上海市普陀区2024-2025学年上学期九年级中考一模考试数学试题（解析版）

2024学年度第一学期期末九年级自适应练习

数学学科

考生注意：

1.本试卷共25题.

2.试卷满分150分.考试时间100分钟.

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一

律无效.

4.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或

计算的主要步骤.

一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一

个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】

1.下列函数中，y关于x的二次函数的是()

Ay=——B.y=2x

x

C.y-(x+2)2D.y-ax1+bx+c

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键.

形如：y^ajc-+bx+c(a^0),则＞是x的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案.

【详解】解：y=不是x的二次函数，故A错误；

x~

y=2x,y不是x的二次函数，故B错误；

y=(x+2)2,即丁=炉+4》+4,丁是x的二次函数，故C正确；

y=ax~+bx+c,当。=0时，丁不是x的二次函数，故D错误；

故选：C.

3

2.在RCABC中，ZACB=9Q°,如果sinB=y,那么cosA的值是()

3344

A.-B.-C.-D.一

4553

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可.

【详解】解：•••在RtZVLBC中，ZACB=9Q°,ZA+ZB=90°,

3

cosA=sinB=—,

5

故选：B.

3.下列二次函数的图像中，以直线九=1为对称轴的是（）

A.y=x?+lB._y=x2-lC.y=（%+l）2D.y-（x-V）2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，二次函数的顶点式解析式为

y=a（x-左）2+〃（。#0）,它的对称轴为了=屋本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称

轴即可.

【详解】解：A、二次函数y=Y+l的对称轴是y轴，故A选项不符合题意；

B、二次函数丁=好一1的对称轴是y轴，故B选项不符合题意；

C、二次函数y=（x+l）2的对称轴是x=-1轴，故C选项不符合题意；

D、二次函数y=（尤—的对称轴是x=1轴，故D选项符合题意

故选：D.

4.设非零向量。、b,如果a+3b=0,那么下列说法中错误的是（）

A.。与b方向相同B.a//bC.a=—3bD.\a\=3\b\

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.根据非零向量

b，有a+35=0，即可推出&=—3匕，从而得出。=3忖，a//b<d与6方向相反，由此即可判断.

【详解】解：：非零向量a、b，有a+36=0，

•e,a——3b，

“=3忖，a//b>a与6方向相反，

故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意.

故选：A.

5.如图，在四边形A3CD中，AC为对角线，AB=DC,如果要证得VA3C与_CDA全等，那么可以

添加的条件是（）

B.ZB=ZD

C.ZB=ZACDD.ZACB=ZCAD=90°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形

的判定方法是解题的关键.

【详解】解：在VA3C和中，AB=CD,AC=CA,

A,当添加条件得到NACB=NC4O,对应相等的条件为ASS,不能证得VA3C与

_CDA全等,该选项不合题意；

B、当添加条件N3=ND，对应相等的条件为ASS,不能证得VA3C与4aM全等，该选项不合题

-思zfc.；

C、当添加条件NB=NACD,对应相等条件为ASS,不能证得丫43。与_CDA全等，该选项不合题

思；

D、当添加条件NACB=NC4T）=90。，对应相等的条件为HL,能证得丫43。与_CDA全等，该选项

符合题意；

故选：D.

6.如图，矩形ABCD中，点P在对角线3D上，延长AP交DC于点G,过点尸作跖_LAG,分别交

AD>BC于点、E、F,AB=3,AD=4.如果NAEP=NAPB,那么"的长是（）

A.2B.3C.D.述

55

【答案】C

【解析】

【分析】如图，过点A作AQ±BD于点Q,根据矩形的性质得BD=y/AB2+AD~=5，由

=得AQ=/，由勾股定理得。£>=JIB==/，证明

npAnopPEPFpr\

AAQP^AAPE得上—=*,即==大，证明APDE^AADP得；•一=——继而得到

PEAPAQAPAPAD

16_

QPPD16xs*6

M=设QP=X，则——x,得,=工^，解得：x=—，再根据

AQAD51245

y

AP=^AQ^+QP"可得结论.

