陕西省某中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

陕西省西安中学2025届高三第一次模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设集合A={1,3,4},3={1,°+2},若814,则。=（）

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知i为虚数单位，若z=3，则zG=（）

l+i

A.72B.2C.-2iD.2i

3.设庆，万为非零向量，贝ij"存在负数;I,使得用=2拓”是“碗加＜0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.若sin（^|+aj=g,贝I]cos^2a-^=（）

A.上B.-工C.工D.上

25252525

5.某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始

分从高到低按成绩比例划定A、B、C、。、E共五个等级（见下表）.第二步，将A至E五

个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100〜86、85〜71、70〜56、

55〜41和40〜30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.

等级ABCDE

比例15%35%35%13%2%

赋分区间100-8685-7170-5655-4140-30

_“八、一（该区间原始最高分-原始分）（等级赋分区间最高分-X）,一

赋分公式：（原始分-该区间原始最低分）-（X-等级赋分区间最低分）'计算出来的xg过

四舍五人后即为赋分成绩.

某次考试，化学成绩A等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为

76分，则该学生的化学赋分分数为（）

A.85B.88C.91D.95

6.若函数小）=产-1）：+爪<1

,是定义在R上的减函数，贝IJ。的取值范围为（)

［-ax,x>l

111D,1小卜+8

A.C.—,+00

8538

7.已知直线岳+y+a=O与。C:/+（y_l）2=4相交于A、B两点，且VABC为等边三角形,

则实数a=（）

A.-4或2B.-2或4C.—1土乖ID.—1±^/6

8.已知函数“X）及其导函数/'⑺定义域均为R,满足噌+4-/仁-龙］=2盯记

g（x）=r⑴，其导函数为g'（x）且g'（3-x）的图象关于原点对称，则g'⑼+g［3=（）

A.0B.3C.4D.1

二、多选题

9.已知函数〃x）=2sin（2x-|^,贝l］（）

A.函数〃x）的图象关于点］,0卜寸称

0-77-

B.函数/■（》）的图象关于直线》=看对称

C.若xjo,g］,则函数〃x）的值域为［-石，石］

乙一—-

STZ"117Z"

D.函数“X）的单调递减区间为k7T+—,k7r+—（丘Z）

/z、、2

10.若函数/（%）=ln（l+%）-+—,则（）

x

A.〃尤）的图象关于（0,0）对称B.〃尤）在，上单调递增

C.的极小值点为qD.八"有两个零点

11.已知抛物线V=8尤的焦点为尸，准线与x轴的交点为C,过点C的直线/与抛物线交于

A,B两点，A点位于B点右方，若ZAFB=NCFB,则下列结论一定正确的有（）

A.|AF|=8B.网=空

C.S.AFB=^~D.直线A尸的斜率为百

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少

有1名女同学的概率是—.

13.在等差数列｛《｝中，4+3。8+阳=12。，贝!13a9一%的值为.

14.三棱锥尸一ABC中，AB=AC=yf2,ABLAC,平面P3C_L平面ABC,且PB=PC.记

P-ABC的体积为V,内切球半径为『，则士2-51的最小值为____.

rV

四、解答题

222

15.VA3C中，sinA—sinB—sinC=sinJBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求VABC周长的最大值.

16.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面四边形ABCD的边长均为2,且

/BAD=60°,PD1DC,PB，AC,棱尸。的中点为“.

⑴求证：PDJL平面ABC。；

(2)若APDB的面积是2面,求点P到平面BCM的距离.

17.已知椭圆C：/+/=l(a>b>0)的离心率为乎，且短轴长2,。为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设过点A(0,2)的直线/与椭圆C交于M,N两点，当的面积最大时，求直线/的方

程.

18.高性能计算芯片是一切人工智能的基础.国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产

期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测.智能检测在生产线上自动完成，包括安

全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为三，三，

5049

三47，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一

48

个综合指标.人工检测综合指标不达标的概率为P（0<p<l）.

