上海市徐汇区2025届高三年级上册学习能力诊断数学试题（解析版）

上海市徐汇区2025届高三上学期学习能力诊断

数学试题

(考试时间120分钟满分150分)

2024.12

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.不等式丁―4x+3<0的解集为.

【答案】(1,3)

【解析】不等式4无+3<0化为(*-1)(》-3)<。，解得1<%<3,

二不等式£—4龙+3<0的解集为(1,3).

故答案为：(1,3).

八/、/、flnx,x>0.八

2.已知函数y=/(%),其中/(x)={八，则/(1)=.

【答案】0

【解析】由解析式知/'(1)=1111=0.

故答案为：0

3.在(1+%)"的二项展开式中，若各项系数和为32,则正整数〃的值为.

【答案】5

【解析】因为(1+X)"=C：+C%+…+C)",且各项系数和为32,

令x=l,则2"=C：+C；+…+C；=32,解得〃=5,

所以正整数〃的值为5.

故答案为：5.

4.已知向量々=(2,5,1),3=(4,m,5),若1石=3,则实数加的值为.

【答案】-2

【解析】因为汗=(2,5,1)3=(4,m,5),所以Zi=2x4+5〃z+lx5=5〃z+13=3,

所以加=一2.

故答案为：-2

5.设a,beR,/(x)=x3+3sinx+/?.若函数y=/(%)是定义在［-a,2a-1］上的奇函数,

则a+b=.

【答案】1

【解析】由函数y=/(%)是定义在［―a,2a—1］上的奇函数，可知—a+2a—l=Ona=l,

再由/(-%)+/(%)=(-x)3+3sin(-x)+Z?+x3+3sinx+Z>=2Z?=0=>Z?=0,

所以a+Z?=l,

故答案为：1.

6.已知小，〃为空间中两条不同的直线，%〃为两个不同的平面，若根uo,cn尸=〃，

则利〃"是利〃尸的条件.(填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非

充分又非必要”中的一个)

【答案】充要

【解析】充分性：因为〃2U£,tZC/?=","2〃"，

所以私〃共面，

又因为a,"为两个不同的平面，“u/5,

所以W尸，

所以加〃尸，故充分性成立；

必要性：因为帆ue,e□/?=〃，所以“ua,

又因为相〃尸，所以帆〃九，故必要性成立，

所以利〃〃是加〃户充要条件.

故答案为：充要.

7.某景点对30天内每天的游客人数(单位：万人)进行统计，得到样本的茎叶图(如图

所示)，则该样本的第75百分位数是.

125

20233

3124489

455577889

50011479

6178

【答案】51

【解析】因为30x75%=22.5,

所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第23个数，即为51.

故答案为：51.

8.已知复数Zi和复数Z2满足z1+z2=3+4i天仁=-2+i"为虚数单位)，则忖一z.

【答案】5点

【解析】设Z]=a+bi,z2=c+di,a,b,c,deR,

则Z]—z?—(a—c)+(b-d)i,Z]—z2—(a-历)一(c—泊)=(a—c)—(b—d)i,

所以Z]_Z?=Z]_Z2，

因为Z]+z2—3+4i,2]—z2=-2+i，

2

所以z；—z；=(zx+z2)(z1-z2)=(3+4i)(-2-i)=-6-3i-8i-4i=-2-lli,

则归—z；|=卜2—1li|=J(—2)2+(—11)2=5A/5.

故答案为：55

9.设aeR,/a)=x2+G；+inx,若函数y=/(%)存在两个不同的极值点，则。的取值

范围为.

【答案】(一右一20)

【解析】易知函数/(%)=£+ta+hw的定义域为(0,+8),

2x2+ax+l

/'(x)=2x+a+—=

x

因为函数y=/0)存在两个不同的极值点，

所以尸(％)=o在(°，+8)内有两个不等根,

i^g(x)=2x2+OX+1,xe(0,+00),

p(0)>01>0

则只需IA〉。，即/2—8>0,

(-9>0a<0

所以ov—20,则。的取值范围为(—8,—2&).

故答案为：~厂2吟

22

10.已知椭圆T+2=1("匕>0)的左、右焦点分别为耳、耳，尸为椭圆上一点，且

NP瓦耳=],若此椭圆的离心率为/_1，则/PK&的大小为.

【答案】2

6

【解析】如图，设|%|=x,则|尸片|=2。一彳，因6=二=省一1,故c=(G—1)。，

a

%

o\FJI*

由余弦定理，依F”曰+W『-口吟，

即(2〃-%)2=4c2+%2—2cx，

将c=("—1)。代入，整理得:4/—4助+/=4(4-2我/+/—2(6—1)酸,

解得x=4百力-=(石_i)a,则有|PM|=(V§—l)a，|P£|=(3—6)a，

3-J3-

|_|P.|(6-l)a_。-出)a

由正弦定理：sin/P片鸟—sin，'即sin/P£M——忑一，

3-T

解得sinZPFtF2=1,

27r7T

因OvN尸片gv——,故NPK^=—.

