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文档简介
人教版数学八年级上册专项培优练习十三
《几何综合题》
1.已知点P为NEAF平分线上一点,PBLAE于B,PCLAF于C,点M,N分别是
射线AE,AF上的点,且PM=PN.
⑴如图1,当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时,求证:BM=CN;
⑵在⑴的条件下,直接写出线段AM,AN与AC之间的数量关系;
⑶如图2,当点M在线段AB的延长线上,点N在线段AC上时,若AC:PC=2:1,
且PC=4,求四边形ANPM的面积.
2.如图1,在AABC中,NACB是直角,ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、ZBCA
的平分线,AD、CE相交于点F.
(1)直接写出NAFC的度数:;
⑵请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
⑶如图2,在AABC中,如果NACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,试判
断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.
D
A
图1图2
3.如图1,已知在AABC中,NA是锐角,AB=AC,点D,E分别在AC,AB上,BD
1
与CE相交于点0,且NDBC=NECB=]NA.
(1)写出图1中与NA相等的角,并加以证明:
⑵判断BE与CD之间的数量关系,并说明理由.
小刚通过观察度量,找到了NA相等的角,并利用三角形外角的性质证明了结论
的正确性;他又利用全等三角形的知识,得到了BE=CD.
小刚继续思考,提出新问题:如果ABWAC,其他条件不变,那么上述结论是否
仍然成立?小刚画出图2,通过分析得到猜想:当ABWAC时,上述结论仍然成
立,小组同学又通过讨论,形成了证明第⑵问结论的几种想法:
想法1:在0E上取一点F,使得0F=0D,故aOBFm△0CD,欲证BE=CD,即证BE=BF.
想法2:在0D的延长线上取一点M,使得OM=OE,故注△OCM,欲证BE=CD,
即证CD=CM.
想法3:分别过点B,C作0E和0D的垂线段BP,CQ,可得△OBP法△OCQ,欲证
BE=CD,即证ABEPg^CDQ.
请你参考上面的材料,解决下列问题:
⑴直接写出图2中与NA相等的一个角;
⑵请你在图2中,帮助小刚证明BE=CD.(一种方法即可)
4.如图,已知A(-2,0),B(0,-4),C(l,1),点P为线段0B上一动点(不包
括点0),CDLCP交X轴于点D,当P点运动时:
⑴求证:ZCP0=ZCD0;
(2)求证:CP=CD;
⑶下列两个结论:①AD-BP的值不变;②AD+BP的值不变,选择正确的结论求
其值.
5.如图1,RtAABC^RtADFE,其中NACB=NDFE=90°,BC=EF.
(1)若两个三角形按图2方式放置,AC、DF交于点0,连接AD、B0,则AF与CD
的数量关系为,B0与AD的位置关系为;
⑵若两个三角形按图3方式放置,其中C、B(D)、F在一条直线上,连接AE,M
为AE中点,连接FM、CM.探究线段FM与CM之间的关系,并证明;
⑶若两个三角形按图4方式放置,其中B、C(D)、F在一条直线上,点G、H分
别为FC、AC的中点,连接GH、BE交于点K,求证:BK=EK.
图2图3图4
6.如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(m,0)、
B(0,n),且1mFT|+j2n-6=。,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线
A0匀速运动,设点P运动时间为t秒.
⑴求0A、0B的长;
⑵连接PB,若△P0B的面积不大于3且不等于0,求t的范围;
⑶过P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过
程中,是否存在这样的点P,使△EOPZ^AOB?若存在,请求出t的值;若不存
在,请说明理由.
7.如图1,0P是NM0N的平分线,请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称
轴的全等三角形,并将添加的全等条件标注在图上.