（1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

（2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为“0）,当。=。°时，"P）取

得最大值，求Po；

⑶若AI芯片的合格率不超过93%,则需对生产工序进行改良.以（2）中确定的P。作为p

的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良.

19.若数列｛4｝满足A.=,则称数列｛4｝为“平方递推数列”.已知数列｛4｝中，4=9,

点以,“用）在函数/（x）=/+2x的图象上，其中"为正整数.

（1）证明数列｛4+1｝是“平方递推数列”，且数列他（q+1）｝为等比数列；

（2）设⑴中“平方递推数列”的前〃项积为即1=（弓+1）&+1）…（4+1），求坨*

（3）在（2）的条件下，记4=]J:八,求数列也｝的前〃项和九并求使S“>4026的

«的最小值.

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《陕西省西安中学2025届高三第一次模拟考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABACCAADADAC

题号11

答案ABC

1.A

【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得.

【详解】由A={1,3,。2},得即QW±1,此时a+2wl,a+2w3,

由得々2=々+2,而Qw—1,所以〃=2.

故选：A

2.B

【分析】由复数的运算及共轨复数的定义即可求出结果.

【详解】因为z=「==-A^=i+i,所以N=「i,

l+i(l+i)(l-i)2

z-z=(l+i),(l-i)=2.

故选：B.

3.A

【分析】根据共线向量和向量数量积的定义依次判断充分性和必要性即可得到结果.

【详解】若泣为为非零向量，且存在负数％,使得庆=4万，则用而共线且方向相反，

m-n=An2<0，充分性成立；

当沆•为<0时，西方的夹角可能为钝角，此时不存在负数2,使得庆=%为，必要性不成立;

「存在负数丸，使得庆=后T是“称为v0”的充分不必要条件.

故选：A.

4.C

【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可代入求解.

【详解】

故选：C

答案第1页，共13页

5.C

【分析】根据赋分公式有"E=穿普，即可求化学赋分分数.

X-8676-63

【详解】由题意，该学生的化学赋分分数为X,则学二上=231=11，

X—8676—6313

所以35X=13x100+86x22=>XB91分.

故选：C

6.A

【分析】由分段函数在各自段上单调递减，再结合一次函数的性质直接求解即可.

3a一1<0

【详解】要使/(x)在R上是减函数，需满足：-。<。,

(3〃-1)x1+4<2>-tzxl

解得，贝巾的取值范围为

83\_oJJ

故选：A.

7.A

【分析】由已知得圆心到直线的距离为由，再根据点到直线的距离公式可求得答案.

【详解】解：—1)2=4的圆心。(0,1),半径「=2,

因为直线岳+y+a=0与OC:f+(y_i)2=4相交于A、B两点，且VA5C为等边三角形，则

圆心到直线的距离为d=rsin6(T=6，

即d=H_[=6,整理得1+4=3,解得。=2或Y,

£

故选：A.

8.D

【分析】根据题设知g(x)关于(3,0)、x对称且g'(3)=0,即可求g'(9),再由已知有g(%)

关于(于1)、％=3对称，求g(p,即可得解.

【详解】由g'(3-x)关于原点对称，则g(3-x)关于y轴对称，且g，(3-x)=-g"+x),

所以g(x)关于x=3对称，g'(x)关于(3,0)对称，且g'⑶=0,

3

-+x+f2,即g2,则g(x)关于弓,1)对称,

答案第2页，共13页

综上，g(6-x)=g(x),g(3-x)+g(x)=2,贝i］g(6-x)+g(3-x)=2,

所以g(6-|)+g(3-|)=g§)+g(|)=2,而g(|)=l,故以|)=1,

又/(x)—g，(3—x)=0,则g'(x)关于x=机对称，即，(3—x)=g，(x),

所以g'(尤)=_g'(x+3),则g'(9)=(6)=(3)=0,

所以g'(9)+g1|)=L

故选：D

9.AD

【分析】代入验证正弦型函数的对称中心判断选项A；代入验证正弦型函数的对称轴判断选

项B；求解正弦型函数在给定区间的值域判断选项C；求解正弦型函数的递减区间判断选项

D.

