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文档简介

人教版数学八年级上册专项培优练习十三

《几何综合题》

1.已知点P为NEAF平分线上一点,PBLAE于B,PCLAF于C,点M,N分别是

射线AE,AF上的点,且PM=PN.

⑴如图1,当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时,求证:BM=CN;

⑵在⑴的条件下,直接写出线段AM,AN与AC之间的数量关系;

⑶如图2,当点M在线段AB的延长线上,点N在线段AC上时,若AC:PC=2:1,

且PC=4,求四边形ANPM的面积.

2.如图1,在AABC中,NACB是直角,ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、ZBCA

的平分线,AD、CE相交于点F.

(1)直接写出NAFC的度数:;

⑵请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;

⑶如图2,在AABC中,如果NACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判

断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.

D

A

图1图2

3.如图1,已知在AABC中,NA是锐角,AB=AC,点D,E分别在AC,AB上,BD

1

与CE相交于点0,且NDBC=NECB=]NA.

(1)写出图1中与NA相等的角,并加以证明:

⑵判断BE与CD之间的数量关系,并说明理由.

小刚通过观察度量,找到了NA相等的角,并利用三角形外角的性质证明了结论

的正确性;他又利用全等三角形的知识,得到了BE=CD.

小刚继续思考,提出新问题:如果ABWAC,其他条件不变,那么上述结论是否

仍然成立?小刚画出图2,通过分析得到猜想:当ABWAC时,上述结论仍然成

立,小组同学又通过讨论,形成了证明第⑵问结论的几种想法:

想法1:在0E上取一点F,使得0F=0D,故aOBFm△0CD,欲证BE=CD,即证BE=BF.

想法2:在0D的延长线上取一点M,使得OM=OE,故注△OCM,欲证BE=CD,

即证CD=CM.

想法3:分别过点B,C作0E和0D的垂线段BP,CQ,可得△OBP法△OCQ,欲证

BE=CD,即证ABEPg^CDQ.

请你参考上面的材料,解决下列问题:

⑴直接写出图2中与NA相等的一个角;

⑵请你在图2中,帮助小刚证明BE=CD.(一种方法即可)

4.如图,已知A(-2,0),B(0,-4),C(l,1),点P为线段0B上一动点(不包

括点0),CDLCP交X轴于点D,当P点运动时:

⑴求证:ZCP0=ZCD0;

(2)求证:CP=CD;

⑶下列两个结论:①AD-BP的值不变;②AD+BP的值不变,选择正确的结论求

其值.

5.如图1,RtAABC^RtADFE,其中NACB=NDFE=90°,BC=EF.

(1)若两个三角形按图2方式放置,AC、DF交于点0,连接AD、B0,则AF与CD

的数量关系为,B0与AD的位置关系为;

⑵若两个三角形按图3方式放置,其中C、B(D)、F在一条直线上,连接AE,M

为AE中点,连接FM、CM.探究线段FM与CM之间的关系,并证明;

⑶若两个三角形按图4方式放置,其中B、C(D)、F在一条直线上,点G、H分

别为FC、AC的中点,连接GH、BE交于点K,求证:BK=EK.

图2图3图4

6.如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(m,0)、

B(0,n),且1mFT|+j2n-6=。,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线

A0匀速运动,设点P运动时间为t秒.

⑴求0A、0B的长;

⑵连接PB,若△P0B的面积不大于3且不等于0,求t的范围;

⑶过P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过

程中,是否存在这样的点P,使△EOPZ^AOB?若存在,请求出t的值;若不存

在,请说明理由.

7.如图1,0P是NM0N的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称

轴的全等三角形,并将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:

⑴如图2,在△ABC中,NACB是直角,ZB=60°,AD、CE分另ij是NBAC和NBCA

的平分线,AD、CE相交于点F,求NEFA的度数;

⑵在(1)的条件下,请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由;

(3)如图3,在aABC中,如果NACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,试

问在⑵中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

N

A

图1

8.如图1,已知在4ABC中,OB和0C分别平分NABC和NACB,过0作DE〃BC,

分别交AB,AC于点D,E,连接A0,

(1)①指出图中所有的等腰三角形,并就其中的一个进行证明;

②若AB=6,AC=5,则4ADE的周长为;

⑵若A0LDE,求证:4ABC为等腰三角形;

(3)若OD=OE,AABC是否仍为等腰三角形?请证明你的结论.

9.在平面直角坐标系中,已知点A(8,0),B(0,-8),连接AB.

(1)如图①,动点C在x轴负半轴上,且AHLBC交BC于点H、交0B于点P,求

证:AAOP注△BOC;

⑵如图②,在(1)的条件下,连接0H,求证:2N0HP=NAHB;

⑶如图③,E为AB的中点,动点G在y轴上,连接GE,作EFLGE交x轴于F,

猜想GB,OB、AF三条线段之间的数量关系,并说明理由.