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
⑴如图2,在△ABC中,NACB是直角,ZB=60°,AD、CE分另ij是NBAC和NBCA
的平分线,AD、CE相交于点F,求NEFA的度数;
⑵在(1)的条件下,请判断FE与FD之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图3,在aABC中,如果NACB不是直角,而(1)中的其他条件不变,试
问在⑵中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
N
A
图1
8.如图1,已知在4ABC中,OB和0C分别平分NABC和NACB,过0作DE〃BC,
分别交AB,AC于点D,E,连接A0,
(1)①指出图中所有的等腰三角形,并就其中的一个进行证明;
②若AB=6,AC=5,则4ADE的周长为;
⑵若A0LDE,求证:4ABC为等腰三角形;
(3)若OD=OE,AABC是否仍为等腰三角形?请证明你的结论.
9.在平面直角坐标系中,已知点A(8,0),B(0,-8),连接AB.
(1)如图①,动点C在x轴负半轴上,且AHLBC交BC于点H、交0B于点P,求
证:AAOP注△BOC;
⑵如图②,在(1)的条件下,连接0H,求证:2N0HP=NAHB;
⑶如图③,E为AB的中点,动点G在y轴上,连接GE,作EFLGE交x轴于F,
猜想GB,OB、AF三条线段之间的数量关系,并说明理由.
10.如图,在平面直角坐标系中,已知两点A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点C
在第一象限,AB±BC,BC=BA,点P在线段0B上,OP=OA,AP的延长线与CB的
延长线交于点M,AB与CP交于点N.
(1)点C的坐标为:—(用含m,n的式子表示);
⑵求证:BM=BN;
(3)设点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,求证:D,
G关于x轴对称.
n.已知4ABC中,ZACB=90°,
⑴如图1,点B与点D关于直线AC对称,连AD,点E、F分别是线段CD、AB
上的点(点E不与点D、C重合),且NAEF=NABC,NABC=2NCAE.求证:BF=DE.
⑵如图2:若AC=BC,BD±AD,连DC,求证:ZADC=45°
12.如图,AABC和AAOD是等腰直角三角形,AB=AC,AO=AD,ZBAC=Z0AD=90
°,点0是4ABC内的一点,ZBOC=13O°.
(1)求证:OB=DC;
⑵求NDCO的大小;
⑶设NAOB=a,那么当a为多少度时,△«©是等腰三角形.
参考答案
1.解:⑴如图1,
•.•点P为NEAF平分线上一点,PB±AE,PCXAF,
.\PB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,
•.♦在RSPBM和RSPCN中,PBM=ZPCN=90°,PM=PN,PB=PC,
/.RtAPBM^RtAPCN(HL),
.\BM=CN
(2)AM+AN=2AC
⑶解:如图2,•.•点P为NEAF平分线上一点,PB±AE,PCXAF,
.\PB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,
,在RSPBM和RSPCN中,PBM=ZPCN=90°,PM=PN,PB=PC,
.,.RtAPBM^RtAPCN(HL),
.\BM=CN,
,,SAPBM-S^PCN
VAC:PC=2:1,PC=4,
/.AC=8,
二由⑵可得,AB=AC=8,PB=PC=4,
,,S四边形ANPM-S^APN+SAAPB+SZKPBM-SZSAPN+SAAPB+SZXPCN-SZXAPC+SAAPB
J.J.J.J.
=2AC*PC+2AB*PB=2X8X4+]X8X4=32
2.解:(1)VZACB=90s,ZB=60°,
:.ZBAC=90°-60°=30°,
lAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,
/.ZFAC=15°,ZFCA=45°,
/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZACF)=120°
⑵解:FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.
理由:如图2,在AC上截取CG=CD,
:CE是NBCA的平分线,
/.ZDCF=ZGCF,
在4CFG和4CFD中,
'CGXD
-ZDCF=ZGCF,
CF=CF
.•.△CFG/△CFD(SAS),
.*.DF=GF.
