人教版数学八年级上册专项练习：几何综合题（含答案）

人教版数学八年级上册专项培优练习十三

《几何综合题》

1.已知点P为NEAF平分线上一点，PBLAE于B,PCLAF于C,点M,N分别是

射线AE,AF上的点，且PM=PN.

⑴如图1,当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN；

⑵在⑴的条件下，直接写出线段AM,AN与AC之间的数量关系；

⑶如图2,当点M在线段AB的延长线上，点N在线段AC上时，若AC：PC=2：1,

且PC=4,求四边形ANPM的面积.

2.如图1,在AABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE分别是NBAC、ZBCA

的平分线，AD、CE相交于点F.

(1)直接写出NAFC的度数：；

⑵请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

⑶如图2,在AABC中，如果NACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，试判

断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由.

D

A

图1图2

3.如图1,已知在AABC中，NA是锐角，AB=AC,点D,E分别在AC,AB上，BD

1

与CE相交于点0,且NDBC=NECB=]NA.

(1)写出图1中与NA相等的角，并加以证明：

⑵判断BE与CD之间的数量关系，并说明理由.

小刚通过观察度量，找到了NA相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论

的正确性；他又利用全等三角形的知识，得到了BE=CD.

小刚继续思考，提出新问题：如果ABWAC,其他条件不变，那么上述结论是否

仍然成立？小刚画出图2,通过分析得到猜想：当ABWAC时，上述结论仍然成

立，小组同学又通过讨论，形成了证明第⑵问结论的几种想法：

想法1：在0E上取一点F,使得0F=0D,故aOBFm△0CD,欲证BE=CD,即证BE=BF.

想法2：在0D的延长线上取一点M,使得OM=OE,故注△OCM,欲证BE=CD,

即证CD=CM.

想法3：分别过点B,C作0E和0D的垂线段BP,CQ,可得△OBP法△OCQ,欲证

BE=CD,即证ABEPg^CDQ.

请你参考上面的材料，解决下列问题:

⑴直接写出图2中与NA相等的一个角;

⑵请你在图2中，帮助小刚证明BE=CD.(一种方法即可)

4.如图，已知A(-2,0),B(0,-4),C(l,1),点P为线段0B上一动点(不包

括点0),CDLCP交X轴于点D,当P点运动时：

⑴求证：ZCP0=ZCD0；

(2)求证:CP=CD；

⑶下列两个结论：①AD-BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求

其值.

5.如图1,RtAABC^RtADFE,其中NACB=NDFE=90°,BC=EF.

(1)若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点0,连接AD、B0,则AF与CD

的数量关系为，B0与AD的位置关系为；

⑵若两个三角形按图3方式放置，其中C、B(D)、F在一条直线上，连接AE,M

为AE中点，连接FM、CM.探究线段FM与CM之间的关系，并证明；

⑶若两个三角形按图4方式放置，其中B、C(D)、F在一条直线上，点G、H分

别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K,求证：BK=EK.

图2图3图4

6.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(m,0)、

B(0,n),且1mFT|+j2n-6=。，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线

A0匀速运动，设点P运动时间为t秒.

⑴求0A、0B的长;

⑵连接PB,若△P0B的面积不大于3且不等于0,求t的范围；

⑶过P作直线AB的垂线，垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过

程中，是否存在这样的点P,使△EOPZ^AOB?若存在，请求出t的值；若不存

在，请说明理由.

7.如图1,0P是NM0N的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称

轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上.

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

⑴如图2,在△ABC中,NACB是直角,ZB=60°,AD、CE分另ij是NBAC和NBCA

的平分线，AD、CE相交于点F,求NEFA的度数；

⑵在(1)的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,在aABC中，如果NACB不是直角，而(1)中的其他条件不变，试

问在⑵中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

N

A

图1

8.如图1,已知在4ABC中，OB和0C分别平分NABC和NACB,过0作DE〃BC,

分别交AB,AC于点D,E,连接A0,

(1)①指出图中所有的等腰三角形，并就其中的一个进行证明;

②若AB=6,AC=5,则4ADE的周长为；

⑵若A0LDE,求证：4ABC为等腰三角形；

(3)若OD=OE,AABC是否仍为等腰三角形?请证明你的结论.

9.在平面直角坐标系中，已知点A(8,0),B(0,-8),连接AB.

(1)如图①，动点C在x轴负半轴上，且AHLBC交BC于点H、交0B于点P,求

证：AAOP注△BOC；

⑵如图②，在(1)的条件下，连接0H,求证：2N0HP=NAHB；

⑶如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE,作EFLGE交x轴于F,

猜想GB,OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，已知两点A(m,0),B(0,n)(n>m>0),点C

在第一象限，AB±BC,BC=BA,点P在线段0B上，OP=OA,AP的延长线与CB的

延长线交于点M,AB与CP交于点N.

