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文档简介
上海市徐汇区2025届高三上学期学习能力诊断
数学试题
(考试时间120分钟满分150分)
2024.12
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考
生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.不等式丁―4x+3<0的解集为.
【答案】(1,3)
【解析】不等式4无+3<0化为(*-1)(》-3)<。,解得1<%<3,
二不等式£—4龙+3<0的解集为(1,3).
故答案为:(1,3).
八/、/、flnx,x>0.八
2.已知函数y=/(%),其中/(x)={八,则/(1)=.
【答案】0
【解析】由解析式知/'(1)=1111=0.
故答案为:0
3.在(1+%)"的二项展开式中,若各项系数和为32,则正整数〃的值为.
【答案】5
【解析】因为(1+X)"=C:+C%+…+C)",且各项系数和为32,
令x=l,则2"=C:+C;+…+C;=32,解得〃=5,
所以正整数〃的值为5.
故答案为:5.
4.已知向量々=(2,5,1),3=(4,m,5),若1石=3,则实数加的值为.
【答案】-2
【解析】因为汗=(2,5,1)3=(4,m,5),所以Zi=2x4+5〃z+lx5=5〃z+13=3,
所以加=一2.
故答案为:-2
5.设a,beR,/(x)=x3+3sinx+/?.若函数y=/(%)是定义在[-a,2a-1]上的奇函数,
则a+b=.
【答案】1
【解析】由函数y=/(%)是定义在[―a,2a—1]上的奇函数,可知—a+2a—l=Ona=l,
再由/(-%)+/(%)=(-x)3+3sin(-x)+Z?+x3+3sinx+Z>=2Z?=0=>Z?=0,
所以a+Z?=l,
故答案为:1.
6.已知小,〃为空间中两条不同的直线,%〃为两个不同的平面,若根uo,cn尸=〃,
则利〃"是利〃尸的条件.(填:“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非
充分又非必要”中的一个)
【答案】充要
【解析】充分性:因为〃2U£,tZC/?=","2〃",
所以私〃共面,
又因为a,"为两个不同的平面,“u/5,
所以W尸,
所以加〃尸,故充分性成立;
必要性:因为帆ue,e□/?=〃,所以“ua,
又因为相〃尸,所以帆〃九,故必要性成立,
所以利〃〃是加〃户充要条件.
故答案为:充要.
7.某景点对30天内每天的游客人数(单位:万人)进行统计,得到样本的茎叶图(如图
所示),则该样本的第75百分位数是.
125
20233
3124489
455577889
50011479
6178
【答案】51
【解析】因为30x75%=22.5,
所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第23个数,即为51.
故答案为:51.
8.已知复数Zi和复数Z2满足z1+z2=3+4i天仁=-2+i"为虚数单位),则忖一z.
【答案】5点
【解析】设Z]=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,
则Z]—z?—(a—c)+(b-d)i,Z]—z2—(a-历)一(c—泊)=(a—c)—(b—d)i,
所以Z]_Z?=Z]_Z2,
因为Z]+z2—3+4i,2]—z2=-2+i,
2
所以z;—z;=(zx+z2)(z1-z2)=(3+4i)(-2-i)=-6-3i-8i-4i=-2-lli,
则归—z;|=卜2—1li|=J(—2)2+(—11)2=5A/5.
故答案为:55
9.设aeR,/a)=x2+G;+inx,若函数y=/(%)存在两个不同的极值点,则。的取值
范围为.
【答案】(一右一20)
【解析】易知函数/(%)=£+ta+hw的定义域为(0,+8),
2x2+ax+l
/'(x)=2x+a+—=
x
因为函数y=/0)存在两个不同的极值点,
所以尸(%)=o在(°,+8)内有两个不等根,
i^g(x)=2x2+OX+1,xe(0,+00),
p(0)>01>0
则只需IA〉。,即/2—8>0,
(-9>0a<0
所以ov—20,则。的取值范围为(—8,—2&).
故答案为:~厂2吟
22
10.已知椭圆T+2=1("匕>0)的左、右焦点分别为耳、耳,尸为椭圆上一点,且
NP瓦耳=],若此椭圆的离心率为/_1,则/PK&的大小为.
【答案】2
6
【解析】如图,设|%|=x,则|尸片|=2。一彳,因6=二=省一1,故c=(G—1)。,
a
%
o\FJI*
由余弦定理,依F”曰+W『-口吟,
即(2〃-%)2=4c2+%2—2cx,
将c=("—1)。代入,整理得:4/—4助+/=4(4-2我/+/—2(6—1)酸,
解得x=4百力-=(石_i)a,则有|PM|=(V§—l)a,|P£|=(3—6)a,
3-J3-
|_|P.|(6-l)a_。-出)a
由正弦定理:sin/P片鸟—sin,'即sin/P£M——忑一,
3-T
解得sinZPFtF2=1,
27r7T
因OvN尸片gv——,故NPK^=—.