【详解】选项A：d=2sin(2x看一3=0,则函数〃尤)的图象关于点?可对称.判断

正确；

选项B：/O2sin12xgT=0w±l,则函数“X)的图象不关于直线户将对称.判

断错误；

选项C：由可得一gwZx-gwg,则一gw2sin(2x-5j42,

即若xe0,^,则函数〃力的值域为［-62］判断错误；

选项D：由2人T+工V2尤一2V2左"+红，可得上〃'+2W尤V左左+^^,

2321212

54WIT

即函数/(%)的单调递减区间为^+―,^+—(%£Z).判断正确.

故选：AD

10.AC

【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，从而判断A,利用导数说明函数的单调

性，即可判断B、C,求出极小值即可判断D.

1+x＞0

2

【详解】对于函数/(x)=ln(l+x)—ln(l—力+―,令＜1一%＞0,角军得一1vxvO或0＜兄＜1,

Xxw0

所以函数的定义域为(T,0)U(0,l),

答案第3页，共13页

22

Xf(~x)=In(1-x)-In(1+x)——=-In(1+x)-In(1-x)+—=-/(%),

所以〃%)为奇函数，函数图象关于(0,0)对称，故A正确;

又/，(x)=_L.三一=，+三_2=旦_2

1+X1-Xx21+xx—1X2X2-1X2

2-4/

--(x2-l)x2~~(x2-l)x2'

当0,半时，r(x)<0,即“幻在0,3上单调递减，故B错误；

I2JI2)

当时，f'(x)>Q,即/(X)在乎』上单调递增，

(JT\(J2

根据奇函数的对称性可知f(x)在T，-手上单调递增，在-彳,0上单调递减，

I2JI2J

所以/(X)的极小值点为巨,极大值点为-4,故C正确；

又了⑺极小似=7[¥[=ln(3+2e)+2点>0,

且当X趋近于1时，/(X)趋近于无穷大，当X趋近于o时，/(X)趋近于无穷大，

所以在(0,1)上无零点，根据对称性可知/(%)在(-1,0)上无零点，

故/(x)无零点，故D错误.

故选：AC.

11.ABC

【分析】设直线/的方程为了=殁-2,不妨设机>0,联立抛物线方程，得到两根之和，两

2

根之积，表达出+苏-刃，\BC\=^l+m-y2,再由正弦定理得到篇=有，

得到—=，代入两根之和，两根之积，列出方程，求出7〃="，进而求出％=4石,

切1%一%31

根据IAF|=rnyx可判断A;根据|A.=Jl+川-％|=J1+苏？7647-64可判断B;根据

Sg=S»CF-S叩=gx|CF|xE-%|=2|%-引可判断C;根据对称性判断D.

【详解】解：由题意得，*2,0),C(-2,0),

当直线/的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，

故设直线/的方程为x=:犯-2,不妨设〃>0,

答案第4页，共13页

联立y2=8x,可得y2_awy+16=0,易得A〉。,

设4(%,%2),3(%,%)，则%＞。，%＞。，

则乂+%=8%，%%=16,

22

则|AB|=Jl+/'|5C|=y/l+m-|y2|=\/l+m-y2,

Ml忸a

由正弦定理得四=网

sinZCBFsinZCFBsinZABFsinZAFB

因为NAFB=NCFB,/CBF+NABF=—

CFBC

所以M>为，

AFAB

即4_恒则为|_区.

IAFIJi+疗•回-%|

又由焦半径公式可知|瓶|=西+2=7利]-2+2=切1，

4yI---------------------

则二=TT27'即町为=4“-4%=4j（x+%）~-4%力,

〃少17172

即16机=4y164m2—64，解得m—1，

则%+%=，解得*=4A/§，1

I',y2

7x

故[AT]=my1=~~~4A/3=8,

当机v0时，同理可得到|"|=8,故A正确；

|AS|=11+m2,|-|=Jl+”•yjMrn2—64

q-v-V

"AFB-°AACF°ASCF

=|x|CF|x|y]-y2|=2|y1-y2|

=2,64"/-64=2x/64x±-64=，故C正确；

V33

当机＞0时，》=46,贝!]%==6,即4（6,4石），

此时kAF=

答案第5页，共13页

由对称性可得，当机＜0时，kAF=-^3,

故直线AF的斜率为±&,故D错误.

