上海市某中学2024-2025学年高二年级上册12月学情调研数学试题（解析版）

（上海市大同中学）2024学年第一学期12月学情调研高二数学

90分钟满分100分

上海市大同中学班级姓名学号

一、填空题

1.数列｛4｝为等差数列，若%=3,%=2,则公差d=.

【答案】-1

【解析】

【分析】根据己知有1=即可求公差.

【详解】由题设〃=4=2-3=-1.

故答案为：-1

2.某果园种植了240棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为

28kg,则预估该果园的苹果产量为kg.

【答案】6720

【解析】

【分析】将样本均值视为总体均值，即可估计果园的苹果产量.

【详解】将样本均值视为总体均值，故预估该果园的苹果产量为240x28=6720kg.

故答案为：6720

3.球的表面积扩大为原来的4倍，则它的体积扩大为原来的倍

【答案】8

【解析】

【分析】利用球体的表面积和体积公式计算可得结果.

【详解】设球的半径为广，扩大后球半径为A,则4兀尺2=4><4口2,则火=2厂，

于是扩大后体积为4一兀斤=—4兀乂（2琦a=8x—4兀，，

所以它的体积扩大为原来的8倍.

故答案为：8.

4.若平面a。=1,直线aua,直线bu四acb=M,则点/与/的位置关系为.

【答案】Me/

【解析】

【分析】根据基本事实3（公理2）求解即可.

【详解】因为b=M,

所以Me直线。，A/e直线6,

因为直线aua,直线bu/7,

所以Me平面a,Me平面夕，

又平面/（3=1,

所以Afe/.

故答案为：MG/.

5.总体由编号为00,01,59的60个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随

机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为.

50446644216606580562616554350242354896321452415248

22662215862663754199584236722458375218510337183911

【答案】55

【解析】

【分析】由随机数表依次得出样本编号即可.

【详解】由题可得选出来的样本编号依次为42,16,56,26,16,55,所以选出来的第6个个体的编

号为55.

故答案为：55.

6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为.

2%

【答案】—,

3

【解析】

【分析】

根据圆锥母线和半径可得展开图的弧长与半径，从而可得圆心角的弧度数.

【详解】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1,所以圆锥的侧面展开图中半径为3,弧长为2»，

2%

所以圆心角的弧度数为一1.

3

故答案为：2g.

【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图，明确展开图中的量与圆锥的关系是求解的关键.侧重考查数学运

算的核心素养.

7.某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛（满分：150分），且每位学生竞赛成绩均不低于90分.将

这400名学生的竞赛成绩分组如下：[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得

到的频率分布直方图如图所示，则这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为

【答案】220

【解析】

【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出。，再计算出结果即可.

【详解】由频率分布直方图可知(0.010+0.010+0.025+a+0.015+0.005)x10=1,解得a=0.035,

这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为400?(0.0350.015+0.005)710220,

故答案为：220

8.四名男生和两名女生排成一排，若有且只有两位男生相邻，则不同排法的种数是

【答案】144

【解析】

【分析】先选出相邻的两个男生，看作1个整体与剩余2名男生组成的3个元素，利用插空法插入到2名女

生所形成的3个空隙中即可.

【详解】分两步进行：

①、将2名女生全排列，有段种情况，排好后有3个空位；

②、从4名男生中选2名，看成一个整体，考虑其顺序，有用种情况，再将这个整体与剩余的2名男

生全排列，安排在女生的3个空位中，有禺种情况，则一共有=2x6x2x6=144种情况.

故答案为：144

9.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一

张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为.

【答案】—

10

【解析】

【详解】试题分析：由题活动恰好在第4人抽完后结束，包含的情况有；（不中）中中中，中（不中）中中,

2321322132211113

中中（不中）中.则概率为；P=—X—X—X——1--X—X—X——1--X—X—X—=------1-----------1-------=——

54325432543210101010

考点：相互独立事件及互斥事件概率算法.

10.无穷数列｛4｝满足：只要＜=%（p,qeN*）,必有＜+1=%+1，则称｛4｝为“和谐递进数列”.已知

｛/｝为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，4=%=1，/=2,则$2024=.

【答案】7590

【解析】

【分析】根据定义可得推断｛4｝为周期数列，且周期为4,即可求解.

【详解】已知｛%｝的前四项成等比数列，4=%=1，%=2,故%=4,%=8,

a

由于｛n｝为于口谐递进数列”,故4=%=1，则“2=4=2,%=%=4,a4-as-8,a5=a9=1,

%=4+4,

故｛4｝为周期数列，且周期为4,

故＞^2024=506（4+a2+Oj+a4）=506xl5=7590,

故答案为：7590

11.在正方体ABC。-AgGA中，E,E分别为CD,A片的中点，则以所为直径的球面与正方体每条

棱的交点总数为.

