山东省烟台市2024-2025学年高三年级上册1月期末学业水平诊断数学试题（含答案解析）

山东省烟台市2024-2025学年高三上学期1月期末学业水平诊

断数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合/={1,。},8={0,l-a,2a-l},若/=贝()

A.-1B.1C.yD.0

2.“工>1”是“lna<0”的()

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.若贝Usin[2e+1]=()

1155

A.—B.-C.—D.—

9999

4.已知向量1$满足归+1=2石,@_L卜-叫,且.=(1,1),则向=()

A.bB.2C.V5D.3

6.已知F为抛物线=2x的焦点，直线4=0与抛物线交于48两点，贝！]zx/B尸的

面积为()

AV17n3V17「3V17口3屈

2248

试卷第1页，共4页

7.已知三棱锥P-NBC的底面VN8C的面积为6,顶点尸到底面三条边的距离均相等，且

三个侧面的面积分别为3,4,5,则该三棱锥的体积为()

A.6B.2gC.4A/3D.6c

8.已知/'(x)为定义在R上的奇函数，其导函数为g(x),且gG)-e，为奇函数，则不等式

g(l-2x)<g(x)的解集为()

A.B.gl]C.g+HD.]_巴；)(1,+0

二、多选题

9.已知函数[(x)=sin2x-2cosx,则()

A./(X)的最小正周期为兀

B./(x)的图象关于点go)对称

C./(x)在-朗，-己上单调递减

D./⑺(xe卜私兀])图象与无轴有3个公共点

10.阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比

为常数〃力>0,且几片1),那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点尸到点0(0,0)

与点2(2,0)的距离之比为近，则()

A.点尸的轨迹方程为(x-4y+j?=8

24

B.点尸到直线标--+12=0距离的最小值为彳

C.点尸到圆f+j?=1上的点的最大距离为5+2后

D.若到直线米-y-2左=0的距离为近的点尸至少有3个，贝！左VI

11.若数列｛叫满足㈤<1,则称其为“打数列”.给定数列4_(林四)，若4T为“耳数列”,

a,+a.

定义4T上的？变换：从4T中任取两项生，%，将^——添加在4T所有项的最前面，然

1+aiaj

后删除%,%,记新数列为4(约定：一个数也视作数列)，下列结论正确的有()

试卷第2页，共4页

A.若可e(O,l),%=24一sin4,则数列｛0“｝为数列”

B.若为€(0,1),。用=山(2-°")+%,则数列｛%｝为“■数列”

C.若无穷数列4为“b数列”，则4+/为““数列”

D.若数列4为杲,1•••」，则4一为"：+”2(〃>2)

234nn2+n+2v'

三、填空题

12.若函数/(x)同时满足以下三个条件，则其一个解析式可以为/(x)=.

①在其定义域内有/■(f)=/(x)；②VX],%e(0,+oo),有(7(xJ-yHAa-尤2)<。；

③/（%）/（工2）=/（取2）.

13.在三棱锥忆-N8C中，以，冲,FC两两垂直，E4=E8=2NC=2,若点P为三棱锥Z-N8C

外接球上一动点，则点P到平面以C距离的最大值为.

22

14.已知48为椭圆r：j+y=1(a>6>0)上关于原点。对称的两点(异于顶点)，点C在

aF

椭圆上且/C,48,设直线8C与x轴的交点为P,若|。尸『=2万.而，则椭圆「离心率的

值为.

四、解答题

15.在锐角V/3C中，角48,C所对的边分别为见上。，且包里二包£=二

sinCc2

(1)求3;

(2)若6=2,求V/8C周长的取值范围.

2

16.已知函数〃x)=alnx+--,aeR.

⑴若曲线y=在x=l处的切线方程为依-如+1=0,求实数6的值；

⑵讨论函数/(X)的单调性.

17.如图，四棱锥尸-/BCD中，底面N8C。为梯形，AB//CD,ABVAD,

AB=BC=2CD=24PBe为等边三角形.

试卷第3页，共4页

p

(1)证明：APLBC-,

(2)若二面角A-BC-P的大小为120°,求直线CP与平面APD所成角的正弦值.