36

7T

故答案为：—.

6

11.徐汇滨江作为2024年上海国际鲜花展的三个主会场之一，吸引了广大市民前往观展并

拍照留念.图中的花盆是种植鲜花的常见容器，它可视作两个圆台的组合体，上面圆台的上

、下底面直径分别为30cm和26cm,下面圆台的上、下底面直径分别为24cm和18cm,且

两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等.若上面圆台的高为8cm,则该花盆上、下两

部分母线长的总和为cm.

【答案】5717

【解析】设上面圆台的母线长为1上面半径为彳=15cm,下半圆半径为弓=13cm,高为

h=8cm,

根据圆台的母线长公式/=历方了，带入数值计算得到4=.+(15-13)2=顾=

2\/r7cm；

设下面圆台的母线长为《，上面半径为4=12cm,下半圆半径为％=9cm,

r-n“一q

由于两个圆台侧面展开图的圆弧所对的圆心角相等，可以得到}二音=工厂，带入数值

4,2

计算得到4=(々一^^(12-9)x2717^

彳-马15-13

所以该花盆上、下两部分母线长的总和为2而+3而=5后cm.

故答案为：5标

12.已知定义域为A={1,2,3}函数y=/(x)的值域也是A,所有这样的函数y=

形成全集瓦设非空集合C=3且1中的每一个函数都是。中的两个函数(可以相同)的

复合函数，则集合。的元素个数的最小值为.

【答案】2

【解析】因为定义域为A={1,2,3}的函数y=/0)的值域也是A,

所以这样的不同的函数有A；=6个，所以集合2有6个不同的元素，

又非空集合C=且6UC=8，

又彳中的每一个函数都是。中的两个函数(可以相同)的复合函数，

若。中只有1个函数，则二中有5个函数，

又。中函数与自身的复合函数只能表示一个函数，故不能得到彳中5个函数，不符合题

忌、，

若。中只有2个函数，则]中有4个函数，

若。中2个函数的复合函数有2x2=4,如果这4个函数是亍中4个函数时，符合题

意，此时只需验证即可.

6个不同函数为f[(x):11,2—2,33,力(%):1―>1,2―>3,3—>2

启%):1—2,2—1,3—3,力(功:132,233,3->1,

启%):13,2->1,3—2,八(%):1-3,2-2,3->1,

若C={%(顼启力}，此时C={/(%)/(%),%(%)/(%)}，

启人(%))=■%)，启启%))=笈%),

启〃动=人⑴，〃〃%))=々%),

所以集合C的元素个数的最小值为2.

故答案为：2.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.下列抛物线中，焦点坐标为［o，:

的是(

I8

11

A.y~2=—xB.y2=­x

24

11

C.x2-=—yD.x-2=—y

24

【答案】C

【解析】抛物线的标准方程为：x2=2py,焦点坐标为,

由题意得与=1,所以0=1,

284

r1

所以抛物线的标准方程为：x2=-y.

故选：C.

14.一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同.每次将球充

分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子.经过重复摸球足够多次试验后发现，摸

到黑球的频率稳定在0.1左右，则据此估计盒子中红球的个数约为()

A.40个B.45个

C.50个D.55个

【答案】B

【解析】设红球个数为。，

由题意可得：-^-=0.1,解得：a=45.

a+5

故选：B

15.已知函数y=f(x)与它的导函数y=f'(x)的定义域均为R.若函数y=/(x)是偶

函数且y=/'(x)在(ro,0)上是严格增函数，则下列各表中，可能成为y=/(x)取值的

是(

X“X)X/（X）X/(-V)X小）

12.818810.758012.413210.8664

21.000021.000021.000021.0000

30.364431.318831.588531.1188

40.246841.797944.111641.2240

【答案】B

【解析】函数y=/（久）是偶函数，贝"t-x）=f（x）,两边求导得：—/'（一%）=/'（X）,

所以可知导函数y=/（久）是奇函数，

由于函数y=/（%）与它的导函数y=/'（%）的定义域均为R,

所以y=〃0）=0,又因为y=r⑺在（-吗o）上是严格增函数，

所以y=/（X）在（0,+8）上是严格增函数，

由于y=/（%）是可导函数，所以它的图象是连续曲线，示意图如下:

则y=/（X）在（0,+8）上恒为正数且递增，

即y=/（%）在（0,+8）上单调递增，且变化率越来越大，

故AC显然错误，而D的变化率越来越小，所以只能选B,

故选：B.

