三角形中的常见模型综合训练（解析版）

培优专题01三角形中的常见模型综合训练

考点大集合

1

卷考点大过关

考点一：三角形的全等模型

・k核总提炼;查漏补缺

全等三角形在中考数学中的重点不是简单的直接考察，而是作为几何题的中间变量，利用全等三角形的

对应边相等、对应角相等，来传递等量线段或者等价角。而当题目不直接考察时，识别需要的全等模型，

并利用对应结论做题就是最为重要的一个突破口，学习模型，运用模型结论直接做题会给我们提供一个非

常重要的做题思路。

・题型特训•精准提分

题型01三角形常见全等模型及其应用

解题大招：全等常见模型:

①K型图：

图形条件与结论辅助线注意事项

第1页共71页

A条件：AC=BC,AC1分别过点A、BK型图可以和等腰直角三

BC作AD1/角板结合，也可以和正方

结论：形结合

t-BE1/

-

)CAADC^ACEB(AAS)

K型全等模型变形——三垂定理:

总结：当一个直角放在一条直线上时，常通过构造K型全等来证明边相等，或者边之间的数量关系

②手拉手:

模型名称几何模型图形特点具有性质

全连结BD、CE

等①△ABD4ACE

型②△AOBs\HOC

AD=AEZ

&匕-----

手③旋转角相等

AB=AC

拉(即41=42=/3)

ZBAC=ZDAE

手④A、B、C、D四点共圆

⑤AH平分立BHE

8

③倍长中线:

基本图形辅助线条件与结论应用环境

①倍长中线常和△三边

延长AD到点E,条件：ZiABC,AD=BD关系结合，考察中线长的

使DE=AD,连接CE取值范围

结论：②倍长中线也可以和其

△ABD^ACED(SAS)他几何图形结合，考察几

VE何图形的面积问题

【中考真题练】

1.（2023•长春）如图，工人师傅设计了一种测零件内径N3的卡钳，卡钳交叉点。为也4，、39的中点,

只要量出49的长度，就可以知道该零件内径N3的长度.依据的数学基本事实是（）

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A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例

D.两点之间线段最短

【分析】根据点。为44'、59的中点得出CM=O4,OB=OB',根据对顶角相等得到乙4。8=/4。夕,

从而证得△/。8和△409全等，于是有/3=48，问题得证.

【解答】解：；点。为44、的中点，

；.0A=0A\OBOB',

由对顶角相等得

在A40B和△40®中，

'0A=0A'

-NAOB=NA'OB'，

OB=OBy

：.AAOB^AA'O£'（SAS）,

：.AB=A'B',

即只要量出4夕的长度，就可以知道该零件内径的长度，

故选：A.

2.（2023•重庆）如图，在Rtz\/8C中，ZBAC=90°,AB=AC,点、D为BC上一点"连接NO.过点3

作BELAD于点E,过点C作CFUD交4D的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为3.

【分析】先证明p（44S）,根据全等三角形的性质可得/尸=3E=4,4E=CF=1,进一

步可得斯的长.

【解答】解：'JBELAD,CF±AD,

ZBEA=ZAFC=90°,

:./BAE+NABE=9Q°,

VZBAC=90°,

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ABAE+AFAC=9Q°,

・•・ZE4C=AABE,

在和厂中，

<ZBEA=ZAFC

</ABE=/FAC，

AB=AC

••・△ABE咨/\CAF（AAS）,

：.AF=BE,AE=CF,

9：BE=4,CF=l,

C.AF=BE=A,AE=CF=1,

:・EF=AF-AE=4-1=3,

故答案为：3.

3.（2023•呼和浩特）如图，在RtZX/BC中，ZABC=90a,AB=BC,AC=4近，点尸为NC边上的中点,

PM交AB的延长线于点M,尸N交3C的延长线于点N,且尸MLLPN.若敏=1,则△「」村的面积为（）

A.13B.V13C.8D.H

2

【分析】依据题意，连接3P,然后先证明△BMPg/XCAP,从而CN=BP=1,又由等腰RtZX/BC可得

BC=4,从而在RtZWffiN中可以求得MN,又MP=NP,从而可得〃N的值，进而可以得解.

