人教版九年级数学常见题型专练：中心对称（三种题型）（原卷版+解析）

第13讲中心对称（三种题型）

【知识梳理】

一中心对称

（1）中心对称的定义

把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点

对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点..

（2）中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

—.中心对称图形

（1）定义

把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中

心对称图形，这个点叫做对称中心.

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身

的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.

（2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.

三.关于原点对称的点的坐标

关于原点对称的点的坐标特点

（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点尸（尤，y）关于原点。的对称点是P（-X,-

（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称

的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.

注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标.

【考点剖析】

—.中心对称（共16小题）

1.（2023春•江夏区校级期末）下列说法中正确的是（）

A.对角线互相垂直且平分的四边形是矩形

B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C.对角线相等且垂直的四边形是正方形

D.经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积

2.（2023•思明区校级二模）凸透镜成像的原理如图所示，AG//1//HC.若缩小的实像是物体的2,则物体

3

到焦点F1的距离与焦点放到凸透镜的中心线GH的距离之比为.（焦点Fi和

F2关于。点对称）

3.（2023•金水区校级一模）如图，在RtZxABC中，ZBAC=90°,AB=20,AC=15,点。，E分别是A8、

AC的中点，点G,尸在边上（均不与端点重合），DG//EF.将△BDG绕点。顺时针旋转180°,将

△C£F绕点E逆时针旋转180°,拼成四边形MGFN,则四边形MGFN周长1的取值范围

是___________.

4.（2021秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AC=BC,点。、£分别是边A3、AC的中点，将△AOE绕点

E旋转180°得△CFE,求证：四边形AOCF是矩形.

5.（2023•株洲）如图所示，在矩形48C。中，AB>AD,AC与8。相交于点O,下列说法正确的是（）

B.点。为线段AB的对称中心

C.直线为矩形ABC。的对称轴

D.直线AC为线段3。的对称轴

6.（2023•任丘市二模）如图由6X6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的

三个顶点A,B,C均在格点上，。是AC与网格线的交点，将AABC绕着点。顺时针旋转180°.以下

是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）

嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上;

淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形

A.只有嘉嘉对B.只有淇淇对C.两人都对D.两人都不对

7.（2023•房山区二模）下列图形中，点。是该图形的对称中心的是（）

8.（2023•海港区一模）如图.在平面直角坐标系中12ABeD的顶点分别为A（1,2）,B（4,2）,C（7,5）.

（1）点。的坐标为.

（2）当正比例函数>=丘的图象平分团ABC。面积时，4的值为.

9.（2023•碑林区校级模拟）如图，平行四边形ABC。中，AB=2,BC=3,/B=60°,点尸在上，且

AP=2,若直线/经过点P,将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点。，则线段P0

的长度为.

APD

10.（2022秋•利川市期末）如图，将△ABC绕点。旋转180°,得到△ABC,当点。不在△ABC三边所

在直线上时，求证：四边形BC8C是平行四边形.

C--

11.（2023春•瑞安市月考）如图，在菱形A8CD中，AB=2,ZA=120°,过菱形ABCZ）的对称中心。分

另M乍边AB,8c的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为（）

A.3+V^B.2+273c.2W3D.I-K/3

12.（2023•古冶区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的顶点A的坐标为（-6,4）,点8,

C在x轴上，将正方形ABC£>平移后，点。成为新正方形的对称中心，则正方形A8C。的平移过程可能

是（

A.向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度

B.向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度

C.向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度

D.向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度

13.（2023•西安一模）如图，直线/平分正方形ABC。的面积，直线/分别与AB、CD交于点E、F,BHL

直线/于H,连接AH,若48=2、历，则AH长的最小值为.

14.（2023•舟山一模）如图1,在△ABC中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cm.动点尸沿线段AC以5c7Ms

的速度从点A向点C运动，另有一动点。与点尸同时出发，沿线段BC以相同的速度从点8向点C运

动.作于点。，再将绕尸。的中点旋转180°,得到DP；作QELAB于点E,再将

绕QE的中点旋转180°,得到△夕EQ.设点P的运动时间为xs.

（1）如图（2）当A'点落在BC边上时无的值为；

（2）如图1,在点尸，。运动中，当点A'在△B'EQ内部时尤的取值范围为.

15.（2022秋•惠济区校级月考）如图，在平行四边形ABC。中，AB=4,BC=8,ZB=60°,过平行四边

形的对称中心点。的一条直线与边A。、8C分别交于点E、F,设直线EE与BC的夹角为a.