22_

18.已知O为坐标原点，双曲线「，-方=1(。>0,6>0)的一条渐近线方程为瓜-2»=0,

且点(4,3)在「上.

⑴求双曲线「的方程；

(2)若直线/与:T的右支交于点4B(异于顶点)，且以为直径的圆过「的右顶点.

(i)直线/是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由；

—»—*6----»2

(ii)设直线与V轴交于点求GUOB+'OM的取值范围.

19.已知数列｛%｝的前〃项和鼠=2a“-2(〃eN*).

(1)求数列｛%,｝的通项公式；

⑵设4也,…也是可，出，…,明的任意排列，c”表示其中同时满足条件①4=4和

②驾e1/(i=1,2,-1)的排列的个数，7；为数列匕,｝的前”项和.

(i)证明：C"+3=Z,+〃+2；

(ii)证明：,2025-1能被2整除.

试卷第4页，共4页

《山东省烟台市2024-2025学年高三上学期1月期末学业水平诊断数学试题》参考答案

题号12345678910

答案DCADBCBBBCACD

题号11

答案BCD

1.D

【分析】利用子集的概念计算可求。的值.

【详解】因为集合/={1,。},8={0,1-a2—1},且N=

所以4=0或4=1一Q或〃=2〃一1,解得4=0或。='或4=1,

2

当0=0时，/={1,0},3={0,1,-1},符合集合元素的互异性，

当“时，s=|o,1,oj,不符合集合元素的互异性，故舍去，

当。=1时，/={”},不符合集合元素的互异性，故舍去.

综上所述：4=0.

故选：D.

2.C

【分析】先解分式不等式和对数不等式，然后根据充要条件的定义判断即可.

11—0

【详解】因为一>1U>----->0<=>a((2—1)<0,所以

aa

又Ino<0o]na=

所以>1”是“Ina<0”的充要条件.

a

故选：C.

3.A

【分析】先将26+9用表示为20+2=1+2(。-今,再利用诱导公式和二倍角公式求

66626

解即得.

【详解】因2。+2=袅2("今，

626

则sin(26+*=sin[^-+2(0-割=cos2(0-=2cos(0-3一1=-.

故选：A.

4.D

答案第1页，共18页

【分析】由题意可得7=2标，片=2,又忖+@=2氐可得7+2标+7=20,可求用

【详解】因为二，一无），所以司1呵=0,所以/_2标=0,所以7=2标，

又因为口+@=2石，所以7+2ZB+^=20,又5=（1』），所以片=1+1=2，

所以27+2=20,所以7=9,所以口=3.

故选：D.

5.B

【分析】利用奇偶性可判断CD不符合，利用赋值法可判断AB.

【详解】由二>0,可得一（1一/）>0,所以一1）<0,所以0</<i,

1-x2V'V'

解得-l<x<0或0<x<l,定义域关于原点对称，

(一尤)

又/(-x)=-xlnJ(*=fin2=-/仅），故函数/（x）为奇函数，故排除CD；

血丫

亚、\2~)5J。，

=——In-----^-7=

2/L、2

1-

故B符合，A不符合.

故选：B.

6.C

【分析】直线45方程与抛物线方程联立后化简得2/一9%+8=0,再结合韦达定理可求得

利用点到直线距离公式求得高〃=£1,即可求解面积.

1125

【详解】由/=2x得G，。），设4区,%），5（9,%）

fy2=2x9

由《八,得2f_9x+8=0,贝1]玉+工2=大,芭％2=4,

[y=2x-42

所以|4B|=J1+2?.

11-0-41

因为到直线2x-y-4二°的距离为百而

答案第2页，共18页

则S.ABF=|XAX|^|=1XF孚=丁

故选：c

7.B

【分析】过户向底面作垂线，垂足为。，分别过。向三边作垂线，垂足分别为。,凡尸，连

接PD,PE,PF,由题意可证得==从而0D=0E=OF,可得。为三角形V48c的

内心，再利用底面V4BC的面积和侧面积B4C,分别计算可得V/2C的内切圆半径『及PF

的值，进而可求三棱锥的高，即可求体积.