【详解】如图，过点A作AQLBD于点。,

:矩形ABC7）中，AB=3,AD=4,

BD=^AB2+AD~=732+42=5，

■.■SAABD=^BDAQ=~ABAD,

:.BD-AQ-AB-AD,即5AQ=3x4,

在RtZkAQD中QD={AD2_AQ2卡力］=y

VAQ1BD,EFlAG,

：.ZAQP=ZAPE=90°,

又：ZAEP=ZAPB,

AAQP^AAPE,

.QL_^Q即丝=在

PEAP'AQAP

•/Z1+ZAEP=90°,Z2+ZDPG=90°,

又•:ZAEP=ZAPB=/DPG,

/.N1=N2,

又：ZPDE=ZADP，

/.APDE^AADP，

.PEPD

"AP~AD

QPPD

~AQ~^D

设QP=x,则=w—%，

16

-----x

y

解得：x=g,

在Rt/XAQP中，AP=y]AQ2+QP2

AP的长是殳叵.

5

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等

知识点.掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）

x+y5x

7.已知一-=那么一=___________.

V3y

【答案】-

3

【解析】

【分析】本题主要考查比例的性质，由虫=：得出3x=2y,即可得出结论.

V3

,%+y5

【详解】解：:一-=T,

y3

•1-3(x+y)=5y,

整理得，3x=2y,

.1_2

故答案为：一.

3

8.已知正比例函数y=(4-l)x的图像经过第二、四象限，那么左的取值范围是.

【答案】k<l

【解析】

【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键.

根据“y=去化。0),当&<0时，该函数的图象经过第二、四象限；当左>0时，该函数的图象经过第

一、三象限”解题即可.

【详解】解：•••正比例函数y=(4—l)x的图像经过第二、四象限，

：.k-l<Q,

k<l.

故答案为：k<l.

9.已知二次函数y=(x—2r+根的图像经过原点，那么旭=.

【答案】-4

【解析】

【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、解一元一次方程.因为二次函数

y=(x—2并+根的图像经过原点，把(0,0)代入二次函数的解析式y=(x—2)2+相，可得关于的一元

一次方程，解一元一次方程求出机的值即可.

【详解】解：二次函数y=(x—2)2+根的图像经过原点，

.•.0=(0-2)2+m,

解得：m=-4,

故答案为：—4.

10.已知抛物线y=x2—C经过点4（—l，x）、B（4,y2）,那么%%•（填“〉”、“<”、或

“=”）

【答案】<

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键.

找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解.

【详解】解：：）=必—c

。=1开口向上，y有最小值，且对称轴为y轴，

越靠近y轴，值越小，

••卜1|<|4|

；•%<%

故答案为：<.

11.已知抛物线y=2x的开口向上，那么此抛物线的顶点在第象限.

【答案】四

【解析】

【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键.

’b'

根据二次函数的顶点坐标为一丁,一--，代数分析即可.

I2。4al

【详解】解：・・・y=〃%2—2%的开口向上

•«a>0,

'b4-cic—/'

・・,函数的顶点坐标为：一丁,一-——，

（2a4aJ

22

.一2=—3」〉0,4ac-Z>=4ax0-（-2）=-4=1<q

2alaa4a4a4aa

顶点在第四象限；

故答案为：四.

2

12.已知VABC中，ZBAC=9Q°,AD是边BC上的高，cotZDAC=-.如果比）=4，那么A£>=

3

【答案】6

【解析】

【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得NB=90°-NZM3=NZMC,进而根据余切的定义，得出

cotB=,即可求解.

AD3

【详解】解：如图所示，

VABC中，ZBAC=90°,AD是边上的高，

ZS=90°-ZDAB=ZDAC

cotADAC=—.

3

nBD2

••cotB==一

AD3

"0=4,

AD=6，

故答案为：6.

13.如图，已知VABC中，点。、E、尸分别在边A3、AC.BC±.,DE//BC,EF//AB.如果

DE3

——=—,AB=15,那么EF=.

BC5

【答案】6

【解析】

AFDF3

【分析】本题考查相似三角形判定与性质，根据QE〃3c得到——=——=—,根据比例的性质可得

ACBC5

CE2EFCE2

一，再根据证出==—，即可得到答案.

