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文档简介

培优专题01三角形中的常见模型综合训练

考点大集合

1

卷考点大过关

考点一:三角形的全等模型

・k核总提炼;查漏补缺

全等三角形在中考数学中的重点不是简单的直接考察,而是作为几何题的中间变量,利用全等三角形的

对应边相等、对应角相等,来传递等量线段或者等价角。而当题目不直接考察时,识别需要的全等模型,

并利用对应结论做题就是最为重要的一个突破口,学习模型,运用模型结论直接做题会给我们提供一个非

常重要的做题思路。

・题型特训•精准提分

题型01三角形常见全等模型及其应用

解题大招:全等常见模型:

①K型图:

图形条件与结论辅助线注意事项

第1页共71页

A条件:AC=BC,AC1分别过点A、BK型图可以和等腰直角三

BC作AD1/角板结合,也可以和正方

结论:形结合

t-BE1/

-

)CAADC^ACEB(AAS)

K型全等模型变形——三垂定理:

总结:当一个直角放在一条直线上时,常通过构造K型全等来证明边相等,或者边之间的数量关系

②手拉手:

模型名称几何模型图形特点具有性质

全连结BD、CE

等①△ABD4ACE

型②△AOBs\HOC

AD=AEZ

&匕-----

手③旋转角相等

AB=AC

拉(即41=42=/3)

ZBAC=ZDAE

手④A、B、C、D四点共圆

⑤AH平分立BHE

8

③倍长中线:

基本图形辅助线条件与结论应用环境

①倍长中线常和△三边

延长AD到点E,条件:ZiABC,AD=BD关系结合,考察中线长的

使DE=AD,连接CE取值范围

结论:②倍长中线也可以和其

△ABD^ACED(SAS)他几何图形结合,考察几

VE何图形的面积问题

【中考真题练】

1.(2023•长春)如图,工人师傅设计了一种测零件内径N3的卡钳,卡钳交叉点。为也4,、39的中点,

只要量出49的长度,就可以知道该零件内径N3的长度.依据的数学基本事实是()

第2页共71页

A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例

D.两点之间线段最短

【分析】根据点。为44'、59的中点得出CM=O4,OB=OB',根据对顶角相等得到乙4。8=/4。夕,

从而证得△/。8和△409全等,于是有/3=48,问题得证.

【解答】解:;点。为44、的中点,

;.0A=0A\OBOB',

由对顶角相等得

在A40B和△40®中,

'0A=0A'

-NAOB=NA'OB',

OB=OBy

:.AAOB^AA'O£'(SAS),

:.AB=A'B',

即只要量出4夕的长度,就可以知道该零件内径的长度,

故选:A.

2.(2023•重庆)如图,在Rtz\/8C中,ZBAC=90°,AB=AC,点、D为BC上一点"连接NO.过点3

作BELAD于点E,过点C作CFUD交4D的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为3.

【分析】先证明p(44S),根据全等三角形的性质可得/尸=3E=4,4E=CF=1,进一

步可得斯的长.

【解答】解:'JBELAD,CF±AD,

ZBEA=ZAFC=90°,

:./BAE+NABE=9Q°,

VZBAC=90°,

第3页共71页

ABAE+AFAC=9Q°,

・•・ZE4C=AABE,

在和厂中,

<ZBEA=ZAFC

</ABE=/FAC,

AB=AC

••・△ABE咨/\CAF(AAS),

:.AF=BE,AE=CF,

9:BE=4,CF=l,

C.AF=BE=A,AE=CF=1,

:・EF=AF-AE=4-1=3,

故答案为:3.

3.(2023•呼和浩特)如图,在RtZX/BC中,ZABC=90a,AB=BC,AC=4近,点尸为NC边上的中点,

PM交AB的延长线于点M,尸N交3C的延长线于点N,且尸MLLPN.若敏=1,则△「」村的面积为()

A.13B.V13C.8D.H

2

【分析】依据题意,连接3P,然后先证明△BMPg/XCAP,从而CN=BP=1,又由等腰RtZX/BC可得

BC=4,从而在RtZWffiN中可以求得MN,又MP=NP,从而可得〃N的值,进而可以得解.