【答案】12

【解析】

【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等且等于球体半径，故可得解.

【详解】不妨设正方体棱长为2,EF中点为。，取AB,8片中点GM,侧面的中心为N,连

接FG,EG,OM,ON,MN,如图,

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=[FG+EG=6+2?=2夜，

即R=后，则球心。到BBI的距离为OM=y]ON2+MN2=Vl2+12=72，

所以球。与棱8片相切，球面与棱8片只有1个交点,

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点,

所以以所为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12.

故答案为：12.

12.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成,

某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器

外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1

号仓到达容器外的概率为

10

【答案】

13

【解析】

【分析】定义从，出发最终从1号口出的概率为E，结合独立乘法、互斥加法列出方程组即可求解.

1+三

解得片=普

【详解】设从，出发最终从1号口出的概率为《，所以＜

333b13

月=9

故答案为：.

13

二、选择题

13.甲、乙两地四月7日至14日的最高气温如图所示，下列说法中正确的是（）

气温FC

A.乙地在这8日内最高气温的极差为8C

B.甲、乙两地12日温差最大

C.甲地这8日平均气温为20°C

D.甲地的75百分位数是21.5C

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据所给气温折线图，计算极差，平均值，百分位数即可得解.

【详解】由折线图可知，乙地在这8日内最高气温的极差为23。。-16°C=7C，故A错误;

由图可知，甲、乙两地12日温度分别达到最高、最低，温差最大，故B正确;

19+17+18+21+22+24+19+20

甲地这8日平均气温为=20℃,故C正确;

8

21+22

因为8x75%=6,所以数据由小到大排列的第6与第7位的平均值-------=21.5℃即为75百分位数,

故D正确.

故选：BCD

14.如图，四边形A2CZ）是边长为1的正方形，平面4BCD,平面ABCD,且

MD=N3=1,点G为的中点.则下列结论中不正确的是（）

A.MC±ANB.平面DCM//平面ABN

C.直线G2与AM是异面直线D.直线与平面无公共点

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，证明AN//DG判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点

证得四边形ABGO是梯形判断CD作答.

【详解】因平面ABC。，NB人平面ABCD,贝UMD//NB,

取筋,。,河的中点£及〃，连接EF,EG,FH,GH,如图，点G为MC的中点，

朝EGIIMDIINBI/FH,且EG'MD'NB：FH,于是四边形瓦HG是平行四边形，

22

GH1IEF,GH=EF,在正方形ABC。中，EF//AD,EF=AD,则G〃/M£>,,

因此四边形ADGH为平行四边形，AN//DG,而MD=CZ)=1,点G为MC的中点，

有。6，同。，所以MCLAN,A正确；

因为MD//NB,"Du平面。CM,平面。CM,则N3//平面。CM,

又AB//CD,CDu平面。CM,AB<z平面。CM,则AB//平面。。以，

而NBAB=B,NB,ABu平面ABN,所以平面DCM//平面ABN,B正确；

取DM中点。，连接GO,AO,则有GO//CD//A3,GO=LCD=!A3,即四边形A3GO为梯形，

22

因此直线AO,BG必相交，而AOu平面AMD,于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；

显然点Aw平面ABGO,点Me平面ABGO,直线BGu平面ABGO,点A任直线6G,所以直线GB

与AM是异面直线，C正确.

故选：D

【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.

15.如图1,小同同学在一张矩形卡片上绘制了函数/(x)=sin卜什|兀］的部分图象，A,B分别是

/(%)图象的一个最高点和最低点，M是/(尤)图象与y轴的交点，BDLOD,现将该卡片沿x轴折成如

图2所示的直二面角A-OD—5,在图2中，则下列结果不正确的是()

图2

A.AB=

B.点。到平面ABM的距离为'回

14

C.点。到平面A5的距离为义

3

D.平面08。与平面ASM所成锐二面角为arccos^—

7

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，求出图1中点AB,DM的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点的

坐标，再逐项判断作答.

【详解】在图1中，由/(%)=51111中+不)，得人[-§』)，,o\

在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则AB=(1,L-1),得|45卜行，A正确.

设平面ABA/的一个法向量为元=(x,y,z),AM=[o,g,一；

x+y-z=0

n-AB=0

则〈

即《11八取y=3则z=2,

—y—z=0

n•AM-0132

所以平面ABM的一个法向量Ai=（-1,3,2）,而03=（1,0,0）,

所以点。到平面ABM的距离为^^=一==3，B正确.