AC5ABAC5

详解】解：

:.AADE^AABC

•AEDE_3—

"AC-BC-5;

•CE_2

••—―,

AC5

EF//AB，

CE"CAB

EFCE_2

AB-AC-5

AB=15,

:.EF=6,

故答案为：6.

14.如图，。、E分别是VABC的边AB、AC上的点，ZAED^ZB,AF1DE，垂足为点E如果

AF=2,BC=6,VA5C的面积为9,那么VADE的面积为.

【答案】4

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的

关键.

过点A作于点X,根据VA3C的面积及的长求出的长，证明,ADEsACB,根据相

似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出VADE的面积.

【详解】解：过点A作于点

A

：.~BCAH=9,

2

■:BC=6,

AH=3,

ZAED=ZB,ZDAE=ZCAB,

.ADE^.-.ACB,

sACB{AH)UJ9

・SADE

••_一d，

99

•,S/XADE=4,

故答案为:4.

15.如图，VABC中，AB=AC,AB的中垂线。E分别与AB、BC交于点E、D.如果30=4,

DC=5,那么的余弦值为.

4

【解析】

【分析】连接AD，先利用等腰三角形的性质可得4=NC,再利用线段垂直平分线的性质可得

BE=-BA,DA=DB=4,从而可得4=/朋。，然后利用等量代换可得：ZBAD=ZC,从而可证

2

△BAD^ABCA,最后利用相似三角形的性质求出R4的长，从而求出班的长，再在BED中,利用

锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【详解】解：连接AZ),

•：AB=AC,

ZB=ZC,

：是AB的垂直平分线，

:.BE=-BA,DA=DB=4,

2

:.ZB=ZBAD,

:.ZBAD=ZC,

NB=NB,

:.ABAD^ABCA,

BA_BD

3屋=3。3。=（4+5）义4=36,

***BA=6BA=—6（舍去），

:.BE=-BA=3,

2

BE3

在RtBED中，cosB==—，

BD4

3

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性

质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

16.如图，斜坡3。长为7米，在斜坡BD的顶部。处有一棵高为3米的小树AQ（点A、D、C在一直

线上），AC.LBC,在坡底8处测得树的顶端A的仰角为30。，那么这个斜坡的坡度为.

【答案】1：46

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设CD=x米，则AC=（3+x）

米，根据垂直定义可得NACB=90°,然后在RtZkA3C中，利用锐角三角函数的定义可得

BC=6（尤+3）米，再在Rt&CD中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【详解】解：设CD=x米，

1/AT>=3米，

AC=AD+CD=（3+x）米，

•/AC±BC,

/.ZACB=90°,

在中，ZABC=3Q°,

BC=CD=^I=V3（x+3）,

tan30°至），米，

在RtABCD中，BC2=BD2-CD2,

：.［（X+3）］2=72-X2,

整理得：2d+9x-n=o，

解得：％=1,x=----（舍去），

22

C£>=1米，BC=V3（3+x）=4V3（米），

/.这个斜坡的坡度=—=1：4石，

BC

故答案为：1：4&'.

17.VABC中，ZACB=9Q°,AC=6,3C=8,点。在边BC上，CD=2,如图所示.点E在边

AB上，将VBDE沿着翻折得△3DE，其中点B与点3’对应，HE交边AC于点G,B，D交AC

的延长线于点H.如果△5'”G是等腰三角形，那么跖=.

B

【答案】y

【解析】

【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形

的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.先画出图形，过点H作HFLB'E于点、F,

确定如果△8HG是等腰三角形，则只能是=设5'E=8E=x（0<x<10）,则AE=10—%,

50-5x40—4x

再证出△AEGs/XACB,根据相似三角形的性质可得AG=HL上，EG=—~-然后证出

33

HFG^AEG,根据相似三角形的性质可得一,从而可得的长，最后在

24

中，利用勾股定理求解即可得.

