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文档简介
2024学年度第一学期期末九年级自适应练习
数学学科
考生注意:
1.本试卷共25题.
2.试卷满分150分.考试时间100分钟.
3.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一
律无效.
4.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或
计算的主要步骤.
一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一
个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1.下列函数中,y关于x的二次函数的是()
Ay=——B.y=2x
x
C.y-(x+2)2D.y-ax1+bx+c
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的定义,掌握二次函数的定义是解题的关键.
形如:y^ajc-+bx+c(a^0),则>是x的二次函数,根据定义逐一判断各选项即可得到答案.
【详解】解:y=不是x的二次函数,故A错误;
x~
y=2x,y不是x的二次函数,故B错误;
y=(x+2)2,即丁=炉+4》+4,丁是x的二次函数,故C正确;
y=ax~+bx+c,当。=0时,丁不是x的二次函数,故D错误;
故选:C.
3
2.在RCABC中,ZACB=9Q°,如果sinB=y,那么cosA的值是()
3344
A.-B.-C.-D.一
4553
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查互余两角三角函数的关系,根据互余两角三角函数的关系进行解答即可.
【详解】解:•••在RtZVLBC中,ZACB=9Q°,ZA+ZB=90°,
3
cosA=sinB=—,
5
故选:B.
3.下列二次函数的图像中,以直线九=1为对称轴的是()
A.y=x?+lB._y=x2-lC.y=(%+l)2D.y-(x-V)2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质,二次函数的顶点式解析式为
y=a(x-左)2+〃(。#0),它的对称轴为了=屋本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称
轴即可.
【详解】解:A、二次函数y=Y+l的对称轴是y轴,故A选项不符合题意;
B、二次函数丁=好一1的对称轴是y轴,故B选项不符合题意;
C、二次函数y=(x+l)2的对称轴是x=-1轴,故C选项不符合题意;
D、二次函数y=(尤—的对称轴是x=1轴,故D选项符合题意
故选:D.
4.设非零向量。、b,如果a+3b=0,那么下列说法中错误的是()
A.。与b方向相同B.a//bC.a=—3bD.\a\=3\b\
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查平面向量,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.根据非零向量
b,有a+35=0,即可推出&=—3匕,从而得出。=3忖,a//b<d与6方向相反,由此即可判断.
【详解】解::非零向量a、b,有a+36=0,
•e,a——3b,
“=3忖,a//b>a与6方向相反,
故B、C、D正确,不符合同意,A错误,符合题意.
故选:A.
5.如图,在四边形A3CD中,AC为对角线,AB=DC,如果要证得VA3C与_CDA全等,那么可以
添加的条件是()
B.ZB=ZD
C.ZB=ZACDD.ZACB=ZCAD=90°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定,根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解,掌握全等三角形
的判定方法是解题的关键.
【详解】解:在VA3C和中,AB=CD,AC=CA,
A,当添加条件得到NACB=NC4O,对应相等的条件为ASS,不能证得VA3C与
_CDA全等,该选项不合题意;
B、当添加条件N3=ND,对应相等的条件为ASS,不能证得VA3C与4aM全等,该选项不合题
-思zfc.;
C、当添加条件NB=NACD,对应相等条件为ASS,不能证得丫43。与_CDA全等,该选项不合题
思;
D、当添加条件NACB=NC4T)=90。,对应相等的条件为HL,能证得丫43。与_CDA全等,该选项
符合题意;
故选:D.
6.如图,矩形ABCD中,点P在对角线3D上,延长AP交DC于点G,过点尸作跖_LAG,分别交
AD>BC于点、E、F,AB=3,AD=4.如果NAEP=NAPB,那么"的长是()
A.2B.3C.D.述
55
【答案】C
【解析】
【分析】如图,过点A作AQ±BD于点Q,根据矩形的性质得BD=y/AB2+AD~=5,由
=得AQ=/,由勾股定理得。£>=JIB==/,证明
npAnopPEPFpr\
AAQP^AAPE得上—=*,即==大,证明APDE^AADP得;•一=——继而得到
PEAPAQAPAPAD
16_
QPPD16xs*6
M=设QP=X,则——x,得,=工^,解得:x=—,再根据
AQAD51245
y
AP=^AQ^+QP"可得结论.