\n\V1414

取a=08=(1,0,0),

则。2=1，Q.M=¥，所以点」到直线45的距离为g."『二gc错误.

平面。皮）的一个法向量为机=（o,o,i）,

m-n|2叵

则平面08。与平面夹角的余弦值为=

\m\\n\1x714

,/14

即平面08。与平面A5M所成锐二面角为arccos^—,D正确.

7

故选：C.

16.《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两遒堵.斜解遭堵，其一为阳马，一为鳖

腌.阳马居二，鳖犒居一，不易之率也."意思是：如图，沿正方体对角面4片。截正方体可得两个遒

堵，再沿平面用G。截遒堵可得一个阳马（四棱锥。-44GR），一个鳖墙（三个棱锥。-四£C）,

若尸为线段上一动点，平面a过点尸，CD,平面设正方体棱长为1,PD=x,a与图中鳖臊

截面面积为S,则点尸从点。移动到点C的过程中，S关于x的函数图象大致是（）

【解析】

PN

【分析】分析得出△PMN用£,可得出m=x,求出S^PMN关于x的函数关系式，由此可得出

合适的选项.

【详解】设M、N分别为截面与。用、DC】的交点，DP=x,0<x<l,

CD,平面PMV,CD,平面与C£,所以，平面？MN〃平面4CG，

因为平面。CC/,平面尸AW=PN,平面。CG平面与C£=CG，

所以，PN//CQ,同理可得“V〃4£,PM//B}C,

PNDNMNDMPMDP

以,====—=%,

m

CQDC]B]C\DBXB、CDC

所以，APMN△C51G，易知SM4G=g与G•CG=g,

因此，S^PMN=X"S&CB1G=3、--

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数图象的辨别，解题的关键就是充分分析图形的几何特征，以此求出函

数解析式，结合解析式进行判断.

三、解答题

17.已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：A(l,l,l),5(1,2,3)，C(4,5,6),D(7,8,x).

(1)若AB_LCO，求x的值；

(2)若点。在平面ABC上，求x的值.

【答案】(1)4.5(2)9

【解析】

【分析】(1)根据向量垂直的坐标运算即可求解，

(2)根据共面定理，结合坐标运算即可求解.

【小问1详解】

AB=(0,1,2),CD=(3,3,x—6),

由于ABLCD，所以AB-C£)=3+2x—12=2x—9=0,

9

解得x=7.

2

【小问2详解】

AB=(0,1,2),AC=(3,4,5),

^AD=aAB+bAC>W(6,7,尤-1)=(0,a,2a)+(36,46,56)=(36,0+46,2(7+56),

6=3。

所以7=。+46,解得。=—1,b=2,x=9.

x-l=2a+5b

18.在三棱锥P-ABC中，已知力,PB,PC两两垂直，PB=3,PC=4,且三棱锥尸-ABC的体积为10.

(1)求点A到直线BC的距离；

(2)若。是棱BC的中点，求异面直线尸8,所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

【答案】(1)叵9(2)arccos迈

525

【解析】

【分析】(1)先根据已知的体积和棱长求出上4,结合直角三角形的知识可求点A到直线BC的距离;

(2)建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量夹角公式可求.

【详解】(1)在三棱锥尸-ABC中，PA,PB,尸C两两垂直,

,:PB=3,PC=4,且三棱锥尸-ABC的体积为10.

-,•VP-ABC=VAPBC=~X—X3X4XPA=10,解得阴=5,

32

过尸作尸OLBC,交BC于O,连结尸O,如图,

由三垂线定理得A0L8C,

11PBxPC3x412

'：-xPBxPC=-xBCxPO,：.PO=———=/,,=

22BCV32+425

；•点A到直线BC的距离：

(2)以尸为原点，PC,PB,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

3

则A(0,0,5),P(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),D(2,0),

2

3

PB=(0,3,0),AD=(2,J，T),

设异面直线尸8,所成角的大小为仇

\PBAD\

贝!Jcos6=阿I|n叫I

异面直线PB,AD所成角的大小为arccos^^-.

25

【点睛】本题主要考查空间中点到直线的距离和异面直线所成角，空间中的角

一般是利用向量来求解，建立适当的坐标系是求解的前提，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.

19.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，且直线PA平面A5CD,又棱Z4=AB=2,

E为的中点，ZABC=60°.

(T)求证：直线平面PAB；

(II)求直线AE与平面PCD的正切值.