(1)点C的坐标为：—(用含m,n的式子表示)；

⑵求证：BM=BN；

(3)设点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,求证：D,

G关于x轴对称.

n.已知4ABC中,ZACB=90°,

⑴如图1,点B与点D关于直线AC对称，连AD,点E、F分别是线段CD、AB

上的点(点E不与点D、C重合)，且NAEF=NABC,NABC=2NCAE.求证：BF=DE.

⑵如图2：若AC=BC,BD±AD,连DC,求证：ZADC=45°

12.如图，AABC和AAOD是等腰直角三角形，AB=AC,AO=AD,ZBAC=Z0AD=90

°，点0是4ABC内的一点，ZBOC=13O°.

(1)求证:OB=DC；

⑵求NDCO的大小；

⑶设NAOB=a,那么当a为多少度时，△«©是等腰三角形.

参考答案

1.解：⑴如图1,

•.•点P为NEAF平分线上一点，PB±AE,PCXAF,

.\PB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,

•.♦在RSPBM和RSPCN中，PBM=ZPCN=90°,PM=PN,PB=PC,

/.RtAPBM^RtAPCN(HL),

.\BM=CN

(2)AM+AN=2AC

⑶解:如图2,•.•点P为NEAF平分线上一点，PB±AE,PCXAF,

.\PB=PC,ZPBM=ZPCN=90°,

,在RSPBM和RSPCN中，PBM=ZPCN=90°,PM=PN,PB=PC,

.,.RtAPBM^RtAPCN(HL),

.\BM=CN,

,,SAPBM-S^PCN

VAC：PC=2：1,PC=4,

/.AC=8,

二由⑵可得,AB=AC=8,PB=PC=4,

,,S四边形ANPM-S^APN+SAAPB+SZKPBM-SZSAPN+SAAPB+SZXPCN-SZXAPC+SAAPB

J.J.J.J.

=2AC*PC+2AB*PB=2X8X4+]X8X4=32

2.解：(1)VZACB=90s,ZB=60°,

：.ZBAC=90°-60°=30°,

lAD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,

/.ZFAC=15°,ZFCA=45°,

/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZACF)=120°

⑵解:FE与FD之间的数量关系为:DF=EF.

理由：如图2,在AC上截取CG=CD,

：CE是NBCA的平分线，

/.ZDCF=ZGCF,

在4CFG和4CFD中，

'CGXD

-ZDCF=ZGCF,

CF=CF

.•.△CFG/△CFD(SAS),

.*.DF=GF.

VZB=60°,AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线,

1J

I.NFAC=]NBAC,ZFCA=2ZACB,且NEAF=NGAF,

1

：.ZFAC+ZFCA=(ZBAC+ZACB)=2(180°-ZB)=60°,

/.ZAFC=120°,

/.ZCFD=60°=ZCFG,

/.ZAFG=60°,

又•.,NAFE=NCFD=60°,

NAFE=NAFG,

在AAFG和AAFE中，

'NAFE=/AFG

-AF=AF，

ZEAF=ZGAF

AAFG^AAFE(ASA),

.\EF=GF,

.*.DF=EF；

(3)结论：AC=AE+CD.

理由：如图3,在AC上截取AG=AE,

B

同(2)可得,AEAF^AGAF(SAS),

ZEFA=ZGFA.

1j_

又由题可知，ZFAC=2ZBAC,ZFCA=2ZACB,

11

：.ZFAC+ZFCA=2(ZBAC+ZACB)=2(180°-ZB)=60°,

/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=120°,

/.ZEFA=ZGFA=180°-120°=60°=NDFC,

/.ZCFG=ZCFD=60°,

同⑵可得，△FDC咨AFGC(ASA),

.\CD=CG,

/.AC=AG+CG=AE+CD,

3.解：(1)与NA相等是NBOE或NCOD；

⑵如图2,在OE上取一点F,使得OF=OD,

A

图1图2

1

ZDBC=ZECB=^ZA,

.\OB=OC,

ZB0E=ZC0D,

...△OBF注△OCD(SAS).

.*.BF=CD,Z0BF=Z0CD.

11

NBFE=NECB+NCBF=NECB+NDBC+Z0BF=^ZA+-ZA+Z0BF=ZA+ZOBF,

NBEC=NA+NOCD=NA+NOBF,

ZBFE=ZBEC.

.\BE=BF.

.*.BE=CD.