【详解】如图,过点A作AQLBD于点。,
:矩形ABC7)中,AB=3,AD=4,
BD=^AB2+AD~=732+42=5,
■.■SAABD=^BDAQ=~ABAD,
:.BD-AQ-AB-AD,即5AQ=3x4,
在RtZkAQD中QD={AD2_AQ2卡力]=y
VAQ1BD,EFlAG,
:.ZAQP=ZAPE=90°,
又:ZAEP=ZAPB,
AAQP^AAPE,
.QL_^Q即丝=在
PEAP'AQAP
•/Z1+ZAEP=90°,Z2+ZDPG=90°,
又•:ZAEP=ZAPB=/DPG,
/.N1=N2,
又:ZPDE=ZADP,
/.APDE^AADP,
.PEPD
"AP~AD
QPPD
~AQ~^D
设QP=x,则=w—%,
16
-----x
y
解得:x=g,
在Rt/XAQP中,AP=y]AQ2+QP2
AP的长是殳叵.
5
故选:C.
【点睛】本题考查矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,等积变换等
知识点.掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)
x+y5x
7.已知一-=那么一=___________.
V3y
【答案】-
3
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质,由虫=:得出3x=2y,即可得出结论.
V3
,%+y5
【详解】解::一-=T,
y3
•1-3(x+y)=5y,
整理得,3x=2y,
.1_2
故答案为:一.
3
8.已知正比例函数y=(4-l)x的图像经过第二、四象限,那么左的取值范围是.
【答案】k<l
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质,熟知正比例函数的性质是解题的关键.
根据“y=去化。0),当&<0时,该函数的图象经过第二、四象限;当左>0时,该函数的图象经过第
一、三象限”解题即可.
【详解】解:•••正比例函数y=(4—l)x的图像经过第二、四象限,
:.k-l<Q,
k<l.
故答案为:k<l.
9.已知二次函数y=(x—2r+根的图像经过原点,那么旭=.
【答案】-4
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、解一元一次方程.因为二次函数
y=(x—2并+根的图像经过原点,把(0,0)代入二次函数的解析式y=(x—2)2+相,可得关于的一元
一次方程,解一元一次方程求出机的值即可.
【详解】解:二次函数y=(x—2)2+根的图像经过原点,
.•.0=(0-2)2+m,
解得:m=-4,
故答案为:—4.
10.已知抛物线y=x2—C经过点4(—l,x)、B(4,y2),那么%%•(填“〉”、“<”、或
“=”)
【答案】<
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质,熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键.
找出二次函数的开口方向和对称轴,即可根据位置信息求解.
【详解】解::)=必—c
。=1开口向上,y有最小值,且对称轴为y轴,
越靠近y轴,值越小,
••卜1|<|4|
;•%<%
故答案为:<.
11.已知抛物线y=2x的开口向上,那么此抛物线的顶点在第象限.
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象性质,熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键.
’b'
根据二次函数的顶点坐标为一丁,一--,代数分析即可.
I2。4al
【详解】解:・・・y=〃%2—2%的开口向上
•«a>0,
'b4-cic—/'
・・,函数的顶点坐标为:一丁,一-——,
(2a4aJ
22
.一2=—3」〉0,4ac-Z>=4ax0-(-2)=-4=1<q
2alaa4a4a4aa
顶点在第四象限;
故答案为:四.
2
12.已知VABC中,ZBAC=9Q°,AD是边BC上的高,cotZDAC=-.如果比)=4,那么A£>=
3
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了余切的定义,根据已知可得NB=90°-NZM3=NZMC,进而根据余切的定义,得出
cotB=,即可求解.
AD3
【详解】解:如图所示,
VABC中,ZBAC=90°,AD是边上的高,
ZS=90°-ZDAB=ZDAC
cotADAC=—.
3
nBD2
••cotB==一
AD3
"0=4,
AD=6,
故答案为:6.
13.如图,已知VABC中,点。、E、尸分别在边A3、AC.BC±.,DE//BC,EF//AB.如果
DE3
——=—,AB=15,那么EF=.
BC5
【答案】6
【解析】
AFDF3
【分析】本题考查相似三角形判定与性质,根据QE〃3c得到——=——=—,根据比例的性质可得
ACBC5
CE2EFCE2
一,再根据证出==—,即可得到答案.
AC5ABAC5
详解】解:
:.AADE^AABC
•AEDE_3—
"AC-BC-5;
•CE_2
••—―,
AC5
EF//AB,
CE"CAB
EFCE_2
AB-AC-5
AB=15,
:.EF=6,
故答案为:6.