在RtZ\A8C中,ZABC=90°,

•:AB=BC,点P为/C边上的中点,

:.BP±AC,NCBP=/ABP=L/ABC=45。,ZBCA=45°,BP=CP=Lc=2近.

22

:.NMBP=NNCP=180°-45°=135°.

'JBPLAC,PMLPN,

:.ZBPM+ZMPC=90°,ZCPN+ZMPC=90a.

第4页共71页

/BPM=ZCPN.

又BP=CP,ZMBP=ZNCP,

:./\BMP^/\CNPCASA).

:.BM=CN=1,MP=NP.

在RtZ\8PC中,BC=A/BP24CP2=4-

/.在RtdMBN中,MN=VBM2+BN2=Vl2+52=^26.

又在RtzXAffW中,MP=NP,

:.MP2+NP2=MN2.

:.MP=NP=^p^.

:.SAPMN=—MP-NP=1^-.

22

故选:D.

4.(2023•湖北)如图,ABAC,和△/斯都是等腰直角三角形,/B4C=/DEB=/AEF=90°,

点E在△/2C内,BE>AE,连接交/E于点G,DE交AB于点、H,连接CF.给出下面四个结论:

①/DB4=NEBC;②/BHE=/EGF;③AB=DF;④AD=CF.其中所有正确结论的序号是①

⑶⑷.

【分析】由等腰直角三角形的性质可得出//5C=/D2E=45°,可得出①正确;证明△BE/g/VJE尸

(&4S),由全等三角形的性质得出可得出③正确;由直角三角形的性质可判断②不正确;

证明四边形。尸C4为平行四边形,由平行四边形的性质可得出D/=CR则可得出答案.

【解答】解:△。即都是等腰直角三角形,

:.NABC=NDBE=45°,

ZABC-ZABE=ZDBE-AABE,

:.ZEBC=ZDBA,

故①正确;

,:ADEB和△/所都是等腰直角三角形,

:.BE=DE,AE=EF,NBED=NAEF=90°,

:.NBEA=NDEF,

第5页共71页

:•△BEA^ADEF(SAS),

:.AB=DF,ZABE=AEDF,ZBAE=ZDFE,

故③正确;

VZBEH=ZGEF=90°,

:・NABE+NBHE=90°,NEGF+NDFE=90°,

■:BE>AE,

:.NABEr/AEB,

:./ABEW/DFE,

:./BHE#/EGF;

VZBAC=90°,ZEAF=45°,

AZBAE+ZE4C=45°,

又♦;NAFD+/EFG=45°,ZBAE=ZDFE,

:.ZDFA=ZFAC,

J.DF//AC,

■:AB=DF,AB=AC,

:・DF=AC,

・•・四边形。尸C4为平行四边形,

:.DA=CF.

故④正确.

故答案为:①③④.

5.(2023•遂宁)如图,以△45。的边45、4C为腰分别向外作等腰直角△42E、AACD,连结瓦入BD、

EC,过点4的直线/分别交线段。回、5C于点M、N.以下说法:①当45=4C=5C时,ZAED=30°;

②EC=BD;③若45=3,AC=4fBC=6,则QE=2愿;④当直线时,点M为线段的中

点.正确的有①②⑷.(填序号)

【分析】由4B=4C=BC,得/B4c=60°,因为AC=AD,ZBAE=ZCAD=90°,所以ZE

=AD,ZEAD=nO°,则N/ED=N/OE=30°,可判断①正确;由NC4O=NA4E=90°,推导出

第6页共71页

/CAE=NDAB,可证明g△D42,得EC=BD,可判断②正确;设BD交AE于点、G,交CE于

点、O,可证明/EO5=90°,可根据勾股定理推导出。£2+8°2=

BE2+CD2,可求得8炉=452+/炉=]8,CD1^AD~+AC1^32,BC?=36,则。五#2向,可判断

③错误;当直线/L8C时,作斯〃40交直线/于点R连接。尸,可证明△瓦4尸丝△/2C,贝1JE尸=/C

=4D,所以四边形NDFE是平行四边形,则”为线段。E的中点,可判断④正确,于是得到问题的答

案.

