不是素数D,存在一个偶数不是素数

【答案】B

【解析】

【分析】根据存在量词命题夕勺否定为「0：7》6M,「夕(乃，即可解得正确结果.

【详解】由于存在量词命题。：玉eM,r(x),否定为「p:VxeM,「Mx).所以命题“有一个偶数是素数

的否定是“任意一个偶数都不是素数”.

故选：B

4.若。>0,6>0,2。6+。+26=3,则a+2方的最小值是()

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定等式，利用均值不等式变形，再解一元二次不等式作答.

【详解】。>0,6>0,3=2仍+”+26W(^^)2+(a+26),当且仅当。=26时取等号，

因此(a+26r+4(a+26)—1220,即(a+26+6)(a+26—2)之0,解得a+2622,

所以当a=26=1时，a+2方取得最小值2.

故选：C

5.已知sin(a+巴]-cosa=3,则cos[a+']=()

l6；5I3J

3434

A.-B.—C.——D.—

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据三角恒等变换得到sin(a-四]=?,再利用诱导公式求出答案.

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因为sin1a+£V3.1G.14

【详解】-cosa=——sma+—cosa-cosa=——smacosa=即

22225

4

sm

5

~,717171714

所以COS（XH--|=COSCC---H----=-sma---

I3；I626,5

故选：D

6.如图所示，四边形48CD是正方形，M,N分别BC,。。的中点，若方=X而+〃旬eR,

则22-〃的值为（）

【答案】D

【解析】

—•4----2—•

【分析】由平面向量的线性运算可得48=—--AN,即可求出2,”，进而求出22-〃的值.

33

【详解】~AB=AM+MB=AM+CM=AM+-DA

2

=而+3（丽+雨）=戒+[3方_•],

3—•-1——■—.4-2——•

所以一=——AN,所以/8=—ZM——AN,

4233

42

所以2=_,〃=——,

33

力8210

2/1—u=--\—=—.

333

故选：D.

7.已知数列｛4｝的前力项和为S〃，且％=4,%+a"+]=4〃+2（〃eN*）,则使得凡＜2023成立的〃的最

大值为（）

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A.32B.33C.44D.45

【答案】C

【解析】

【分析】分奇偶项讨论，根据题意利用并项求和求工，运算求解即可.

【详解】当〃为偶数时，Sn=ax+a2-\---Fa”=(%+2)+(%+%)■1---

(6+4w-2)x—

=6+14-1---1-472-2=------------—=〃(〃+1)'

令5=〃(〃+1)<2023,且〃为偶数，

解得2«〃(44,故〃的最大值为44；

当〃为奇数时，=4+2+•••+%=。1+(出+?)+(%+%)+…+(。〃一1+?)

(10+4«-2)x—

=4+10+18H---FAn—2=4H-------------------=n2+n+2'

2

令+〃+2<2023,且“为奇数，

解得14〃443,故”的最大值为43；

综上所述：〃的最大值为44.

故选：C.

【点睛】方法点睛：并项求和适用的条件和注意事项：

1.适用条件：数列中出现(-l)”,sin£,%+…%+*=/(〃)等形式时，常用利用并项求和求S“；

2.注意分类讨论的应用，比如奇偶项，同时还需注意起止项的处理.

22

8.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),/(l)=l,则£/(£)=(

k=\

A.-3B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】法一：根据题意赋值即可知函数/(x)的一个周期为6,求出函数一个周期中的

/(1)J(2),…J⑹的值，即可解出.

【详解】［方法一］:赋值加性质

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因为/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y)，令x=i,y=o可得，2/⑴=/•⑴/(o),所以/(o)=2,令

x=o可得，/3+〃一刃=2/(田，即/(y)=〃—y),所以函数/(X)为偶函数，令歹=1得，

/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知

/(x+2)=-/(x-l),/(x-1)=-/(x-4),故/(》+2)=/(%-4),即/(X)=/(x+6),所以函

数〃x)的一个周期为6.因为八2)=/⑴—/(0)=1—2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以

一个周期内的/。)+/(2)+…+/(6)=0.由于22除以6余4,

22

所以，/(左)=/。)+/(2)+/(3)+/(4)=1—1—2—1=—3.故选：A.

k=l

［方法二］:【最优解】构造特殊函数

由/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),联想到余弦函数和差化积公式

cos(x+v)+cos(x-y)=2cosxcosj,可设/(x)=acos@x,则由方法一中/⑼=2J(1)=1知

171

I=2,QCOSG=1,解得COSG=—,取G=一，

23

所以/(x)=2cosgx,则

T=2"_6

/(x)=2cos—x符合条件，因此/(X)的周期—三一，/(o)=2,/(l)=l,且

3i

/（2）=-1,/（3）=-2,/（4）=-1,/（5）=1,/（6）=2,所以

/⑴+f（2）+/（3）+/（4）+/（5）+/（6）=0,

由于22除以6余4,

22

所以2/的=/。）+/（2）+/（3）+/（4）=1—1—2—1=—3.故选：A.

k=l

【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；

法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题,

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简单明了，是该题的最优解.