36
7T
故答案为:—.
6
11.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一,吸引了广大市民前往观展并
拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器,它可视作两个圆台的组合体,上面圆台的上
、下底面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且
两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两
部分母线长的总和为cm.
【答案】5717
【解析】设上面圆台的母线长为1上面半径为彳=15cm,下半圆半径为弓=13cm,高为
h=8cm,
根据圆台的母线长公式/=历方了,带入数值计算得到4=.+(15-13)2=顾=
2\/r7cm;
设下面圆台的母线长为《,上面半径为4=12cm,下半圆半径为%=9cm,
r-n“一q
由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等,可以得到}二音=工厂,带入数值
4,2
计算得到4=(々一^^(12-9)x2717^
彳-马15-13
所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2而+3而=5后cm.
故答案为:5标
12.已知定义域为A={1,2,3}函数y=/(x)的值域也是A,所有这样的函数y=
形成全集瓦设非空集合C=3且1中的每一个函数都是。中的两个函数(可以相同)的
复合函数,则集合。的元素个数的最小值为.
【答案】2
【解析】因为定义域为A={1,2,3}的函数y=/0)的值域也是A,
所以这样的不同的函数有A;=6个,所以集合2有6个不同的元素,
又非空集合C=且6UC=8,
又彳中的每一个函数都是。中的两个函数(可以相同)的复合函数,
若。中只有1个函数,则二中有5个函数,
又。中函数与自身的复合函数只能表示一个函数,故不能得到彳中5个函数,不符合题
忌、,
若。中只有2个函数,则]中有4个函数,
若。中2个函数的复合函数有2x2=4,如果这4个函数是亍中4个函数时,符合题
意,此时只需验证即可.
6个不同函数为f[(x):11,2—2,33,力(%):1―>1,2―>3,3—>2
启%):1—2,2—1,3—3,力(功:132,233,3->1,
启%):13,2->1,3—2,八(%):1-3,2-2,3->1,
若C={%(顼启力},此时C={/(%)/(%),%(%)/(%)},
启人(%))=■%),启启%))=笈%),
启〃动=人⑴,〃〃%))=々%),
所以集合C的元素个数的最小值为2.
故答案为:2.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.下列抛物线中,焦点坐标为[o,:
的是(
I8
11
A.y~2=—xB.y2=x
24
11
C.x2-=—yD.x-2=—y
24
【答案】C
【解析】抛物线的标准方程为:x2=2py,焦点坐标为,
由题意得与=1,所以0=1,
284
r1
所以抛物线的标准方程为:x2=-y.
故选:C.
14.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球,这些球除颜色外均相同.每次将球充
分搅匀后,任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现,摸
到黑球的频率稳定在0.1左右,则据此估计盒子中红球的个数约为()
A.40个B.45个
C.50个D.55个
【答案】B
【解析】设红球个数为。,
由题意可得:-^-=0.1,解得:a=45.
a+5
故选:B
15.已知函数y=f(x)与它的导函数y=f'(x)的定义域均为R.若函数y=/(x)是偶
函数且y=/'(x)在(ro,0)上是严格增函数,则下列各表中,可能成为y=/(x)取值的
是(
X“X)X/(X)X/(-V)X小)
12.818810.758012.413210.8664
21.000021.000021.000021.0000
30.364431.318831.588531.1188
40.246841.797944.111641.2240
【答案】B
【解析】函数y=/(久)是偶函数,贝"t-x)=f(x),两边求导得:—/'(一%)=/'(X),
所以可知导函数y=/(久)是奇函数,
由于函数y=/(%)与它的导函数y=/'(%)的定义域均为R,
所以y=〃0)=0,又因为y=r⑺在(-吗o)上是严格增函数,
所以y=/(X)在(0,+8)上是严格增函数,
由于y=/(%)是可导函数,所以它的图象是连续曲线,示意图如下:
则y=/(X)在(0,+8)上恒为正数且递增,
即y=/(%)在(0,+8)上单调递增,且变化率越来越大,
故AC显然错误,而D的变化率越来越小,所以只能选B,
故选:B.