VZB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,
1J
I.NFAC=]NBAC,ZFCA=2ZACB,且NEAF=NGAF,
1
:.ZFAC+ZFCA=(ZBAC+ZACB)=2(180°-ZB)=60°,
/.ZAFC=120°,
/.ZCFD=60°=ZCFG,
/.ZAFG=60°,
又•.,NAFE=NCFD=60°,
NAFE=NAFG,
在AAFG和AAFE中,
'NAFE=/AFG
-AF=AF,
ZEAF=ZGAF
AAFG^AAFE(ASA),
.\EF=GF,
.*.DF=EF;
(3)结论:AC=AE+CD.
理由:如图3,在AC上截取AG=AE,
B
同(2)可得,AEAF^AGAF(SAS),
ZEFA=ZGFA.
1j_
又由题可知,ZFAC=2ZBAC,ZFCA=2ZACB,
11
:.ZFAC+ZFCA=2(ZBAC+ZACB)=2(180°-ZB)=60°,
/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=120°,
/.ZEFA=ZGFA=180°-120°=60°=NDFC,
/.ZCFG=ZCFD=60°,
同⑵可得,△FDC咨AFGC(ASA),
.\CD=CG,
/.AC=AG+CG=AE+CD,
3.解:(1)与NA相等是NBOE或NCOD;
⑵如图2,在OE上取一点F,使得OF=OD,
A
图1图2
1
ZDBC=ZECB=^ZA,
.\OB=OC,
ZB0E=ZC0D,
...△OBF注△OCD(SAS).
.*.BF=CD,Z0BF=Z0CD.
11
NBFE=NECB+NCBF=NECB+NDBC+Z0BF=^ZA+-ZA+Z0BF=ZA+ZOBF,
NBEC=NA+NOCD=NA+NOBF,
ZBFE=ZBEC.
.\BE=BF.
.*.BE=CD.
4.⑴证明:4x轴工y轴,CP±CD,
/.ZDCP=ZD0P=90°,
/.ZCP0+Z0KP=ZCD0+ZCKD=90°,
:ZOKP=ZCKD,
AZCPO=ZCDO;
(2)证明:过C作CN_Lx轴于N,CQ_Ly轴于Q,
则NCND=NCQP=90°,
VC(1,1),
/.CQ=CN,
在ACND和ACQP中,
ZCDN=ZCPQ
ZCQP=ZCND,
CN=CQ
.,.△CND^ACQP(AAS),
.*.CP=CD;
(3)解:AD+BP的值不变,
VA(-2,0),B(0,-4),C(L1),
.*.AN=2+1=3,BQ=4+1=5,
VACND^ACQP,
.*.QP=ND,
:AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8,
...AD+BP的值不变,是8.
5.解:(1)如图2中,
,.,RSAB3RSDFE(已知),
.*.AB=BD,BC=BF,
.*.AF=CD,
VZAF0=ZDC0=90°,ZAOF=ZDOC,
/.AAOF^ADOC(AAS),
.*.OA=OC,VBA=BD,
...BO垂直平分线段AD.
ABOXAD,
故答案为:AF=CD,BOXAD.
⑵结论:FM=MC,FM±CM.
理由:如图3中,延长FM交CA的延长线于H.
FE
VZACB+ZEFC=180°,B,F,C共线,
...EF〃CH,
/.ZEFM=ZH,
VEM=MA,ZEMF=ZAMH,
.,.△EFM^AAHM(AAS),
EF=AH,
VZFCH=90°,
.*.CM=FM=MH,
即FM=MC,
'.,△RSABC2RSDFE(已知),
,BF=AC,EF=BC,
.\BA=AH,
.*.FC=CH,
VFM=MH,
ACMXFM.
(3)如图4中,连接BH,EG,在HG上取一点J,使得BJ=BH.
