山西省晋中市昔阳县2024-2025学年高三年级下册开学考试数学试卷（含答案）

2025届高考预测卷（二）

数学

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合/={x卜+2归2},B=1x|x2+2x<,C={x|xeN且x£耳，则集合C=（）

A.0B.[-4,-3）C.（-4,-3]D.[0,1）

2.若复数z满足z=-贝止+1|=（）

1+111

A.巫B.VioC.叵D.V13

22

3.研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根

据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为/=%+,.已知

1010

工者=225,Z»=1600,6=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为（）

i=lz=l

A.160B.163C.166D.170

4.（x+y）（2x—4的展开式中/y3的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

5.已知动直线与圆V+j?=]6相交于5（%2，%）两点，若线段上一点。满足4?=3尸3,

且玉工2+%>2=一8，则动点尸的轨迹方程为（）

A.X?+y2=7B.x"+—y/yC.—Jl3D.—13

22

6.已知M,N为椭圆・+%=1（。>3〉0）上关于坐标原点。对称的两点，c为椭圆的半焦距，尸为平面

上一点，且丽•丽=0,|OP|=c,椭圆的左、右顶点分别为N,B,若丽•方=2ac,则椭圆的离心

率为（）

A.—B.—C.V3-1D.V5-2

22

,、为奇数*

7.设数列{叫满足q=l,%=2，%+2=t为便柏（），令

2%”为偶数

2

bn=(log2a2n)-sin[aln_xj,则数列｛2｝的前100项和为()

A.-4950B.-5000C.-5050D.-5250

8.已知函数〃%）=21nx-ox+6-l,若对任意的X£（0,+oo）,/（x）＜0,则6—2a的最大值为（）

A.2In2—1B.3—2In2C.1—21n2D.2In2—3

二、多选题：（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.全部选对得满分，部分选对得部

分分，有选错的得0分.）

9.给出下列命题，其中错误的是（）

A.若直线1的方向向量为0=（1,0,3）,平面。的法向量为方=1—2,0,则直线/〃a

—■1—-1—-1--

B.若对空间中任意一点。，有。0=—O4+—08+—OC,则尸，A,B,C四点共面

444

C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

D.已知向量方=（9,4,—4）,3=（1,2,2）,则一在日上的投影向量为（1,2,2）

222

10.星形线或称为四尖瓣线，是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线C：》3+＞石=。三（。〉0）上的点至1」》

B.C上的点到原点的距离的最大值为1

D.当点（%,%））在C上时，玉）为＜：

C.C上的点到原点的距离的最小值为二

2O

11.如图，在正方体4BCD—44G4中，P为线段4G的中点，0为线段BC］上的动点（不包括端点）,

则正确的是（）

A.存在点0,使得PQ〃BDB.存在点0,使得尸。，平面48。1。

C.对于任意点Q,尸。，8。均不成立D.三棱锥Q-4PD的体积是定值

三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.）

12.在一项物理学实验中，某物理量的测量结果产生的随机误差/服从正态分布N（3/2）,若

4尸（J<0）=尸（J<6）,则尸（3<J<6）=.

-----►►►►1►2

13.在△Z8C中，ABCB-ACBC=--BC则tan（8—C）最大值.

14.若x=0是/（x）=（ax?-4x+6）e*-2》-3的极小值点，则实数°的取值范围是.

四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.）

15.（13分）某信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”，进行了一次探究活动.将传递

的信息编码分别用“。，（3,y,5”四种字符代替，并随机等可能发送，每次只传递一种字符，且在发

送过程中，a,0,Y，5"四种字符被破解情况如下：

传递信息字符a75

破解后信息字符a,/3,ya,B,ba,y,8

（每一种传递字符等可能被破解，如“传递字符。”等可能被破解为“。，/3,/”）

（1）若破解后信息字符为“尸”，求破解正确的概率；

（2）现已知连续三次传递信息字符均为“设被破解后信息字符正确的个数为X,求X的分布列和数

学期望.

16.（15分）如图1,在平行四边形ABCD中，N4=60°,40=1,48=2,将AABD沿BD折起到△H8D

位置，使得平面平面4AD,如图2.

（1）证明：4D_L平面BCD；

（2）在线段HC上是否存在点使得二面角九8。-C的大小为45°?若存在，求出^的值；若

A'C

不存在，说明理由.

17.（15分）己知△45C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,a+acosC=J§csin（8+C）.

（1）若点。在N8上，CD平分/ACB,a=2,c=J7,求CD的长；

（2）若该三角形为锐角三角形，且面积为百，求。的取值范围.

18.（17分）已知抛物线C：/=2»（夕＞0）的焦点为尸，直线/点尸交C于/,2两点，C在4,2点的

切线相交于点尸，AB的中点为。，且P0交C于点£当48垂直于y时，48长度为4.

（1）求抛物线C的方程

（2）若点尸的横坐标为4,求|。同；

（3）设抛物线C在点E处的切线与PN,必分别交于点M,N,求四边形4B2W面积的最小值.

19.（17分）从N*中选取M左23）个不同的数，按照任意顺序排列，组成数列应｝,称数列｛4｝为N*，的

子数列，当/左时，把叫-丹的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列出｝，称数列低｝

为N*的子二代数列.

⑴若N*的子数列血｝（1＜〃＜左，左25）是首项为2,公比为2的等比数列，求N*的子二代数列也｝的

前8项和；

（2）若N*的子数列｛%｝是递增数列，且子二代数列他,｝共有k-1项，求证：｛%｝是等差数列；

（3）若左=100,求N*的子二代数列｛〃｝的项数的最大值.