【详解】过户作尸。，底面/8C,垂足为。，分别过。作垂

足分别为尸，连接PD,PE,PF,

P

因为PO_L平面48C,/2<=平面/3。，所以尸0_L/8,

又尸。noo=。，2。,。0(=平面尸0。，所以4B_L平面尸OD,

又「。u平面P0。，所以48，即，

同理8C_LPE,ACLPF

则PD=PE=PF,所以RtAPDO法RtAPEO乌Rt△尸FO,

所以OD=OE=OF,所以。为三角形VNBC的内心，

由三棱锥尸-的三个侧面的面积分别为3,4,5,得VABC三边之比为3:4:5

不妨设为4B=3m,BC=4m,AC=5m,

由尸-48C底面的面积为6,所以1x3〃?x4加=6,解得加=1,

2

/8=3,8C=4,NC=5.

设内切圆的半径为「，则gx(3+4+5)xr=6,所以厂=1.

由侧面P/C的面积为5,所以!x5xPF=5,所以尸尸=2.

2

所以PO=-r=6,

答案第3页，共18页

所以/TBC=；x6x2也.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：关键在于利用顶点尸到底面三条边的距离均相等，得到P在平面/8C

的投影是三角形/BC的内心，据此计算可求得体积.

8.B

【分析】分析可知，函数g(x)为偶函数，结合g(x)-e，为奇函数可求得函数g(x)的解析式,

利用导数分析函数g(x)在［。,+句上的单调性，将所求不等式变形为g(卜2H)<g(附，结

合函数g(x)的单调性可得出关于x的不等式，解之即可.

【详解】因为函数/(x)为定义在R上的奇函数，即/(一划=一/(%)，

等式f(r)=一/0)两边同时求导得-r(-x)=-r(尤)，即广(r)=/(x),

即g(-x)=g(x)①，所以函数g(x)为偶函数，

因为g(尤)-e"为奇函数，贝!］g(-尤)=-g(x)+e*②，

联立①②可得g(x)=*二，

当xNO时，g，(x)=qU»O,仅当％=0时取等号，所以函数g(x)在［0,+8)上为增函数,

由函数g(x)为偶函数，由g(l-2x)<g(尤)可得g(|l-2x|)<g(W),可得

即(1-2X)2</,整理得(3尤-1)(无-1)<0,解得;<x<l,

因此不等式g(l-2x)<g(x)的解集为,,11

故选：B.

9.BC

【分析】计算可得〃尤+兀)二/(尤)可判断A；/(兀-x)+/(x)=0可判断B；求导可得

时，r(x)<0,可判断C；令/(x)=0,求解可得或x=g可判断D.

O0_N/

【详解】对于A,因为/(%+兀)=5皿2(%+兀)一26。5(%+兀)=5M2%+2以)8^。/(%),故A错误；

对于B,/(TI-X)+/(x)=sin2(7i-x)-2cos(7i-x)+sin2x-2cosx

答案第4页，共18页

=-sin2x+2cosx+sin2x-2cosx=0,所以/(x)的图象关于点("l，。J对称，故B正确;

对于C,y'(尤)=2cos2x+2sin尤=2-4sin2尤+2sinx=(l-sin尤)(4sinx+2),

因为xe,所以-1Wsinx4-彳，所以/''(x)VO,

66J2

所以/(x)在一^，一看上单调递减，故C正确；

对于D,令/'(x)=0,贝！］可得sin2x-2cosx=0,所以2sinxcosx=2cosx,

所以2（sinx-l）co&r=0,所以sinx=l或cosx=0,

又因为xe[-兀，可，所以x或一会

所以/（x）（xe卜匹可）图象与x轴有2个公共点，故D错误.

故选：BC.

10.ACD

【分析】选项A根据距离比化简可得；选项B转化为圆心的直线的距离减半径可判断；

选项C转化为两圆圆心距加两个半径可得;选项D转化为圆心到直线的距离小于或等于近

可得.

