上海市某中学2024-2025学年高一年级上册12月阶段检测数学试卷（解析版）

华东模范中学高一年级12月阶段检测

数学试卷

一、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)

1.直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为

【答案】{(x,y)|x(0,y〉0}

【解析】

【分析】根据给定条件，利用集合的描述法写出第二象限的点集作答.

【详解】依题意，第二象限所有点组成的集合是{(x,y)|x(0,y〉0}.

故答案为：{(x,y)|x(0,y〉0}

2.函数/(x)=<4-x+10gx2的定义域为.

【答案】(0,1)51,4]

【解析】

【分析】根据二次根号下大于等于0和对数底数的范围即可得到范围，解出即可.

,4-%>0

【详解】由题意得x〉0，解得0<%<1或1<XW4,

1

则其定义域为(0,1)”1,4].

故答案为：(0,1)51,4].

3.若塞函数/(无)=(切？+5机+7)x"'(x#0)的图象分布在第一、三象限，则机=

【答案】-3

【解析】

【分析】根据幕函数定义得到加2+5加+7=1，求出加值，进行检验即可.

【详解】根据其为幕函数，贝1■+5加+7=1，解得机=-2或-3,

1

当加=-2时'小)=一9=?’则其定义域关于原点对称,

=/(%),故为偶函数，且分布在一、二象限，图象如图所示:

当7〃=—3时，/（X）=X-3=4）则其定义域关于原点对称，

X

/（—x）=/二=—/（X）,故为奇函数，且分布在一、三象限，图象如图所示:

（一X）

故答案为：-3.

4.函数y=,xe[l,+oo）的值域是.

恪案1（0,£

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性即可求解.

【详解】易知指数函数y=（；）*在■+8）上单调递减，

所以0<V（9=；,即该函数在[1,+8）上的值域为（0,-].

3333

故答案为：（。,二]

5.关于x的不等式logo-i(l—x)〉。的解集是.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】根据对数函数单调性得到不等式，解出即可.

【详解】由题意得10gtM(l-x)>log11,

则0<l—%<1,解得O<X<1.

则其解集为(0,1).

故答案为：(0,1)

6.若关于x的不等式依2+b%+c>o的解集为(-2,1),则不等式以2+(a+8)x+c-a<0的解集为

【答案】E-3)J(L”)

【解析】

【分析】根据不等式依2+灰+c>0的解集得出a与氏c的关系，再代入不等式以2+(q+b)x+c-。<0

中化简求解集即可.

【详解】不等式依2+陵+°>0的解集为(一2,1),

所以—2和1是QC?+6%+c=0的实数根，且。<0,

-2+1=--

所以<a,可得人=a,c=-2a,

-2xl=-

、a

所以不等式ax?+(。+人)%+。一。<0可化为℃2+2ox-3«<0-即%2+2%—3>0，

整理可得(x+3)(x—1)>0,解得尤<—3或x>l,

所以不等式的解集为(—8,—3).(1,+8).

故答案为：(-00,-3)....

7.若函数y=—必+2%+2逮6[0,〃<|的值域是ye[2,3],则实数机的取值范围是.

【答案】[1,2]

【解析】

【分析】根据函数y=-必+2x+2,xe［0,m］的单调性，结合其最值和端点值即可得到优的取值范围.

【详解】因为函数/(x)=—炉+2%+2=—(x—1?+3在区间［0,1］上是增函数，在［1,+8)上是减函数，

且〃0)"(2)=2,就⑴="1)=3,

所以函数/(x)=―必+©在区间［0,m］上的值域是［2,3］,必有加e［l,2］.

故答案为：［1,2］.

8.若不等式(/一1)/—3一1)%一1<。的解集为R,则实数。的取值范围是.

3

【答案】一y<aVl

【解析】

【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果.

【详解】①当4—1/0,即时，

a2-1<03

\,X2I1\,解得—二<a<L

A=(a-1)+4(«2-1)<05

②当储一1=。，即。=±1时，

若。=1,则原不等式为—1<0,恒成立.

若a=—1,则原不等式为2x—1<0,即％<工，不符合题目要求，舍去.

2

3

综上所述，当-时，原不等式的解集为R.

3

故答案为：—w<aVl.

9.函数y=/(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与函数丁="的图像关于y轴对称，则/(x)=

【答案】

【解析】

【分析】

从丁=6、出发，逆向探求即可.

【详解】函数y="图像关于〉轴对称的图像对应函数的表达式是y=尸,

函数>=二向左平移1个单位长度得y=e-(x+1),即/(%)=

10.已知函数/(x)=logaL(a>0,aNl)的定义域和值域都是［0,2］,则。=.

X+1

【答案】昱

3

【解析】

【分析】先分析y=击的单调性，然后对。进行分类讨论。>1或0<。<1,结合单调性以及/(0)=0

可求得结果.