二、多项选择题（每小题6分，共3小题，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知复数2,w均不为0,则（）

2

7।,7ZZ

A.z=|z|B,==—7

Z

__z_z

C.z-w=z-wD.——

ww

【答案】BCD

【解析】

【分析】设出2=Q+历、W=C+di,结合复数的运算、共辆复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.

【详解】设2=a+历（凡力£R）、w=c+di（c9deR）；

对A：设2=a+历（凡力£R）,贝！Ji=（a+bi）2=a1+2abi-b2=a2-b2+2abi,

\z^=^a2+b2=a2+b2,故A错误；

2_2

对B：==^—,又z,z=以，即有==yf故B正确；

zz-zZ|z|

对C：z-w=a+bi-c-di=a-c+（b-d）i,则z-w=a-c—伍一d）i,

z-a—bi.w=c—dif贝！Jz—w=a—Z7i—c+di=a—c—（人一d）i,

即有z—w=z—w，故C正确；

za+bi（a+Z?i）（c-di）ac+bd-（ad-bc）i

u：———-----------------------

wc+di(c+di)(c--di)~c2+d2

『ac+bd^\ad-be、_a2c2+2abed+b2d?+a2d2

+d2)\c2+d2))

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c2+d2

+/+/

Wc2+d2

yja2c2+b2c2+a2d2+b2d2

c2+d2

ZZ

故一一,故D正确.

W

故选:BCD.

10.函数/(x)=sin(①x+9)0>0,网的部分图象如图所示，则（)

兀

B.

C./（x）的图象关于点0对称

D./（X）在区间1兀，日］上单调递增

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据三角函数的图象，先求得外，然后求得。，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案.

T5jrjr27rsin(g7r+9

【详解】—=—7i——=—,:.T=7i=一,.\a)=2,f(x)=sin(2x+(p\,f二1,由

2632co

7171712,717兀

于——<67<(D-\-------<—,

22636

2兀7T71

所以°+一=—,°=——,所以A选项正确，B选项错误.

326

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sin(2x-V0兀_1_兀1左兀7rj

/(x)=.2x---=kji,x=—I---,kw，，

6122

当k=0时，得x=R，所以/(x)关于五,0卜寸称，C选项正确,

兀7C7C7C7T

2/兀v2x—v—F2左兀,-----Fk^Tivxv—/兀,左GZ,

2----------626----------3

当左=1时，得/(x)在(K兀］上递增，则/(x)在区间(兀金上单调递增，所以D选项正确.

故选：ACD

11.在平面直角坐标系中，将函数/(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转a(0<aW90。)后，所得曲线仍然是

某个函数的图象，则称/(x)为“a旋转函数”.那么()

A.存在90。旋转函数

B.80°旋转函数一定是70°旋转函数

C.若8(尤)="+，为45°旋转函数，则a=l

hjr

D.若人(x)=:为45°旋转函数，则-e2WbW0

e

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,举例说明即可；对B,举反例判断即可；根据函数的性质，结合“。旋转函数”的定义逐个

判断即可；对CD,将45°旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的

方程，分析零点个数判断即可.

【详解】对A,如V=x满足条件，故A正确；

对B,如倾斜角为20。的直线是80。旋转函数，不是70°旋转函数，故B错误；

对C,若g(x)=ax+』为45°旋转函数，则根据函数的性质可得，g(x)=G+』逆时针旋转45。后，不存在

XX

与X轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点.故不存在倾斜角为45。的直线与g(x)=G+1的函

1

\1y-ax+—

数图象有两个交点.即歹=工+入伍£11)与g(x)="+—至多1个交点.联立『X可得

“y-x-\-b

(a-1)——bx+1=0.

当a=l时，—Zzx+1=0最多1个解，满足题意；

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当arl时，(a—1)——云+1=0的判别式A=〃—4(a—1),对任意的a,都存在b使得判别式大于0,

不满足题意，故。=1.故C正确；

对D,同C,力(x)=。与y=x+a(aeR)的交点个数小于等于1,即对任意的a,—x至多1个解,

故g(x)=与-x为单调函数，即g'(x)=如丁)_］为非正或非负函数.

ee

又g'(l)=T，故")—IW0,即e*N-b(x-l)恒成立.

ex

即y=e"图象在y=—Z?(x—1)上方，故一Z?20,即6V0.

当y=e、与y=——1)相切时，可设切点(%,e、。)，对歹=/求导有了=1,故不e'。，解得

々=2,此时6=一］。=—e?,故-e2W6W0.故D正确.

