上海市普陀区2024-2025学年上学期九年级中考一模考试数学试题(解析版)_第1页
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文档简介

2024学年度第一学期期末九年级自适应练习

数学学科

考生注意:

1.本试卷共25题.

2.试卷满分150分.考试时间100分钟.

3.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

4.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)【下列各题的四个选项中,有且只有一

个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列函数中,y关于x的二次函数的是()

Ay=——B.y=2x

x

C.y-(x+2)2D.y-ax1+bx+c

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是二次函数的定义,掌握二次函数的定义是解题的关键.

形如:y^ajc-+bx+c(a^0),则>是x的二次函数,根据定义逐一判断各选项即可得到答案.

【详解】解:y=不是x的二次函数,故A错误;

x~

y=2x,y不是x的二次函数,故B错误;

y=(x+2)2,即丁=炉+4》+4,丁是x的二次函数,故C正确;

y=ax~+bx+c,当。=0时,丁不是x的二次函数,故D错误;

故选:C.

3

2.在RCABC中,ZACB=9Q°,如果sinB=y,那么cosA的值是()

3344

A.-B.-C.-D.一

4553

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查互余两角三角函数的关系,根据互余两角三角函数的关系进行解答即可.

【详解】解:•••在RtZVLBC中,ZACB=9Q°,ZA+ZB=90°,

3

cosA=sinB=—,

5

故选:B.

3.下列二次函数的图像中,以直线九=1为对称轴的是()

A.y=x?+lB._y=x2-lC.y=(%+l)2D.y-(x-V)2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质,二次函数的顶点式解析式为

y=a(x-左)2+〃(。#0),它的对称轴为了=屋本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称

轴即可.

【详解】解:A、二次函数y=Y+l的对称轴是y轴,故A选项不符合题意;

B、二次函数丁=好一1的对称轴是y轴,故B选项不符合题意;

C、二次函数y=(x+l)2的对称轴是x=-1轴,故C选项不符合题意;

D、二次函数y=(尤—的对称轴是x=1轴,故D选项符合题意

故选:D.

4.设非零向量。、b,如果a+3b=0,那么下列说法中错误的是()

A.。与b方向相同B.a//bC.a=—3bD.\a\=3\b\

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查平面向量,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.根据非零向量

b,有a+35=0,即可推出&=—3匕,从而得出。=3忖,a//b<d与6方向相反,由此即可判断.

【详解】解::非零向量a、b,有a+36=0,

•e,a——3b,

“=3忖,a//b>a与6方向相反,

故B、C、D正确,不符合同意,A错误,符合题意.

故选:A.

5.如图,在四边形A3CD中,AC为对角线,AB=DC,如果要证得VA3C与_CDA全等,那么可以

添加的条件是()

B.ZB=ZD

C.ZB=ZACDD.ZACB=ZCAD=90°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定,根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解,掌握全等三角形

的判定方法是解题的关键.

【详解】解:在VA3C和中,AB=CD,AC=CA,

A,当添加条件得到NACB=NC4O,对应相等的条件为ASS,不能证得VA3C与

_CDA全等,该选项不合题意;

B、当添加条件N3=ND,对应相等的条件为ASS,不能证得VA3C与4aM全等,该选项不合题

-思zfc.;

C、当添加条件NB=NACD,对应相等条件为ASS,不能证得丫43。与_CDA全等,该选项不合题

思;

D、当添加条件NACB=NC4T)=90。,对应相等的条件为HL,能证得丫43。与_CDA全等,该选项

符合题意;

故选:D.

6.如图,矩形ABCD中,点P在对角线3D上,延长AP交DC于点G,过点尸作跖_LAG,分别交

AD>BC于点、E、F,AB=3,AD=4.如果NAEP=NAPB,那么"的长是()

A.2B.3C.D.述

55

【答案】C

【解析】

【分析】如图,过点A作AQ±BD于点Q,根据矩形的性质得BD=y/AB2+AD~=5,由

=得AQ=/,由勾股定理得。£>=JIB==/,证明

npAnopPEPFpr\

AAQP^AAPE得上—=*,即==大,证明APDE^AADP得;•一=——继而得到

PEAPAQAPAPAD

16_

QPPD16xs*6

M=设QP=X,则——x,得,=工^,解得:x=—,再根据

AQAD51245

y

AP=^AQ^+QP"可得结论.