在处理有关焦点弦，以及焦半径问题时长度问题时有以下几种方法；

(1)常规处理手段，求交点坐标然后用距离公式，含参的问题不适合；

(2)韦达定理结合弦长公式，这是此类问题处理的通法；

(3)抛物线定义结合焦点弦公式.

12.—.

10

【分析】先求事件的总数，再求选出的2名同学中至少有1名女同学的事件数，最后根据古

典概型的概率计算公式得出答案.

【详解】从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有C；=10种情况.

若选出的2名学生恰有1名女生，有C；C；=6种情况，

若选出的2名学生都是女生，有C；=l种情况，

所以所求的概率为

【点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典

概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的

重要一环.在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，根据顺序有无，明确

“排列”“组合”.

13.48

【分析】先根据等差中项的性质求得ag,进而根据3a9—a”=2a.,求得答案.

【详解】为+3a8+2=12。=5a&

答案第6页，共13页

/.a8=24,即a1+7d=24

3a厂a”=2aI+l4d=2a$=48

故答案为48.

【点睛】本题主要考查了等差数列的性质.特别是利用了等差中项的性质和等差数列的通项

公式，准确计算是关键，是基础题

14.76+2/2+76

【分析】根据等体积法可得2=2/?+2+2收/?2+1=复2/+1+2+2,即可构造函数

rhh

-、2J2/+1Tc

/（无）=-----------+2，

X

利用导数求解单调性，即可求解最值.

【详解】设三棱锥P-ABC的高为〃，依题意，可取BC中点。,

连接。4,OP,贝!!OP_LBC,

由于AB=AC=V^,A8_LAC,贝I8C=0A8=2,

则04=O3=OC=l,OP=/z,

由于平面尸3c，平面ABC,且交线为BC,O尸，BC,OPu平面PBC,

故OP_L平面PBC,故PA=P3=PC,

则APBC的面积为g〃•BC=h,VABC的面积g。4•=1,

由PA=PB=PC=石可得△P8A和A/NC的面积为

一&A,=gx0x

于是三棱锥尸-ABC的表面积为，2肥+1+力+1,

由等体积可知«2h。+1+//+1）§=，

答案第7页，共13页

所以2_2/?+2+2J2/+1_2。2/+1+2+?

rhh

痂--77=------i---------=------72,2/?+1+232A/2/?+1-1

故rVr，S,rh=--------------+2一一=---------+2.

§ZABC“hhh

设函数y(x)=2,2/+1-1+2,且x>0,

X

,J2/+1-2_______2/-3_______

则/。)一/也f+1网2尤2+1(,2/+1+2了

当x<f'(x)<0,/(x)单调递减,

x>Rf(x)>。,/(x)单调递增，

所以〃X)2/(A］=#+2，

所以时，2一］取得最小值6+2,

2rV

故答案为：瓜+2.

【点睛】关键点点睛：利用等体积法得到2=2"+2+2,2//+1=其型±1±2+2,构造函

rhh

数/(幻=也三。+2,求导.

X

15.(1)；(2)3+2^/3.

【分析】(1)利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；

(2)方法一：利用余弦定理可得至叫4。+43)2-4。48=9,利用基本不等式可求得

AC+AB的最大值，进而得到结果.

【详解】(1)由正弦定理可得：BC2-AC--AB2=ACAB,

1

=------9

2ACAB2

(2)［方法一］【最优解】:余弦+不等式

由余弦定理得：BC2^AC2+AB2-2AC-ABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9,

即由+川「一心.二九

答案第8页，共13页

...ACA3W;（当且仅当AC=AB时取等号），

,-.9=（AC+AB）2-ACAB>（AC+AB）2--。；巧=1（AC+AB）2,

解得：AC+AB<2y/3（当且仅当AC=AB时取等号），

:.AABC周长工=AC+AB+BCV3+2代，:^ABC周长的最大值为3+2&.