,.,RSABC2RSDFE(已知),
.•.BC=EF,AC=CF,
VCH=AH,CG=GF,
/.CH=FG,
VZBCH=ZF=90°,
△BCH注△EFG(SAS),
/.ZCBH=ZFEG,
VCH=CG,ZGCH=90°,
/.ZCGH=ZCHG=45°,
/.ZBHG=180°-45°-ZGBH=135°-ZGBH,
ZCGE=ZCGH+ZHGE=90°+ZGEF,
.\ZHGE=45°+ZGEF,
/.ZHGE+ZBHG=180°,
VZBJK+ZBJH=180°,ZBJH=ZBHJ,
I.ZBJK=ZHGE,
,.,GE=BH=BJ,ZBKJ=ZGKE,
/.ABKJ^AEKG(AAS),
.\BJ=GE.
6.解:(1):由题意可知,
.,.m-n-3=0,2n-6=0,解得:n=3,m=6,
.,.0A=6,0B=3;
⑵分为两种情况:
①当P在线段0A上时,AP=t,P0=6-t,
13
AB0P的面积S=2><(6-t)X3=9-2t,
•.♦若APOB的面积不大于3且不等于0,
3
AO<9-]tW3,解得:4Wt<6;
②当P在线段0A的延长线上时,如图,
AP=t,P0=t-6,.,.△BOP的面积S=
13
2乂(t-6)X3=2t-9,
•.♦若APOB的面积不大于3且不等于0,
3
.\0<2t-9<3,解得:6<tW8;
即t的范围是4WtW8且t#6;
⑶分为两种情况:①当0P=0A=6时,E应和B重合,但是此时PE和AB又不垂
直,
即此种情况不存在;
②当0P=0B=3时,分为两种情况(如图):第一个图中t=3,
第二个图中AP=6+3=9,即t=9;
即存在这样的点P,使AEOP咨△AOB,t的值是3或9.
7.解:⑴如图2,VZACB=90°,ZB=60°.
/.ZBAC=30°.
:AD、CE分别是NBAC和NBCA的平分线,
/.ZDAC=O,5ZBAC=15°,ZECA=O.5ZACB=45°.
AZEFA=ZDAC+ZECA=150+45°=60°.
(2)FE=FD.如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.
:AD是NBAC的平分线,
/.ZEAF=ZGAF,
在AEAF和AGAF中
,AE=AG
•••J」.AF=_FAG
AF=AF
/.△EAF^AGAF(SAS),
.\FE=FG,ZEFA=ZGFA=60°.
/.ZGFC=180°-60°-60°=60°.
又,.•NDFC=NEFA=60°,
ZDFC=ZGFC.
在4FDC和AFGC中
'NDFC=NGFC
FC=FC
ZFCG=ZFCD
/.△FDC^AFGC(ASA),
,FD=FG.
,FE=FD.
(3)(2)中的结论FE=FD仍然成立.同(2)可得4EAFm△HAF,
.\FE=FH,ZEFA=ZHFA.
又由(1)知NFAC=0.5ZBAC,ZFCA=0.5ZACB,
ZFAC+ZFCA=O.5(ZBAC+ZACB)=O.5=60°.
/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=120°.
ZEFA=ZHFA=180°-120°=60°.
同⑵可得△FDC咨△FHC,
.\FD=FH.
.\FE=FD.
8.解:(1)①图中ABDO和ACEO为等腰三角形,
,..OB平分NABC,
ZDB0=Z0BC,
:DE〃BC,
ZD0B=Z0BC,
AZDB0=ZD0B,
.*.DB=D0,
•••△ODB为等腰三角形,
同理AOEC为等腰三角形;
②n;
(2)VOB和0C分别平分NABC和NACB,
.•.0A平分NBAC,
/.ZDA0=ZEA0,
又0ALDE,
AZA0D=90°=ZA0E,
/.ZA0D=ZA0E,
,AD=AE,
.*.OD=OE,
又DB=OD,EC=OE,
.*.AB=AC,
/.△ABC为等腰三角形.
⑶AABC仍为等腰三角形.