【答案】(1)见解析(2)巫

3

【解析】

【详解】解：(1)证明：,/ZADE=ZABC=60°,ED=l,AD=2,

所以AE=2AE.£)ECOS600=百，所以AE?+。石2=,

二AAED是以ZAED为直角的直角三角形，

y.'：AB//CD,J.EALAB,

又B41.平面A3CZ),AEu平面A3CD：.EALPA,

又上4「AB=A,；.EA_L平面B4B；

(2)如图所示，连结PE,过A点作AHLPE于H点.

H

D

E

Bc

*：CD±EA,CD±PA,

・・・CD_L平面PAE,

又YAHu平面PAE,：.AH±CD,

s

又AHA_PEfPE^CD=E,PEcp^PCD,CDcz^p^PCD,

・・・A”_L平面PCD,

・・・ZAEP为直线AE与平面PCD所成角.

在RtZkRIE中，,.・B4=2,AE=6,

PA_2_2A/3

tanZAEP二

族一耳―亍

20.2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青

荷”.某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的

人数统计如下：

男生小青荷女生小青荷

会说日语812

会说韩语mn

其中相、”均为正整数，6<m<8.

(1)从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的

概率；

(2)从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用8表示事件

“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组机、〃的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由.

17

【答案】(1)—

(2)m-6,"=12或机=7,〃=14或爪=8,n=16,均符合题意.理由见解析

【解析】

【分析】(1)求出从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有几种抽法，再求出抽取的两名

小青荷中至少有一名会说日语的抽法，根据古典概型的概率公式即可求得答案;

(2)分别求出事件ABAB的概率的值或表达式，根据独立事件的乘法公式列式计算，即可求得答案.

【小问1详解】

从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，共有CM种抽法，

抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的抽法有(C；oC；6+C；°C；6)种，

故抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率为P=C；OC；6：C：OC：6=2。??+及-=n

CM18x3521

【小问2详解】

由题意得P(A)=U=!，尸(8)="N,P(AB)=—,

3633636

要使得事件A与8相互独立，则需满足P(A)P(B)=P(AB),

即』Xm+n

一，即〃=2m，

33636

由于6«加<8,故机=6时，〃=12；相=7时，〃=14；

加=8时，〃=16,均符合题意，取其中一组即可.

21.对于数列｛%｝,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称｛4｝为尸数列.

⑴若｛4｝的前〃项和S“=3"+2,试判断｛4,｝是否是P数列，并说明理由；

(2)设数列％,%，%，•，%0是首项为-1、公差为d的等差数列，若该数列是户数列，求d的取值范围;

(3)设无穷数列｛4｝是首项为。、公比为9的等比数列，有穷数列｛々｝,｛c“｝是从｛4｝中取出部分项按

原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为(，T],求｛4｝是尸数列时。与4所满足的条件，并

证明命题“若a>0且工=(，则｛%｝不是P数列”.

a>0

【答案】(1)是，理由见解析；(2)0,5；(3)当｛4｝是P数列时。与4满足的条件为1c或

[”2

a<0

*^,o]u(O,D,证明见解析.

qj

【解析】

【分析】

(1)由尸数列定义知，仅需验证当上wN*时，4+1-5左>0恒成立即可；

⑵写出S”，%+i的表达式，则5〃-。用<0对满足”=1,2,3,9的任意，都成立，则将此问题转化为不

等式恒成立的问题，然后据此去求解2的范围；

(3)根据数列｛4｝是产数列，可以得到。=工<生=。9，所以需要分a>0,4>1和a<0,q<l去讨

论，和(2)相似，还是去求解使得4+1>5”的取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后

在不同的情况下求出对应的4的取值范围即可.在证明命题“若。>0且［=〈，则｛%｝不是尸数列”时，考

虑使用反证法：先排除掉数列｛勿｝的项都在数列｛g｝中、数列｛cn｝的项都在数列｛/?„｝中的情况.若数列

｛%｝至少有一项不在数列｛g｝中，且数列｛&｝至少有以一项不在数列｛勿｝中，先去掉其公共项得到数列

>二｝，｛<｝<设数列卜」的最大项为4(加之2),且数列的最大项比数列上”［的最大项大,然后

根据数列｛4｝是产数列的性质，得到T；<£'，从而推出矛盾，进而所求证得证.

【详解】(l)；S“=3"+2,

•••a-“T=2.3"2),

当〃=1时，q=Si=5,

5,7?—1

故1,

2-3,n>2

那么当上wN*时，WM—S&=2-3及-3*-2=3*—2>0,符合题意，

故数列｛g｝是产数列；

(2)由题意知，该数列的前〃项和为S“=—〃+"；l)d,an+1=-l+nd,

由数列％,。2，。3，1Io是2数列，可知。