【详解】解：由题意，画出图形如下：过点〃作小于点尸,

B'

•/ZACB=9Q°,

：.ZDCH=90°,

HE交边AC于点G,交AC的延长线于点打，

/.ZB'HG=ZDCH+ZCDH=90°+ZCDH>90°,

••・如果△8HG是等腰三角形，则只能是4'"G为顶角，B'H=GH,

/.ZB'=ZB'GH,

由对顶角相等得：ZAGE=ZB'GH,

：.AAGE=AB',

由折叠的性质得：NB=NB'，

：.ZAGE=ZB,

:在VABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,CD=2,

ZA+ZB=90°,AB=\JAC2+BC2-10»BD-BC-CD-6,

：.ZA+ZAGE=90°,

.•./AEG=90°,即BELAB，

由折叠的性质得：B'E=BE，B'D=BD=6,

设5'E=3£=x(O<x<K)),则AE=AB-BE=10-x,

在△AEG和ZkACB中，

ZAEG=ZACB=90°

Z=NA'

：.AAEG^AACB,

AGEGAEAGEG10—x

——=——=——，即an——=——=------,

ABBCAC1086

505X

解得AG=~,EG=40-4x

5x-327r-40

：.CG=AC-AG=,B'G=B'E-EG=,

33

•/B'H=GH,HFYB'E,

又,：BEA.AB，HFLB'E，

：•AB〃HF,

：.一HFG^_AEG,

7%-40

HG_FGHG

-A--G----E--G-，'即-F5M0~-~5C—%一-~A47\0----4A"x"-

344—35尤56-5X

・・・HD=BrD-BrH=B'D-HG=-———,CH=HG—CG=,

565x234435a

在RtZXCDW中，CH?+CD?=HD?，gp|~|+2=[~'

解得x=彳或x=M>10（不符合题意，舍去）,

故答案为：y.

4

18.在平面直角坐标系xOv中（如图），点43在反比例函数y=—位于第一象限的图像上，点区的横坐

标大于点A的横坐标，OA=OB.如果△OA3的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点A的横

坐标为______

【答案】3-75##-75+3

【解析】

【分析】由题意得点A3关于直线丁=》对称，由。4=05可得△QA3的重心在直线O。：丁=》

上，联立函数解析式求出点C坐标，即得OC=2&，再根据三角形重心的性质可得OD=3J5,得到

0(3,3),设点则最后利用中点坐标公式解答即可求解.

【详解】解：由题意得，点43关于直线丁=%对称,

0A-0B，

的重心在直线O。：y=%上，即为点C,

y=x

x=2x=-2

由＜4，解得＜或＜

丁=一[y=2〔y=一2

X

•.•点C在第一象限,

C（2,2）,

•■­OC=V22+22=272，

:点。为△OAB的重心,

0C:CD=2:l,

CD=42＜

OD=372，

设£＞（m,相）（m＞0）,则〃22+m2=（3点）一

：•m=3,

.•.£＞（3,3）,

,则8(—,a],

设点A

:点。为的中点，

4

,6ZH--

••a=y

2

«2-6«+4=0>

解得a=3+或a=3—J?，

点B的横坐标大于点A的横坐标,

.•.点A的横坐标为3-百，

故答案为：3-5

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公

式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

cot30°

19.计算：2cos30°+4siir60°-

3tan300-tan45°

r答室】

【解析】

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解.

cot30°

【详解】解：2cos300+4sin600-

3tan300-tan45°

2

_3+V3

—2-

20.如图，已知点E、尸分别在VABC的边AB和AC上，EF//BC,BE=2AE，点。在的延长

线上，BC=CD,连接ED与AC交于点G.

（1）求---的值；

GD

（2）设A4=Q,BD=b，那么AC=，EG—・（用向量。、〃表示）

【答案】（1）-

3

（2）—tzH—b，（XH—b

264

【解析】

【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质

是解答本题的关键.

EFAE1EF1

（1）由题意可得，A石/s_ABC,则—=—=_,即—=_,再证明EFGs.DCG,即可求

BCAB3CD3

解；

-111

（2）由题思得80=580=5/7,AB=—。，则AC=AB+BC；由题意得EG=/EO,

22

BE=-AB,则防=—§a,ED=EB+BD，进而求解.

【小问1详解】

,:BE=2AE,

.,.AB^3AE.