10.如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点C

在第一象限,AB±BC,BC=BA,点P在线段0B上,OP=OA,AP的延长线与CB的

延长线交于点M,AB与CP交于点N.

(1)点C的坐标为:—(用含m,n的式子表示);

⑵求证:BM=BN;

(3)设点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,求证:D,

G关于x轴对称.

n.已知4ABC中,ZACB=90°,

⑴如图1,点B与点D关于直线AC对称,连AD,点E、F分别是线段CD、AB

上的点(点E不与点D、C重合),且NAEF=NABC,NABC=2NCAE.求证:BF=DE.

⑵如图2:若AC=BC,BD±AD,连DC,求证:ZADC=45°

12.如图,AABC和AAOD是等腰直角三角形,AB=AC,AO=AD,ZBAC=Z0AD=90

°,点0是4ABC内的一点,ZBOC=13O°.

(1)求证:OB=DC;

⑵求NDCO的大小;

⑶设NAOB=a,那么当a为多少度时,△«©是等腰三角形.

参考答案

1.解:⑴如图1,

•.•点P为NEAF平分线上一点,PB±AE,PCXAF,

.\PB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,

•.♦在RSPBM和RSPCN中,PBM=ZPCN=90°,PM=PN,PB=PC,

/.RtAPBM^RtAPCN(HL),

.\BM=CN

(2)AM+AN=2AC

⑶解:如图2,•.•点P为NEAF平分线上一点,PB±AE,PCXAF,

.\PB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,

,在RSPBM和RSPCN中,PBM=ZPCN=90°,PM=PN,PB=PC,

.,.RtAPBM^RtAPCN(HL),

.\BM=CN,

,,SAPBM-S^PCN

VAC:PC=2:1,PC=4,

/.AC=8,

二由⑵可得,AB=AC=8,PB=PC=4,

,,S四边形ANPM-S^APN+SAAPB+SZKPBM-SZSAPN+SAAPB+SZXPCN-SZXAPC+SAAPB

J.J.J.J.

=2AC*PC+2AB*PB=2X8X4+]X8X4=32

2.解:(1)VZACB=90s,ZB=60°,

:.ZBAC=90°-60°=30°,

lAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,

/.ZFAC=15°,ZFCA=45°,

/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZACF)=120°

⑵解:FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.

理由:如图2,在AC上截取CG=CD,

:CE是NBCA的平分线,

/.ZDCF=ZGCF,

在4CFG和4CFD中,

'CGXD

-ZDCF=ZGCF,

CF=CF

.•.△CFG/△CFD(SAS),

.*.DF=GF.

VZB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,

1J

I.NFAC=]NBAC,ZFCA=2ZACB,且NEAF=NGAF,

1

:.ZFAC+ZFCA=(ZBAC+ZACB)=2(180°-ZB)=60°,

/.ZAFC=120°,

/.ZCFD=60°=ZCFG,

/.ZAFG=60°,

又•.,NAFE=NCFD=60°,

NAFE=NAFG,

在AAFG和AAFE中,

'NAFE=/AFG

-AF=AF,

ZEAF=ZGAF

AAFG^AAFE(ASA),

.\EF=GF,

.*.DF=EF;

(3)结论:AC=AE+CD.

理由:如图3,在AC上截取AG=AE,

B

同(2)可得,AEAF^AGAF(SAS),

ZEFA=ZGFA.

1j_

又由题可知,ZFAC=2ZBAC,ZFCA=2ZACB,

11

:.ZFAC+ZFCA=2(ZBAC+ZACB)=2(180°-ZB)=60°,

/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=120°,

/.ZEFA=ZGFA=180°-120°=60°=NDFC,

/.ZCFG=ZCFD=60°,

同⑵可得,△FDC咨AFGC(ASA),

.\CD=CG,

/.AC=AG+CG=AE+CD,

3.解:(1)与NA相等是NBOE或NCOD;

⑵如图2,在OE上取一点F,使得OF=OD,

A

图1图2

1

ZDBC=ZECB=^ZA,

.\OB=OC,

ZB0E=ZC0D,

...△OBF注△OCD(SAS).

.*.BF=CD,Z0BF=Z0CD.

11

NBFE=NECB+NCBF=NECB+NDBC+Z0BF=^ZA+-ZA+Z0BF=ZA+ZOBF,

NBEC=NA+NOCD=NA+NOBF,

ZBFE=ZBEC.

.\BE=BF.

.*.BE=CD.