【解答】解:':AB=AC=BC,

:.ZBAC=60°,

,:AE=AB,AC=AD,/BAE=/CAD=90°,

;.AE=AD,N£4D=360-60°-90°-90°=120°,

ZAED=ZADE=^X(180°-120°)=30°,

2

故①正确;

■:NCAD=NBAE=90°,

:.ZCAE=ZDAB=90°+ZDAE,

:./\CAE^/\DAB(SAS),

:.EC=BD,

故②正确;

如图1,设2。交NE于点G,交CE于点。,

ZAEC=AABD,ZOGE=ZAGB,

:.ZAEC+ZOGE=ZABD+ZAGB=90°,

:.ZEOB=90°,

AZCOD=ZBOC=ZDOE=90°,

:.DE2+BC2=OD1+OE1+OB-+OC1=BE2+CD2,

AE=AB=3,AD=AC=4,BC=6,

:.BE2=AB2+AE2=32+32=18,CD2=AD2+AC2=42+42=32,5C2=62=36,

:・DE='>/BE2-^D2-BC2=V18+32-36=V14W2M,

故③错误;

当直线/_LBC时,如图2,作所〃交直线/于点尸,连接。咒

:/AEF+NDAE=18Q°,ZBAC+ZDAE=180°,

/AEF=ABAC,

■:/ANB=NBAE=90°,

:.ZEAF=ZABC=900-ZBAN,

;EA=4B,

第7页共71页

:.LEAF%LABC(ASA),

:.EF=AC=AD,

四边形ADFE是平行四边形,

为线段DE的中点,

故④正确,

故答案为:①②④.

图2

6.(2023•鞍山)如图,在正方形48CD中,点”为CD边上一点,连接将绕点/顺时针旋

转90°得到△4BN,在/M,/N上分别截取NE,AF,使连接£凡交对角线于点G,

连接/G并延长交于点X.若/〃=型,CH=2,则/G的长为—图L.

3~7~

【分析】解法一:由旋转的性质得DM=BN,NMAN=90°,ZDAM=ZBAN,ZAMD=Z

ANB,连接。E,BF,由等线段减等线段相等可得/N=EM,于是可通过&4s证明△ARV刍得

第8页共71页

到8尸=。£,易得4F=4B,AE=AD,由三角形内角和定理可得尸=//7咕=工(180°-NBAF),

2

ZADE^ZAED=1.(180°-NDAE),由/D4E=NBAF得至“NABF=N4FB=/4DE=/AED,易

2

得△/匹为等腰直角三角形,根据等角减等角相等可知NGF5=NGDE,于是可通过44s证明△GEBg

△GDE,得至U/G=OG,BG=EG,进而可通过SSS证明也ZUDG,得至叱D4H=NNAH,由平

行线的性质可得N4fflV=NM48,则空,设BH=x,则48=2C=x+2,2"=变_丫,

33

在RtZ\48N中,利用勾股定理建立方程,求得xi=6,x」,即3〃=6或工,过点G作PG//BC,交

x233

AB于点、P,易得乙APGS^ABH,由相似三角形的性质得£望_,易得△P2G为等腰直角三角形,PG

PGBH

PB,分两种情况讨论:①当3〃=6时,AB=BC=8,则理_工殳=_1,进而可设4P=4a,PG=3a=

PGBH3

PB,由4B=4P+P3=8,解得a总,在RtZUPG中,利用勾股定理即可求出NG的长;②当即工时,

73

AD=CD=AB=L,此时点M在CD的延长线上,与题意不符.