［方法二］:正弦化角（通性通法）

设3=9+%。=9-夕，则根据正弦定理可知上7=-=三=2石，所

6666sinAsmBsmC

以Z?+c=2A/^（sinB+sinC）=2/sin^—+6if^+sin^——=26cosaV26，当且仅当

a=0,即5=C=V时，等号成立.此时VA5C周长的最大值为3+2省.

［方法三］:余弦与三角换元结合

在VABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.由余弦定理得9=〃+/+^,即

0,

3人/?+—c=3sin

Z7+—c+-C29=9.令＜20E得人+c=3sin8+6cos0

c=2Gcos0

426，易知当。=£时，（b+c）a=26

6

所以VABC周长的最大值为3+2班.

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应

用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等

关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形

或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

16.（1）证明见解析

⑵0

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；

答案第9页，共13页

(2)利用三棱锥的体积关系，求解点P到平面3C0的距离即可.

【详解】(1)因为为菱形，所以AC上3D.

又因为AC工PB,PBcBD=B,PB,BDu平面PBD

所以AC_L平面PBD.

因为PDu平面尸3D,所以PD_LAC.

又由已知尸D，DC,ACcZ)C=C,AC,OCu平面A2CD

所以PD_L平面ABCD

(2)因为M为PD的中点，

所以点尸到平面MCB的距离等于点D到平面MCB的距离.

由⑴知，PDJL平面ABCD,所以SAPBD=3.BD-PD=2&.

又因为/8AT>=60°，所以BD=2,所以产。=2指，贝!==

设点O到平面BCM的距离为d,所以VM^BCD=VD_BCM.

因为邑BCD=g2OC»sin60°=gx2x2x¥=^,所以％•MO=&.

在AMCB中，MB=《MD。+BD。=J(扃+2、=9,

MC=dMD。+DC?=《峋2+2?=及,BC=2,

二匚i、【zns/fz^MB2+MC2—BC~10+10—44旬/八\匕匚【、【

所以cos/3MC=------------------------=--------------=-,又兀，所以

2MBMC205')

sinZBMC=Vl-cos2ZBMC=|,

所以Z〃cB=|MC^®.sin/2MC=；xM><9x|=3,所以/_“CB=?<MCB々=血，

所以"=五.

r2

17.(1)—+/=1

4'

(2)y=x+2或y=-Z+2

-22

【分析】(1)根据椭圆短轴长和离心率，结合匕2="一02,求得的值，由此求得椭

圆方程；

(2)设出直线/的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得"W|,

利用点到直线的距离公式求得d,由此求得三角形。MN的面积的表达式，利用换元法，结

答案第10页，共13页

合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线/的斜率，进而求得直线/的方程.

2b=2

【详解】（1）由题意得:e=£=更，解得:〃=4,b2=l,c2=3,

a2

b2=〃2

所以椭圆的方程为:二+丁=1

4-

（2）由题意得直线/的斜率存在且不为零,设直线I的方程:y=履+2,M（占,％）,N（x2,y2）,

联立与椭圆的方程整理得:。+4用尤②+16日+12=0,

A=(16^)-4X12X(1+4^2)>0,^k2>^,

16k12

X.+X-,=---------,X•X,=---------7

勺21+4公121+4公

16k48

所以弦长|脑V|=J1+左2-J(X]+%)2-4占马)2-

1+431+4公

_,2

原点到直线/的距禺前

叵三麻

1=42-3

所以S^OMN=^\MN\-d=-4j.-441+r•

21+4/1+4公

令174k2-3。＞0），所以4r=『+3,

S=4f=—＜4=173

所以“°MN4+〃4-F7，当且仅当t=2时等号成立，即/==＞：,满足条件,

t+l2k44

解得k=土",

2

所以直线/的方程为:y=^x+2或y=-gx+2

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（4X）,（%，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算A；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为网+%、毛龙2（或%+%、%%）的形式；