4.⑴证明:4x轴工y轴,CP±CD,

/.ZDCP=ZD0P=90°,

/.ZCP0+Z0KP=ZCD0+ZCKD=90°,

:ZOKP=ZCKD,

AZCPO=ZCDO;

(2)证明:过C作CN_Lx轴于N,CQ_Ly轴于Q,

则NCND=NCQP=90°,

VC(1,1),

/.CQ=CN,

在ACND和ACQP中,

ZCDN=ZCPQ

ZCQP=ZCND,

CN=CQ

.,.△CND^ACQP(AAS),

.*.CP=CD;

(3)解:AD+BP的值不变,

VA(-2,0),B(0,-4),C(L1),

.*.AN=2+1=3,BQ=4+1=5,

VACND^ACQP,

.*.QP=ND,

:AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8,

...AD+BP的值不变,是8.

5.解:(1)如图2中,

,.,RSAB3RSDFE(已知),

.*.AB=BD,BC=BF,

.*.AF=CD,

VZAF0=ZDC0=90°,ZAOF=ZDOC,

/.AAOF^ADOC(AAS),

.*.OA=OC,VBA=BD,

...BO垂直平分线段AD.

ABOXAD,

故答案为:AF=CD,BOXAD.

⑵结论:FM=MC,FM±CM.

理由:如图3中,延长FM交CA的延长线于H.

FE

VZACB+ZEFC=180°,B,F,C共线,

...EF〃CH,

/.ZEFM=ZH,

VEM=MA,ZEMF=ZAMH,

.,.△EFM^AAHM(AAS),

EF=AH,

VZFCH=90°,

.*.CM=FM=MH,

即FM=MC,

'.,△RSABC2RSDFE(已知),

,BF=AC,EF=BC,

.\BA=AH,

.*.FC=CH,

VFM=MH,

ACMXFM.

(3)如图4中,连接BH,EG,在HG上取一点J,使得BJ=BH.

,.,RSABC2RSDFE(已知),

.•.BC=EF,AC=CF,

VCH=AH,CG=GF,

/.CH=FG,

VZBCH=ZF=90°,

△BCH注△EFG(SAS),

/.ZCBH=ZFEG,

VCH=CG,ZGCH=90°,

/.ZCGH=ZCHG=45°,

/.ZBHG=180°-45°-ZGBH=135°-ZGBH,

ZCGE=ZCGH+ZHGE=90°+ZGEF,

.\ZHGE=45°+ZGEF,

/.ZHGE+ZBHG=180°,

VZBJK+ZBJH=180°,ZBJH=ZBHJ,

I.ZBJK=ZHGE,

,.,GE=BH=BJ,ZBKJ=ZGKE,

/.ABKJ^AEKG(AAS),

.\BJ=GE.

6.解:(1):由题意可知,

.,.m-n-3=0,2n-6=0,解得:n=3,m=6,

.,.0A=6,0B=3;

⑵分为两种情况:

①当P在线段0A上时,AP=t,P0=6-t,

13

AB0P的面积S=2><(6-t)X3=9-2t,

•.♦若APOB的面积不大于3且不等于0,

3

AO<9-]tW3,解得:4Wt<6;

②当P在线段0A的延长线上时,如图,

AP=t,P0=t-6,.,.△BOP的面积S=

13

2乂(t-6)X3=2t-9,

•.♦若APOB的面积不大于3且不等于0,

3

.\0<2t-9<3,解得:6<tW8;

即t的范围是4WtW8且t#6;

⑶分为两种情况:①当0P=0A=6时,E应和B重合,但是此时PE和AB又不垂

直,

即此种情况不存在;

②当0P=0B=3时,分为两种情况(如图):第一个图中t=3,

第二个图中AP=6+3=9,即t=9;

即存在这样的点P,使AEOP咨△AOB,t的值是3或9.

7.解:⑴如图2,VZACB=90°,ZB=60°.

/.ZBAC=30°.

:AD、CE分别是NBAC和NBCA的平分线,

/.ZDAC=O,5ZBAC=15°,ZECA=O.5ZACB=45°.

AZEFA=ZDAC+ZECA=150+45°=60°.

(2)FE=FD.如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.

:AD是NBAC的平分线,

/.ZEAF=ZGAF,

在AEAF和AGAF中

,AE=AG

•••J」.AF=_FAG

AF=AF

/.△EAF^AGAF(SAS),

.\FE=FG,ZEFA=ZGFA=60°.

/.ZGFC=180°-60°-60°=60°.

又,.•NDFC=NEFA=60°,

ZDFC=ZGFC.

在4FDC和AFGC中

'NDFC=NGFC

FC=FC

ZFCG=ZFCD

/.△FDC^AFGC(ASA),

,FD=FG.

,FE=FD.

(3)(2)中的结论FE=FD仍然成立.同(2)可得4EAFm△HAF,

.\FE=FH,ZEFA=ZHFA.

又由(1)知NFAC=0.5ZBAC,ZFCA=0.5ZACB,

ZFAC+ZFCA=O.5(ZBAC+ZACB)=O.5=60°.

