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文档简介
2025届高考预测卷(二)
数学
第一部分(选择题共58分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.设集合/={x卜+2归2},B=1x|x2+2x<,C={x|xeN且x£耳,则集合C=()
A.0B.[-4,-3)C.(-4,-3]D.[0,1)
2.若复数z满足z=-贝止+1|=()
1+111
A.巫B.VioC.叵D.V13
22
3.研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根
据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为/=%+,.已知
1010
工者=225,Z»=1600,6=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为()
i=lz=l
A.160B.163C.166D.170
4.(x+y)(2x—4的展开式中/y3的系数为()
A.-80B.-40C.40D.80
5.已知动直线与圆V+j?=]6相交于5(%2,%)两点,若线段上一点。满足4?=3尸3,
且玉工2+%>2=一8,则动点尸的轨迹方程为()
A.X?+y2=7B.x"+—y/yC.—Jl3D.—13
22
6.已知M,N为椭圆・+%=1(。>3〉0)上关于坐标原点。对称的两点,c为椭圆的半焦距,尸为平面
上一点,且丽•丽=0,|OP|=c,椭圆的左、右顶点分别为N,B,若丽•方=2ac,则椭圆的离心
率为()
A.—B.—C.V3-1D.V5-2
22
,、为奇数*
7.设数列{叫满足q=l,%=2,%+2=t为便柏(),令
2%”为偶数
2
bn=(log2a2n)-sin[aln_xj,则数列{2}的前100项和为()
A.-4950B.-5000C.-5050D.-5250
8.已知函数〃%)=21nx-ox+6-l,若对任意的X£(0,+oo),/(x)<0,则6—2a的最大值为()
A.2In2—1B.3—2In2C.1—21n2D.2In2—3
二、多选题:(本大题共3小题,每个小题6分,共18分.全部选对得满分,部分选对得部
分分,有选错的得0分.)
9.给出下列命题,其中错误的是()
A.若直线1的方向向量为0=(1,0,3),平面。的法向量为方=1—2,0,则直线/〃a
—■1—-1—-1--
B.若对空间中任意一点。,有。0=—O4+—08+—OC,则尸,A,B,C四点共面
444
C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线
D.已知向量方=(9,4,—4),3=(1,2,2),则一在日上的投影向量为(1,2,2)
222
10.星形线或称为四尖瓣线,是一个有四个尖点的内摆线.已知星形线C:》3+>石=。三(。〉0)上的点至1」》
B.C上的点到原点的距离的最大值为1
D.当点(%,%))在C上时,玉)为<:
C.C上的点到原点的距离的最小值为二
2O
11.如图,在正方体4BCD—44G4中,P为线段4G的中点,0为线段BC]上的动点(不包括端点),
则正确的是()
A.存在点0,使得PQ〃BDB.存在点0,使得尸。,平面48。1。
C.对于任意点Q,尸。,8。均不成立D.三棱锥Q-4PD的体积是定值
三、填空题:(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上.)
12.在一项物理学实验中,某物理量的测量结果产生的随机误差/服从正态分布N(3/2),若
4尸(J<0)=尸(J<6),则尸(3<J<6)=.
-----►►►►1►2
13.在△Z8C中,ABCB-ACBC=--BC则tan(8—C)最大值.
14.若x=0是/(x)=(ax?-4x+6)e*-2》-3的极小值点,则实数°的取值范围是.
四、解答题:(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤.)
15.(13分)某信息科技小组为了研究“加密信息传递过程中被破解问题”,进行了一次探究活动.将传递
的信息编码分别用“。,(3,y,5”四种字符代替,并随机等可能发送,每次只传递一种字符,且在发
送过程中,a,0,Y,5"四种字符被破解情况如下:
传递信息字符a75
破解后信息字符a,/3,ya,B,ba,y,8
(每一种传递字符等可能被破解,如“传递字符。”等可能被破解为“。,/3,/”)
(1)若破解后信息字符为“尸”,求破解正确的概率;
(2)现已知连续三次传递信息字符均为“设被破解后信息字符正确的个数为X,求X的分布列和数
学期望.
16.(15分)如图1,在平行四边形ABCD中,N4=60°,40=1,48=2,将AABD沿BD折起到△H8D
位置,使得平面平面4AD,如图2.
(1)证明:4D_L平面BCD;
(2)在线段HC上是否存在点使得二面角九8。-C的大小为45°?若存在,求出^的值;若
A'C
不存在,说明理由.
17.(15分)己知△45C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,a+acosC=J§csin(8+C).
(1)若点。在N8上,CD平分/ACB,a=2,c=J7,求CD的长;
(2)若该三角形为锐角三角形,且面积为百,求。的取值范围.
18.(17分)已知抛物线C:/=2»(夕>0)的焦点为尸,直线/点尸交C于/,2两点,C在4,2点的
切线相交于点尸,AB的中点为。,且P0交C于点£当48垂直于y时,48长度为4.
(1)求抛物线C的方程
(2)若点尸的横坐标为4,求|。同;
(3)设抛物线C在点E处的切线与PN,必分别交于点M,N,求四边形4B2W面积的最小值.
19.(17分)从N*中选取M左23)个不同的数,按照任意顺序排列,组成数列应},称数列{4}为N*,的
子数列,当/左时,把叫-丹的所有不同值按照从小到大顺序排成一列构成数列出},称数列低}
为N*的子二代数列.
⑴若N*的子数列血}(1<〃<左,左25)是首项为2,公比为2的等比数列,求N*的子二代数列也}的
前8项和;
(2)若N*的子数列{%}是递增数列,且子二代数列他,}共有k-1项,求证:{%}是等差数列;
(3)若左=100,求N*的子二代数列{〃}的项数的最大值.