（1）求证：四边形AECF是平行四边形.

（2）填空:

①当a的度数是时，四边形AFCE为菱形;

16.（2023•滁州二模）如图，在菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=8,点、E为AD边上一点,且AE=2,

在BC边上存在一点RC£）边上存在一点G,线段斯平分菱形ABC。的面积，则△EFG周长的最小值

为_______________________

17.（2023•南宁三模）下列图形中，不是中心对称图形的是（）

18.（2023•江夏区校级模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（）

19.（2023•梁溪区模拟）给出下列4种图形：①线段，②等边三角形,③矩形，④正六边形，其中既是轴对

称图形又是中心对称图形的是.（在横线上填写图形前的标号即可）

20.（2023•富锦市校级三模）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.B.

21.（2022•吉林二模）图1、图2、图3都是由边长为1的小菱形构成的网格，已有两个小菱形涂上了黑色,

请你再涂黑两个小菱形，使得整个涂色部分图形满足下列条件.

（1）图1中，整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形；

（2）图2中，整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形；

（3）图3中，整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.

22.（2023春•南京期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

23.（2021秋•建安区期中）数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1,在△ABC中若AB=5,AC=

3,求8C边上的中线的取值范围.

解决方法：延长AD到E.使得DE=AD.再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△班。）.把

AB,AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,

把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.

迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：

如图2,在△ABC中，。是边上的中点，DE±DF,DE交AB于点E,。尸交AC于点R连接所.

（1）求证：BE+CF>EF；

（2）若/A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系，并加以证明.

、'E

图1图2

三.关于原点对称的点的坐标（共9小题）

24.（2023•沁阳市模拟）在平面直角坐标系中，点（a-3,4）关于原点的对称点为（5,-b）,则必的值

为（）

A.-8B.8C.6D.-12

25.（2023•曲阜市二模）在平面直角坐标系中，已知尸（-3,5）和点。（3,m-1）关于原点对称，则相

26.（2022秋•锦江区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0,1）,B（2,0）,C（4,3）.

（1）在平面直角坐标系中画出△ABC,则△ABC的面积是；

（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为；

（3）已知产为无轴上一点，若△A2P的面积为4,求点尸的坐标.

VA

5-4-3-2-i(?r1234X

27.(2023春•温州期末)在直角坐标系中，点A(1,4)关于原点对称的点的坐标是()

A.(1,-4)B.(-1,4)C.(4,1)D.(-1,-4)

28.(2023•游仙区模拟)点M(-2,6)关于坐标原点的中心对称点为()

A.A/'(-6,2)B.W(2,-6)C.W(-1,3)D.M(3,-1)

29.(2023•福田区校级三模)若点尸(5,2-b)关于原点的对称点为Q(a-2,5),贝U-2a+b=.

30.(2023•绵阳三模)若点A(l,m)与点8(-1,1-国)关于原点。成中心对称，则m的最小值为.

31.(2022秋•罗湖区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,-2),点P是x轴上的一个动

点.

(1)4,42分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点4,小的坐标，并在图中

描出点4,A2.

(2)求使△AP。为等腰三角形的点P的坐标.

32.（2023•市南区校级二模）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，然后再关

于原点中心对称，则最后三个顶点的坐标是（）

B.(1,7),(-2,2),(4,3)

C.(1,7),(2,2),(3,4)

D.(1,7),(2,-2),(3,3)

【过关检测】

一、单选题

1.（2023•四川凉山•统考中考真题）点P（2,-3）关于原点对称的点P，的坐标是（）

A.（2,3）B.（-2,-3）C.（-3,2）D.（-2,3）

2.（2023•河南信阳•校考三模）把一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按图3打出一个圆形小孔,