【详解】如图,过点A作AQLBD于点。,

:矩形ABC7)中,AB=3,AD=4,

BD=^AB2+AD~=732+42=5,

■.■SAABD=^BDAQ=~ABAD,

:.BD-AQ-AB-AD,即5AQ=3x4,

在RtZkAQD中QD={AD2_AQ2卡力]=y

VAQ1BD,EFlAG,

:.ZAQP=ZAPE=90°,

又:ZAEP=ZAPB,

AAQP^AAPE,

.QL_^Q即丝=在

PEAP'AQAP

•/Z1+ZAEP=90°,Z2+ZDPG=90°,

又•:ZAEP=ZAPB=/DPG,

/.N1=N2,

又:ZPDE=ZADP,

/.APDE^AADP,

.PEPD

"AP~AD

QPPD

~AQ~^D

设QP=x,则=w—%,

16

-----x

y

解得:x=g,

在Rt/XAQP中,AP=y]AQ2+QP2

AP的长是殳叵.

5

故选:C.

【点睛】本题考查矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,直角三角形两锐角互余,等积变换等

知识点.掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分)

x+y5x

7.已知一-=那么一=___________.

V3y

【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查比例的性质,由虫=:得出3x=2y,即可得出结论.

V3

,%+y5

【详解】解::一-=T,

y3

•1-3(x+y)=5y,

整理得,3x=2y,

.1_2

故答案为:一.

3

8.已知正比例函数y=(4-l)x的图像经过第二、四象限,那么左的取值范围是.

【答案】k<l

【解析】

【分析】本题考查了正比例函数的性质,熟知正比例函数的性质是解题的关键.

根据“y=去化。0),当&<0时,该函数的图象经过第二、四象限;当左>0时,该函数的图象经过第

一、三象限”解题即可.

【详解】解:•••正比例函数y=(4—l)x的图像经过第二、四象限,

:.k-l<Q,

k<l.

故答案为:k<l.

9.已知二次函数y=(x—2r+根的图像经过原点,那么旭=.

【答案】-4

【解析】

【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、解一元一次方程.因为二次函数

y=(x—2并+根的图像经过原点,把(0,0)代入二次函数的解析式y=(x—2)2+相,可得关于的一元

一次方程,解一元一次方程求出机的值即可.

【详解】解:二次函数y=(x—2)2+根的图像经过原点,

.•.0=(0-2)2+m,

解得:m=-4,

故答案为:—4.

10.已知抛物线y=x2—C经过点4(—l,x)、B(4,y2),那么%%•(填“〉”、“<”、或

“=”)

【答案】<

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象性质,熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键.

找出二次函数的开口方向和对称轴,即可根据位置信息求解.

【详解】解::)=必—c

。=1开口向上,y有最小值,且对称轴为y轴,

越靠近y轴,值越小,

••卜1|<|4|

;•%<%

故答案为:<.

11.已知抛物线y=2x的开口向上,那么此抛物线的顶点在第象限.

【答案】四

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象性质,熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键.

’b'

根据二次函数的顶点坐标为一丁,一--,代数分析即可.

I2。4al

【详解】解:・・・y=〃%2—2%的开口向上

•«a>0,

'b4-cic—/'

・・,函数的顶点坐标为:一丁,一-——,

(2a4aJ

22

.一2=—3」〉0,4ac-Z>=4ax0-(-2)=-4=1<q

2alaa4a4a4aa

顶点在第四象限;

故答案为:四.

2

12.已知VABC中,ZBAC=9Q°,AD是边BC上的高,cotZDAC=-.如果比)=4,那么A£>=

3

【答案】6

【解析】

【分析】本题考查了余切的定义,根据已知可得NB=90°-NZM3=NZMC,进而根据余切的定义,得出

cotB=,即可求解.

AD3

【详解】解:如图所示,

VABC中,ZBAC=90°,AD是边上的高,

ZS=90°-ZDAB=ZDAC

cotADAC=—.

3

nBD2

••cotB==一

AD3

"0=4,

AD=6,

故答案为:6.

13.如图,已知VABC中,点。、E、尸分别在边A3、AC.BC±.,DE//BC,EF//AB.如果

DE3

——=—,AB=15,那么EF=.

BC5

【答案】6

【解析】

AFDF3

【分析】本题考查相似三角形判定与性质,根据QE〃3c得到——=——=—,根据比例的性质可得

ACBC5

CE2EFCE2

一,再根据证出==—,即可得到答案.