故选：ACD

第二卷非选择题(92分)

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案直接填在答题卡中的横线上.)

3cos—+tzsmHr+cr

12.已知tana=——,则（2J/的值为.

cos（兀一a）sin（3兀-a）

3

【答案】-##1.5

2

【解析】

【分析】根据三角函数的诱导公式，化简求值，即得答案.

3

【详解】由题意知tana=-一，

2

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cos—+asin(兀+a)

贝ij(2)-sina(-sina)_sina__3,

----------------------------------------——tanOL——

cos(兀一a)sin(3兀一a)-cosasinacosa2

3

故答案为：一

2

13.若实数b〉a〉l,且log/+log/=m,则31nQ—lnb=.

【答案】0

【解析】

【分析】由log/+log/=g,可得logqb=3nlnb=31nQ,据此可得答案.

【详解】因6>Q>1,则洋g/>l,O〈log/<1,

又由换底公式推论可得log，Jogf=1,设log/=x,则log/二工，

X

M11017r

故x+—=—nx=logb=3,

X3a

由换底公式，则logb=电2=3n31na—Inb=0.

Ina

故答案为：0

14.已知函数/(x)=l卜(e为自然对数的底数)，若关于x的方程/(x)+/(-x)=0有

[e"+2kx+k,x<0

且仅有四个不同的解，则实数左的取值范围是.

【答案】(e,+8)

【解析】

【分析】设厂(x)=/(x)+/(-x),由题可得当x〉0时，E(x)有两个零点，进而可得泥工=2日-左有

两个正数解，利用数形结合即可求得左的取值范围.

【详解】令尸(x)=/(x)+/(-x),可得尸(-力=尸(%),

所以函数尸(x)为偶函数，

由题意可知当x〉0时，E(x)有两个零点，

当x〉0时，一x<0,f(-x)=ex-2kx+k,

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即当x〉0时，F(x)=eT(x-1)+ev-2kx+k=xex-2kx+k,

由E（x）=O,可得xe"=2Ax—A，即方程xe*=2Ax—4在（0,+力）上有两个正数解,

V函数y=xex的导函数为V=（x+1）村〉0在（0,+“）上恒成立，

...作出函数y=xe，与直线歹=2右—后大致图象如下图

:方程x/=2履—左在（0,+力）上有两个正数解，y=2Ax—后恒过点（；,0

・••左＞0,

由y=xe*,y=2而一左相切,设切点为«,汨），

由y=xeT可得V=（x+1）ex,故切线的斜率为（7+1）e'，

所以切线的方程为V―汨=«+l）e'（X7）,

由切线过可得Te'=«+l）e（g—

解得/=1或》=—（舍去），

2

故切线的斜率为2月=2e,即左=e,

所以当上〉e时，直线与曲线由两个交点,

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综上可得实数k的取值范围是(e,+s).

故答案为：(e,+oo).

【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：

(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.一

是转化为两个函数歹=g(x)/=〃(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是

函数零点的个数，二是转化为y=a,y=g(x)的交点个数的图象的交点个数问题.

四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.已知函数f(x)=>0,>0,|^|<-1)的部分图象如图.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)将函数/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移至个单

6

位，得到函数g(x)的图象，当xe-万时，求g(x)值域.

_6

【答案】(1)/(x)=2sin(2x-

⑵[-73,2]，

【解析】

【分析】(1)根据图象由函数最值求得A,由函数周期求得。，由特殊点求得即可求得解析式；

(2)根据三角函数图象的变换求得g(x)的解析式，再利用整体法求函数值域即可.

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【小问1详解】

由图象可知，/(X)的最大值为2,最小值为—2,又Z〉0,故2=2,

4571

周期T=§="，~-=",a)>0,则。=2,

123

从而/(x)=2sin(2x+0),代入点[丘,2)得sin[-^-+°J=l,

57r7171

则----(p——F2k7i,左cZ,即0=-----F2ATT,keZ,

623

LII兀PII九

又SKj，贝[1。=一｝.

JL。

/(x)=2sin[2x-.

【小问2详解】

将函数/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变,

再将所得图象向左平移三个单位，得到函数g(x)的图象

6

77

故可得g(x)=2sin(x—二)；

r7l71r71...

X£[------,71\'.X---£[---,—],sin

6636

g(x)的值域为[-后2].

16.V4SC的内角4B,C的对边分别为瓦。，已知2a+C=2ccosB.

(1)求角C；

(2)若角。的平分线CD交28于点£>,/£>=3JF,r>5=g，求CD的长.

【答案】(1)C=—

3

(2)CD=3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得至iJ(2cosC+l)sinfi=0,再利用三角形的内角及正

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弦函数的性质即可求解；

(2)利用正弦定理得出6=3。，再由余弦定理求出。=4,6=12,再根据三角形的面积建立等式求解.