【详解】因为y=占在［0,2］上单调递减，且/(0)=log/=0,

当a〉l时，/(x)=log〃」一在［。,2］上单调递减，

x+1

因为函数的定义域和值域都是［。,2］,

所以/(0)=2,这与/(0)=0矛盾，不符合题意；

当0<a<1时，/(x)=logfl-^―在［0,2］上单调递增,

X+1

因为函数的定义域和值域都是［0,2］,

/⑼=01

所以4,\1,则/=一，因为0<。<1,

-2)=1呜1Tl=23

所以a=且，

3

故答案为：B.

。-+2,%>1

11.已知函数/(%)=JX在R上严格单调递增，则实数a的取值范围是.

-x2+2%,x<l

【答案】［-1,0)

【解析】

【分析】由分段函数的两段均递增，且临界点左小右大(最多相等)列不等式组可得.

-+2,x>la<Q

【详解】若使函数/■(%)=<xR上单调递增，贝卜

-y2+2xl<a+2'

-J+2x,%<1

解得一故实数。取值范围为［—1,0）.

故答案为：［—1,0），

12.己知关于尤的不等式log2X<ax+2恰有一个整数解，则实数a的取值范围是.

【答案】［-2,一g

【解析】

【分析】画出函数y=log2X和丁=奴+2的图像，根据图像知。+2>0且2a+2<log22,解得答案.

【详解】1。82%<以+2,画出函数>=1082%和丁=4工+2的图像，如图所示：

不等式log2x<ax+2恰有一个整数解，则这个整数解为x=l,

故a+2>log21且2a+2<log22,解得一2<。<一g.

故答案为：1—2,一万

二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）

13.已知。>0>力，则下列不等式一定成立的是（）

2

A.a<-abB.lga>lg（一份C.D.>Q

【答案】C

【解析】

【分析】对于ABD：举反例说明即可；对于C：根据不等式性质分析判断即可.

【详解】因为。>0>6,

对于ABD：例如〃=1/=一1,满足

但储=—ab=1，1ga=lg（—。）=°,（g）=g<2=（；］'故ABD错误；

对于C：因为一〉0〉一，故C正确.

ab

故选：C.

14.“4<2”是“函数/（%）=|%-。|在［2,+8）上为严格增函数”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数"k=卜-4在区间［2,+8）上为增函数的。的取值范围，结合与a<2的关系求出答案

【详解】〃x）=|x-a|的图象如图所示，要想函数〃x）=|x-a|在区间［2,+8）上为增函数，必须满足

a<2,因为｛a|a<2｝是｛a|a«2｝的真子集,

所以“a<2”是“函数=归-。|在区间［2,+8）上为严格增函数”的充分不必要条件.

故选：A

15.已知函数y=/（x）是R上的偶函数，且在（—8,0］上是增函数，若/（。）</（2）,则实数。的取值范

围是（）

A.a<2B.a>-2

C.-2<a<2D.。<一2或。》2

【答案】D

【解析】

【分析】分析可知函数/（X）在［0,+8）上为减函数，由已知可得问22,解此不等式即可得解.

【详解】因为函数y=/（x）是尺上的偶函数，且在（-8,0］上是增函数，则该函数在［0,+8）上为减函

数,

由/⑷W/⑵可得/(|硝《”2),.•.时22,解得aW-2或a2

故选：D.

八，、|lnx|,x＞0

16.已知函数/(%)=12，给出下列命题：

Ax-+2x-l,x＜0

(1)无论左取何值，/(%)恒有两个零点；

(2)存在实数左，使得/(幻的值域是R；

(3)存在实数%使得了(%)的图象上关于原点对称的点有两对；

(4)当上=1时，若/(%)的图象与直线丁=依-1有且只有三个公共点，则实数。的取值范围是

(0,2).其中，正确命题的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解析】

【分析】命题(1)利用零点即对应方程的根进行分析处理；命题(2)结合图象分析值域；命题(3)转

化为两个函数丁=-日？+2x+l与y=|lnx|在(0,+8)上有两个交点问题进行处理；命题(4)画出

=的图象，利用数形结合分析处理，把直线绕定点旋转确定临界位置，从而确定

x2+2x-l,x＜0

结果.