则展开铺平后的图形（）

图1图2图3

A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形B.既是轴对称图形又是中心对称图形

C.是中心对称图形，但不是轴对称图形D.是轴对称图形，但不是中心对称图形

3.（2023•河北唐山•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（-6,4）,点

B,C在x轴上，将正方形ABCD平移后，点。成为新正方形的对称中心，则正方形ABC。的平移过程可

能是（）

A.向右平移8个单位长度,再向下平移4个单位长度

B.向右平移4个单位长度,再向下平移4个单位长度

C.向右平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度

D.向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度

4.（2023秋•河北保定•九年级校考期末）已知点A（-L-2）与点3（?,2）关于网2,0）对称，则？指的是

A.1B.3C.5D.2

5.（2023•河北沧州•模拟预测）如图，老师让同学们利用棋子在棋盘上拼出一个中心对称图形（颜色忽

略），为了增加难度，加入了方向角，则下一个棋子应该放在中心点的（）

A.西北方向的A处B.西南方向的A处C.东南方向的B处D.西南方向的8处

6.（2023•江苏•模拟预测）在三张透明纸上，分别有-AO3、直线/及直线/外一点尸、两点M与N,下列

操作能通过折叠透明纸实现的有（）

①图1,—AO3的角平分线

②图2,过点尸垂直于直线/的垂线

③图3,点M与点N的对称中心

A.①B.①②C.②③D.①②③

7.（2022秋•福建福州•九年级校考阶段练习）如图,△ASC与AAB'C关于点。成中心对称，则下列结论不

成立的是（）

A.点A与点A是对称点B.BO=BO

C.ZAOB=ZAOB'D.ZACB=ZCAB'

8.（2022秋・山西大同•九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，画AABC关于点。成中心对称的图

形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是ADEF,请你找出此时的对称中心是（）

A.(2,0)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,0)

9.（2022秋•九年级单元测试）在平面直角坐标系中的位置如图所示，把AABC各点的横坐标、纵坐

标都乘以-1,依次连接这些点，所得到的图形是（）

10.（2023,河北沧州♦统考二模）如图由6x6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点,

△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上，。是AC与网格线的交点，将44BC绕着点。顺时针旋转

180°.以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）

嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；

淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形

A.只有嘉嘉对B.只有淇淇对C.两人都对D.两人都不对

二、填空题

11.（2022秋•九年级单元测试）在平行四边形、等边三角形、圆、线段中，是中心对称图形的有.

12.（2023•湖北咸宁•模拟预测）平面直角坐标系中，一点尸（-1，5）关于原点的对称点P，的坐标是.

13.（2023•内蒙古包头•校考三模）数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个

既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：.

14.（2018秋•九年级单元测试）对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换（如：平移、旋

转、轴对称等）得到新图形上的对应点P,Q',保持我们把这种对应点连线相等的变换称

为"同步变换对于三种变换：

①平移、②旋转、③轴对称，

其中一定是“同步变换"的有（填序号）.

15.（2022秋•九年级单元测试）如图，AABC与AAB'C'成中心对称，EO是AABC的中位线，E'D'是

AA'3'C'的中位线，已知BC=4,则£77=.

16.（2023秋•广东梅州•九年级校考阶段练习）已知点A（3a-9,2-a）关于原点对称的点为A,点A关于x

轴对称的点为A",点A"在第四象限，那么“的取值范围是

17.（2020秋•吉林白城•九年级统考期末）如图，将AABC绕点C（0,l）旋转180。得到△A'3'C,设点A的坐

标为（a,6）,则点A的坐标为

18.（2023•山东潍坊・昌邑市实验中学校考二模）在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等

边三角形，作A与4与与A04百关于点耳成中心对称，再作A2A2与A与4与关于点层成中心对称，…，

如此作下去，则AB2023Ao23,2022的顶点4（123的坐标是-

y

44

三、解答题

19.（2023•山东济宁•统考三模）如图所示的正方形网格中，AABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标

系中按要求画图：

⑴作出AABC关于坐标原点。成中心对称的；

(2)作出以点A为旋转中心，将“1BC绕点A顺时针旋转90。得到的AABC；

⑶点Q的坐标为.

20.(2023•陕西宝鸡•统考二模)如图，AABC的顶点坐标为A(-2,3),,C(-l,2).

(1)画出AABC向右平移3个单位后的

(2)将AABC绕原点0旋转180。，画出旋转后的△AB2c2；

(3)AA22cl的面积为.

21.(2023•广西贵港・统考三模)如图，在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点坐标分别是42,-1),

⑴将AABC向上平移4个单位长度得到△A4G,请画出△AAG；

⑵请画出AABC关于y轴对称的△4与G；

⑶请写出点4关于原点对称的点4的坐标.

22.(2023,安徽蚌埠,模拟预测)如图，三角形尸QR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察

点A与点尸，点B与点。，点C与点R的坐标之间的关系.

⑴若三角形ABC内任意一点〃的坐标为(x,y),点M经过这种变换后得到点N,根据你的发现，点N的

坐标为.

(2)若三角形尸QR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形PQ'R,画出三角形尸'。尺并求三

角形PAC的面积.

⑶直接写出AC与y轴交点的坐标.