在RtZ\A8C中，ZABC=90°,

•：AB=BC,点P为/C边上的中点，

：.BP±AC,NCBP=/ABP=L/ABC=45。,ZBCA=45°,BP=CP=Lc=2近.

22

:.NMBP=NNCP=180°-45°=135°.

'JBPLAC,PMLPN,

：.ZBPM+ZMPC=90°,ZCPN+ZMPC=90a.

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/BPM=ZCPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,

：./\BMP^/\CNPCASA）.

:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtZ\8PC中，BC=A/BP24CP2=4-

/.在RtdMBN中，MN=VBM2+BN2=Vl2+52=^26.

又在RtzXAffW中，MP=NP,

：.MP2+NP2=MN2.

：.MP=NP=^p^.

：.SAPMN=—MP-NP=1^-.

22

故选：D.

4.（2023•湖北）如图，ABAC,和△/斯都是等腰直角三角形，/B4C=/DEB=/AEF=90°,

点E在△/2C内，BE>AE,连接交/E于点G,DE交AB于点、H,连接CF.给出下面四个结论：

①/DB4=NEBC；②/BHE=/EGF；③AB=DF；④AD=CF.其中所有正确结论的序号是①

⑶⑷.

【分析】由等腰直角三角形的性质可得出//5C=/D2E=45°,可得出①正确；证明△BE/g/VJE尸

(&4S),由全等三角形的性质得出可得出③正确；由直角三角形的性质可判断②不正确；

证明四边形。尸C4为平行四边形，由平行四边形的性质可得出D/=CR则可得出答案.

【解答】解：△。即都是等腰直角三角形，

:.NABC=NDBE=45°,

ZABC-ZABE=ZDBE-AABE,

：.ZEBC=ZDBA,

故①正确；

,:ADEB和△/所都是等腰直角三角形，

:.BE=DE,AE=EF,NBED=NAEF=90°,

：.NBEA=NDEF,

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:•△BEA^ADEF（SAS）,

：.AB=DF,ZABE=AEDF,ZBAE=ZDFE,

故③正确；

VZBEH=ZGEF=90°,

:・NABE+NBHE=90°,NEGF+NDFE=90°,

■:BE>AE,

：.NABEr/AEB,

：./ABEW/DFE,

：./BHE#/EGF；

VZBAC=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZE4C=45°,

又♦；NAFD+/EFG=45°,ZBAE=ZDFE,

：.ZDFA=ZFAC,

J.DF//AC,

■:AB=DF,AB=AC,

：・DF=AC,

・•・四边形。尸C4为平行四边形，

：.DA=CF.

故④正确.

故答案为：①③④.

5.（2023•遂宁）如图，以△45。的边45、4C为腰分别向外作等腰直角△42E、AACD,连结瓦入BD、

EC,过点4的直线/分别交线段。回、5C于点M、N.以下说法：①当45=4C=5C时，ZAED=30°；

②EC=BD；③若45=3,AC=4fBC=6,则QE=2愿；④当直线时，点M为线段的中

点.正确的有①②⑷.（填序号）

【分析】由4B=4C=BC,得/B4c=60°,因为AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,所以ZE

=AD,ZEAD=nO°,则N/ED=N/OE=30°,可判断①正确；由NC4O=NA4E=90°,推导出

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/CAE=NDAB,可证明g△D42,得EC=BD,可判断②正确；设BD交AE于点、G,交CE于

点、O,可证明/EO5=90°,可根据勾股定理推导出。£2+8°2=

BE2+CD2,可求得8炉=452+/炉=]8,CD1^AD~+AC1^32,BC?=36,则。五#2向，可判断

③错误；当直线/L8C时，作斯〃40交直线/于点R连接。尸，可证明△瓦4尸丝△/2C,贝1JE尸=/C

=4D,所以四边形NDFE是平行四边形，则”为线段。E的中点，可判断④正确，于是得到问题的答

案.