【详解】设尸点坐标为（x,y）,由题意可得「f?=J2,

2=8上，其圆心坐标为W（4,0）,半径为厂=2收,

故点P到直线3x-4y+12=0的距离的最小值为圆心M到直线的距离减半径，即为

|3x4+12|

-2V2=y-2V2,故B专昔误;

V32+42

答案第5页，共18页

点尸到圆V+/=1上的点的最大距离为M至1(0,0)的距离加两个半径，即为

若到直线区7-2左=0的距离为应的点尸至少有3个,

设圆心”至U直线依一y-2左=0的距离为d,则r-d=26-d26nd&6.

\^k-2k\

即JI——!<V2,可得TV4VI,故D正确,

J-+1

故选：ACD

11.BCD

【分析】取特值％=茄，求解的，由。2>1可得A项错误；构造〃x)=ln(2-x)+^,xe(0,l),

利用导函数研究单调性求解值域可得B项；证明Va,6e(-l,l),都有产由“反

数列”定义与结论可得C项；D项由几个特殊取值寻找规律猜想结论，并用数学归纳法证吐

【详解】A项，若％€(0,1),。"+[=2%-sin%,取％=获，

H-..197t..19.nVs

由。n<一<1<不，则sm—<sin—=——，

2032032

皿।0.19.1919619-56.

则=2。]—sinci,=---sin—>------=-----------；故A错误;

21102010210

B项，若为e(O,l),a“+i=ln(2-a“)+a.，

设/(%)=ln(2-x)+x,xG(0,1),

11V-1

贝1mx)=-^—+1=—；+i=]>o,

2—xx-2x-2

答案第6页，共18页

故/(X)在(0,1)单调递增，所以/(0)<〃x)<〃l),Bpin2</(x)<l.

故任意ane(0,1),则an+1e(In2,1),

由％e(0,l),依次递推可知。“e(0,1),

故数列｛叫满足㈤<1,则数列｛0“｝为“H数列”，故B正确;

C项,首先证明,,北(-1,1),都有㈢<1.

证明：对Va,6e(-l,l),

则有_i=a+b-1-ab=(-6)<Q

1+ab}+ab1+ab

a+ba+b+l+abG+D0+I))。

且一(—D=

\+ab1+abl+ab

所以-1<产<1,a+b

即<1,

\+abl+ab

故由所证结论可知，若无穷数列4为““数列”,

则数列4中任意项％,都满足离|<1，则任意两项%都有<1

1+

依次类推可知经过任意次T变换操作后，新数列4+/仍为““数列”，故c正确;

D项，由于每次T变换操作中都是增加一项，删除两项,

所以对数列经过T变换一次，则项数减少一项,

故对"-项的数列4可进行(〃-2)次T变换操作，且最后数列4,-2只剩下一项.

对于任意a/el),定义运算，加修

下面证明这种运算满足交换律与结合律.

n।,a+b_b+aa+b

证明：由aG&=-------,贝n!~--=-----

l+abl+b-al+ab

所以。的=63,即该运算满足交换律;

b+c

QH---------

a+b+c+abc

由aO(bOc)=aQl+6c

V)1+bc1b+cl+ab+ac+bc'

]+q--------

l+bc

a+b

---------Fc

a+b+c+abc

且(aOb)Oc=a+。0°=l+ab

l+abra+b\+ab+ac+bc

1+---------c

\+ab

答案第7页，共18页

故。0(66)=(〃@)6,即该运算满足结合律.

由上所证结论可知，4_2中的项与实施的T变换具体操作顺序无关,

不妨选择的依序操作过程求4一2.

由当"=3时，4K由同T则4：(

当〃=4时,4：；，；，)，则由;o1=；'=则4：1-彳；

乙JI4J/I/11J.，

w…,1111e上1151591914

当〃=5时，4：不不了，二，则由；;2=:，-o-=--，—O——=

2345237471151116

.?

则4：1一77；

16

W…,11111皿上1151591_914

当〃=6时,4号§彳《％，则由5%丁，彳污卞—O-=——

51116

11420…।2

-O—=——，贝14：1——L.