3

解法二:同解法一可得红,没BH:x,BN=y,贝U5C=x+2=45,AN=x+y,以此可建

3

-25

x+y=《-_1

Ox=6

立关于x,y的方程组,,解得:<7或,'W,再同解法一讨论即可得出

/\22/25、2

(x+2n)+y=(―)y=8

【解答】解:解法一:・・,将△4/)河绕点4顺时针旋90°得到△%加,

:.AM=AN,DM=BN,NMAN=90°,/DAM=/BAN,ZAMD^ZANB,

如图,连接DE,BF,

':AE=AF=BC,FN^AN-AF,EM=AM-AE,

:.FN=EM,

在△瓦W和中,

'BN=DM

<NFNB=NEMD,

FN=EM

第9页共71页

:.丛BFN%ADEMCSAS),

:.BF=DE,

:四边形4BCD是正方形,

;./ADB=NABD=45°,AB=AD=BC,

:.AF=AB,AE=AD,

AABF和△/££(都是等腰三角形,

ZABF=ZAFB=A(180°-ZBAF),ZADE=ZAED=1.(180°-NDAE),

22

':ZDAE=ZBAF,

:.NABF=NAFB=N4DE=ZAED,

;AF=AE,ZMAN=90°,

4AFE为等腰直角三角形,

:.NAEG=NAFG=45°,

,:ZGDE=ZADE-NADB=ZADE-45°,

ZGFB=ZAFB-ZAFG=NAEB-45°,

:.ZGFB=ZGDE,

在△GFB和△GDE中,

'NBGF=NEGD

<ZGFB=ZGDE-

tBF=DE

:./\GFB^/\GDE(AAS),

:.FG=DG,BG=EG,

在△4FG和△NOG中,

'AF=AD

<FG=DG,

AG=AG

:•△AFG/AADGCSSS),

ZE4G=ZDAG,即

,:AD〃BC,

:.ZDAH=ZAHN,

:./AHN=/NAH,

:.AN=NH=AM=2L,

3

设BH=x,贝!|A8=8C=5H+C7f=x+2,BN=NH-BH=-^--x,

3

在RtZ\/3N中,AN2=BN2+AB2,

第10页共71页

,/25、2,25\2/、2

,・(—)=(可-x)+(x+n2),

解得:X1=6,Kc」,

X23

.•.昉r=6或L

3

如图,过点G作尸G〃3C,交4B于点、P,

•■-AP=--P-G,"g-n-A-P=--A-B,

ABBHPGBH

■:PG//BC,

・・・NG尸8=180°-ZPBH=1SO°-90°=90°,

TN尸5G=45°,

:・/PGB=90°-N尸5G=45°=/PBG,

:.PG=PB,

①当BH=6时,AD=CD=AB=BH+CH=8,

•-・-A-P二AB=—8=—4,

PGBH63

・••设4尸=4a,PG=3a=PB,

•:AB=AP+PB=8,

4。+3a=8,

解得「专

在中,22=7(4a)2+(3a)2=5a=-y;

RtZ\NPGAG=VAP+PG

②当BH」时,AB=CD=BC=BH+CH=工,

,:DM=8>CD=1~,

3

...点”在CD的延长线上,与题意不符.

第11页共71页

综上,AG的长为也.

7

解法二:同解法一可得空,

3

设BH=x,BN=y,

:.BC=BH+CH=x+2=AB,AN=BH+BN=x+y,

在Rtz\/8N中,AB^B^^AN2,

(-25

x+y丁

/\22,25、2

(x+n2)+y=(飞")

'x=6'

解得一7,4'3,

|y=8

同解法一讨论,即可得出/G=也.

7

故答案为:也.

7

7.(2023•大连)如图,AC=AE,BC=DE,5c的延长线与。£相交于点RZACF+ZAED=180°.求

证:AB=AD.

【分析】由已知N4CF+N/ED=180°,可得到N/C5=44助,再利用S/S证明△/8C之△/£>£,从

而得至!J/8=4D.

【解答】证明:VZACF+ZAED=1SO°,ZACF+ZACB=ISO°,

NACB=/AED,

在△48C和△/£)£中,

'AC=AE,

<ZACB=ZAED,

BC=DE,

:.AABC”AADE(&4S),

:.AB=AD.

8.(2023•遂宁)如图,四边形N3CD中,/D〃3C,点。为对角线3。的中点,过点。的直线/分别与

AD,8C所在的直线相交于点£、F.(点E不与点。重合)

第12页共71页

(1)求证:XDOE空XBOF;

(2)当直线/_L3D时,连结BE、DF,试判断四边形E8FD的形状,并说明理由.