16.己知数列｛屐｝的前”项和为S“，设（〃为正整数）.若存在常数。，使得任意两

两不相等的正整数，—都有（i—力乙+（/—左儿+（左—必=c,则称数列｛4｝为“轮换

均值数列”.现有下列两个命题：①任意等差数列｛4｝都是“轮换均值数列”.②存在公比不为

1的等比数列也｝是“轮换均值数列”.则下列说法正确的是（）

A.①是真命题，②是假命题

B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题

D.①、②都是假命题

【答案】A

/7（n-l）

【解析】对于①，设等差数列｛%｝的公差为4,贝1—2—_I”，

———ct-\--a

nnx2

代入（i-j）tk+（j-k）£+（kftj=c

可得（T）q+（T），T）d+（i）q+（T）T）d+（I）%+（J?T）d

/、（左—1）/\（Z—1）/、（/—1）

=（i-j）+-—d+（/—左）a1+-d+（^-z）%+<?-d

/［（，—/）+（/—左）+（左一，）］+耳［（，—/）（左—1）+（J—左）（，—1）+（左—，）（4—1）］

=alxO+^-[ik-i-jk+j+ji-j-ki+k+kj-k-ij+i\

=4x0=0,即可得到c=0,①正确；

2

,、s4(i-q")

对于②，设等比数列也｝的公比为q,则乙=」==一1

nn(l-q)

代入（i-j>k+（j-k）£+（kftj=c,

出1"4（1T

可得(Jj)x、_____：+（i）x+（攵-i）x

左(1-4)/（i-q）川-q）

（i—7）义°^»+（/—左）义.（j'）（j，）

b\+（k-%）x

i—qj

要使其为常数，化简后会发现很难对于任意的，，/，左都满足为常数(因为公比4大1),

故不存在公比不为1的等比数列｛4｝是“轮换均值数列.②不正确.

故选：A

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必

要的步骤.

17.己知/(x)=asin6y%+Z>cos。%(0>。)，若定义在R上的函数'=/(%)的最小正

周期为兀，且对任意的xeR,都有/(x)W/—=4.

［12)

(1)求实数。为的值；

(2)设石,42«°，兀)，当可时，〃为)=〃％)=-2,求再+%2的值.

解：(1)/(x)=asma)x+Z?coscox=(cox+,

由/（"的最小正周期为兀，知①=2,

.71j71.

=〃SH1—+/2cos—=4,

\iZ766

=44二2

2/+/2=163=2后「

(2)由(1)可得：/(x)=2sin2x+2A/3COS2X=4sin2x+—

I3J

.._71।_._71

,?4sin2x+—=-2=>sin2x+—

I3；I3.2

—兀C7兀—P*C兀C77_,7C_75

/.2x-\--=2kJi---或2XH——=2/CTI-\-一兀,即n光=E---或X=EH---兀，keZ,

3636412

357

又百,为2«。,兀），则不妨令玉=~兀,x?--]2兀故项+/=—71.

6

TT

18.如图，在四棱锥P—ABCD中，AD//BC,NADC=NPAB=—,BC=CD=

2

1JT

—AD.石为棱AD的中点，异面直线R4与CD所成角的大小为六.

22

7T

（2）若二面角尸—CD—A的大小为二，求直线以与平面PCE所成角的正弦值.

4

（1）证明：因为AD〃3cBe=4AD,E为棱AO的中点，

所以BC//ED且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形.

所以CD//BE,又Mu平面03瓦8不在平面P8E上，

由线面平行的判定定理知，CD〃平面PBE.

7T

（2）解：方法一：因为=二，即/么，43,且异面直线R4与。。所成的角为

2

71

一,即P4LCD,

2

又ABcCD=",AB,CDu平面ABC£>,AP，平面ABC。,

又CDLAD,由三垂线定理可得CD

7T

因此"ZM是二面角八⑺一人的平面角'ZPDA=-,^PA=AD，

不妨设AD=2a,则8

2

以A为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，AD所在直线为V轴，4P所在直线为z

轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，所以尸（0,0,2a）,E（0,a,0）,C（—a,2a,0）,（其中

-2a）,AP=（0,0,2a）,

设平面PCE的一个法向量为n=（x,y,z）,

n-PE=0y-2z=0

则一，可得〈

n-EC=Q-x+y=0'

令y=2,则x=2,z=l,可得万=（2,2,1）,

设直线R4与平面PCE所成角为夕，

I,—*\||AP-«|21

则sin。=cos（AP,n）\=]——q~-=------=一,

।\/I|AP||H|3X23

即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1.