2025届高考预测卷（二）

数学参考答案

1234567891011

BBCCACBCABACDBC

12.—313.V--3-14.[1,+oo

103L

15.（1）记破解后信息字符为「为事件传递信息字符为「为事件N,

由于传递信息字符为/3,7时，均有g的可能破解后信息字符为万，

则p（M）=3X!=L,P（N）=-,所以P（7W）=P（M）P（N）=LX，=L,

43434312

1

所以尸（N|M）=4丝?=早=,；

\）P（M）13

4

（2）由（1）可知，若传递信息字符为力，则被破解正确的概率为g,

X所有可能的取值为0,1,2,3,

尸（X=0）=『[吟，P（X=l）=C；x；x/J=|）

…）"x["l小,

X的分布列为

X0123

8421

p

279927

X〜«3,£|,£(x)=3x1=l

16.(1)证明：在△45。中，因为NZ=60°,4D=1,AB=2,

由余弦定理，得BD=y/AD2+AB2-2AD-ABcos60°=下）.

所以BD2+AD2=AB?,所以AD，3。，所以NAD8=90。，ZDBC=90°.

如下图1所示：在中，作。尸，H5于点尸，

因为平面H8CL平面HAD,平面HBOC平面H5£）=H5,DFu平面

所以。尸，平面H8C,又8C<z平面H8C,所以。EL8C,

又因为C8L8D,BDCDF=D,BD,DFu平面ABD,所以C8L平面

因为HQu平面H5D,所以

又N'QLBD,BDCCB=B,8D,C8u平面28,所以HQ1,平面BCD

（2）方法一；如下图2所示:

图2

存在点"，当M是4c的中点时，二面角8。—C的大小为45°.

证明如下：由（1）知4£>_L平面ADC,所以4。，DC且4。=1,DC=2,

所以4C=JL又因为〃是HC的中点，所以。河=15,同理可得：BM=—

22

取AD的中点为。，DC的中点为£,连接MO,EM,OE,

因为M9J.8O,OELBD,所以/MOE是二面角四―8。—C的平面角，

又因为（W=也，0E=~,ME=~,所以NMO£=45°.此时=

222A'C2

方法二：以。为原点，DA,DB,D4'所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图3所示的空间直角坐

标系，M5（0,V3,0）,C（-1,V3,O）,H（O,O,l）.

假设点”存在，设HM=24C,2e[0,l],

贝U■=/!1/=（_46用_/1）,W=+=（-2,732,1-2）,丽=（0,君,0）,

设平面MBD的一个法向量为庆=8c）,

m-DB=y/3b=0,、

则<_.,取a=l—X,可得应=（1—40,力，

m-DM=—2a+134b+（l-2）c=0

又平面CAD的一个法向量为元=（0,0,1）,假设在线段HC上存在点M,使得二面角九f-8。-C的大小

为45°，则|cos(方，五)|=----/囚==",解得力=」，

1\〃网•同1X-222

/M1

所以点M存在，且点M是线段HC的中点，即^=—.

A'C2

17.(1)依题意，^a+acosC=V3csinA,根据正弦定理得sinZ+sin幺cosC=J^sinCsinZ,

因为0＜幺＜兀，所以sinN＞0,贝Ul+cosC=J^sinC,即百sinC-cosC=1,

即走sinC—，cosC=L,所以sin[c—乌]=工.

2226)2

717r71

又0＜。＜兀，则C——=-,所以。=—；

663

(2)在△48C中，根据余弦定理，得0?=/+炉—2abcos?=a2一。6,

3

即7=4+/—2b,解得6=3或6=-1(舍去),

171171171

依题意'LO+%CLLBC，即+=

化简得则。£>=冬包，所以CD=空也=正

、'2+b2+b5

(3)依题意，△NBC的面积5人/它=!aAsinC='ab•虫＞=6，所以ab=4.

△屈222

7T2冗(7TI7127r

又△4BC为锐角三角形，且。=—,则2=——5e0,-,所以一＜8＜——.

3312)63

又则4＜8＜4,所以tanB〉也.由正弦定理，一=—竺，得。=妇上1,

2623sinAsinBsinB

6iZ)sinf--5j4-^-cos5+—sin5

所以/=-----U——L=A----------------------2=至工+2,所以2＜/＜8,即正＜。＜2行,

sinBsinBtanB

所以a的取值范围为(后,2.

18.(1)由题意得，Ffo,^j.当垂直于y轴时，点By-p,^\,

此时|48|=20=4,即夕=2,所以抛物线。的方程为炉=4y.

（2）由题意得，F（O,1）,直线/的斜率存在.

设直线/的方程为歹=丘+1,8（%2，%）.

联立<：得一一4日一4=0,所以玉+工2=4左，xlx2=-4,则XQ=7+%=2k.

=4y2

将=2左代入直线歹="+1,得为=2r+1,则的中点。（2人,2r+1）.

211

因为x2=4y,所以>=.，y=|,则直线PN的方程为=«x—否），即y=/x—[X；.

同理可得，直线尸8的方程为

22

lx__lx

所以x=.1W2=上土三=24,yp=-X[.^^--X^=^=-l,

P1/、2P212414

2（XI-X2）

所以尸（2左1）.因为%=4,则2左=4,所以左=2,此时Q（4,9）,P（4,-l）,

所以直线尸。的方程为x=4,代入》2=打，得歹=4,所以£（4,4）,所以|。£|=9—4=5.

（3）由（2）知，Q（2k,2k-+\）,尸（2人,—1）,所以直线PQ的方程为x=2左，

代入工2=4歹，得y=左2,所以£（2左，左2）,所以E为尸。的中点.

2k

因为抛物线C在点E处的切线斜率y=w=k,所以抛物线C在点E处的切线平行于AB.

3

又因为E为尸。的中点，所以S四边形函如二1S/^ABP•

因为直线AB的方程为歹="+1,

所以14sl=必+