【小问1详解】

由2a+6=2ccos5,

根据正弦定理可得2siiL4+siaS=2sinCcosS,

则2sin(5+C)+sinS=2sinCcos5,

所以2sin5cosc+2cos5sinC+sinB=2sinCcos5,整理得(2cosC+1)sirifi=0,

因为民C均为三角形内角，所以民Ce(O,7i),sinfiwO,

12兀

因此cosC=——,所以C=——.

23

【小问2详解】

因为CD是角。的平分线，AD=3岳,DB=5,

AD_CDBD_CD

所以在“。少和△BCD中，由正弦定理可得，.Jisirvl?•兀simB，

sin—sin—

33

因此竺0=且2=3,即sinS=3sirk4,所以6=3a,

SIIL4BD

又由余弦定理可得=/+,2_2abeosC，即(4A/T3)2=a2+9a2+3a2，

解得。=4,所以6=12.

又S^ABC=SAACD+SMCD，即；。戾111/405=；从0©。111/4(20+；。・6©回1143。。，

即48=16CO,所以CD=3.

17.已知等差数列｛%｝的公差dwO,且。]+%+%=6,%，%，心成等比数列，数列也｝满足

4+20+.・・+泌"=出〃・

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

b104

(2)设与=，求证C]+。2-----V-----------------

cn32〃+1

2

【答案】(1)b=~；(2)证明见解析.

nn

【解析】

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【分析】（1）列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，可得数列｛%｝的通项公式，再由

bx+2b2+...+nbn=a2n,可得当公留时，4+262+…+5-1）2_=%1）,联立求得数列｛2｝的通项公式;

b2in4

(2)由(1)知验证〃=1时，=2=--------；当〃口时，利用

ann32x1+1

22222

1/I1、1■可证结论.

n2(〃-5)(〃+万)〃一]

42

【详解】（1）..•数列｛4｝是等差数列，依题知:

3al+3d=6a.\a.=2

解得《1或J1（舍）.

(%+3dY-(q+d)(q+7d)d;「[d=0

/.%=%+(〃-V)d=n.

•・,b、+2b2+…+n"=a2n,①

.•.当〃目时，。+2仇+...+(〃—1月_]=4(〃.1)，②

2

=a

①一②得的2n—。2（〃-1）=2,/.bn=—.

n

2

又当〃=1时，。=%=2满足上式，年二一;

n

b2

证明：（2）由（1）矢口。〃=’"二下.

ann

4

当〃=1时，=2=—

2x1+1

—2<--2---------2--------2-----2-

当公义时,/21/1、/1、11

42222

/.q+Q+

_104

-32〃+1.

…104

综上，G+Q+.......+C一----7

n32九+1

【点睛】本题考查数列递推式，考查由数列递推式求数列的通项公式以及裂项相消法求和，训练了利用放

缩法证明数列不等式，是中档题.

18.已知/(x)+g(x)=xe'+def,/(x)-g(x)=x[ex-(m+x2)e-x],/(%)为偶函数.

（1）求/（x）的解析式;

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(2)求证：x〉0时，/(x)=g(x)有且只有一个根毛,且毛〈?；

(3)若g(x)Wta恒成立，求0

【答案】(1)f(x)=xex-xe-f

(2)证明见解析(3)1

【解析】

【分析】(1)两式相加可得/(x)=xe*-g加xe-"即可根据偶函数求解，

(2)构造函数"(x)=e2x-V—2,求导判断函数单调性，即可结合零点存在性定理求解,

(2)分离参数，构造。(x)=er+/e"求导确定函数单调性，即可求解.

【小问1详解】

由/(x)+g(x)=xe"+x%r,/(x)-g(x)=x[e*-(加+可得

、xe"+x3e~x+x[ex-(m+x2)e_x11

f(x)二------------------------------=xex----mxe，

22

由于/(x)为偶函数，故/(')=/(-x)xcx-mxe~x=-xc~x+mxex,

进而可得(xe“+xe”)[1-J冽]=0，

由于xe'+xe-"不恒为0，故1一工加=0,解得加=2,

2

故/(%)=xqX-XQx

【小问2详解】

令/(')一g。)=4ex-(2+x2)e-x]=0,

当X>0时,则e2x=2+d，

令Zz(x)=e2'—J?一2,则〃(%)=©2*-2、，

令加(x)=〃(x)=e2x-2x,(x>0)则m'(x)=2e2x-2>0,

故加(%)在(0,+8)单调递增,故加(x)=〃(x)〉〃(O)=l,故M>)在(0,+8)单调递增，

又/z|；)=e_；_2〉0,//(())=_]<0,

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故存在唯一的%,且0</<；,得证，

【小问3详解】

g(x)=xe~x+x3e-x

由g(x)Wox可得当x