【解答】解：'：AB=AC=BC,

：.ZBAC=60°,

,:AE=AB,AC=AD,/BAE=/CAD=90°,

；.AE=AD,N£4D=360-60°-90°-90°=120°,

ZAED=ZADE=^X(180°-120°)=30°,

2

故①正确；

■:NCAD=NBAE=90°,

：.ZCAE=ZDAB=90°+ZDAE,

：./\CAE^/\DAB(SAS),

：.EC=BD,

故②正确；

如图1,设2。交NE于点G,交CE于点。，

ZAEC=AABD,ZOGE=ZAGB,

：.ZAEC+ZOGE=ZABD+ZAGB=90°,

：.ZEOB=90°,

AZCOD=ZBOC=ZDOE=90°,

：.DE2+BC2=OD1+OE1+OB-+OC1=BE2+CD2,

AE=AB=3,AD=AC=4,BC=6,

：.BE2=AB2+AE2=32+32=18,CD2=AD2+AC2=42+42=32,5C2=62=36,

:・DE='>/BE2-^D2-BC2=V18+32-36=V14W2M,

故③错误；

当直线/_LBC时，如图2,作所〃交直线/于点尸，连接。咒

:/AEF+NDAE=18Q°,ZBAC+ZDAE=180°,

/AEF=ABAC,

■:/ANB=NBAE=90°,

：.ZEAF=ZABC=900-ZBAN,

；EA=4B,

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:.LEAF%LABC(ASA),

：.EF=AC=AD,

四边形ADFE是平行四边形,

为线段DE的中点，

故④正确，

故答案为：①②④.

图2

6.(2023•鞍山)如图，在正方形48CD中，点”为CD边上一点，连接将绕点/顺时针旋

转90°得到△4BN,在/M,/N上分别截取NE,AF,使连接£凡交对角线于点G,

连接/G并延长交于点X.若/〃=型，CH=2,则/G的长为—图L.

3~7~

【分析】解法一：由旋转的性质得DM=BN,NMAN=90°,ZDAM=ZBAN,ZAMD=Z

ANB,连接。E,BF,由等线段减等线段相等可得/N=EM,于是可通过&4s证明△ARV刍得

第8页共71页

到8尸=。£,易得4F=4B,AE=AD,由三角形内角和定理可得尸=//7咕=工(180°-NBAF),

2

ZADE^ZAED=1.(180°-NDAE),由/D4E=NBAF得至“NABF=N4FB=/4DE=/AED,易

2

得△/匹为等腰直角三角形，根据等角减等角相等可知NGF5=NGDE,于是可通过44s证明△GEBg

△GDE,得至U/G=OG,BG=EG,进而可通过SSS证明也ZUDG,得至叱D4H=NNAH,由平

行线的性质可得N4fflV=NM48,则空，设BH=x,则48=2C=x+2,2"=变_丫,

33

在RtZ\48N中，利用勾股定理建立方程，求得xi=6,x」，即3〃=6或工，过点G作PG//BC,交

x233

AB于点、P,易得乙APGS^ABH,由相似三角形的性质得£望_,易得△P2G为等腰直角三角形，PG

PGBH

PB,分两种情况讨论：①当3〃=6时，AB=BC=8,则理_工殳=_1,进而可设4P=4a,PG=3a=

PGBH3

PB,由4B=4P+P3=8,解得a总，在RtZUPG中，利用勾股定理即可求出NG的长；②当即工时，

73

AD=CD=AB=L,此时点M在CD的延长线上，与题意不符.