方法二：过A作AHLCE,交CE的延长线于“，连接PH，

由(1)知：CD//BE,

因为R4LCD,所以跖，

JT

因为ZADC=/PA3=5，即

又ABcJBE=3,AB,JBEu平面ABCD,所以Q4,平面ABCD,

因为CEu平面ABCD,所以24J_CE,

又A”是PH在平面ABC。上的射影，由三垂线定理知，PHLCE,

又PAClPH=P,所以CEL平面B4”，

再过A作A/LPH，交PH于I，

因为CEL平面丛//,A/u平面上田，所以4，CE,

又PHCCE=H,所以A/_L平面PCE,所以/”/即为直线上4与平面PCE的所成

角，

因为CCA。,/%，平面ABC。，由三垂线定理CD_LPD,

7T

因此/PZM是二面角尸一CD—A的平面角，ZPDA=-,

4

设3C=CD=gAD=x(x>0),则AD=B4=2x,

因为3C=CD,8，A。,所以四边形BCDE为正方形，

JT

所以/CED=NAEH=-,

4

5克

所以AH=»x，所以,AHX正,

0tanZAPI=tan/APH==—T——=

2PA2x4

所以sin/AP/=—,

3

即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为1.

19.某企业招聘员工，指定“英语听说”、“信息技术”、“逻辑推理”作为三门考试课程，有两种

考试方案.

方案一：参加三门课程的考试，至少有两门及格为通过;

方案二：在三门课程中，随机选取两门，并参加这两门课程的考试，两门都及格为通过.

假设某应聘者参加三门指定课程考试及格的概率分别是.

Pi，P2，P3（Pi«0』）,，=1,2,3）,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响・

a）分别求该应聘者选方案一考试通过的概率T｛和选方案二考试通过的概率T2；

（2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.

解：（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为AB,C，

则P（A）=4,P（B）=,P（C）=.

应聘者选方案一考试通过的概率

z=p（AnBne）+p（xnBnc）+p（An与no+aansnc）

=42（1—P3）+P2P3（1—四）+Pl〃3（1—2）+P\P2P3

=PlP?+P2P3+P3P1-2Plp2P3

应聘者选方案二考试通过概率

7；=1p（AnB）+1p（Bnc）+1p（Anc）

=35。2+必03+。3。1）.

2/、

（2）7；-7；=-（AA+P2P3+P3P1）-2AAft

2

=耳［月。2（1-2）+。2。3（1-Pl）+（1—0）］,

因为Pi，P2，〃3e（O4），所以4-石＞0,即

故工＞12,即选方案一，该应聘者考试通过的概率较大.

20.已知过点尸（3,0）的双曲线。的渐近线方程为x±&y=0.如图所示，过双曲线。

的右焦点F作与坐标轴都不垂直的直线I交C的右支于A,B两点.

（1）求双曲线。的标准方程;

（2）已知点。g,0,求证：ZAQF=/BQF；

3

（3）若以A5为直径的圆被直线X=5截得的劣弧为W，则MN所对圆心角的大小是否

为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

（1）解：因为双曲线。的渐近线方程为x±&y=0，

所以设双曲线方程为12—3;/=几（丸00）,又双曲线过点尸（3,应）,

则；1=9—3x2=3,

丫2

所以双曲线的方程为f—3y2=3,即1—y2=i.

（2）证明：由（1）可知尸（2,0）,/的斜率存在且不为0,所以设/的方程为丁=左（%—2）,

丁；(：二?，消去y得(1—3k2.2+I2k*2x-12k2-3=0,

联立《

1-342wO

A>0

2

设4（菁,区）,3（%,%），由题意得<-12kn

x,+x.=------>0

12l-3k2

—12左2—3

i2=下宏>0

-12k2

X+X,=----7

1-l-3k2

所以左e(-CO,-,+oo)，且<

-12k2-3

左（七一2）左（马—2）

所以包k+k3十

BO—333

x石---

X1~22~212%-3

77

k2再％—](再+/)+6k2(-12Jt2-3)+-x12^2+6(1-3k2)

2

—=0，

393,9,

XX+--12k29-3+-xl2^2+-(1-3P)

l2.]424

所以的Q=~kBQ，即4。户=NBQF得证.

-12k2

（3）解：由⑵可知4=12无？+12>0恒成立，为+%

1—31(2

3—6k233k2+3

所以圆心到x=—的距离4=

23k2

\AB\1/-s-J--1-2-k2+12

半径r=J_।=-Vl+F

22|1-3P|3女2—1

设MN所对圆心角为

3k2-1A/3

因为MN为劣弧，所以夕€(0,兀)，

f)TVIT7T

所以所以。=w，即MV所对圆心角的大小为定值t.

2633

21.已知定义域为。的函数y=/(x),其导函数为y=/'(x),若点(七,%)在导函数丫=

尸(为图象上，且满足了'(为)