过点0作OGXAD于G点,OHXAE于H点,
:0A平分NBAC,
.*.OG=OH,ZDAO=ZEAO,
/.AG=AH,
又•.•OD=OE,
ARtAOGD^RtAOHE,
.*.DG=EH,
/.AD=AE,
又OB=OD,OC=OE,
.*.AB=AC,
/.△ABC为等腰三角形.
9.⑴证明:如图①中,
:AH,BC即NAHC=90°,ZC0B=90°
/.ZHAC+ZACH=Z0BC+Z0CB=90°,
,ZHAC=ZOBC.
在aOAP与△OBC中,
'ZCOB=ZPOA=90°
■OA=OB,
ZOAP=ZOBC
.".△OAP^AOBC(ASA),
⑵过0分别作OMLCB于M点,作ONLHA于N点,如图②.
在四边形OMHN中,ZM0N=360°-3X90°=90°,
.,.ZC0M=ZP0N=90°-ZMOP.
在△(:(»与APON中,
'ZC01=ZP0N
■ZOMC=ZONP=9O*,
OC=OP
.,.△COM^APON(AAS),
.\OM=ON.
VOMXCB,ON±HA,
,HO平分NCHA,
1
:.Z0HP=2ZCHA=45°,
VZAHB=90°,
.,.2Z0HP=ZAHB.
(3)结论:当点G在y轴的正半轴上时,BG-BO=AF.
当点G在线段OB上时,OB=BG+AF.
当点G在线段OB的延长线上时,AF=OB+BG.
当点G在y轴的正半轴上时,理由如下:连接0E,如图3.
图③
VZA0B=90°OA=OB,E为AB的中点,
AOEXAB,ZB0E=ZA0E=45°,OE=EA=BE,
/.Z0AD=45°,ZG0E=90°+45°=135°,
/.ZEAF=135°=ZGOE.
VGE±EFBPZGEF=90°,
ZOEG=ZAEF,
在aGOE与AFAE中,
,ZOEG=ZAEF
■OE=AE,
ZGOE=ZEAF
.,.△GOE^AFAE,
/.OG=AF,
ABG-BO=GO=AF,
/.BG-BO=AF.
其余两种情形证明方法类似.
10.解:⑴过C点作CE±y轴于点E,
:CE,y轴,
/.ZBEC=90°,
/.ZBEC=ZA0B,
VABXBC,
AZABC=90°,
AZAB0+ZCBE=90°,
VZAB0+ZBA0=90°,
/.ZCBE=ZBAO,
在AAOB与ABEC中,
'NBEC=/AOB
-NCBE=NBAO,
BC=BA
/.AAOB^ABEC(AAS),
CE=OB=n,BE=OA=m,
OE=OB+BE=m+n,
.••点C的坐标为(n,m+n).
故答案为:(n,m+n);
⑵证明:'.,△AOB/△BEC,
/.BE=OA=OP,CE=BO,
.,.PE=OB=CE,
/.ZEPC=45°,
ZAPC=90°,
.*.Z1=Z2,
在aABM与ACBN中,
,ZABM=ZCBN
<Z1=Z2,
AB=CB
AABM^ACBN(ASA),
.*.BM=BN;
(3)证明:•.•点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,
.\AD=AC,AG=AC,
.•.AD=AG,
VZ1=Z5,Z1=Z6,
/.Z5=Z6,
在aDAH与AGAH中,
,AD=AG
-/5=/6,
AH二AH
.,.△DAH^AGAH(SAS),
.*.D,G关于x轴对称.
11.解:⑴如图1,
过点E作EHLAB于H,交AC于M,
设NCAE=a,
:.ZABC=2ZCAE=2a,
VZACB=90°,
ZCME=ZABC=2a,
/.ZAEH=ZCME-ZCAE=2a-a=a,
NAEF=NABC,
/.ZAEF=2a,
/.ZFEH=ZAEF-ZAEH=a=Z
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