3

解法二：同解法一可得红，没BH：x,BN=y,贝U5C=x+2=45,AN=x+y,以此可建

3

-25

x+y=《-_1

Ox=6

立关于x,y的方程组，,解得：＜7或，'W,再同解法一讨论即可得出

/\22/25、2

(x+2n)+y=(―)y=8

【解答】解：解法一：・・,将△4/)河绕点4顺时针旋90°得到△%加,

:.AM=AN,DM=BN,NMAN=90°,/DAM=/BAN,ZAMD^ZANB,

如图，连接DE,BF,

'：AE=AF=BC,FN^AN-AF,EM=AM-AE,

:.FN=EM,

在△瓦W和中,

'BN=DM

<NFNB=NEMD，

FN=EM

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:.丛BFN%ADEMCSAS),

：.BF=DE,

:四边形4BCD是正方形，

；./ADB=NABD=45°,AB=AD=BC,

：.AF=AB,AE=AD,

AABF和△/££(都是等腰三角形，

ZABF=ZAFB=A(180°-ZBAF),ZADE=ZAED=1.(180°-NDAE),

22

'：ZDAE=ZBAF,

：.NABF=NAFB=N4DE=ZAED,

；AF=AE,ZMAN=90°,

4AFE为等腰直角三角形，

:.NAEG=NAFG=45°,

,：ZGDE=ZADE-NADB=ZADE-45°,

ZGFB=ZAFB-ZAFG=NAEB-45°,

：.ZGFB=ZGDE,

在△GFB和△GDE中，

'NBGF=NEGD

<ZGFB=ZGDE-

tBF=DE

：./\GFB^/\GDE(AAS),

:.FG=DG,BG=EG,

在△4FG和△NOG中，

'AF=AD

<FG=DG，

AG=AG

:•△AFG/AADGCSSS),

ZE4G=ZDAG,即

,:AD〃BC,

：.ZDAH=ZAHN,

：./AHN=/NAH,

:.AN=NH=AM=2L,

3

设BH=x,贝！|A8=8C=5H+C7f=x+2,BN=NH-BH=-^--x,

3

在RtZ\/3N中，AN2=BN2+AB2,

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,/25、2,25\2/、2

,・(—)=(可-x)+(x+n2)，

解得：X1=6,Kc」，

X23

.•.昉r=6或L

3

如图，过点G作尸G〃3C,交4B于点、P,

•■-AP=--P-G,"g-n-A-P=--A-B,

ABBHPGBH

■:PG//BC,

・・・NG尸8=180°-ZPBH=1SO°-90°=90°,

TN尸5G=45°,

：・/PGB=90°-N尸5G=45°=/PBG,

:.PG=PB,

①当BH=6时，AD=CD=AB=BH+CH=8,

•-・-A-P二AB=—8=—4,

PGBH63

・••设4尸=4a,PG=3a=PB,

•:AB=AP+PB=8,

4。+3a=8,

解得「专

在中，22=7(4a)2+(3a)2=5a=-y;

RtZ\NPGAG=VAP+PG

②当BH」时，AB=CD=BC=BH+CH=工，

,:DM=8>CD=1~,

3

...点”在CD的延长线上，与题意不符.

第11页共71页

综上，AG的长为也.

7

解法二：同解法一可得空,

3

设BH=x,BN=y,

：.BC=BH+CH=x+2=AB,AN=BH+BN=x+y,

在Rtz\/8N中，AB^B^^AN2,

(-25

x+y丁

/\22,25、2

(x+n2)+y=(飞")

'x=6'

解得一7,4'3,

|y=8

同解法一讨论，即可得出/G=也.

7

故答案为：也.

7

7.(2023•大连)如图，AC=AE,BC=DE,5c的延长线与。£相交于点RZACF+ZAED=180°.求

证：AB=AD.

【分析】由已知N4CF+N/ED=180°,可得到N/C5=44助，再利用S/S证明△/8C之△/£>£,从

而得至！J/8=4D.

【解答】证明：VZACF+ZAED=1SO°,ZACF+ZACB=ISO°,

NACB=/AED,

在△48C和△/£)£中，

'AC=AE,

<ZACB=ZAED,

BC=DE,

:.AABC”AADE(&4S),

：.AB=AD.