【分析】(1)由/D〃2C,得NODE=NOBF,而0。=。8,ZDOE=ZBOF,即可根据全等三角形的

判定定理证明

(2)由00=05,直线/经过点。且WDE=BE,DF=BF,由△OOE四△30尸,得DE=BF,

则DE=BE=DF=BF,所以四边形EBFD是菱形.

【解答】(1)证明:

:./ODE=/OBF,

:点。为对角线5D的中点,

:.OD=OB,

在AD0E和4台。尸中,

fZODE=ZOBF

<OD=OB,

LZDOE=ZBOF

:.丛D0E"4B0F(ASA).

(2)解:四边形EAED是菱形,理由如下:

•:OD=OB,直线/经过点。且

直线I是线段BD的垂直平分线,

:.DE=BE,DF=BF,

':ADOE沿ABOF,

:.DE=BF,

,:DE=BE=DF=BF,

四边形班即是菱形.

9.(2023•巴中)综合与实践.

(1)提出问题.如图1,在△48C和△4DE中,/BAC=/DAE=9G°,S.AB=AC,AD=AE,连接

第13页共71页

BD,连接C£交8。的延长线于点O.

①4BOC的度数是90°.

②BD:CE=1:1.

(2)类比探究.如图2,在△4BC和△OEC中,NBAC=/EDC=90°,S.AB=AC,DE=DC,连接

AD.BE并延长交于点O.

@ZAOB的度数是45°;

@AD:BE=

(3)问题解决.如图3,在等边△/2C中,4D_L3c于点。,点£在线段40上(不与/重合),以

/£为边在的左侧构造等边将△,跖绕着点4在平面内顺时针旋转任意角度.如图4,M为

所的中点,N为的中点.

①说明△MVD为等腰三角形.

②求乙的度数.

【分析】(1)(2)从图形可辩知,这个是手拉手全等或相似模型,按模型的相关结论解题.

(3)稍有变化,受前两间的启发,连接8RCE完成手拉手的构造,再结合三角形中位线知识解题.

【解答】解:(1)(1),:ZBAC=ZDAE=9Q°,

:.ABAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

:.ZBAD=ZCAE.

又;AB=4C,AD=AE,

:.△BAD^dCAE(&4S).

NABD=NACE,

VZBAC^90°,

第14页共71页

ZABC+ZACB=ZABD+ZOBC+ZACB=90°,

ZACE+ZOBC+NACB=9Q°,

即:ZBCE+ZOBC=90°,

:.ZB(9C=90°.

故/20C的度数是90°.

②由①得△240名

:.BD=CE.

故8。:CE=1:1.

(2)@':AB=AC,DE=DC,

•ABAC

"DF'DC"

又:NBAC=/EDC=90°,

△NBCsADEC,

:.N4CB=NDCB,匹

ACDC

ZACE+ZECB=ZDCA+ZACE,

:.ZECB=ZDCA.

:.△ECBsADCA,

:.NCBE=NCAD,

:.ZAOB=lSQa-ZABO-N2/O=180°-ZABO-ZCAD-N8/C=180°-ZABO-ZCBE-90°

=180°-45°-90°=45°.

故的度数是45°.

②由①得:AECBsADCA.

:.AD:BE=DC:EC,

■:NEDC=90°,S.DE=DC,

:.ZDCE=45°,

AD£=COS45°=迈.

EC2

AD:BE=1:V2.

(3)①解:连接3RCE,延长CE交MN于点、P,交BF于点、O.

在等边△/BC中/8=/C,又于点。,

为8C的中点,

又为斯的中点,N为2E的中点,

:.MN、ND分别是ABEF、△BCE的中位线,

第15页共71页

:.MN=%F,DN=1£C.

22

VZE4E=ZBAC=60°,

ZE4E+ZEAB=ZBAC+ZEAB.

:.ZFAB=ZEAC.

在△NCE和ANB产中,

'AF=AE

<ZFAB=ZEAC-

LAB=AC

:.AACE沿AABF(S/S).