•：EFBC,

AZAEF=ZB,ZAFE=ZACB,

,AEFsqABC,

,:BC=CD,

,EF_1

••—―,

CD3

EFBC,

Z.GEF=/GDC,NEFG=/DCG,

.EFGs工DCG,

,EGEF_1

••布一而-

【小问2详解】

,:BC=CD,

：.BC=-BD=-b,

22

BA=a>

•*,AB=­a，

AC—AB+BC=—a+—b,

2

.・.EG_1L,

GD3

/.EG=-GD,EG=-ED,

34

,:BE=2AE，

：.BE=-AB,

3

...则EB=—2a,

3

2

:.ED=EB+BD=—a+b,

3

EG=—\——a+b|=——a+—b.

4(3J64

故答案为：AC=-a+-b,EG=--a+-b.

264

21.如图，在平面直角坐标系xOx中，经过原点。的直线与双曲线y=9交于点A(2,M),点8在射线Q4

X

上，点C的坐标为(7,0).

(1)求直线Q4的表达式;

(2)如果tan/BC0=2,求点B的坐标.

3

【答案】(1)y=—X;

-2

(2)(4,6).

【解析】

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数.解决本题的关键是运用待定

系数法求出正比例函数的解析式，根据N3C0的正确值和正比例函数的解析式求出点B的坐标.

(1)根据点A(2,〃z)在双曲线y=@上，可以求出m=3,把点A(2,3)的坐标代入正比例函数y=区中求

出k的值即可得到直线0A的表达式；

(2)因为直线0A的解析式为y=1x，设点8的坐标为\b,^b根据。〃/3。。=迫=2,可得关于

CH

b的分式方程，解方程求出b即可得到点B的坐标.

【小问1详解】

解：，点A(2,7〃)在双曲线y=£上，

X

二把尤=2代入y=色，

x

可得：＞=3,

..•点A的坐标为(2,3),

设直线Q4的表达式为y=Ax(左#0),

把x=2,y=3代入y=kx,

3

可得：k=-,

2

3

直线Q4的表达式为y=gx；

【小问2详解】

解：如下图所示，过点B作轴，垂足为点”,

设点B的坐标为，

3

可得：BH=-b,CH=l-b,

2

在Rt/\RCH中，tanNBCO==2,

CH

解得：b=4,

经检验，b=4是分式方程的解,

33

,-,_/=_X4=6

272)

可得点B的坐标为(4,6).

22.如图，已知小河两岸各有一栋大楼A3与CD,由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度.小普同

学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点尸处，发射的两束光线都经过大楼顶

端4并分别投射到大楼CD最高一层CG的顶端C和其底部G处，并测得EF=6m,ZAEB=26.6°,

(1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼A3的高度，试求出大楼AB的高度；

(2)为了能测得大楼CD的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五

层.据此信息能否测得大楼CD的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由.

（参考数据：sin22.6°«—,cos22.6°«—,tan22.6°«—,sin26.6°"也，cos26.6°。及，

13131255

tan26.6°）

2

【答案】（1）大楼AB的高度为15m

（2）能，大楼CD的高度为33m

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键.

（1）设大楼A3的高度为％m.利用正切函数的定义用x表示出痛和族的长，再利用

EF=BF-BE,列式计算即可求解；

（2）根据题意先求得CG=3m,设。6为丁01,则CD=（y+3）m,利用正切函数的定义用工表示出

DE和。尸的长，再利用所=£归—。£,列式计算即可求解.

【小问1详解】

解：设大楼A3的高度为％m.

•?ZABE=90°,

“ABc”AB12

:.BE=------------h2xm,BF=-------------«—xm.

tanZAEBtanZAFB5

;EF=BF-BE,

・・—12x—2个x—o「.

5

解得x=15.

答：大楼AB的高度为15m；

【小问2详解】

解：由大楼A3的高度为15m,共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同，

可得CG=3m,

设0G为ym,则CD=（y+3）m,

VZCDF=9Q°,

,八口CD八"DG12

..DE=------------»2（y+3）m,Dr=-------------»——ym.

tanZAEB'7tanZAFB5

,:EF=DF—DE,

••.《y-2（y+3）=6.

解得y=30.

答：大楼CD的高度为33m.

23.已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC,6D为对角线，BD~=ADBC.