8.（2023•遂宁）如图，四边形N3CD中，/D〃3C,点。为对角线3。的中点，过点。的直线/分别与

AD,8C所在的直线相交于点£、F.（点E不与点。重合）

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(1)求证：XDOE空XBOF；

(2)当直线/_L3D时，连结BE、DF,试判断四边形E8FD的形状，并说明理由.

【分析】(1)由/D〃2C,得NODE=NOBF,而0。=。8,ZDOE=ZBOF,即可根据全等三角形的

判定定理证明

(2)由00=05,直线/经过点。且WDE=BE,DF=BF,由△OOE四△30尸，得DE=BF,

则DE=BE=DF=BF,所以四边形EBFD是菱形.

【解答】(1)证明：

：./ODE=/OBF,

:点。为对角线5D的中点，

：.OD=OB,

在AD0E和4台。尸中，

fZODE=ZOBF

<OD=OB，

LZDOE=ZBOF

:.丛D0E"4B0F(ASA).

(2)解：四边形EAED是菱形，理由如下：

•：OD=OB,直线/经过点。且

直线I是线段BD的垂直平分线，

：.DE=BE,DF=BF,

'：ADOE沿ABOF,

：.DE=BF,

,:DE=BE=DF=BF,

四边形班即是菱形.

9.(2023•巴中)综合与实践.

(1)提出问题.如图1,在△48C和△4DE中，/BAC=/DAE=9G°,S.AB=AC,AD=AE,连接

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BD,连接C£交8。的延长线于点O.

①4BOC的度数是90°.

②BD：CE=1：1.

(2)类比探究.如图2,在△4BC和△OEC中，NBAC=/EDC=90°,S.AB=AC,DE=DC,连接

AD.BE并延长交于点O.

@ZAOB的度数是45°；

@AD：BE=

(3)问题解决.如图3,在等边△/2C中，4D_L3c于点。，点£在线段40上(不与/重合)，以

/£为边在的左侧构造等边将△，跖绕着点4在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为

所的中点，N为的中点.

①说明△MVD为等腰三角形.

②求乙的度数.

【分析】(1)(2)从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题.

(3)稍有变化，受前两间的启发，连接8RCE完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题.

【解答】解：(1)(1),：ZBAC=ZDAE=9Q°,

：.ABAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE.

又；AB=4C,AD=AE,

:.△BAD^dCAE(&4S).

NABD=NACE,

VZBAC^90°,

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ZABC+ZACB=ZABD+ZOBC+ZACB=90°,

ZACE+ZOBC+NACB=9Q°,

即：ZBCE+ZOBC=90°,

：.ZB(9C=90°.

故/20C的度数是90°.

②由①得△240名

：.BD=CE.

故8。：CE=1：1.

(2)@'：AB=AC,DE=DC,

•ABAC

"DF'DC"

又：NBAC=/EDC=90°,

△NBCsADEC,

:.N4CB=NDCB,匹

ACDC

ZACE+ZECB=ZDCA+ZACE,

：.ZECB=ZDCA.

:.△ECBsADCA,

:.NCBE=NCAD,

：.ZAOB=lSQa-ZABO-N2/O=180°-ZABO-ZCAD-N8/C=180°-ZABO-ZCBE-90°

=180°-45°-90°=45°.

故的度数是45°.

②由①得：AECBsADCA.

:.AD：BE=DC：EC,

■:NEDC=90°,S.DE=DC,

：.ZDCE=45°,

AD£=COS45°=迈.

EC2

AD：BE=1：V2.

(3)①解：连接3RCE,延长CE交MN于点、P,交BF于点、O.

在等边△/BC中/8=/C,又于点。，

为8C的中点，

又为斯的中点，N为2E的中点，

:.MN、ND分别是ABEF、△BCE的中位线，

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:.MN=%F,DN=1£C.

22

VZE4E=ZBAC=60°,

ZE4E+ZEAB=ZBAC+ZEAB.

：.ZFAB=ZEAC.

在△NCE和ANB产中，

'AF=AE

<ZFAB=ZEAC-

LAB=AC

:.AACE沿AABF(S/S).