4.⑴证明：4x轴工y轴,CP±CD,

/.ZDCP=ZD0P=90°,

/.ZCP0+Z0KP=ZCD0+ZCKD=90°,

：ZOKP=ZCKD,

AZCPO=ZCDO；

(2)证明：过C作CN_Lx轴于N,CQ_Ly轴于Q,

则NCND=NCQP=90°,

VC(1,1),

/.CQ=CN,

在ACND和ACQP中，

ZCDN=ZCPQ

ZCQP=ZCND,

CN=CQ

.,.△CND^ACQP(AAS),

.*.CP=CD；

(3)解:AD+BP的值不变,

VA(-2,0),B(0,-4),C(L1),

.*.AN=2+1=3,BQ=4+1=5,

VACND^ACQP,

.*.QP=ND,

：AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8,

...AD+BP的值不变，是8.

5.解：（1）如图2中,

,.,RSAB3RSDFE(已知)，

.*.AB=BD,BC=BF,

.*.AF=CD,

VZAF0=ZDC0=90°,ZAOF=ZDOC,

/.AAOF^ADOC(AAS),

.*.OA=OC,VBA=BD,

...BO垂直平分线段AD.

ABOXAD,

故答案为：AF=CD,BOXAD.

⑵结论：FM=MC,FM±CM.

理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H.

FE

VZACB+ZEFC=180°,B,F,C共线,

...EF〃CH,

/.ZEFM=ZH,

VEM=MA,ZEMF=ZAMH,

.,.△EFM^AAHM(AAS),

EF=AH,

VZFCH=90°,

.*.CM=FM=MH,

即FM=MC,

'.,△RSABC2RSDFE(已知),

，BF=AC,EF=BC,

.\BA=AH,

.*.FC=CH,

VFM=MH,

ACMXFM.

(3)如图4中，连接BH,EG,在HG上取一点J,使得BJ=BH.

,.,RSABC2RSDFE(已知)，

.•.BC=EF,AC=CF,

VCH=AH,CG=GF,

/.CH=FG,

VZBCH=ZF=90°,

△BCH注△EFG(SAS),

/.ZCBH=ZFEG,

VCH=CG,ZGCH=90°,

/.ZCGH=ZCHG=45°,

/.ZBHG=180°-45°-ZGBH=135°-ZGBH,

ZCGE=ZCGH+ZHGE=90°+ZGEF,

.\ZHGE=45°+ZGEF,

/.ZHGE+ZBHG=180°,

VZBJK+ZBJH=180°,ZBJH=ZBHJ,

I.ZBJK=ZHGE,

,.,GE=BH=BJ,ZBKJ=ZGKE,

/.ABKJ^AEKG(AAS),

.\BJ=GE.

6.解：(1)：由题意可知，

.,.m-n-3=0,2n-6=0,解得：n=3,m=6,

.,.0A=6,0B=3；

⑵分为两种情况：

①当P在线段0A上时，AP=t,P0=6-t,

13

AB0P的面积S=2><(6-t)X3=9-2t,

•.♦若APOB的面积不大于3且不等于0,

3

AO<9-]tW3,解得：4Wt<6；

②当P在线段0A的延长线上时，如图,

AP=t,P0=t-6,.,.△BOP的面积S=

13

2乂(t-6)X3=2t-9,

•.♦若APOB的面积不大于3且不等于0,

3

.\0<2t-9<3,解得：6<tW8；

即t的范围是4WtW8且t#6；

⑶分为两种情况：①当0P=0A=6时，E应和B重合，但是此时PE和AB又不垂

直，

即此种情况不存在；

②当0P=0B=3时，分为两种情况(如图)：第一个图中t=3,

第二个图中AP=6+3=9,即t=9；

即存在这样的点P,使AEOP咨△AOB,t的值是3或9.

7.解:⑴如图2,VZACB=90°,ZB=60°.

/.ZBAC=30°.

：AD、CE分别是NBAC和NBCA的平分线，

/.ZDAC=O,5ZBAC=15°,ZECA=O.5ZACB=45°.

AZEFA=ZDAC+ZECA=150+45°=60°.

(2)FE=FD.如图2,在AC上截取AG=AE,连接FG.

：AD是NBAC的平分线，

/.ZEAF=ZGAF,

在AEAF和AGAF中

，AE=AG

•••J」.AF=_FAG

AF=AF

/.△EAF^AGAF(SAS),

.\FE=FG,ZEFA=ZGFA=60°.

/.ZGFC=180°-60°-60°=60°.

又,.•NDFC=NEFA=60°,

ZDFC=ZGFC.

在4FDC和AFGC中

'NDFC=NGFC

FC=FC

ZFCG=ZFCD

/.△FDC^AFGC(ASA),

，FD=FG.

，FE=FD.

(3)(2)中的结论FE=FD仍然成立.同(2)可得4EAFm△HAF,

.\FE=FH,ZEFA=ZHFA.

又由(1)知NFAC=0.5ZBAC,ZFCA=0.5ZACB,

ZFAC+ZFCA=O.5(ZBAC+ZACB)=O.5=60°.

/.ZAFC=180°-(ZFAC+ZFCA)=120°.

ZEFA=ZHFA=180°-120°=60°.