23.(2023•山东潍坊・昌邑市实验中学校考二模)如图1,两个正方形拼接成一个"，'型的图形，现用一条直

线将图形分为面积相等的两部分.小颖在研究时发现了三种不同的分割方法，图2是其中一种方法.

图1

⑴请在下面图形中再画出另外两种分割方法;

⑵若小正方形的边长为2,大正方形的边长为4.小颖在利用绘图软件研究分割方法时，将图1放置在平

14

面直角坐标系中，如图3所示，此时图2所示的分割直线的表达式为y=.小颖发现：上述三

种不同的分割直线都经过同一个点.请你证明此发现;

(3)小颖继续研究，又发现了一种分割方法，如图4所示.请根据此图，简述其作图思路;

⑷通过上述探究过程，谈谈你的收获.(两条即可)

24.(2023•陕西汉中,统考一模)如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为4-2,3),8(-4,1),

C(-l,2).

⑴作出AABC关于无轴对称的点A、B、C的对应点分别是4、4、G；

（2）作出AABC关于原点。成中心对称的△&与G，点A、B、C的对应点分别是4、层、C2.

25.（2023•安徽滁州・统考二模）如图，已知A,B,C是平面直角坐标系上的三个点.

⑴请画出44BC关于原点。对称的44片G；

（2）将△AgG向右平移8个单位得到△&鸟a,请画出△AS2c2；

⑶AABC与△4&G是否也关于某个点成中心对称？如果是，请写出它们对称中心的坐标，如果不是，请

说明理由.

第13讲中心对称（三种题型）

【知识梳理】

一中心对称

（1）中心对称的定义

把一个图形绕着某个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点

对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点..

（2）中心对称的性质

①关于中心对称的两个图形能够完全重合；

②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

—.中心对称图形

（1）定义

把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中

心对称图形，这个点叫做对称中心.

注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身

的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同.

（2）常见的中心对称图形

平行四边形、圆形、正方形、长方形等等.

三.关于原点对称的点的坐标

关于原点对称的点的坐标特点

（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点尸（尤，y）关于原点。的对称点是P（-X,-

（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称

的所有性质.但它主要是用坐标变化确定图形.

注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标.

’【考点剖析】

­.中心对称（共16小题）

1.（2023春•江夏区校级期末）下列说法中正确的是（）

A.对角线互相垂直且平分的四边形是矩形

B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形

C.对角线相等且垂直的四边形是正方形

D.经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积

【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定以及平行四边形的性质分别进行判断即可.

【解答】解：A、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故本选项说法错误，不符合题意；

B,对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项说法错误，不符合题意；

C、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项说法错误，不符合题意；

。、经过平行四边形对角线交点的直线平分该平行四边形的面积，故本选项说法正确，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了正方形、菱形、矩形的判定定理以及平行四边形的性质.注意菱形与正方形的区别

与联系、矩形与正方形的区别与联系.

2.（2023•思明区校级二模）凸透镜成像的原理如图所示，AG//1//HC.若缩小的实像是物体的—,则物体

3

到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线GH的距离之比为旦.（焦点F1和尸2关于0点对

一2一

称）

【分析】首先证明四边形。是矩形，再利用相似三角形的性质解决问题即可.

【解答】解：；”/HC,CD±l,OHLI,

，四边形OHC。是矩形，

：.OH=CD,

'：AB//OH,

.BF1-AB-2

・'OFiOH

'：OFI=OF2,

.巴―

•,OF22'

故答案为：

2

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，中心对称，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解

题意，灵活运用所学知识解决问题.

3.（2023•金水区校级一模）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=20,AC=15,点。，E分别是A8、

AC的中点，点G,尸在8c边上（均不与端点重合），DG//EF.将△8OG绕点。顺时针旋转180°,将

△CEP绕点E逆时针旋转180°,拼成四边形MGAV,则四边形MGAV周长I的取值范围是49W/<

65.

【分析】如图：连接。E,作AHLBC于〃，首先证明GF=DE=^，要求四边形MNFG周长的取值范围,

只要求MG的最大值和最小值即可.

【解答】解：如图：连接。E,作AXLBC于X,

在RtAABC中，

VZABC=90°,AB=20,AC=15,

•••BC=VAB2+AC2=25)

7y-AB-AC=-j-BC-AH-

:.AH=n,

\"AD=DB,AE=EC,

•••DE//CB,DE-|BC吟，

*：DG//EF,

・•・四边形DGFE是平行四边形，

9R

・・GF=DE二号，

：.MN//BC,GM//FN,

.四边形MNFG是平行四边形,

.•.当MG=NF=A8时，可得四边形MNFG周长的最小值=2X12+2X善=49，

当G与B重合时可得周长的最大值为65,

：G不与8重合，

；.49W/<65,

故答案为：49W/V65.