：.BF=EC.

:.MN=DN.

:AMND为等腰三角形.

②:FACE当A4BF,

：.NACE=/ABF,

由(1)(2)规律可知：ZBOC=60°,

：.ZFOC=180°-ZSOC=180°-60°=120°,

又,：BF〃MN,CP//DN,

：.ZMND=ZMPE=ZFOC=120°.

图5

【中考模拟练】

I.（2023•三穗县校级一模）如图，点，£分别为△48C的边48,NC上的点，连接并延长至R使

EF=DE,连接FC.若FC〃4B,AB=5,CF=3,则8。的长等于（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】由尸C〃/8得，ZDAE=ZFCE,再利用44s证明△£）/£1丝△尸C£,得4D=CF,从而解决问

题.

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【解答】解：

ZDAE=NFCE,

在ADAE与AFCE中，

,ZDAE=ZFCE

'NAED=NCEF，

.DE=EF

.'.△DAE咨MCE(AAS),

:.AD=CF,

：C尸=3,

；.AD=CF=3,

又*8=5,

：.BD=AB-AD=5-3=2,

故选：B.

2.（2024•昆山市一模）如图，在平行四边形48。中，AD=5,AB=6近,/£＞是锐角，C£_L4D于点£,

厂是CD的中点，连接8尸，EF.若/EFB=9Q°,则CE的长为2\/Ti.

【分析】如图，延长2/交/。的延长线于。，连接BE,设DE=x,首先证明△BCF之尸（44S）,

得出EQ=BE=x+5,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，延长8b交/。的延长线于0,连接5E,设DE=x,

C.DQ//BC,AD=BC=5,

:./Q=/CBF,

,:DF=FC,ZDFQ=ZBFC,

:.丛BCFW丛QDF(AAS),

：.BC=DQ,QF=BF,

；/MB=90°,

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:.EFLQB,

.\EQ=BE=x+5,

9：CE.LAD,BC//AD,

：.CEA.BC,

：.ZDEC=ZECB=90°,

•：CE2=DC2-ED2=EB2-BC2,

(6A/2)2-x2—(x+5)2-52,

整理得：2，+10x-72=0,

解得x=4或-9(舍弃)，

:.BE=9,

CE=7BE2-BC2=792-52=2>/14-

故答案为：2日.

3.（2023•福田区二模）如图，正方形A8CD的边长为8,对角线/C,3。相交于点O,点N分别在

边3C,CD上，且NVON=90°,连接MV交0c于尸，若BM=2,则OP・OC=20.

【分析】过点。作OEL8C于点E,根据正方形的性质可得05=。。=。。，ZBOC=ZCOD=90a,

NO8C=/OCB=NOCD=45°,再根据同角的余角相等可得N3OA/=NCON,以此即可通过N&4证明

/\OBM^/\OCN,得到2M=CN=2,OM=ON,进而得到NCW=/OCM=45°,易证明△OMPs4

OCM,根据相似三角形的性质可得理_旦巳，即。P・OC=O序，由等腰直角三角形的性质可得OE=3£

OC0M

=4,则ME=2,最后根据勾股定理即可求解.

【解答】解：如图，过点。作。于点E,

•/四边形ABCD为边长为8的正方形,

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：.OB=OC=OD,8c=8,BD±AC,

：.ZBOC=ZCOD=90°,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

'：NBOC=ZBOM+ZCOM^90°,

又,//MON=ZCOM+ZCON=90°,

：.ZBOM=ACON,

在AOBM和△OCN中,

，ZB0M=ZC0N

-OB=OC，

,Z0BM=Z0CN

：./\OBM^/\OCNCASA）,

:.BM=CN=2,OM=ON,

...△MON为等腰直角三角形，

ZOMN=ZOW=45°,

：.ZOMP=ZOCM=45°,

'：ZPOM=NMOC,

•.•-0-M~-O-P-,

0C0M

：.OP-OC=OM2,

VZBOC=90°,OB=OC,OELBC,

.".OE=BE=~^l（j=4,

：.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中,。胎=OE2+ME2,

.•.OA/2=42+22=20,

：.OP-OC=20.