同⑵可得△FDC咨△FHC,

.\FD=FH.

.\FE=FD.

8.解：(1)①图中ABDO和ACEO为等腰三角形，

,..OB平分NABC,

ZDB0=Z0BC,

：DE〃BC,

ZD0B=Z0BC,

AZDB0=ZD0B,

.*.DB=D0,

•••△ODB为等腰三角形，

同理AOEC为等腰三角形；

②n；

(2)VOB和0C分别平分NABC和NACB,

.•.0A平分NBAC,

/.ZDA0=ZEA0,

又0ALDE,

AZA0D=90°=ZA0E,

/.ZA0D=ZA0E,

，AD=AE,

.*.OD=OE,

又DB=OD,EC=OE,

.*.AB=AC,

/.△ABC为等腰三角形.

⑶AABC仍为等腰三角形.

过点0作OGXAD于G点，OHXAE于H点,

：0A平分NBAC,

.*.OG=OH,ZDAO=ZEAO,

/.AG=AH,

又•.•OD=OE,

ARtAOGD^RtAOHE,

.*.DG=EH,

/.AD=AE,

又OB=OD,OC=OE,

.*.AB=AC,

/.△ABC为等腰三角形.

9.⑴证明：如图①中，

：AH，BC即NAHC=90°,ZC0B=90°

/.ZHAC+ZACH=Z0BC+Z0CB=90°,

，ZHAC=ZOBC.

在aOAP与△OBC中，

'ZCOB=ZPOA=90°

■OA=OB,

ZOAP=ZOBC

.".△OAP^AOBC(ASA),

⑵过0分别作OMLCB于M点，作ONLHA于N点，如图②.

在四边形OMHN中，ZM0N=360°-3X90°=90°,

.,.ZC0M=ZP0N=90°-ZMOP.

在△(：(»与APON中，

'ZC01=ZP0N

■ZOMC=ZONP=9O*,

OC=OP

.,.△COM^APON(AAS),

.\OM=ON.

VOMXCB,ON±HA,

，HO平分NCHA,

1

：.Z0HP=2ZCHA=45°,

VZAHB=90°,

.,.2Z0HP=ZAHB.

(3)结论:当点G在y轴的正半轴上时,BG-BO=AF.

当点G在线段OB上时，OB=BG+AF.

当点G在线段OB的延长线上时，AF=OB+BG.

当点G在y轴的正半轴上时，理由如下：连接0E,如图3.

图③

VZA0B=90°OA=OB,E为AB的中点,

AOEXAB,ZB0E=ZA0E=45°,OE=EA=BE,

/.Z0AD=45°,ZG0E=90°+45°=135°,

/.ZEAF=135°=ZGOE.

VGE±EFBPZGEF=90°,

ZOEG=ZAEF,

在aGOE与AFAE中，

，ZOEG=ZAEF

■OE=AE,

ZGOE=ZEAF

.,.△GOE^AFAE,

/.OG=AF,

ABG-BO=GO=AF,

/.BG-BO=AF.

其余两种情形证明方法类似.

10.解：⑴过C点作CE±y轴于点E,

：CE，y轴，

/.ZBEC=90°,

/.ZBEC=ZA0B,

VABXBC,

AZABC=90°,

AZAB0+ZCBE=90°,

VZAB0+ZBA0=90°,

/.ZCBE=ZBAO,

在AAOB与ABEC中，

'NBEC=/AOB

-NCBE=NBAO，

BC=BA

/.AAOB^ABEC(AAS),

CE=OB=n,BE=OA=m,

OE=OB+BE=m+n,

.••点C的坐标为(n,m+n).

故答案为：(n,m+n)；

⑵证明：'.,△AOB/△BEC,

/.BE=OA=OP,CE=BO,

.,.PE=OB=CE,

/.ZEPC=45°,

ZAPC=90°,

.*.Z1=Z2,

在aABM与ACBN中，

，ZABM=ZCBN

<Z1=Z2，

AB=CB

AABM^ACBN(ASA),

.*.BM=BN；

(3)证明：•.•点C关于直线AB的对称点为D,点C关于直线AP的对称点为G,

.\AD=AC,AG=AC,

.•.AD=AG,

VZ1=Z5,Z1=Z6,

/.Z5=Z6,

在aDAH与AGAH中，

，AD=AG

-/5=/6,

AH二AH

.,.△DAH^AGAH(SAS),

.*.D,G关于x轴对称.

11.解：⑴如图1,

过点E作EHLAB于H,交AC于M,

设NCAE=a,

：.ZABC=2ZCAE=2a,

VZACB=90°,

ZCME=ZABC=2a,

/.ZAEH=ZCME-ZCAE=2a-a=a,

NAEF=NABC,

/.ZAEF=2a,

/.ZFEH=ZAEF-ZAEH=a=Z