三角恒等变换八大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题15三角恒等变换八大题型汇总

dan

题型1辅助角公式的运用..........................................................1

题型2辅助角公式与最值..........................................................2

题型3凑角求值..................................................................3

♦类型1诱导公式法........................................................4

♦类型2拆角..............................................................4

题型4分式型凑角求值............................................................5

题型5正切恒等变形..............................................................6

♦类型1正切化简求值......................................................6

♦类型2与其他知识结合....................................................7

题型6正切求角..................................................................8

题型1二倍角公式与升幕降幕......................................................9

题型8正余弦和差积问题.........................................................11

【变式1-1】1.（2023秋•湖南永州•高三校联考开学考试）已知cosa+V3sina=贝！Jcos

【变式1-1】2.(2023秋广东揭阳•高三校考阶段练习)已知Xa＜手，—且

sina+sin0=v^(cosa+cos£),则下列结论一定不正确的是()

A.cos(a-/?)=-1B.sin(a_8)=0C.cos(a+°)=_gD.sin(a+0)=—孚

【变式1-1】3.(2023秋•内蒙古包头•高三统考开学考试)函数"久)=sin2x+cos2x的一

条对称轴是()

A.x=-fB.x=-7C.%=1D.X=7

【变式1-114.(2023秋•江西南昌•高三南昌二中校考开学考试)已知f(x)=sin("+&-

V3cos(^+^),贝疗(1)+f(2)+...+f(2023)的值为()

A.2V3B.V3C.1D.0

【变式1-1】5.(2023•全国•高三专题练习)设d为动点P(cos8,sin。)到直线％—y—2=0的

距离，贝呦的最大值为()

A.V2-1B.乎C.1+V2D,3

题型2辅助角公式与最值

【例题2](2023•陕西宝鸡•统考二模)已知函数/'(久)=2sinx+4cosx在x=0处取得最大值,

则COS0=()

2V5nV5V5c2V5

-S-'―■5-

【变式2-1]1.(2023・河南•校联考模拟预测)若关于%的方程Sin2%+2cos2%=—2在[0,可

内有两个不同的解％/?,贝[|cos(a—/?)的值为()

A.普B.当C.2V5c2V5

【变式2-1】2.(2023秋•江西吉安・高三吉安一中校考开学考试)已知夕6(0.,今,且Sin

(a—20)+3sina=0,则tana的最大值为()

A--TB-TC--TD-T

【变式2-1】3.(2023秋•陕西汉中•高三统考阶段练习)已知函数f(X)=Sin%+3cos久，当

/(X)取得最大值时，tame=.

【变式2-1]4.(2023秋福建厦门•高三厦门一中校考阶段练习)已知函数/⑶=sins-

KCOS3*®>0),若/(*)的图像在区间(0,TI)上有且只有1个最低点，则实数⑦的取值范围

为.

【变式2-1】4.(2021秋・广西南宁•高三统考阶段练习)已知函数f(x)=g

(sin2x+4cosx)+2sinx,则f(x)的最大值为()

A.4V3B.-y-

C.6D,5V3+2

【变式2-1】5.(2023秋•四川成都•高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)若函数

/(%)=sinx—V3cosx,久€[6网的值域为[一1,2],贝加一小的取值范围为

题型3凑角求值

木卜划重点

常见角的变换有:

①a=(a-P)+p;②a=a++—~~③2a=(a+P)+(a-P);④20=(a+P)-(a-P).

22

♦类型1诱导公式法

【例题3-1】（2023•河南开封•统考三模）已知sin（a+段—cosa=^,贝！1cos(a+以

)

3_4

A.1B.C.n

5D.-5

【变式3-1】1.（2023秋・江苏南通・高三统考开学考试）已知sin（a+5=苧，则sin（£—2a

)

2V2

A.-3-B.苧C.D.\

【变式3-1】2.（2023秋•山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试）已知sin（x+2）=一

1

4-

7171

Bc

--

A.8.-8-8-

-

8

【变式3-1】3.（2022秋•新疆巴音郭楞•高三八一中学校考阶段练习）设a为锐角，若cos

(a+》=2,贝Usin(a—")=()

A，奈B.-奈C.专D.返

【变式3-1】4.（2023秋•河北•高三校联考阶段练习）已知sin停—a）=—乎，且a6

(0,y),贝［|sin(1+2a)=()

2V14n2V14V7V7

A.9rC.—D.