61622422

由数列7=T442+4+2，/52+5+2~62+6+2

^^■,16=-----------;22=-----------

22

2"+n—2

A-1.〃>2)

故猜想：n2+n+2n2+n+2

2

记初为最后数列心中仅剩的一项">2,"2,设一

则由题意可知数列｛d｝满足可G>a2,bk+l=bkQak+2,keN*,kMn-2.

2.)

下面用数学归纳法证明：心=:n>2,〃GN*).

n2+n+2

_32+3-2105

(i)当〃=3时，b=aOa=—O—=—,乂-----------——,

xx223732+3+2147

故当〃=3时，bn_2=〃+，--成立；

n+及+2

H成立,

(ii)假设当"=©左23"eN*)时，b„_2

k2-i-k-7

即42=，下面证明当〃=左+1时，b„"「”2(〃>2,〃eN*)也成立.

"2k-+k+2"-22H2+H+2V>

k2-71

贝！J当〃=左+1时，bk+i2=d1=瓦2。劭-1---------O------

k+l-2Is'k2+k+2k+1

k2+k-21,、

_k2+k+2+T+l=(-+1)(=+左一2)+-+后+2

x^k'+k-21(斤+1)(左2+斤+2)+-+左一2

k2+k+2T+1

答案第8页，共18页

（左+1）（—+斤）一2左+上~+左（-+iy+u-i

一（左+1）（/+左）+2左+尸+k一/+1）2+左+3

_（k+V）2+k+l-2

~（k+l）2+k+l+2'

n+，1

故当〃=4+1时，b_2=>2,"eN*）也成立，得证.

综合⑴（ii）可得，对任意”>2,”eN*,2J；+”2成立,故D正确.

n2+n+2

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有以下几点，一是运算性质的探究，对Va,6e（-l,l）,

都有£<1；二是运算律的探究，运算。2=产满足交换律与结合律；三是数列

\+ab1+ab

2/+〃_2/\

4-2：1―/+〃+2=/+〃+2（”>2）的归纳、猜想与证明.

2

12.x-2（答案不唯一）

【分析】根据条件写出函数即可.

【详解】f（x）=x~2,可知/'（尤）是偶函数，在（0,+8）上单调递减，符合①②两个条件,

又/（%）/（%2）=Xl2jC22=（X1X2）2=f（XlX2）,所以符合条件③.

同理可得/（X）=j也符合条件.

故答案为：X-2（答案不唯一）

*

13.

2

【分析】把三棱锥V-ABC补成一个长方体，利用长方体的外接球可求得点P到平面VAC距

离的最大值.

【详解】因为以，冲PC两两垂直，所以三棱锥厂-4BC可补成一个长方体，如图所示:

所以长方体VADB-C44G的体对角线为三棱锥V-ABC外接球的直径,

答案第9页，共18页

所以2/3+22+r=3,所以外接球的半径r=]，

又球心O到平面E4c的距离为,

2

因为点P为三棱锥V-ABC外接球上一动点,

所以点P到平面VAC距离的最大值为43+1=15.

22

故答案为：­.

2

14.逅

3

【分析】设/（%,必）,8（-西，-m）,。每，%），^\OP^=2OA-OP,得尸的坐标为（2再,0）,利

用点差法得到3c•醺,=-萼，结合已知可求得ec=一五也C=G=9,根据七屋七C=T,

a2必3X]

可求得可求椭圆的离心率.

【详解】设/（占,必）,8（-西,-必）,“工2，%），

^\OP\2=2OA-OP,可得|。?2=2|刀口赤卜os//。尸，

A

所以OP=2网cosa4OP,所以2%=巧,所以P的坐标为（2再,0）,

X；弁t

因为“（国,必）,。卜2，%）在椭圆上，所以,

V2V2'

三+区=1

/b2

2222（占一12）（项+工2）,%一%）（%+%）n

两式相减可得土与+工¥=0,所以+o=U

a2b2a9b2

-y_21±2i

所以乒ay又隈兽2/kBC-，

-x2项+x2

所以《4C•心C=~~2f又无”=^~~=^~^BF0+M/

/icou2./yv

a3xi2%j+再3再

__Ak-k

又4CLAB,所以3/Kc=-1,所以左〃一，%BC_ABP-o，

答案第10页，共18页

b2二，所以4b2二£

所以一二=-工工=

aM3尤13a3

所以椭圆「离心率的值为e=g

a

故答案为：逅

3

:A2,结合条件得

【点睛】关键点点睛：关键在于利用点差法得到3c•心c

=

k』c二一一~^BC^BP=,进而求得椭圆的离心率.