【点评】本题考查了旋转变换，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，学会取特殊点解决问题.

4.（2021秋•武汉期末）如图，在△ABC中，AC=BC,点。、E分别是边A8、AC的中点，将绕点

E旋转180°得ACFE,求证：四边形ADC尸是矩形.

【分析】先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等证明四边形AOb是矩形.

【解答】解：点。、E分别是边A3、AC的中点，

；.DE^—BC,AE^-AC,

22

VAC=BC,

：.AE=DE,

'：△AQE绕点E旋转180°得△CFE,

/.AAD£^ACF£,

：.AE=CE,DE=EF,

...四边形ADCF是平行四边形，

VA£=CE,DE=EF,AE=DE,

：.AE=CD=DE=EF,

：.AC^DF,

...四边形AOCF是矩形.

【点评】本题考查矩形的判断，熟练掌握中心对称图形的性质，矩形的判定方法是解的关键.

5.（2023•株洲）如图所示，在矩形ABC。中，AB>AD,AC与2。相交于点O,下列说法正确的是（）

A.点。为矩形ABCD的对称中心

B.点。为线段AB的对称中心

C.直线8。为矩形ABC。的对称轴

D.直线AC为线段8。的对称轴

【分析】根据矩形的性质、轴对称图形的性质和中心对称图形的性质，可以判断各个选项中的说法是否

正确，本题得以解决.

【解答】解：矩形A8C。是中心对称图形，对称中心是对角线的交点O,故选项A正确，符合题意；

线段48的中点是为线段的对称中心，故选项B错误，不符合题意；

矩形ABC。是轴对称图形，对称轴是过一组对边中点的直线，故选项C错误，不符合题意；

过线段8。的中点的垂线是线段3。的对称轴，故选项。错误，不符合题意；

故选：A.

【点评】本题考查中心对称、矩形的性质、轴对称的性质，熟记矩形即是中心对称图形也是轴对称图形

是解答本题的关键.

6.（2023•任丘市二模）如图由6X6个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，AABC的

三个顶点A,B,C均在格点上，。是AC与网格线的交点，将△ABC绕着点。顺时针旋转180°.以下

是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（）

嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上；

淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形

A.只有嘉嘉对B.只有淇淇对C.两人都对D.两人都不对

【分析】将AABC绕着边的中点旋转180。后根据选项依次作答.

【解答】解：将AABC绕着边的中点旋转180°后如图，旋转前后的两个三角形可形成平行四边形，正

确；△A8C绕着各边的中点旋转后的B'C都在网格的格点上,正确.

【点评】本题考查了中心对称，平行四边形的判定，旋转变换等知识,解题的关键是理解题意，灵活运

用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

点。是该图形的对称中心的是（)

【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果它能够与原来图形重合，那么就说这个图形

叫中心对称图形，这个点叫做对称中心，由此即可判断.

【解答】解：由中心对称图形的定义，得到选项B中的图形是中心对称图形，并且点。是该图形的对称

中心，故8符合题意；

选项A、C、。中的图形不是中心对称图形，故A、C、。不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义，

8.(2023•海港区一模)如图.在平面直角坐标系中回A8C。的顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(7,5).

(1)点。的坐标为(4,5).

(2)当正比例函数的图象平分团ABCC面积时，k的值为0.875.

【分析】(1)根据平行线的性质求解即可；

(2)根据平分回A8CL)面积必过对角线交点求解即可.

【解答】解：(1)VA(1,2),B(4,2),

.\AB=3,

V^ABCD,

：.AB=CD=3,

VC(7,5)

：.D(4,5),

故答案为：(4,5)；

(2)设团A8CD对角线交点为Q,则。为对角线AC中点，

VA(1,2),C(7,5),

*e,Q(4,y)»

•.•正比例函数＞=区的图象平分团ABC。面积，

.•.正比例函数＞=区的图象过Q(4,9■)，

2

••，

解得k』，

8

故答案为：1.

8

【点评】本题考查平行四边形的性质，求正比例函数解析式，解题的关键是根据平分平分回ABC。面积必

过对角线交点，再利用中点坐标公式求出0(4,1•).