【详解】对于命题(1),当无＞0时，由/(x)=|lnx|=0,得到％=1,所以/(x)在(0,+8)上有一个零

点，

左w0/I

当xWO时，»=b2+2x-l,当｛八_4+4左＜0，得到左＜一1'此时/(幻在(一8，°］上没有零点，所以

命题(1)错误，

对于命题(2),当无＞0时，/(x)=|lnx|＞0,要使值域为R,

则当xWO时，/(x)=6+2x-1的值域应包含(一8,0),所以上＜0,

此时对称轴》=-工＞0,所以/(x)=&+2x-l在区间(7,0］上单调递增，又/(0)=—1＜0,

k

因此不存在3使值域为R,所以命题(2)错误，

对于命题(3),当x(0时，/(x)=h2+2x-l,其关于原点对称函数为丁=一日2+2%+1,

要存在实数人使得/（X）的图象上关于原点对称的点有两对,

即当%>0时，y=-叱+2x+1与y=|ln有两个交点,

当左=1时，y--x2+2x+l,其图象开口向下，又x=l时，y=-1+2+1=2>0,

此时y=-2x?+2x+l与y=|lnX有两个交点，如图1,所以存在人使命题成立，所以命题（3）正确,

八1Inx1,%>0

对于命题（4）,对于左=1时，/（%）=2,其图象如图2所示，

x-+2x-l,x<0

y=ax-l

又丁=依-i过点（0,—D,由2c,，消y得到£+（2-°）尤=。，

y=x+2x-l

由A=0,得到。=2,由图知，当。<2时，y=以-1与y=*+2%—1在（―8,0］上有2个交点,

又由y=lnx,得到炉=1，当％=1时，y'=l,所以y=lnx在兀=1处的切线方程为y=x-l,

x

又了（X）的图象与直线y=1有且只有三个公共点，由图可知ae（0,2）,所以命题（4）正确，

三、解答题（第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题12分，满分40分）

17.已知全集为R,集合4=］》［，34］1,5=］划2'—"

fl）求集合天；

（2）若=求实数。的范围.

【答案】(1)A={x\-2<x<3}

(2){a|a>4)

【解析】

【分析】(1)根据题意可得A={x[x<-2或x»3},结合分式不等式运算求解即可；

(2)根据指数不等式可得5={x[x>a-l},结合交集运算结果列式求解即可.

【小问1详解】

5W1,解得％<-2或x23,

x+2

所以入={x|—24尤<3}.

【小问2详解】

由2，-。><=2一1,则1,即x>。—1,解得6={x|x>a—1},

若ZB=0,则a—123,解得。24,

所以实数a的范围为{aIa24}.

18.已知函数/(x)=x|x—2a|的定义域为。，其中。为常数

(1)若Z)=R,讨论/(X)的奇偶性，并说明理由；

(2)当。=1时，求函数g(x)=/(2。—1的零点.

【答案】(1)答案见详解

(2)1。82(1+&)和0

【解析】

【分析】(1)根据奇偶性的定义并结合a=0,。/0两种情况进行讨论；

(2)分成2、222<2两种情况打开绝对值，结合一元二次方程以及指数幕运算得出结果;

【小问1详解】

由已知可得/(-%)--x\-x-2a^--x\x+2a|,-f(x)=-x|x-2a|,

当=_》,_24时，即|%+2a|=|x-2a|,

当a=0时，/(x)为奇函数;

当awO时，/（九）为非奇非偶函数.

【小问2详解】

当。=1时，/（%）=J;|%-2|,

令g（x）=O,得0=1,即/优）=2，,—2|=1.

当2工22时，2X（2X-2）=1,即（2）2—2x2-1=0,

解得2工=1—后＜0（舍），或2工=1+后，二工=1082（1+拒）；

当不＜2时，2X（2-2X）=1,即（2*）2—2x2，+l=0,解得2，=1，口=。；

则函数g（x）=/（2，）—1的零点为log2（l+0）和0.

19.某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算该项目月处

理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：

-80x2+5040%,xe[120,144)

,且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200

y=«2

lx-200x+80000,xe[144,500)

2

兀・

（1）当x［200,300］时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则月处理量x为

多少吨时可使亏损量最小？

（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

【答案】（1）不能获利，当月处理量为300吨时可使亏损最小；（2）每月处理量为400吨时，才能使每吨的

平均处理成本最低.

【解析】

【分析】

（1）设项目获利为S,根据二次函数知识可知，当xe［200,300］时，S＜0,因此，该项目不会获利：当

%=300时，S取得最大值-5000；

-x2-80x+5040,xe[120,144)

V，分段求出最小值，比较可得答案.

（2）根据题意可知，上:onnnn

x-x+^-200,xe[144,500)

、2x

【详解】（1）当］£［200,300］时，该项目获利为S,则

119

S=200x200%+80000--X2+400X-80000=--(X-400)-,

当xe[200,300]时，S<0,因此，该项目不会获利:

当x=300时，S取得最大值-5000,故当月处理量为300吨时可使亏损最小，为5000元;

|x2-80%+5040,xe[120,144)

V

(2)由题意知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：上

xL+80000-2。。心[144,5。。)

、2x

当xe[120,144)时，^=-(X-120)2+240,所以当x=120时，上取得最小值240,

x3x

当尤e[144,500)时，^=-x+—200>2卜.幽2_200=200，

x2xV2x

当且仅当工x=M”时等号成立，即i=400时，上取得最小值200,

2xx

•/200<240

每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

Z7.2A-1

20.已知奇函数y(x)=^----------的定义域为[-a-2,句.

2*+1

(1)求实数。涉的值；

(2)判断函数/(%)的单调性，并用定义证明；

(3)存在尤仁口,2],使得2+时(%)+2">0成立，求实数机的取值范围.

【答案】(1)〃=1,Z?=3；

(2)单调递增，证明见解析；

(3)me(-12,+oo).

【