:.BF=EC.

:.MN=DN.

:AMND为等腰三角形.

②:FACE当A4BF,

:.NACE=/ABF,

由(1)(2)规律可知:ZBOC=60°,

:.ZFOC=180°-ZSOC=180°-60°=120°,

又,:BF〃MN,CP//DN,

:.ZMND=ZMPE=ZFOC=120°.

图5

【中考模拟练】

I.(2023•三穗县校级一模)如图,点,£分别为△48C的边48,NC上的点,连接并延长至R使

EF=DE,连接FC.若FC〃4B,AB=5,CF=3,则8。的长等于()

A.1B.2C.3D.5

【分析】由尸C〃/8得,ZDAE=ZFCE,再利用44s证明△£)/£1丝△尸C£,得4D=CF,从而解决问

题.

第16页共71页

【解答】解:

ZDAE=NFCE,

在ADAE与AFCE中,

,ZDAE=ZFCE

'NAED=NCEF,

.DE=EF

.'.△DAE咨MCE(AAS),

:.AD=CF,

:C尸=3,

;.AD=CF=3,

又*8=5,

:.BD=AB-AD=5-3=2,

故选:B.

2.(2024•昆山市一模)如图,在平行四边形48。中,AD=5,AB=6近,/£>是锐角,C£_L4D于点£,

厂是CD的中点,连接8尸,EF.若/EFB=9Q°,则CE的长为2\/Ti.

【分析】如图,延长2/交/。的延长线于。,连接BE,设DE=x,首先证明△BCF之尸(44S),

得出EQ=BE=x+5,利用勾股定理构建方程即可解决问题.

【解答】解:如图,延长8b交/。的延长线于0,连接5E,设DE=x,

C.DQ//BC,AD=BC=5,

:./Q=/CBF,

,:DF=FC,ZDFQ=ZBFC,

:.丛BCFW丛QDF(AAS),

:.BC=DQ,QF=BF,

;/MB=90°,

第17页共71页

:.EFLQB,

.\EQ=BE=x+5,

9:CE.LAD,BC//AD,

:.CEA.BC,

:.ZDEC=ZECB=90°,

•:CE2=DC2-ED2=EB2-BC2,

(6A/2)2-x2—(x+5)2-52,

整理得:2,+10x-72=0,

解得x=4或-9(舍弃),

:.BE=9,

CE=7BE2-BC2=792-52=2>/14-

故答案为:2日.

3.(2023•福田区二模)如图,正方形A8CD的边长为8,对角线/C,3。相交于点O,点N分别在

边3C,CD上,且NVON=90°,连接MV交0c于尸,若BM=2,则OP・OC=20.

【分析】过点。作OEL8C于点E,根据正方形的性质可得05=。。=。。,ZBOC=ZCOD=90a,

NO8C=/OCB=NOCD=45°,再根据同角的余角相等可得N3OA/=NCON,以此即可通过N&4证明

/\OBM^/\OCN,得到2M=CN=2,OM=ON,进而得到NCW=/OCM=45°,易证明△OMPs4

OCM,根据相似三角形的性质可得理_旦巳,即。P・OC=O序,由等腰直角三角形的性质可得OE=3£

OC0M

=4,则ME=2,最后根据勾股定理即可求解.

【解答】解:如图,过点。作。于点E,

•/四边形ABCD为边长为8的正方形,

第18页共71页

:.OB=OC=OD,8c=8,BD±AC,

:.ZBOC=ZCOD=90°,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

':NBOC=ZBOM+ZCOM^90°,

又,//MON=ZCOM+ZCON=90°,

:.ZBOM=ACON,

在AOBM和△OCN中,

,ZB0M=ZC0N

-OB=OC,

,Z0BM=Z0CN

:./\OBM^/\OCNCASA),

:.BM=CN=2,OM=ON,

...△MON为等腰直角三角形,

ZOMN=ZOW=45°,

:.ZOMP=ZOCM=45°,

':ZPOM=NMOC,

•.•-0-M~-O-P-,

0C0M

:.OP-OC=OM2,

VZBOC=90°,OB=OC,OELBC,

.".OE=BE=~^l(j=4,

:.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中,。胎=OE2+ME2,

.•.OA/2=42+22=20,

:.OP-OC=20.