/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=120°.

ZEFA=ZHFA=180°-120°=60°.

同⑵可得△FDC咨△FHC,

.\FD=FH.

.\FE=FD.

8.解:(1)①图中ABDO和ACEO为等腰三角形,

,..OB平分NABC,

ZDB0=Z0BC,

:DE〃BC,

ZD0B=Z0BC,

AZDB0=ZD0B,

.*.DB=D0,

•••△ODB为等腰三角形,

同理AOEC为等腰三角形;

②n;

(2)VOB和0C分别平分NABC和NACB,

.•.0A平分NBAC,

/.ZDA0=ZEA0,

又0ALDE,

AZA0D=90°=ZA0E,

/.ZA0D=ZA0E,

,AD=AE,

.*.OD=OE,

又DB=OD,EC=OE,

.*.AB=AC,

/.△ABC为等腰三角形.

⑶AABC仍为等腰三角形.

过点0作OGXAD于G点,OHXAE于H点,

:0A平分NBAC,

.*.OG=OH,ZDAO=ZEAO,

/.AG=AH,

又•.•OD=OE,

ARtAOGD^RtAOHE,

.*.DG=EH,

/.AD=AE,

又OB=OD,OC=OE,

.*.AB=AC,

/.△ABC为等腰三角形.

9.⑴证明:如图①中,

:AH,BC即NAHC=90°,ZC0B=90°

/.ZHAC+ZACH=Z0BC+Z0CB=90°,

,ZHAC=ZOBC.

在aOAP与△OBC中,

'ZCOB=ZPOA=90°

■OA=OB,

ZOAP=ZOBC

.".△OAP^AOBC(ASA),

⑵过0分别作OMLCB于M点,作ONLHA于N点,如图②.

在四边形OMHN中,ZM0N=360°-3X90°=90°,

.,.ZC0M=ZP0N=90°-ZMOP.

在△(:(»与APON中,

'ZC01=ZP0N

■ZOMC=ZONP=9O*,

OC=OP

.,.△COM^APON(AAS),

.\OM=ON.

VOMXCB,ON±HA,

,HO平分NCHA,

1

:.Z0HP=2ZCHA=45°,

VZAHB=90°,

.,.2Z0HP=ZAHB.

(3)结论:当点G在y轴的正半轴上时,BG-BO=AF.

当点G在线段OB上时,OB=BG+AF.

当点G在线段OB的延长线上时,AF=OB+BG.

当点G在y轴的正半轴上时,理由如下:连接0E,如图3.

图③

VZA0B=90°OA=OB,E为AB的中点,

AOEXAB,ZB0E=ZA0E=45°,OE=EA=BE,

/.Z0AD=45°,ZG0E=90°+45°=135°,

/.ZEAF=135°=ZGOE.

VGE±EFBPZGEF=90°,

ZOEG=ZAEF,

在aGOE与AFAE中,

,ZOEG=ZAEF

■OE=AE,

ZGOE=ZEAF

.,.△GOE^AFAE,

/.OG=AF,

ABG-BO=GO=AF,

/.BG-BO=AF.

其余两种情形证明方法类似.

10.解:⑴过C点作CE±y轴于点E,

:CE,y轴,

/.ZBEC=90°,

/.ZBEC=ZA0B,

VABXBC,

AZABC=90°,

AZAB0+ZCBE=90°,

VZAB0+ZBA0=90°,

/.ZCBE=ZBAO,

在AAOB与ABEC中,

'NBEC=/AOB

-NCBE=NBAO,

BC=BA

/.AAOB^ABEC(AAS),

CE=OB=n,BE=OA=m,

OE=OB+BE=m+n,

.••点C的坐标为(n,m+n).

故答案为:(n,m+n);

⑵证明:'.,△AOB/△BEC,

/.BE=OA=OP,CE=BO,

.,.PE=OB=CE,

/.ZEPC=45°,

ZAPC=90°,

.*.Z1=Z2,

在aABM与ACBN中,

,ZABM=ZCBN

<Z1=Z2,

AB=CB

AABM^ACBN(ASA),

.*.BM=BN;

(3)证明:•.•点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,

.\AD=AC,AG=AC,

.•.AD=AG,

VZ1=Z5,Z1=Z6,

/.Z5=Z6,

在aDAH与AGAH中,

,AD=AG

-/5=/6,

AH二AH

.,.△DAH^AGAH(SAS),

.*.D,G关于x轴对称.

11.解:⑴如图1,

过点E作EHLAB于H,交AC于M,

设NCAE=a,

:.ZABC=2ZCAE=2a,

VZACB=90°,

ZCME=ZABC=2a,

/.ZAEH=ZCME-ZCAE=2a-a=a,

NAEF=NABC,

/.ZAEF=2a,

/.ZFEH=ZAEF-ZAEH=a=Z

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