9~9~

♦类型2拆角

【例题3-2】（2023秋・河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知a,£均为锐

角，且tana=3,sin(a+£)=g,贝！］cos£=()

V10(-9Vm710-e13710

A13V10Dn

50D'Io-J505而一乂50

【变式3-2】1.（2022秋•陕西渭南•高三渭南市瑞泉中学校考阶段练习）若见。都是锐角,

且cosa=g,sin(a+/?)="|,贝！JcosS=

A2V5B2V5c2V5^2V5D吞或立

25D，5J25取55fiX25

【变式3-2】2.（2022•云南•云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知sina=半，cos

(a—£)=半，且0＜a(生,0＜夕＜1,则sin/S=()

9代R11V10V15D.嘿

35,35*-35-

【变式3-2】3.（2022秋•山东日照•高三校考阶段练习）已知a,06（0爪），tan（a+£）=

日,cos(g+,=苧,贝!]cos(2a-S)=()

A.-竽B,普C.竽D.手

题型4分式型凑角求值

【变式4-1】1.（2023•吉林长春•东北师大附中校考模拟预测）求值氤舞黑

【变式4-1】2.（2022・全国•高三专题练习）计算求值：

（1）计算2cos10°言黑空°°°）的值；

VI-sinlO

（2）已知a、£均为锐角，sina=|,cos（a+0）=萼，求sin/?的值.

【变式4-1]3.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高三黑龙江实验中学校考阶段练习）化简求值:

）sin20°-sin40°

（^cos20°-cos40°

,6cos400+sin50°g+y?tan100)

()sin70°Vl+cos40°

【变式4-1】4.（2023・全国•高三专题练习）化简:

1+sinct1—sina

⑴:1+cosa—V1—cosa+Vl+cosa+Vl—cosct(n<a<^)；

a)-tan^(1+cosa)

(2)-(0<a<Tl).

Vl—cosa

题型5正切恒等变形

两角和的正切公式的常见四种变形：

T(a+@：

①tana+tan£=tan(a+£)(1-tanotan£);

②tana+tan£+tanatan尸tan(a+©=tan(a+©;

tana+tanB

④tanatanp-1-------------------.

tanDa+加

_tana+tanB

④1-tanatan0=-----------------;

tanDa+/?□

Tg-后：

①tanaltan£=tan(a1©(1+tanotan肉;

②tan6rtan£-tancrtangtan(7©=tan(?£);

tana-tanp

@tanatari/?=tan(a-p)-1

_tana-tanp

©1+tanatanp=tan(a-B)；

♦类型1正切化简求值

【例题5-1［（2023秋•湖北武汉•高三武汉市第四十九中学校考阶段练习）若aE（—果—£）,

且cos2（z+cos伸+2a）=—1,则tan（a—勺=.

【变式5-1】1.侈选）（2023•河南信阳・信阳高中校考模拟预测）已知86（0,20,。为

坐标原点，e终边上有一点M（si得-COS浮si得+cos部则（）

A.9=寸B.\0M\=V2

C.tan。＜1D.cos。＞g

【变式5-112.(2023・全国•高三专题练习)当％=均时，函数/(%)=sin%—2cos%取得最

大值，则tan(xo+苧)=.

【变式5-1]3.(2023春•江西赣州•高三校联考阶段练习)已知角a/e(0,n),且sin(a+0)

+2cos(a-0)=0,sinasin£+2cosacos£=0,贝！]tan(a+£)=()

A.iB.IC.ID.-2

【变式5-1】4.(2023・四川成都•校联考二模)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别

为a,b,c,tanAsinA(tanBtanC-1)=2tanBtanC,sinB＞sinC,且bsinB+csinC=masin

A,则实数机的取值范围为.

【变式5-1】5.(2023•全国•高三专题练习)在锐角△ABC中，三内角4B,C的对边分别为

a,b,c,且a=2bsinC,则tanZ+tanB+tanC的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

【变式5-1】6.(2023春・上海闵行•高三上海市七宝中学校考阶段练习)已知△4BC的三个

内角分别为A,B,C,则下列判断正确的是()

命题p：对任何锐角A,都存在△ABC,使得cosA4-cosB=cosC;

命题q：对任何锐角A,都存在△4BC,使得tanA+tanfi=tanC.

A.p是真命题，q是真命题B.p是真命题，q是假命题

C.p是假命题，q是真命题D.p是假命题，q是假命题

♦类型2与其他知识结合

【例题5-2】(2022•全国•高三专题练习)已知等差数列｛加中句=d=1,bn=tana„-tan

0n+1(71eN*),则数列也｝的前n项和5小

【变式5-2】1.（2022・上海•高三专题练习）已知正三角形ABC的三个顶点均在抛物线/=y

上,其中一条边所在直线的斜率为或，则△4BC的三个顶点的横坐标之和为.

【变式5-2】2.（2022•浙江绍兴•模拟预测）在△力BC中，内角A,B,C所对的边分别为

a,b,C,已知角A为最小角且tan4,tanB,tanC均为整数，则cosZ=,设B<C,

4B的中点为D,则岩=L

【变式5-2]3.（2023•福建厦门・厦门外国语学校校考模拟预测）已知椭圆C的一个焦点为

F,短轴&&的长为2VJ,P,Q为C上异于方,&的两点.设NPBiB2=a/P&Bi=0,且tan

（a+S）=-3（tana+tanS），则△PQF的周长的最大值为.