故答案为:20.

4.(2024•河南一模)如图,在菱形O4BC中,48。。=60°,点C(-3,0),点。在对角线20上,

且00=22。,点£是射线/。上一动点,连接。E,尸为x轴上一点(尸在左侧),且/ED尸=60°,

连接即,当△。跖的周长最小时,点£的坐标为()

第19页共71页

A.(1,3)B.(-1,-V3)c.(1,多D.(0,0)

【分析】先说明△。既是等边三角形,再利用垂线段最短找到点E的位置,最后确定E的坐标.

【解答】解:如图,取点G(-2,0),连接DG,

:四边形CU8C是菱形点。(-3,0),

OC=OA=BC=3,

VZBCO=60°,

...△8C。是等边三角形,

:.OB=3,NBOC=60°,

,:OD=2BD,

:.OD=2,

:OG=2,

...△OG。是等边三角形,

:.ZGDO=60°,DG=DO,

VZEDF=60°,

ZFDG=/EDO,

VZFGD=ZEOD=120°,

:.^FDG^/\EDO(ASA),

:.DF=DE,

即是等边三角形,

;.△£)£厂的周长最小时,DE最小,

如图,过。作DE_L。/,垂足为E,过E作EH_Lx轴,垂足为

RtZXDOE中,ZDOE=60°,OD=2,

:.OE=loD^l,

2

RtZ\O£77中,ZEOH=60a,

第20页共71页

:.OH=1JOE=X,EH=OE-sinZEOH=OE-sm6Q0=江,

222

故选:C.

5.(2023•长春模拟)两个大小不同的等边三角形三角板按图①所示摆放.将两个三角板抽象成如图②所

示的△/8C和点2、C、。依次在同一条直线上,连接CE.若CD=1,CE=3,则点/到直线

BC的距离为_V3_.

图①图②

【分析】首先根据等边三角形的性质得NA4C=60°,AB=AC,/£>/£=60°,AD=AE,进而可得出

ZBAD=ZCAE,据此可依据“S/S”判定和全等,从而得出BD=CE=3,进而得8C=2,

然后过点/作于点〃,在中,利用勾股定理可求出的长.

【解答】解::△/BC和△/£>£均为等边三角形,

?.ZBAC=60°,AB=AC,NDAE=60°,AD=AE,

:./BAC=ZDAE,

:.NBAC+NCAD=ZDAE+ZCAD,

即:ZBAD^ZCAE,

在△48。和中,

'AB=AC

,ZBAD=ZCAE-

LAD=AE

.♦.△ABD/△ACE(SAS),

:.BD=CE,

即:BC+CD=CE,

':CD=\,CE=3,

:.BC+\=3,

:.BC=2,

图①图②

;△NBC是等边三角形,

第21页共71页

•■•BH=CH=yBC-1-X2=l-AC=BC=2,

在RtZ\/〃C中,AC=2,CH=\,

由勾股定理得:AH=VAC2-CH2=^22-12=V3-

,点/到直线5c的距离为近.

故答案为:V3.

6.(2024•雁塔区校级二模)已知:如图,点£、尸在8C上,4F与DE交于点、G,AB=DC,GE=GF,

【分析】由GE=GR得出AGE/为等腰三角形,即/GE/=NGEE,再判定以名△OCE,根据/厂

-GF=DE-GE,即可得出结论.

【解答】证明::GE=GR

...△GM为等腰三角形,

ZGEF=ZGFE,

在AABF和△£»(7£中,NB=NC,

:./A=ND,

在尸和△DCE中,

rZA=ZD

,AB=DC,

LZB=ZC

:.△ABF/ADCE(ASA),

:.AF=DE,

又,:GF=GE,

:.AF-GF=DE-GE,

即AG=DG.

7.(2024•凉州区一模)某同学用10块高度都是5c%的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,

木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(N4SD=90°,BD=BA),点8在C£上,点/和。

分别与木墙的顶端重合.