71

15.⑴与

【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可.

（2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函

数的性质求解取值范围即可.

【详解】（1）在锐角V/3C中，因为=巴',

sinCc2

_2_72

所以由正弦定理得匕=巴?，故c2（a-c）=&/-/）,

CC

得至ljc（〃-c）=。2-〃，化为QC-C?="2一62,

故得℃=/+02-62,化简得♦+0=1,

ac

即二',由余弦定理得cosg="一+c"~“=L

2ac22ac2

jrjr

因为Be(0,1),所以

Q_c_2_4若

(2)因为b=2,由正弦定理得sin4-5由。一国—丁，

T

所以a=sinA,c=jQ,且设VABC周长为/，

33sn

grpi,个个4A/3.A4A/3.厂04A/3..4-\/3./2兀、

//T以I=2+Q+C=2H------sinAH-------sinC=2H--------sinAH-------sin(-------4),

33333

473..473，V3.1.4A/3..,.273..

=2H-------sinAH------(—cosAH—sinZ)=2H-------sinZ+2cosAH--------sinA,

332233

=2+2VJsin/+2cosZ=2+4sin(4+今

因为在锐角V/BC中，所以/£（0,g,。£（0彳）,

答案第11页，共18页

所以解得/€(],?),

32o3

综上可得/©/勺，所以/+?€(：多),

02633

故sin(/+y)e贝lJ4sin(4+二)e(2・

得至!!4sin(4+^)+2e(273+2,6],即/e(2若+2,6],

故VABC周长的取值范围为(26+2,6]

16.(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案.

(2)求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.

【详解】(1)由于/(x)=Hnx+n"R,贝⑴=1,

点(1,1)在办—勿+1=0上，故"6+1=0；

「,(、a2i

又/⑴二一西广则r0)="5'

(1

ra-b+1=0(1a=——

\a=l7

则Ia,解得-。或,;

a——二一\b=2h7iI

(2)由题意得/(x)的定义域为(0,+8),

令g(x)="2+2(Q—1)X+A,XG(0,+8),

当aWO时，g(x)<0即/(x)<0,所以/(无)在(0,+8)上单调递减;

当a>0时，A=4(a-l)2-4a2=4(l-2a),

当azg时，A<0,.-.g(x)>0，rW>0r则/(x)在(0,+8)上单调递增;

答案第12页，共18页

当0<“<；时，A>0,g(x)=ax2+2(Q—l)x+Q=0的木艮为

]-q-J1—2a]—a+J—2a

X]—,%2=，

aa

由于(1—“)—(1—2〃)=a2>0,1—67>0,1—2a>0,1—^>J1-2a，即西〉O,乙〉。，

、i,，八1—a—yjl—2a'1-a+Jl-2〃]」、

当XE0,------------或XE-------------,+8时，/(^)>0,

a][a)

/\1—a—11—2a)「(1—a+Jl—2a).，、八、E、、/，皿，

/r(x)在0,-----------和------------,+。上单调递增;

।aJ[a

I(\—a—Jl一2a\—a+Jl-2a],

当xw------------，------------时，/(x)<0,

、aa,

r(\-^(1—ci—Jl-2a\—a+y1\—2a]」品、由、孑、件

/(x)在[-----------,-----------J上单倜递减；

综上，当时，/(x)在(0,+8)上单调递减；

、1,八1rt」\人(八1一〃—J1—2a)工r[1—a+J1-2a),1V,、小、豆.