故答案为：20.

4.（2024•河南一模）如图，在菱形O4BC中，48。。=60°,点C（-3,0）,点。在对角线20上，

且00=22。，点£是射线/。上一动点，连接。E,尸为x轴上一点（尸在左侧），且/ED尸=60°,

连接即，当△。跖的周长最小时，点£的坐标为（）

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A.(1,3)B.(-1,-V3)c.(1,多D.(0,0)

【分析】先说明△。既是等边三角形，再利用垂线段最短找到点E的位置，最后确定E的坐标.

【解答】解：如图，取点G(-2,0),连接DG,

:四边形CU8C是菱形点。(-3,0),

OC=OA=BC=3,

VZBCO=60°,

...△8C。是等边三角形，

：.OB=3,NBOC=60°,

,：OD=2BD,

：.OD=2,

：OG=2,

...△OG。是等边三角形，

：.ZGDO=60°,DG=DO,

VZEDF=60°,

ZFDG=/EDO,

VZFGD=ZEOD=120°,

：.^FDG^/\EDO(ASA),

：.DF=DE,

即是等边三角形，

；.△£)£厂的周长最小时，DE最小，

如图，过。作DE_L。/,垂足为E,过E作EH_Lx轴，垂足为

RtZXDOE中，ZDOE=60°,OD=2,

：.OE=loD^l,

2

RtZ\O£77中，ZEOH=60a,

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：.OH=1JOE=X,EH=OE-sinZEOH=OE-sm6Q0=江，

222

故选：C.

5.(2023•长春模拟)两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放.将两个三角板抽象成如图②所

示的△/8C和点2、C、。依次在同一条直线上，连接CE.若CD=1,CE=3,则点/到直线

BC的距离为_V3_.

图①图②

【分析】首先根据等边三角形的性质得NA4C=60°,AB=AC,/£>/£=60°,AD=AE,进而可得出

ZBAD=ZCAE,据此可依据“S/S”判定和全等，从而得出BD=CE=3,进而得8C=2,

然后过点/作于点〃，在中，利用勾股定理可求出的长.

【解答】解：:△/BC和△/£>£均为等边三角形，

?.ZBAC=60°,AB=AC,NDAE=60°,AD=AE,

：./BAC=ZDAE,

：.NBAC+NCAD=ZDAE+ZCAD,

即：ZBAD^ZCAE,

在△48。和中，

'AB=AC

,ZBAD=ZCAE-

LAD=AE

.♦.△ABD/△ACE(SAS),

：.BD=CE,

即：BC+CD=CE,

'：CD=\,CE=3,

：.BC+\=3,

:.BC=2,

图①图②

；△NBC是等边三角形，

第21页共71页

•■•BH=CH=yBC-1-X2=l-AC=BC=2,

在RtZ\/〃C中，AC=2,CH=\,

由勾股定理得：AH=VAC2-CH2=^22-12=V3-

，点/到直线5c的距离为近.

故答案为：V3.

6.(2024•雁塔区校级二模)已知：如图，点£、尸在8C上，4F与DE交于点、G,AB=DC,GE=GF,

【分析】由GE=GR得出AGE/为等腰三角形，即/GE/=NGEE,再判定以名△OCE,根据/厂

-GF=DE-GE,即可得出结论.

【解答】证明：：GE=GR

...△GM为等腰三角形，

ZGEF=ZGFE,

在AABF和△£»(7£中，NB=NC,

：./A=ND,

在尸和△DCE中，

rZA=ZD

，AB=DC，

LZB=ZC

:.△ABF/ADCE(ASA),

:.AF=DE,

又,：GF=GE,

：.AF-GF=DE-GE,

即AG=DG.

7.(2024•凉州区一模)某同学用10块高度都是5c%的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，

木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(N4SD=90°,BD=BA)，点8在C£上，点/和。

分别与木墙的顶端重合.