AC5ABAC5

详解】解:

:.AADE^AABC

•AEDE_3—

"AC-BC-5;

•CE_2

••—―,

AC5

EF//AB,

CE"CAB

EFCE_2

AB-AC-5

AB=15,

:.EF=6,

故答案为:6.

14.如图,。、E分别是VABC的边AB、AC上的点,ZAED^ZB,AF1DE,垂足为点E如果

AF=2,BC=6,VA5C的面积为9,那么VADE的面积为.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,三角形的面积,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

过点A作于点X,根据VA3C的面积及的长求出的长,证明,ADEsACB,根据相

似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出VADE的面积.

【详解】解:过点A作于点

A

:.~BCAH=9,

2

■:BC=6,

AH=3,

ZAED=ZB,ZDAE=ZCAB,

.ADE^.-.ACB,

sACB{AH)UJ9

・SADE

••_一d,

99

•,S/XADE=4,

故答案为:4.

15.如图,VABC中,AB=AC,AB的中垂线。E分别与AB、BC交于点E、D.如果30=4,

DC=5,那么的余弦值为.

4

【解析】

【分析】连接AD,先利用等腰三角形的性质可得4=NC,再利用线段垂直平分线的性质可得

BE=-BA,DA=DB=4,从而可得4=/朋。,然后利用等量代换可得:ZBAD=ZC,从而可证

2

△BAD^ABCA,最后利用相似三角形的性质求出R4的长,从而求出班的长,再在BED中,利用

锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【详解】解:连接AZ),

•:AB=AC,

ZB=ZC,

:是AB的垂直平分线,

:.BE=-BA,DA=DB=4,

2

:.ZB=ZBAD,

:.ZBAD=ZC,

NB=NB,

:.ABAD^ABCA,

BA_BD

3屋=3。3。=(4+5)义4=36,

***BA=6BA=—6(舍去),

:.BE=-BA=3,

2

BE3

在RtBED中,cosB==—,

BD4

3

故答案为:—.

4

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解直角三角形,等腰三角形的性质,线段垂直平分线的性

质,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

16.如图,斜坡3。长为7米,在斜坡BD的顶部。处有一棵高为3米的小树AQ(点A、D、C在一直

线上),AC.LBC,在坡底8处测得树的顶端A的仰角为30。,那么这个斜坡的坡度为.

【答案】1:46

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,坡度坡角问题,设CD=x米,则AC=(3+x)

米,根据垂直定义可得NACB=90°,然后在RtZkA3C中,利用锐角三角函数的定义可得

BC=6(尤+3)米,再在Rt&CD中,利用勾股定理进行计算即可解答.

【详解】解:设CD=x米,

1/AT>=3米,

AC=AD+CD=(3+x)米,

•/AC±BC,

/.ZACB=90°,

在中,ZABC=3Q°,

BC=CD=^I=V3(x+3),

tan30°至),米,

在RtABCD中,BC2=BD2-CD2,

:.[(X+3)]2=72-X2,

整理得:2d+9x-n=o,

解得:%=1,x=----(舍去),

22

C£>=1米,BC=V3(3+x)=4V3(米),

/.这个斜坡的坡度=—=1:4石,

BC

故答案为:1:4&'.

17.VABC中,ZACB=9Q°,AC=6,3C=8,点。在边BC上,CD=2,如图所示.点E在边

AB上,将VBDE沿着翻折得△3DE,其中点B与点3’对应,HE交边AC于点G,B,D交AC

的延长线于点H.如果△5'”G是等腰三角形,那么跖=.

B

【答案】y

【解析】

【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形

的性质等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.先画出图形,过点H作HFLB'E于点、F,

确定如果△8HG是等腰三角形,则只能是=设5'E=8E=x(0<x<10),则AE=10—%,

50-5x40—4x

再证出△AEGs/XACB,根据相似三角形的性质可得AG=HL上,EG=—~-然后证出

33

HFG^AEG,根据相似三角形的性质可得一,从而可得的长,最后在

24

中,利用勾股定理求解即可得.