14.如图,。、E分别是VABC的边AB、AC上的点,ZAED^ZB,AF1DE,垂足为点E如果
AF=2,BC=6,VA5C的面积为9,那么VADE的面积为.
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的面积,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的
关键.
过点A作于点X,根据VA3C的面积及的长求出的长,证明,ADEsACB,根据相
似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出VADE的面积.
【详解】解:过点A作于点
A
:.~BCAH=9,
2
■:BC=6,
AH=3,
ZAED=ZB,ZDAE=ZCAB,
.ADE^.-.ACB,
sACB{AH)UJ9
・SADE
••_一d,
99
•,S/XADE=4,
故答案为:4.
15.如图,VABC中,AB=AC,AB的中垂线。E分别与AB、BC交于点E、D.如果30=4,
DC=5,那么的余弦值为.
4
【解析】
【分析】连接AD,先利用等腰三角形的性质可得4=NC,再利用线段垂直平分线的性质可得
BE=-BA,DA=DB=4,从而可得4=/朋。,然后利用等量代换可得:ZBAD=ZC,从而可证
2
△BAD^ABCA,最后利用相似三角形的性质求出R4的长,从而求出班的长,再在BED中,利用
锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
【详解】解:连接AZ),
•:AB=AC,
ZB=ZC,
:是AB的垂直平分线,
:.BE=-BA,DA=DB=4,
2
:.ZB=ZBAD,
:.ZBAD=ZC,
NB=NB,
:.ABAD^ABCA,
BA_BD
3屋=3。3。=(4+5)义4=36,
***BA=6BA=—6(舍去),
:.BE=-BA=3,
2
BE3
在RtBED中,cosB==—,
BD4
3
故答案为:—.
4
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解直角三角形,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性
质,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
16.如图,斜坡3。长为7米,在斜坡BD的顶部。处有一棵高为3米的小树AQ(点A、D、C在一直
线上),AC.LBC,在坡底8处测得树的顶端A的仰角为30。,那么这个斜坡的坡度为.
【答案】1:46
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,坡度坡角问题,设CD=x米,则AC=(3+x)
米,根据垂直定义可得NACB=90°,然后在RtZkA3C中,利用锐角三角函数的定义可得
BC=6(尤+3)米,再在Rt&CD中,利用勾股定理进行计算即可解答.
【详解】解:设CD=x米,
1/AT>=3米,
AC=AD+CD=(3+x)米,
•/AC±BC,
/.ZACB=90°,
在中,ZABC=3Q°,
BC=CD=^I=V3(x+3),
tan30°至),米,
在RtABCD中,BC2=BD2-CD2,
:.[(X+3)]2=72-X2,
整理得:2d+9x-n=o,
解得:%=1,x=----(舍去),
22
C£>=1米,BC=V3(3+x)=4V3(米),
/.这个斜坡的坡度=—=1:4石,
BC
故答案为:1:4&'.
17.VABC中,ZACB=9Q°,AC=6,3C=8,点。在边BC上,CD=2,如图所示.点E在边
AB上,将VBDE沿着翻折得△3DE,其中点B与点3’对应,HE交边AC于点G,B,D交AC
的延长线于点H.如果△5'”G是等腰三角形,那么跖=.
B
【答案】y
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形
的性质等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.先画出图形,过点H作HFLB'E于点、F,
确定如果△8HG是等腰三角形,则只能是=设5'E=8E=x(0<x<10),则AE=10—%,
50-5x40—4x
再证出△AEGs/XACB,根据相似三角形的性质可得AG=HL上,EG=—~-然后证出
33
HFG^AEG,根据相似三角形的性质可得一,从而可得的长,最后在
24
中,利用勾股定理求解即可得.