(1)求证：△ACB9ABED；

(2)求两堵木墙之间的距离.

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D

【分析】(1)根据题意可得/C=2C,ZACB=90°,ADLDE,BELDE,进而得到/4DC=NCE2=

90°,再根据等角的余角相等可得N2CE=N£UC,再证明△/OC四△CE2即可；

(2)利用全等三角形的性质进行解答.

【解答】(1)证明：由题意得：AB=BD,ZABD=90a,ACLCE,DEA^CE,

：.ZBED=ZACB=90°,

:.NBDE+NDBE=90°,ZDBE+ZABC=90°,

ZBDE=/ABC,

在△NCB和△BED中，

，ZABC=ZBDE

<NACB=/BED，

BD=AB

:.△ACB沿ABED(AAS)；

(2)解：由题意得：NC=5X3=15(cm),£>£=7X5=35(cm),

■:AACBmABED,

DE=BC=35cm,BE=AC=l5cm,

：.DE=DC+CE=50(cm),

答：两堵木墙之间的距离为50cm.

8.(2024•龙马潭区一模)如图，抛物线y=a?+6x+6(aWO)与x轴交于/(-1,0),5(3,0)两点，

与y轴交于点C,顶点为D

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段3c上存在一点"，使得N3MO=45°,过点。作08,(W交BC的延长线于点8,求

点M的坐标；

(3)点P是y轴上一动点，点0是在对称轴上一动点，是否存在点P,0,使得以点P,Q,C,。为顶

点的四边形是菱形？若存在，求出点0的坐标；若不存在，请说明理由.

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备用图

【分析】⑴把点N(7,0),2(3,0)代入抛物线解析式得卜++6=°,解得(a=-2,即可得

l9a+3b+6=0Ib=4

出结论；

(2)由待定系数法得直线8C的解析式为y=-2x+6,设点〃■的坐标为(加，-2加+6)(0</<3),

过点新作轴于点N,过点77作胸_Ly轴于点K,证△OMN之(44S),得MN=OK,ON

=HK.则X(-2m+6,-m),再由点H(-2加+6,-m)在直线y=-2x+6上，得-2(-2w+6)+6

=-m,解得加=旦，即可解决问题；

5

(3)分两种情况讨论，①当CD为菱形的边时，②当CD为菱形的对角线时，分别求出点。的坐标即

可.

【解答】解：(1)•.•抛物线歹=改2+历：+6经过点/(-I,0),B(3,0)两点，

.(a-b+6=0

l9a+3b+6=0，

解得：卜=-2,

Ib=4

...抛物线的解析式为了=-2X2+4X+6；

(2)由(1)得，点C(0,6),

设直线BC的解析式为y=kx+c,

:直线3C经过点B(3,0),C(0,6),

.(3k+c=0

"Ic=6,

解得：。=-2

Ic=6

直线2c的解析式为y=-2x+6,

设点Af的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),

如图1,过点〃■作MNLy轴于点N,过点〃作轴于点K,

则/ACVO=NOKH=90°,

\"OHLOM,

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ZMOH=90°,

'：ZOMB=45°,

・・・AMOH是等腰直角三角形，

：.OM=OH.

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

・•・ZMON=ZOHKf

:•△OMN"AHOK(AAS),

:.MN=OK,ON=HK.

:.H(-2加+6,-m),

♦;点、H(-2加+6,-加)在直线y=-2x+6±,

-2(-2m+6)+6=-m,

解得：m=—

5f

把羽=2代入y=-2x+6得：》=里_,

55

.•.当NOMB=45°时，点〃的坐标为(旦，-1§.)；

55

(3)存在，理由如下：

:抛物线的解析式为y=-2%2+4X+6=-2(x-1)2+8,顶点为D,

.•.点。的坐标为(1,8),

分两种情况讨论：

①当CD为菱形的边时，

如图2,过。作CE_LD。于£

VC(0,6),D(1,8