【详解】解:由题意,画出图形如下:过点〃作小于点尸,

B'

•/ZACB=9Q°,

:.ZDCH=90°,

HE交边AC于点G,交AC的延长线于点打,

/.ZB'HG=ZDCH+ZCDH=90°+ZCDH>90°,

••・如果△8HG是等腰三角形,则只能是4'"G为顶角,B'H=GH,

/.ZB'=ZB'GH,

由对顶角相等得:ZAGE=ZB'GH,

:.AAGE=AB',

由折叠的性质得:NB=NB',

:.ZAGE=ZB,

:在VABC中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD=2,

ZA+ZB=90°,AB=\JAC2+BC2-10»BD-BC-CD-6,

:.ZA+ZAGE=90°,

.•./AEG=90°,即BELAB,

由折叠的性质得:B'E=BE,B'D=BD=6,

设5'E=3£=x(O<x<K)),则AE=AB-BE=10-x,

在△AEG和ZkACB中,

ZAEG=ZACB=90°

Z=NA'

:.AAEG^AACB,

AGEGAEAGEG10—x

——=——=——,即an——=——=------,

ABBCAC1086

505X

解得AG=~,EG=40-4x

5x-327r-40

:.CG=AC-AG=,B'G=B'E-EG=,

33

•/B'H=GH,HFYB'E,

又,:BEA.AB,HFLB'E,

:•AB〃HF,

:.一HFG^_AEG,

7%-40

HG_FGHG

-A--G----E--G-,'即-F5M0~-~5C—%一-~A47\0----4A"x"-

344—35尤56-5X

・・・HD=BrD-BrH=B'D-HG=-———,CH=HG—CG=,

565x234435a

在RtZXCDW中,CH?+CD?=HD?,gp|~|+2=[~'

解得x=彳或x=M>10(不符合题意,舍去),

故答案为:y.

4

18.在平面直角坐标系xOv中(如图),点43在反比例函数y=—位于第一象限的图像上,点区的横坐

标大于点A的横坐标,OA=OB.如果△OA3的重心恰好也在这个反比例函数的图像上,那么点A的横

坐标为______

【答案】3-75##-75+3

【解析】

【分析】由题意得点A3关于直线丁=》对称,由。4=05可得△QA3的重心在直线O。:丁=》

上,联立函数解析式求出点C坐标,即得OC=2&,再根据三角形重心的性质可得OD=3J5,得到

0(3,3),设点则最后利用中点坐标公式解答即可求解.

【详解】解:由题意得,点43关于直线丁=%对称,

0A-0B,

的重心在直线O。:y=%上,即为点C,

y=x

x=2x=-2

由<4,解得<或<

丁=一[y=2〔y=一2

X

•.•点C在第一象限,

C(2,2),

•■­OC=V22+22=272,

:点。为△OAB的重心,

0C:CD=2:l,

CD=42<

OD=372,

设£>(m,相)(m>0),则〃22+m2=(3点)一

:•m=3,

.•.£>(3,3),

,则8(—,a],

设点A

:点。为的中点,

4

,6ZH--

••a=y

2

«2-6«+4=0>

解得a=3+或a=3—J?,

点B的横坐标大于点A的横坐标,

.•.点A的横坐标为3-百,

故答案为:3-5

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质,等腰三角形性质,三角形的重心,勾股定理,中点坐标公

式,掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

三、解答题:(本大题共7题,满分78分)

cot30°

19.计算:2cos30°+4siir60°-

3tan300-tan45°

r答室】

【解析】

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值,将特殊角的三角函数值代入求解.

cot30°

【详解】解:2cos300+4sin600-

3tan300-tan45°

2

_3+V3

—2-

20.如图,已知点E、尸分别在VABC的边AB和AC上,EF//BC,BE=2AE,点。在的延长

线上,BC=CD,连接ED与AC交于点G.

(1)求---的值;

GD

(2)设A4=Q,BD=b,那么AC=,EG—・(用向量。、〃表示)

【答案】(1)-

3

(2)—tzH—b,(XH—b

264

【解析】

【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质,熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质

是解答本题的关键.

EFAE1EF1

(1)由题意可得,A石/s_ABC,则—=—=_,即—=_,再证明EFGs.DCG,即可求

BCAB3CD3

解;

-111

(2)由题思得80=580=5/7,AB=—。,则AC=AB+BC;由题意得EG=/EO,

22

BE=-AB,则防=—§a,ED=EB+BD,进而求解.

【小问1详解】

,:BE=2AE,

.,.AB^3AE.

•:EFBC,

AZAEF=ZB,ZAFE=ZACB,

,AEFsqABC,

,:BC=CD,

,EF_1

••—―,

CD3

EFBC,

Z.GEF=/GDC,NEFG=/DCG,

.EFGs工DCG,

,EGEF_1

••布一而-

【小问2详解】

,:BC=CD,

:.BC=-BD=-b,

22

BA=a>

•*,AB=­a,

AC—AB+BC=—a+—b,

2

.・.EG_1L,

GD3

/.EG=-GD,EG=-ED,

34

,:BE=2AE,

:.BE=-AB,

3

...则EB=—2a,

3

2

:.ED=EB+BD=—a+b,

3

EG=—\——a+b|=——a+—b.