27

【变式5-2】4.（2023秋•四J11成都•高三树德中学校考开学考试）已知A、B是椭圆a+七

=1（（1>6>0）与双曲稣—\=1（£1>0,6>0）的公共顶点，P是双曲线上一点，PA,PB

交椭圆于M,N.若MN过椭圆的焦点F,且tan乙4MB=—3,则双曲线的离心率为.

题型6正切求角

【例题6]（2023春•陕西西安•高三西安中学校考阶段练习）已知tana、tan0是方程/+3近

%+4=0的两个根，且a,£e（—舞），贝以+。等于（）

誓2TT

A.B.­

/或红工或一旦

Lc.3以3/D3以3

【变式6-1】1.（2023•全国•高三专题练习）已知tan£=就，tan（a+£）=寰肾，若

8e（o4），贝蛆=（）

A2LDE「巴nE

r.120-6*3

【变式6-1】2.（2020•全国•高三专题练习）已知等差数列｛an｝中，ai+a3=-y,a2+a8

o

+«11=-2'又1211。=£12,1211（3-。）=£17,其中%0€（0,兀），则2a一夕的值为（）

A.—牛或七B.苧C.-JD.—空

【变式6-1】3.（20122秋•上海普陀・高三曹杨二中校考期末）在2MBe中，若6冠•荏=2

ABBC=3BC-CA,则角/的大小为

△-R-C—D—

A.4D-3J3U'4

【变式6-1】4.（2022・湖南•校联考二模）已知在△?!孔中，（2BA-3BCyCB=0,贝唯4

的最大值为.

【变式6-1】5.（2022秋・江苏常州•高三统考期中）已知4、B、C为aaBC的内角，若

3tanA+tanB=0,则角C的取值范围为.

题型7二倍角公式与升露降系

2.升事与降事公式

,、1+cos2a1-cos2a

1.降幕公式：cos2a二--------，sin2a=----------.

22

2.升幕公式：1+cos2a=2cos2«1-cos2a=2sin2a

注意：倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6c（是3a

的2倍，3a是冷的2倍.这里蕴含着换元思想.这就是说，"倍"是相对而言的，是描述两

个数量之间的关系的.

【例题7】（2022•甘肃临夏统考一模）已知角a终边上一点M的坐标为（—1,2）,贝（!tan2a=

()

A.-2B.I4C.2D.-g4

【变式7-1]1.（2020•北京・高三强基计划）已知zi=sina+2i,z2=l+i-cosa,则日誓

I2*11^21

的最小值是（）

A.1B.2C.gD.|

【变式7-1】2.（2023秋•江西抚州•高三黎川县第二中学校考开学考试）已知ee©3）,

则当tan28—tan。取得最大值时，需=.

【变式7-1】3.（2023•四川眉山•仁寿一中校考模拟预测）已知（tan2a—tana）-cos

2a=2,贝！]tana=.

【变式7-1]4.（2023秋•四JI咸都•高三石室中学校考开学考试）已知倾斜角为仇的直线，

与直线6:%—2y+3=0垂直，则cos2a二

【变式7-1]5.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）若函数f（%）=sin

2x-2cosxz则f（%）的最小值是

【变式7-1】6.（2023秋•河南•高三校联考阶段练习）在△力8c中，ta吟=3ta吟则

扁+磊的最小值为（）

A.4B.2V5C.4V5D.16

题型8正余弦和差积问题

sma±cosa的问题一般通过1•平方法2.换元法进行解决

【例题8】（2023秋•新疆巴音郭楞•高三校考开学考试）已知cosa+cos0=2，sina-sin

6=-g,则cos（2a+20）=（）

A.1B.IC.D.-1

【变式8-1]1.（2022春•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习）已知a为象限角，且满

A.-6B.6C.-§D.g

【变式8-1】2.（2022秋•吉林・高三吉林省实验阶段练习）已知苧&呜-cos9=半，则

sina的值为

A.-4B.1C,巫D.一迪

【变式8-1]3.（2022•陕西・校联考模拟预测）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分

为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表

示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成"0-07”,478密位写成

“4-78”.若（sina—cosa）2=2sinacosa,则角a可取的值用密位制表示错误的是（）

A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50

【变式8-1】4.（2023・河南•校联考模拟预测）已知a,cos（«+

tana+tan/?=3,贝|]cos（a—夕）=（）

C.三D.1

____.______-i7

【变式8-1】5.（2021•江西南昌・高三阶段练习）已知cosa—cos20=a2sina+sin2。号,

则sin?停+0）=（）

A竺BC-D-

722723636

【变式8-1】6.（2023秋・河南•高三郑州一中校联考阶段练习）若sin2a+5-爪

（sina+cosa）20在ae|o,日上恒成立，