【详解】解:由题意,画出图形如下:过点〃作小于点尸,
B'
•/ZACB=9Q°,
:.ZDCH=90°,
HE交边AC于点G,交AC的延长线于点打,
/.ZB'HG=ZDCH+ZCDH=90°+ZCDH>90°,
••・如果△8HG是等腰三角形,则只能是4'"G为顶角,B'H=GH,
/.ZB'=ZB'GH,
由对顶角相等得:ZAGE=ZB'GH,
:.AAGE=AB',
由折叠的性质得:NB=NB',
:.ZAGE=ZB,
:在VABC中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD=2,
ZA+ZB=90°,AB=\JAC2+BC2-10»BD-BC-CD-6,
:.ZA+ZAGE=90°,
.•./AEG=90°,即BELAB,
由折叠的性质得:B'E=BE,B'D=BD=6,
设5'E=3£=x(O<x<K)),则AE=AB-BE=10-x,
在△AEG和ZkACB中,
ZAEG=ZACB=90°
Z=NA'
:.AAEG^AACB,
AGEGAEAGEG10—x
——=——=——,即an——=——=------,
ABBCAC1086
505X
解得AG=~,EG=40-4x
5x-327r-40
:.CG=AC-AG=,B'G=B'E-EG=,
33
•/B'H=GH,HFYB'E,
又,:BEA.AB,HFLB'E,
:•AB〃HF,
:.一HFG^_AEG,
7%-40
HG_FGHG
-A--G----E--G-,'即-F5M0~-~5C—%一-~A47\0----4A"x"-
344—35尤56-5X
・・・HD=BrD-BrH=B'D-HG=-———,CH=HG—CG=,
565x234435a
在RtZXCDW中,CH?+CD?=HD?,gp|~|+2=[~'
解得x=彳或x=M>10(不符合题意,舍去),
故答案为:y.
4
18.在平面直角坐标系xOv中(如图),点43在反比例函数y=—位于第一象限的图像上,点区的横坐
标大于点A的横坐标,OA=OB.如果△OA3的重心恰好也在这个反比例函数的图像上,那么点A的横
坐标为______
【答案】3-75##-75+3
【解析】
【分析】由题意得点A3关于直线丁=》对称,由。4=05可得△QA3的重心在直线O。:丁=》
上,联立函数解析式求出点C坐标,即得OC=2&,再根据三角形重心的性质可得OD=3J5,得到
0(3,3),设点则最后利用中点坐标公式解答即可求解.
【详解】解:由题意得,点43关于直线丁=%对称,
0A-0B,
的重心在直线O。:y=%上,即为点C,
y=x
x=2x=-2
由<4,解得<或<
丁=一[y=2〔y=一2
X
•.•点C在第一象限,
C(2,2),
•■OC=V22+22=272,
:点。为△OAB的重心,
0C:CD=2:l,
CD=42<
OD=372,
设£>(m,相)(m>0),则〃22+m2=(3点)一
:•m=3,
.•.£>(3,3),
,则8(—,a],
设点A
:点。为的中点,
4
,6ZH--
••a=y
2
«2-6«+4=0>
解得a=3+或a=3—J?,
点B的横坐标大于点A的横坐标,
.•.点A的横坐标为3-百,
故答案为:3-5
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质,等腰三角形性质,三角形的重心,勾股定理,中点坐标公
式,掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
三、解答题:(本大题共7题,满分78分)
cot30°
19.计算:2cos30°+4siir60°-
3tan300-tan45°
r答室】
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,将特殊角的三角函数值代入求解.
cot30°
【详解】解:2cos300+4sin600-
3tan300-tan45°
2
_3+V3
—2-
20.如图,已知点E、尸分别在VABC的边AB和AC上,EF//BC,BE=2AE,点。在的延长
线上,BC=CD,连接ED与AC交于点G.
(1)求---的值;
GD
(2)设A4=Q,BD=b,那么AC=,EG—・(用向量。、〃表示)
【答案】(1)-
3
(2)—tzH—b,(XH—b
264
【解析】
【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质,熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质
是解答本题的关键.
EFAE1EF1
(1)由题意可得,A石/s_ABC,则—=—=_,即—=_,再证明EFGs.DCG,即可求
BCAB3CD3
解;
-111
(2)由题思得80=580=5/7,AB=—。,则AC=AB+BC;由题意得EG=/EO,
22
BE=-AB,则防=—§a,ED=EB+BD,进而求解.
【小问1详解】
,:BE=2AE,
.,.AB^3AE.
•:EFBC,
AZAEF=ZB,ZAFE=ZACB,
,AEFsqABC,
,:BC=CD,
,EF_1
••—―,
CD3
EFBC,
Z.GEF=/GDC,NEFG=/DCG,
.EFGs工DCG,
,EGEF_1
••布一而-
【小问2详解】
,:BC=CD,
:.BC=-BD=-b,
22
BA=a>
•*,AB=a,
AC—AB+BC=—a+—b,
2
.・.EG_1L,
GD3
/.EG=-GD,EG=-ED,
34
,:BE=2AE,
:.BE=-AB,
3
...则EB=—2a,
3
2
:.ED=EB+BD=—a+b,
3
EG=—\——a+b|=——a+—b.