(1)求证:△ACB9ABED;

(2)求两堵木墙之间的距离.

第22页共71页

D

【分析】(1)根据题意可得/C=2C,ZACB=90°,ADLDE,BELDE,进而得到/4DC=NCE2=

90°,再根据等角的余角相等可得N2CE=N£UC,再证明△/OC四△CE2即可;

(2)利用全等三角形的性质进行解答.

【解答】(1)证明:由题意得:AB=BD,ZABD=90a,ACLCE,DEA^CE,

:.ZBED=ZACB=90°,

:.NBDE+NDBE=90°,ZDBE+ZABC=90°,

ZBDE=/ABC,

在△NCB和△BED中,

,ZABC=ZBDE

<NACB=/BED,

BD=AB

:.△ACB沿ABED(AAS);

(2)解:由题意得:NC=5X3=15(cm),£>£=7X5=35(cm),

■:AACBmABED,

DE=BC=35cm,BE=AC=l5cm,

:.DE=DC+CE=50(cm),

答:两堵木墙之间的距离为50cm.

8.(2024•龙马潭区一模)如图,抛物线y=a?+6x+6(aWO)与x轴交于/(-1,0),5(3,0)两点,

与y轴交于点C,顶点为D

(1)求抛物线的解析式;

(2)若在线段3c上存在一点",使得N3MO=45°,过点。作08,(W交BC的延长线于点8,求

点M的坐标;

(3)点P是y轴上一动点,点0是在对称轴上一动点,是否存在点P,0,使得以点P,Q,C,。为顶

点的四边形是菱形?若存在,求出点0的坐标;若不存在,请说明理由.

第23页共71页

备用图

【分析】⑴把点N(7,0),2(3,0)代入抛物线解析式得卜++6=°,解得(a=-2,即可得

l9a+3b+6=0Ib=4

出结论;

(2)由待定系数法得直线8C的解析式为y=-2x+6,设点〃■的坐标为(加,-2加+6)(0</<3),

过点新作轴于点N,过点77作胸_Ly轴于点K,证△OMN之(44S),得MN=OK,ON

=HK.则X(-2m+6,-m),再由点H(-2加+6,-m)在直线y=-2x+6上,得-2(-2w+6)+6

=-m,解得加=旦,即可解决问题;

5

(3)分两种情况讨论,①当CD为菱形的边时,②当CD为菱形的对角线时,分别求出点。的坐标即

可.

【解答】解:(1)•.•抛物线歹=改2+历:+6经过点/(-I,0),B(3,0)两点,

.(a-b+6=0

l9a+3b+6=0,

解得:卜=-2,

Ib=4

...抛物线的解析式为了=-2X2+4X+6;

(2)由(1)得,点C(0,6),

设直线BC的解析式为y=kx+c,

:直线3C经过点B(3,0),C(0,6),

.(3k+c=0

"Ic=6,

解得:。=-2

Ic=6

直线2c的解析式为y=-2x+6,

设点Af的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),

如图1,过点〃■作MNLy轴于点N,过点〃作轴于点K,

则/ACVO=NOKH=90°,

\"OHLOM,

第24页共71页

ZMOH=90°,

':ZOMB=45°,

・・・AMOH是等腰直角三角形,

:.OM=OH.

VZMON+ZKOH=90°,ZOHK+ZKOH=90°,

・•・ZMON=ZOHKf

:•△OMN"AHOK(AAS),

:.MN=OK,ON=HK.

:.H(-2加+6,-m),

♦;点、H(-2加+6,-加)在直线y=-2x+6±,

-2(-2m+6)+6=-m,

解得:m=—

5f

把羽=2代入y=-2x+6得:》=里_,

55

.•.当NOMB=45°时,点〃的坐标为(旦,-1§.);

55

(3)存在,理由如下:

:抛物线的解析式为y=-2%2+4X+6=-2(x-1)2+8,顶点为D,

.•.点。的坐标为(1,8),

分两种情况讨论:

①当CD为菱形的边时,

如图2,过。作CE_LD。于£

VC(0,6),D(1,8

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