16.己知数列{屐}的前”项和为S“,设(〃为正整数).若存在常数。,使得任意两
两不相等的正整数,—都有(i—力乙+(/—左儿+(左—必=c,则称数列{4}为“轮换
均值数列”.现有下列两个命题:①任意等差数列{4}都是“轮换均值数列”.②存在公比不为
1的等比数列也}是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是()
A.①是真命题,②是假命题
B.①是假命题,②是真命题
C.①、②都是真命题
D.①、②都是假命题
【答案】A
/7(n-l)
【解析】对于①,设等差数列{%}的公差为4,贝1—2—_I”,
———ct-\--a
nnx2
代入(i-j)tk+(j-k)£+(kftj=c
可得(T)q+(T),T)d+(i)q+(T)T)d+(I)%+(J?T)d
/、(左—1)/\(Z—1)/、(/—1)
=(i-j)+-—d+(/—左)a1+-d+(^-z)%+<?-d
/[(,—/)+(/—左)+(左一,)]+耳[(,—/)(左—1)+(J—左)(,—1)+(左—,)(4—1)]
=alxO+^-[ik-i-jk+j+ji-j-ki+k+kj-k-ij+i\
=4x0=0,即可得到c=0,①正确;
2
,、s4(i-q")
对于②,设等比数列也}的公比为q,则乙=」==一1
nn(l-q)
代入(i-j>k+(j-k)£+(kftj=c,
出1"4(1T
可得(Jj)x、_____:+(i)x+(攵-i)x
左(1-4)/(i-q)川-q)
(i—7)义°^»+(/—左)义.(j')(j,)
b\+(k-%)x
i—qj
要使其为常数,化简后会发现很难对于任意的,,/,左都满足为常数(因为公比4大1),
故不存在公比不为1的等比数列{4}是“轮换均值数列.②不正确.
故选:A
三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤.
17.己知/(x)=asin6y%+Z>cos。%(0>。),若定义在R上的函数'=/(%)的最小正
周期为兀,且对任意的xeR,都有/(x)W/—=4.
[12)
(1)求实数。为的值;
(2)设石,42«°,兀),当可时,〃为)=〃%)=-2,求再+%2的值.
解:(1)/(x)=asma)x+Z?coscox=(cox+,
由/("的最小正周期为兀,知①=2,
.71j71.
=〃SH1—+/2cos—=4,
\iZ766
=44二2
2/+/2=163=2后「
(2)由(1)可得:/(x)=2sin2x+2A/3COS2X=4sin2x+—
I3J
.._71।_._71
,?4sin2x+—=-2=>sin2x+—
I3;I3.2
—兀C7兀—P*C兀C77_,7C_75
/.2x-\--=2kJi---或2XH——=2/CTI-\-一兀,即n光=E---或X=EH---兀,keZ,
3636412
357
又百,为2«。,兀),则不妨令玉=~兀,x?--]2兀故项+/=—71.
6
TT
18.如图,在四棱锥P—ABCD中,AD//BC,NADC=NPAB=—,BC=CD=
2
1JT
—AD.石为棱AD的中点,异面直线R4与CD所成角的大小为六.
22
7T
(2)若二面角尸—CD—A的大小为二,求直线以与平面PCE所成角的正弦值.
4
(1)证明:因为AD〃3cBe=4AD,E为棱AO的中点,
所以BC//ED且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形.
所以CD//BE,又Mu平面03瓦8不在平面P8E上,
由线面平行的判定定理知,CD〃平面PBE.
7T
(2)解:方法一:因为=二,即/么,43,且异面直线R4与。。所成的角为
2
71
一,即P4LCD,
2
又ABcCD=",AB,CDu平面ABC£>,AP,平面ABC。,
又CDLAD,由三垂线定理可得CD
7T
因此"ZM是二面角八⑺一人的平面角'ZPDA=-,^PA=AD,
不妨设AD=2a,则8
2
以A为坐标原点,平行于CD的直线为x轴,AD所在直线为V轴,4P所在直线为z
轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,所以尸(0,0,2a),E(0,a,0),C(—a,2a,0),(其中
-2a),AP=(0,0,2a),
设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z),
n-PE=0y-2z=0
则一,可得〈
n-EC=Q-x+y=0'
令y=2,则x=2,z=l,可得万=(2,2,1),
设直线R4与平面PCE所成角为夕,
I,—*\||AP-«|21
则sin。=cos(AP,n)\=]——q~-=------=一,
।\/I|AP||H|3X23
即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1.