2025届高考预测卷(二)
数学参考答案
1234567891011
BBCCACBCABACDBC
12.—313.V--3-14.[1,+oo
103L
15.(1)记破解后信息字符为「为事件传递信息字符为「为事件N,
由于传递信息字符为/3,7时,均有g的可能破解后信息字符为万,
则p(M)=3X!=L,P(N)=-,所以P(7W)=P(M)P(N)=LX,=L,
43434312
1
所以尸(N|M)=4丝?=早=,;
\)P(M)13
4
(2)由(1)可知,若传递信息字符为力,则被破解正确的概率为g,
X所有可能的取值为0,1,2,3,
尸(X=0)=『[吟,P(X=l)=C;x;x/J=|)
…)"x["l小,
X的分布列为
X0123
8421
p
279927
X〜«3,£|,£(x)=3x1=l
16.(1)证明:在△45。中,因为NZ=60°,4D=1,AB=2,
由余弦定理,得BD=y/AD2+AB2-2AD-ABcos60°=下).
所以BD2+AD2=AB?,所以AD,3。,所以NAD8=90。,ZDBC=90°.
如下图1所示:在中,作。尸,H5于点尸,
因为平面H8CL平面HAD,平面HBOC平面H5£)=H5,DFu平面
所以。尸,平面H8C,又8C<z平面H8C,所以。EL8C,
又因为C8L8D,BDCDF=D,BD,DFu平面ABD,所以C8L平面
因为HQu平面H5D,所以
又N'QLBD,BDCCB=B,8D,C8u平面28,所以HQ1,平面BCD
(2)方法一;如下图2所示:
图2
存在点",当M是4c的中点时,二面角8。—C的大小为45°.
证明如下:由(1)知4£>_L平面ADC,所以4。,DC且4。=1,DC=2,
所以4C=JL又因为〃是HC的中点,所以。河=15,同理可得:BM=—
22
取AD的中点为。,DC的中点为£,连接MO,EM,OE,
因为M9J.8O,OELBD,所以/MOE是二面角四―8。—C的平面角,
又因为(W=也,0E=~,ME=~,所以NMO£=45°.此时=
222A'C2
方法二:以。为原点,DA,DB,D4'所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如下图3所示的空间直角坐
标系,M5(0,V3,0),C(-1,V3,O),H(O,O,l).
假设点”存在,设HM=24C,2e[0,l],
贝U■=/!1/=(_46用_/1),W=+=(-2,732,1-2),丽=(0,君,0),
设平面MBD的一个法向量为庆=8c),
m-DB=y/3b=0,、
则<_.,取a=l—X,可得应=(1—40,力,
m-DM=—2a+134b+(l-2)c=0
又平面CAD的一个法向量为元=(0,0,1),假设在线段HC上存在点M,使得二面角九f-8。-C的大小
为45°,则|cos(方,五)|=----/囚==",解得力=」,
1\〃网•同1X-222
/M1
所以点M存在,且点M是线段HC的中点,即^=—.
A'C2
17.(1)依题意,^a+acosC=V3csinA,根据正弦定理得sinZ+sin幺cosC=J^sinCsinZ,
因为0<幺<兀,所以sinN>0,贝Ul+cosC=J^sinC,即百sinC-cosC=1,
即走sinC—,cosC=L,所以sin[c—乌]=工.
2226)2
717r71
又0<。<兀,则C——=-,所以。=—;
663
(2)在△48C中,根据余弦定理,得0?=/+炉—2abcos?=a2一。6,
3
即7=4+/—2b,解得6=3或6=-1(舍去),
171171171
依题意'LO+%CLLBC,即+=
化简得则。£>=冬包,所以CD=空也=正
、'2+b2+b5
(3)依题意,△NBC的面积5人/它=!aAsinC='ab•虫>=6,所以ab=4.
△屈222
7T2冗(7TI7127r
又△4BC为锐角三角形,且。=—,则2=——5e0,-,所以一<8<——.
3312)63
又则4<8<4,所以tanB〉也.由正弦定理,一=—竺,得。=妇上1,
2623sinAsinBsinB
6iZ)sinf--5j4-^-cos5+—sin5
所以/=-----U——L=A----------------------2=至工+2,所以2</<8,即正<。<2行,
sinBsinBtanB
所以a的取值范围为(后,2.
18.(1)由题意得,Ffo,^j.当垂直于y轴时,点By-p,^\,
此时|48|=20=4,即夕=2,所以抛物线。的方程为炉=4y.
(2)由题意得,F(O,1),直线/的斜率存在.
设直线/的方程为歹=丘+1,8(%2,%).
联立<:得一一4日一4=0,所以玉+工2=4左,xlx2=-4,则XQ=7+%=2k.
=4y2
将=2左代入直线歹="+1,得为=2r+1,则的中点。(2人,2r+1).
211
因为x2=4y,所以>=.,y=|,则直线PN的方程为=«x—否),即y=/x—[X;.
同理可得,直线尸8的方程为
22
lx__lx
所以x=.1W2=上土三=24,yp=-X[.^^--X^=^=-l,
P1/、2P212414
2(XI-X2)
所以尸(2左1).因为%=4,则2左=4,所以左=2,此时Q(4,9),P(4,-l),
所以直线尸。的方程为x=4,代入》2=打,得歹=4,所以£(4,4),所以|。£|=9—4=5.
(3)由(2)知,Q(2k,2k-+\),尸(2人,—1),所以直线PQ的方程为x=2左,
代入工2=4歹,得y=左2,所以£(2左,左2),所以E为尸。的中点.
2k
因为抛物线C在点E处的切线斜率y=w=k,所以抛物线C在点E处的切线平行于AB.
3
又因为E为尸。的中点,所以S四边形函如二1S/^ABP•
因为直线AB的方程为歹="+1,
所以14sl=必+
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