(1)求证：ZABD=ZC；

(2)E为的中点，作/DEF=NC,EF交边AD于点尸,求证：2ABDE=BDEF.

【答案】(1)详见解析

(2)详见解析

【解析】

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的

关键：

(1)证明二应归s工庞「，即可得证;

(2)先证明AFEDsADCE，可得生=竺，再由AABDsApcB可得四=—,结合2EC,

ECDEDCBC

EF

得至U——---，即可得证.

BDDE

【小问1详解】

证明：VBD2=AD-BC>

.ADBD

•：AD//BC,

：.ZADB=ZDBC.

：.AABD^ADCB.

：.ZABD=ZC.

【小问2详解】

如图，

•：AD//BC,

.../FDE=/DEC,

又；ZDEF=NC,

/.AFEDsADCE.

.DEEF

"EC~DC'

.DCEF

"EC~DE'

VAABD^ADCB,

.ABDC

"~BD~~BC'

,:BC=2EC,

ABDC2ABDC

••=----.即an：-----=----,

BD2ECBDEC

.2ABEF

"BD~DE

2ABDE=BDEF

24.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线>=融2+法_3(。，0)的顶点&的坐标为(1,_2),与

y轴交于点艮将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作其横坐标为初平移后的抛

物线与原抛物线交于点N,且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为

(1)求原抛物线的表达式；

(2)求加关于〃的函数解析式；

(3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围.

【答案】(1)y=-x*2+2x-3

(2)m=2n

⑶41<AM<541

【解析】

------=1

【分析】(1)根据顶点的坐标为(1,-2),列出方程彳2a,求解即可；

。+Z?—3=-2

(2)先求出直线AB的表达式为y=x-3,根据题意求出点M的坐标为(〃机—3),点N的坐

标为+2"—3),计算即可；

(3)分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围.

【小问1详解】

解：由原抛物线y=W2+法—3(。，0)顶点的坐标为(1,—2).

_±

可得r2a=1,

a+b—3=—2

解得a=—1,b=2.

所以，原抛物线的表达式是y=-x?+2x-3.

【小问2详解】

解：由点A的坐标为(1,-2),点8的坐标为(0,-3)

设直线AB的表达式为y=kx-3,

将点A的坐标(1,一2)代入可得—2=左—3,解得：k=l,

直线AB的表达式为y=x—3.

由抛物线沿射线A4方向平移，可得顶点M始终落在射线B4上，

得点M的坐标为(以机-3).

得平移后抛物线的表达式为y=-(x-mF+m-3.

:平移后的抛物线与原抛物线交于点N,其横坐标为“，点N的坐标为("，-1+2〃-3),

*,•—+2〃—3——(〃—加/+m—3.

化简得机2—2mn—m+2n=0，得(m—2n)(m—1)=0.

丁加一1w0,

・••根一2〃=0,

解得：m=2n.

所以rn关于n的函数解析式为m=2n.

【小问3详解】

解：过点3作3G，MB,交原抛物线于点G,那么NGBAf=90°.

当点N在AG之间的抛物线上运动时，NA®河是锐角.

当点N与点A重合时，N(l,—2),M(2,-l),

平移距离=J(l—2/+(—2+1)=6,

当点N与点G重合时，

过点N作轴，垂足为点E,过点A作轴，垂足为点?

.•.点"的坐标为(〃,一〃2+2”-3),点8的坐标为(0,-3),点4的坐标为(1,-2).

***AF=BF=1,EN=n,BE=n2—2n.

・.・ZABF=/BNE=90°-/NBE,ZBFA=/BEN=90°,

・,.AABF^ABNE,

.BF_AF

••NE~BE'

n2—2n=n可得〃之—3〃=0-

「〃w0,

***解得：n=3-

...点M■的坐标为(6,3),

:.AM=5立.

1/点N位于原抛物线对称轴的右侧，

...当N7VBM是锐角时，平移距离的取值范围是也<AM<5J5.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一

次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键.

25.在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线

互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”.它的一个重要性质为：“分角”

的两边成倍半关系.这个性质的逆命题也成立.

利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题：

已知VABC是“线垂”三角形，AB<BC,/ABC是VABC的“分角”.

(1)如图1,是VA3C的角平分线，AE是VA5C