当0<。<不时，/(x)在0,------------和-------------,+。上单倜递增,

2a)1a

在［三匕三,匕”正红］上单调递减.

aaj

当时，/(x)在(0,+8)上单调递增；

17.(1)证明见解析；

【分析】(1)连接/C,取2C中点O,连接O4OP,先证明BC，平面OPA,即得证APLBC；

(2)说明乙40P是二面角P-BC-/的平面角，以。为原点，0408分别为阳y轴，过。与

平面xQy平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，可知z轴在平面/O尸内，然后用空间

向量法求线面角.

【详解】(1)连接/C,取3C中点。，连接。4。尸，

在直角梯形/BCD中，AB//CD,ABLAD,AB=BC=2CD=2,

则AD=^BC2-(AB-CD)2=722-(2-1)2=拒,从而/C=^AD2+DC2=2=BC=AB，

所以V/2C是等边三角形，则/OL3C,又△尸3C是等边三角形，所以8C，。尸，

答案第13页，共18页

又。PCW=/,OP,O/u平面op/,

所以3C,平面。尸4,而4Pu平面OP4,所以/PLBC.

(2)由(1)的证明知乙4。尸是二面角尸-夙7-4的平面角，所以4。尸=120。，

以。为原点，。4。3分别为xj轴，过O与平面xOy平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐

标系，

如图，z轴在平面ZOP内，

5LOA=—AC=s[3,同理。尸=百，

2

则/(G,0,0),C(o,-l,o),尸(_g,o,_|),B(0,1.0),

则丽=；丽=3(6,一1,0)=(告，一(,0),

近=就+丽=3-1,0)+亭+,0)=(字1,0),

__.3A/33―►3

设平面APD的一个法向量是1=（x，xz）,

n-AD=-^-x--y=0

则22,取、=百，贝岐=（行,—1,3）,

.—3V33

n•AP=------xH——z=0A

I22

设直线CP与平面APD所成角为。，

39

--l+厂

则sin0=\cosCP.n\==22J13.

12xV1313

I团同

(2)(i)直线/过定点(14,0).

(ii)次•砺+：两2的取值范围为［346,^)

答案第14页，共18页

169i

/下

【分析】（1）由己知可得，r-,求解即可;

b_43

、a2

（2）（i）设直线/与「的右支交于点力（亚/1）,8。2，%），分直线斜率是否存在两种情况求解,

存在时，设/的方程为>=区+加，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系可得

再=一:根据已知可得（加+2左乂加+14左）=0,可求定点’直线’的

斜率不存在时，由七-2=JL_1,计算可得结论；（ii）结合（i）可得。4-0B=52+=不

1V44k2-3

—►—>-6>-2（1c\

而2=196〃，可得GMO5+]（W=52+168（4.二3T左!，利用基本不等式可求取值范

围.

22_

【详解】（1）因为双曲线r：宏-1=1（。>0,6>0）的一条渐近线方程为瓜-2y=0,且点

（4,3）在「上,

169,

/一*1

a=222

所以解得所以双曲线r的方程为――一曰；

b=643

、〃2

（2）（i）直线/过定点（14,0）,理由如下:

设直线I与r的右支交于点力（久1，%）,B（X2,y-i）>

当直线/的斜率存在时，不妨设/的方程为>=米+加,

|22

JJ

联立:43,7肖去V得（3—4左2）%2一8左冽1—4加2-12=0,

y=kx+m

8km-4m2-12

于是石+/=

3_止，中2-3-止

因为以为直径的圆过r的右顶点c（2,o）.

所以。_LCB,所以而_LQ，所以百•而=0，又9=（%-2,%）,3="-2,%），

所以（再一2,乂-2,%）=0,所以国工2-2（X[+工2）+4+必%=0，

yiyi=kxi+m,y2=kx2+mf

21

所以PM=（心+m）（Ax2+m）=kxxx1+km（＜xx+x1\+m,

答案第15页，共18页

2

所以(1+左2)项%2+(6一2)(国+x2)+m+4=0,

-4m2-12/.c\8km2八

所具（1+左，+(km-2)------丁l~m+A=0,

3-4/c2V々—4左2

整理得冽2+16而+28左之=0,即（加+2左）（加+14左）=0,

所以7"=-2左或=-14左，

当冽=-2后时，直线方程为>=左（》-2）,过定点C（2,0）,不满足条件;

当加=-14