4(3J64

故答案为:AC=-a+-b,EG=--a+-b.

264

21.如图,在平面直角坐标系xOx中,经过原点。的直线与双曲线y=9交于点A(2,M),点8在射线Q4

X

上,点C的坐标为(7,0).

(1)求直线Q4的表达式;

(2)如果tan/BC0=2,求点B的坐标.

3

【答案】(1)y=—X;

-2

(2)(4,6).

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数.解决本题的关键是运用待定

系数法求出正比例函数的解析式,根据N3C0的正确值和正比例函数的解析式求出点B的坐标.

(1)根据点A(2,〃z)在双曲线y=@上,可以求出m=3,把点A(2,3)的坐标代入正比例函数y=区中求

出k的值即可得到直线0A的表达式;

(2)因为直线0A的解析式为y=1x,设点8的坐标为\b,^b根据。〃/3。。=迫=2,可得关于

CH

b的分式方程,解方程求出b即可得到点B的坐标.

【小问1详解】

解:,点A(2,7〃)在双曲线y=£上,

X

二把尤=2代入y=色,

x

可得:>=3,

..•点A的坐标为(2,3),

设直线Q4的表达式为y=Ax(左#0),

把x=2,y=3代入y=kx,

3

可得:k=-,

2

3

直线Q4的表达式为y=gx;

【小问2详解】

解:如下图所示,过点B作轴,垂足为点”,

设点B的坐标为,

3

可得:BH=-b,CH=l-b,

2

在Rt/\RCH中,tanNBCO==2,

CH

解得:b=4,

经检验,b=4是分式方程的解,

33

,-,_/=_X4=6

272)

可得点B的坐标为(4,6).

22.如图,已知小河两岸各有一栋大楼A3与CD,由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度.小普同

学设计了如下的测量方案:将激光发射器分别置于地面点E和点尸处,发射的两束光线都经过大楼顶

端4并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处,并测得EF=6m,ZAEB=26.6°,

(1)小普同学发现,根据现有数据就能测出大楼A3的高度,试求出大楼AB的高度;

(2)为了能测得大楼CD的高度,小普同学又获信息:这两栋大楼每层的高度都相同,大楼共有五

层.据此信息能否测得大楼CD的高度?如果可以,试求出大楼的高度;如果不可以,说明理由.

(参考数据:sin22.6°«—,cos22.6°«—,tan22.6°«—,sin26.6°"也,cos26.6°。及,

13131255

tan26.6°)

2

【答案】(1)大楼AB的高度为15m

(2)能,大楼CD的高度为33m

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用,熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键.

(1)设大楼A3的高度为%m.利用正切函数的定义用x表示出痛和族的长,再利用

EF=BF-BE,列式计算即可求解;

(2)根据题意先求得CG=3m,设。6为丁01,则CD=(y+3)m,利用正切函数的定义用工表示出

DE和。尸的长,再利用所=£归—。£,列式计算即可求解.

【小问1详解】

解:设大楼A3的高度为%m.

•?ZABE=90°,

“ABc”AB12

:.BE=------------h2xm,BF=-------------«—xm.

tanZAEBtanZAFB5

;EF=BF-BE,

・・—12x—2个x—o「.

5

解得x=15.

答:大楼AB的高度为15m;

【小问2详解】

解:由大楼A3的高度为15m,共有五层,且这两栋大楼每层的高度都相同,

可得CG=3m,

设0G为ym,则CD=(y+3)m,

VZCDF=9Q°,

,八口CD八"DG12

..DE=------------»2(y+3)m,Dr=-------------»——ym.

tanZAEB'7tanZAFB5

,:EF=DF—DE,

••.《y-2(y+3)=6.

解得y=30.

答:大楼CD的高度为33m.

23.已知:如图,梯形ABCD中,AD//BC,6D为对角线,BD~=ADBC.

(1)求证:ZABD=ZC;

(2)E为的中点,作/DEF=NC,EF交边AD于点尸,求证:2ABDE=BDEF.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定方法,证明三角形相似,是解题的

关键:

(1)证明二应归s工庞「,即可得证;

(2)先证明AFEDsADCE,可得生=竺,再由AABDsApcB可得四=—,结合2EC,

ECDEDCBC

EF

得至U——---,即可得证.