4(3J64
故答案为:AC=-a+-b,EG=--a+-b.
264
21.如图,在平面直角坐标系xOx中,经过原点。的直线与双曲线y=9交于点A(2,M),点8在射线Q4
X
上,点C的坐标为(7,0).
(1)求直线Q4的表达式;
(2)如果tan/BC0=2,求点B的坐标.
3
【答案】(1)y=—X;
-2
(2)(4,6).
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数.解决本题的关键是运用待定
系数法求出正比例函数的解析式,根据N3C0的正确值和正比例函数的解析式求出点B的坐标.
(1)根据点A(2,〃z)在双曲线y=@上,可以求出m=3,把点A(2,3)的坐标代入正比例函数y=区中求
出k的值即可得到直线0A的表达式;
(2)因为直线0A的解析式为y=1x,设点8的坐标为\b,^b根据。〃/3。。=迫=2,可得关于
CH
b的分式方程,解方程求出b即可得到点B的坐标.
【小问1详解】
解:,点A(2,7〃)在双曲线y=£上,
X
二把尤=2代入y=色,
x
可得:>=3,
..•点A的坐标为(2,3),
设直线Q4的表达式为y=Ax(左#0),
把x=2,y=3代入y=kx,
3
可得:k=-,
2
3
直线Q4的表达式为y=gx;
【小问2详解】
解:如下图所示,过点B作轴,垂足为点”,
设点B的坐标为,
3
可得:BH=-b,CH=l-b,
2
在Rt/\RCH中,tanNBCO==2,
CH
解得:b=4,
经检验,b=4是分式方程的解,
33
,-,_/=_X4=6
272)
可得点B的坐标为(4,6).
22.如图,已知小河两岸各有一栋大楼A3与CD,由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度.小普同
学设计了如下的测量方案:将激光发射器分别置于地面点E和点尸处,发射的两束光线都经过大楼顶
端4并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处,并测得EF=6m,ZAEB=26.6°,
(1)小普同学发现,根据现有数据就能测出大楼A3的高度,试求出大楼AB的高度;
(2)为了能测得大楼CD的高度,小普同学又获信息:这两栋大楼每层的高度都相同,大楼共有五
层.据此信息能否测得大楼CD的高度?如果可以,试求出大楼的高度;如果不可以,说明理由.
(参考数据:sin22.6°«—,cos22.6°«—,tan22.6°«—,sin26.6°"也,cos26.6°。及,
13131255
tan26.6°)
2
【答案】(1)大楼AB的高度为15m
(2)能,大楼CD的高度为33m
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用,熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键.
(1)设大楼A3的高度为%m.利用正切函数的定义用x表示出痛和族的长,再利用
EF=BF-BE,列式计算即可求解;
(2)根据题意先求得CG=3m,设。6为丁01,则CD=(y+3)m,利用正切函数的定义用工表示出
DE和。尸的长,再利用所=£归—。£,列式计算即可求解.
【小问1详解】
解:设大楼A3的高度为%m.
•?ZABE=90°,
“ABc”AB12
:.BE=------------h2xm,BF=-------------«—xm.
tanZAEBtanZAFB5
;EF=BF-BE,
・・—12x—2个x—o「.
5
解得x=15.
答:大楼AB的高度为15m;
【小问2详解】
解:由大楼A3的高度为15m,共有五层,且这两栋大楼每层的高度都相同,
可得CG=3m,
设0G为ym,则CD=(y+3)m,
VZCDF=9Q°,
,八口CD八"DG12
..DE=------------»2(y+3)m,Dr=-------------»——ym.
tanZAEB'7tanZAFB5
,:EF=DF—DE,
••.《y-2(y+3)=6.
解得y=30.
答:大楼CD的高度为33m.
23.已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,6D为对角线,BD~=ADBC.
(1)求证:ZABD=ZC;
(2)E为的中点,作/DEF=NC,EF交边AD于点尸,求证:2ABDE=BDEF.
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定方法,证明三角形相似,是解题的
关键:
(1)证明二应归s工庞「,即可得证;
(2)先证明AFEDsADCE,可得生=竺,再由AABDsApcB可得四=—,结合2EC,
ECDEDCBC
EF
得至U——---,即可得证.