方法二:过A作AHLCE,交CE的延长线于“,连接PH,
由(1)知:CD//BE,
因为R4LCD,所以跖,
JT
因为ZADC=/PA3=5,即
又ABcJBE=3,AB,JBEu平面ABCD,所以Q4,平面ABCD,
因为CEu平面ABCD,所以24J_CE,
又A”是PH在平面ABC。上的射影,由三垂线定理知,PHLCE,
又PAClPH=P,所以CEL平面B4”,
再过A作A/LPH,交PH于I,
因为CEL平面丛//,A/u平面上田,所以4,CE,
又PHCCE=H,所以A/_L平面PCE,所以/”/即为直线上4与平面PCE的所成
角,
因为CCA。,/%,平面ABC。,由三垂线定理CD_LPD,
7T
因此/PZM是二面角尸一CD—A的平面角,ZPDA=-,
4
设3C=CD=gAD=x(x>0),则AD=B4=2x,
因为3C=CD,8,A。,所以四边形BCDE为正方形,
JT
所以/CED=NAEH=-,
4
5克
所以AH=»x,所以,AHX正,
0tanZAPI=tan/APH==—T——=
2PA2x4
所以sin/AP/=—,
3
即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1.
19.某企业招聘员工,指定“英语听说”、“信息技术”、“逻辑推理”作为三门考试课程,有两种
考试方案.
方案一:参加三门课程的考试,至少有两门及格为通过;
方案二:在三门课程中,随机选取两门,并参加这两门课程的考试,两门都及格为通过.
假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.
Pi,P2,P3(Pi«0』),,=1,2,3),且三门课程考试是否及格相互之间没有影响・
a)分别求该应聘者选方案一考试通过的概率T{和选方案二考试通过的概率T2;
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小,并说明理由.
解:(1)记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为AB,C,
则P(A)=4,P(B)=,P(C)=.
应聘者选方案一考试通过的概率
z=p(AnBne)+p(xnBnc)+p(An与no+aansnc)
=42(1—P3)+P2P3(1—四)+Pl〃3(1—2)+P\P2P3
=PlP?+P2P3+P3P1-2Plp2P3
应聘者选方案二考试通过概率
7;=1p(AnB)+1p(Bnc)+1p(Anc)
=35。2+必03+。3。1).
2/、
(2)7;-7;=-(AA+P2P3+P3P1)-2AAft
2
=耳[月。2(1-2)+。2。3(1-Pl)+(1—0)],
因为Pi,P2,〃3e(O4),所以4-石>0,即
故工>12,即选方案一,该应聘者考试通过的概率较大.
20.已知过点尸(3,0)的双曲线。的渐近线方程为x±&y=0.如图所示,过双曲线。
的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线I交C的右支于A,B两点.
(1)求双曲线。的标准方程;
(2)已知点。g,0,求证:ZAQF=/BQF;
3
(3)若以A5为直径的圆被直线X=5截得的劣弧为W,则MN所对圆心角的大小是否
为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
(1)解:因为双曲线。的渐近线方程为x±&y=0,
所以设双曲线方程为12—3;/=几(丸00),又双曲线过点尸(3,应),
则;1=9—3x2=3,
丫2
所以双曲线的方程为f—3y2=3,即1—y2=i.
(2)证明:由(1)可知尸(2,0),/的斜率存在且不为0,所以设/的方程为丁=左(%—2),
丁;(:二?,消去y得(1—3k2.2+I2k*2x-12k2-3=0,
联立《
1-342wO
A>0
2
设4(菁,区),3(%,%),由题意得<-12kn
x,+x.=------>0
12l-3k2
—12左2—3
i2=下宏>0
-12k2
X+X,=----7
1-l-3k2
所以左e(-CO,-,+oo),且<
-12k2-3
左(七一2)左(马—2)
所以包k+k3十
BO—333
x石---
X1~22~212%-3
77
k2再%—](再+/)+6k2(-12Jt2-3)+-x12^2+6(1-3k2)
2
—=0,
393,9,
XX+--12k29-3+-xl2^2+-(1-3P)
l2.]424
所以的Q=~kBQ,即4。户=NBQF得证.
-12k2
(3)解:由⑵可知4=12无?+12>0恒成立,为+%
1—31(2
3—6k233k2+3
所以圆心到x=—的距离4=
23k2
\AB\1/-s-J--1-2-k2+12
半径r=J_।=-Vl+F
22|1-3P|3女2—1
设MN所对圆心角为
3k2-1A/3
因为MN为劣弧,所以夕€(0,兀),
f)TVIT7T
所以所以。=w,即MV所对圆心角的大小为定值t.
2633
21.已知定义域为。的函数y=/(x),其导函数为y=/'(x),若点(七,%)在导函数丫=
尸(为图象上,且满足了'(为)
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