BDDE

【小问1详解】

证明:VBD2=AD-BC>

.ADBD

•:AD//BC,

:.ZADB=ZDBC.

:.AABD^ADCB.

:.ZABD=ZC.

【小问2详解】

如图,

•:AD//BC,

.../FDE=/DEC,

又;ZDEF=NC,

/.AFEDsADCE.

.DEEF

"EC~DC'

.DCEF

"EC~DE'

VAABD^ADCB,

.ABDC

"~BD~~BC'

,:BC=2EC,

ABDC2ABDC

••=----.即an:-----=----,

BD2ECBDEC

.2ABEF

"BD~DE

2ABDE=BDEF

24.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线>=融2+法_3(。,0)的顶点&的坐标为(1,_2),与

y轴交于点艮将抛物线沿射线方向平移,平移后抛物线的顶点记作其横坐标为初平移后的抛

物线与原抛物线交于点N,且设点N位于原抛物线对称轴的右侧,其横坐标为

(1)求原抛物线的表达式;

(2)求加关于〃的函数解析式;

(3)在抛物线平移过程中,如果是锐角,求平移距离的取值范围.

【答案】(1)y=-x*2+2x-3

(2)m=2n

⑶41<AM<541

【解析】

------=1

【分析】(1)根据顶点的坐标为(1,-2),列出方程彳2a,求解即可;

。+Z?—3=-2

(2)先求出直线AB的表达式为y=x-3,根据题意求出点M的坐标为(〃机—3),点N的坐

标为+2"—3),计算即可;

(3)分类讨论求出临界情况,即可得出取值范围.

【小问1详解】

解:由原抛物线y=W2+法—3(。,0)顶点的坐标为(1,—2).

可得r2a=1,

a+b—3=—2

解得a=—1,b=2.

所以,原抛物线的表达式是y=-x?+2x-3.

【小问2详解】

解:由点A的坐标为(1,-2),点8的坐标为(0,-3)

设直线AB的表达式为y=kx-3,

将点A的坐标(1,一2)代入可得—2=左—3,解得:k=l,

直线AB的表达式为y=x—3.

由抛物线沿射线A4方向平移,可得顶点M始终落在射线B4上,

得点M的坐标为(以机-3).

得平移后抛物线的表达式为y=-(x-mF+m-3.

:平移后的抛物线与原抛物线交于点N,其横坐标为“,点N的坐标为(",-1+2〃-3),

*,•—+2〃—3——(〃—加/+m—3.

化简得机2—2mn—m+2n=0,得(m—2n)(m—1)=0.

丁加一1w0,

・••根一2〃=0,

解得:m=2n.

所以rn关于n的函数解析式为m=2n.

【小问3详解】

解:过点3作3G,MB,交原抛物线于点G,那么NGBAf=90°.

当点N在AG之间的抛物线上运动时,NA®河是锐角.

当点N与点A重合时,N(l,—2),M(2,-l),

平移距离=J(l—2/+(—2+1)=6,

当点N与点G重合时,

过点N作轴,垂足为点E,过点A作轴,垂足为点?

.•.点"的坐标为(〃,一〃2+2”-3),点8的坐标为(0,-3),点4的坐标为(1,-2).

***AF=BF=1,EN=n,BE=n2—2n.

・.・ZABF=/BNE=90°-/NBE,ZBFA=/BEN=90°,

・,.AABF^ABNE,

.BF_AF

••NE~BE'

n2—2n=n可得〃之—3〃=0-

「〃w0,

***解得:n=3-

...点M■的坐标为(6,3),

:.AM=5立.

1/点N位于原抛物线对称轴的右侧,

...当N7VBM是锐角时,平移距离的取值范围是也<AM<5J5.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,平移的性质,相似三角形的性质和判定,解一元二次方程,一

次函数的性质等,掌握二次函数的性质是解题的关键.

25.在八年级的时候,我们曾经一起研究过一种三角形:如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线

互相垂直,那么这个三角形叫做“线垂”三角形,这个角叫做“分角”.它的一个重要性质为:“分角”

的两边成倍半关系.这个性质的逆命题也成立.

利用以上我们研究得到的结论,解决以下问题:

已知VABC是“线垂”三角形,AB<BC,/ABC是VABC的“分角”.

(1)如图1,是VA3C的角平分线,AE是VA5C

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