BDDE
【小问1详解】
证明:VBD2=AD-BC>
.ADBD
•:AD//BC,
:.ZADB=ZDBC.
:.AABD^ADCB.
:.ZABD=ZC.
【小问2详解】
如图,
•:AD//BC,
.../FDE=/DEC,
又;ZDEF=NC,
/.AFEDsADCE.
.DEEF
"EC~DC'
.DCEF
"EC~DE'
VAABD^ADCB,
.ABDC
"~BD~~BC'
,:BC=2EC,
ABDC2ABDC
••=----.即an:-----=----,
BD2ECBDEC
.2ABEF
"BD~DE
2ABDE=BDEF
24.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线>=融2+法_3(。,0)的顶点&的坐标为(1,_2),与
y轴交于点艮将抛物线沿射线方向平移,平移后抛物线的顶点记作其横坐标为初平移后的抛
物线与原抛物线交于点N,且设点N位于原抛物线对称轴的右侧,其横坐标为
(1)求原抛物线的表达式;
(2)求加关于〃的函数解析式;
(3)在抛物线平移过程中,如果是锐角,求平移距离的取值范围.
【答案】(1)y=-x*2+2x-3
(2)m=2n
⑶41<AM<541
【解析】
------=1
【分析】(1)根据顶点的坐标为(1,-2),列出方程彳2a,求解即可;
。+Z?—3=-2
(2)先求出直线AB的表达式为y=x-3,根据题意求出点M的坐标为(〃机—3),点N的坐
标为+2"—3),计算即可;
(3)分类讨论求出临界情况,即可得出取值范围.
【小问1详解】
解:由原抛物线y=W2+法—3(。,0)顶点的坐标为(1,—2).
_±
可得r2a=1,
a+b—3=—2
解得a=—1,b=2.
所以,原抛物线的表达式是y=-x?+2x-3.
【小问2详解】
解:由点A的坐标为(1,-2),点8的坐标为(0,-3)
设直线AB的表达式为y=kx-3,
将点A的坐标(1,一2)代入可得—2=左—3,解得:k=l,
直线AB的表达式为y=x—3.
由抛物线沿射线A4方向平移,可得顶点M始终落在射线B4上,
得点M的坐标为(以机-3).
得平移后抛物线的表达式为y=-(x-mF+m-3.
:平移后的抛物线与原抛物线交于点N,其横坐标为“,点N的坐标为(",-1+2〃-3),
*,•—+2〃—3——(〃—加/+m—3.
化简得机2—2mn—m+2n=0,得(m—2n)(m—1)=0.
丁加一1w0,
・••根一2〃=0,
解得:m=2n.
所以rn关于n的函数解析式为m=2n.
【小问3详解】
解:过点3作3G,MB,交原抛物线于点G,那么NGBAf=90°.
当点N在AG之间的抛物线上运动时,NA®河是锐角.
当点N与点A重合时,N(l,—2),M(2,-l),
平移距离=J(l—2/+(—2+1)=6,
当点N与点G重合时,
过点N作轴,垂足为点E,过点A作轴,垂足为点?
.•.点"的坐标为(〃,一〃2+2”-3),点8的坐标为(0,-3),点4的坐标为(1,-2).
***AF=BF=1,EN=n,BE=n2—2n.
・.・ZABF=/BNE=90°-/NBE,ZBFA=/BEN=90°,
・,.AABF^ABNE,
.BF_AF
••NE~BE'
n2—2n=n可得〃之—3〃=0-
「〃w0,
***解得:n=3-
...点M■的坐标为(6,3),
:.AM=5立.
1/点N位于原抛物线对称轴的右侧,
...当N7VBM是锐角时,平移距离的取值范围是也<AM<5J5.
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,平移的性质,相似三角形的性质和判定,解一元二次方程,一
次函数的性质等,掌握二次函数的性质是解题的关键.
25.在八年级的时候,我们曾经一起研究过一种三角形:如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线
互相垂直,那么这个三角形叫做“线垂”三角形,这个角叫做“分角”.它的一个重要性质为:“分角”
的两边成倍半关系.这个性质的逆命题也成立.
利用以上我们研究得到的结论,解决以下问题:
已知VABC是“线垂”三角形,AB<BC,/ABC是VABC的“分角”.
(1)如图1,是VA3C的角平分线,AE是VA5C
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