9.(2023•碑林区校级模拟)如图，平行四边形ABC。中，43=2,BC=3,NB=60°,点尸在上，且

AP=2,若直线/经过点P,将该平行四边形的面积平分，并与平行四边形的另一边交于点。，则线段P。

的长度为

【分析】连接AC,BD交于O,过C作于由四边形A2C是平行四边形，得AB=CD=2,

AD=BC=3,又P。将平行四边形的面积平分，可知CQ=A尸=2,DP=BQ=l,由含30°角的直角三角

形性质可得。M=La)=l,CM=«DM=«,故尸重合，再根据勾股定理可得答案.

2

【解答】解：连接AC,BD交于O,过C作CMLA。于如图：

•..四边形ABC是平行四边形，

：.AB=CD=2,AD=BC=3,

将平行四边形的面积平分，

二0在尸。上,

由平行四边形的中心对称性可知CQ=AP=2,

:.DP=BQ=1,

'：ZMDC=ZABC=60a,

.•.NMCr>=30°,

：.DM=^CD=\,CM=43DM=^3,

2

：.DM=DP,

：.M,尸重合，

：.CP=M,/PCQ=NZ)PC=90°,

PQ={cp2死Q2=Q(右)2+22=近，

故答案为：V7.

【点评】本题考查平行四边形的性质，涉及勾股定理及应用，含30°角的直角三角形三边关系等知识,

解题的关键是掌握平行四边形的中心对称性.

10.（2022秋•利川市期末）如图，将△ABC绕点。旋转180°,得到△ABC',当点。不在△ABC三边所

在直线上时，求证：四边形BCB'C是平行四边形.

【分析】连接23,CC,根据旋转的性质可得3。=2'。，CO^CO,再由对角线互相平分的四边形是平

行四边形即可证明.

【解答】证明：连接88',CC,

点绕O点旋转180。到以

：.BO=B'O,

；C点绕O点旋转180°到C,

:.co=co,

...四边形8cHe是平行四边形.

【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的判定方法是解题的关键.

11.（2023春•瑞安市月考）如图，在菱形ABCZ）中，AB=2,ZA=120°,过菱形ABC。的对称中心。分

别作边AB,BC的垂线，交各边于点E,F,G,H,则四边形EEG8的周长为（）

A.3-fV3B.2+2V3C.2+V3D.1W3

【分析】先证明AB跖是等边三角形，求出ER同理可证△OGH,AEOH,△OFG都是等边三角形,

然后求出EH,GF,FG即可.

【解答】解：连接8。，AC,

：.AB=BC=CD=AD=2,ZBAO=ZDAO=6Q°,BD±AC,

：.ZABO=ZCBO=3Q0,

AOA-|AB=I,OB=VAB2-OA2=V3

VOE±AB,OFLBC,

：.ZBEO=ZBFO=90°,

在RtZXOBE中，，，

在△BEO和△BP。中,

：./\BEO^/\BFO(AAS),

：.OE=OF,BE=BF,

；/EBF=60°,

是等边三角形，

"EF=BE=V3X喙=|，

同法可证，ADGti,/\EOH,△。/G都是等边三角形,

...，EH=FG=OE卷■，

，四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=3W^.

故选：A.

【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，

解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

12.（2023•古冶区二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的顶点A的坐标为（-6,4）,点2,

C在x轴上，将正方形ABCD平移后，点。成为新正方形的对称中心，则正方形ABC。的平移过程可能

是（）

4

AD

BCO~

A.向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度

B.向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度

C.向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度

D.向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度

【分析】先根据A点坐标推出正方形ABC。中的C点坐标，再根据正方形的性质，求出对角线交点坐

标，也就是对称中心的坐标，最后由正方形的平移转化到正方形的对称中心的平移即可就出平移过程.

【解答】解：•••四边形ABCD为正方形，已知8、C在无轴上，且点A的坐标为（-6,4）,

.•.根据正方形的性质可得正方形的边长48=4,

点坐标为（-6,0）,C点坐标为（-2,0）,

:正方形的对称中心为对角线的交点，正方形对角线相互平分，

正方形ABCD的对称中心的坐标为AC的中点坐标，

对称中心的坐标为（-4,2）,

:将正方形ABC。平移后，点。成为新正方形的对称中心，

正方形ABCD的平移过程即为对称中心的平移过程，

:正方形4BC。的对称中心的坐标为（-4,2）,平移后的正方形的对称中心为坐标原点，

...可得出正方形的平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度.

故选：D.

【点评】本题考查中心对称，正方形的性质，点的平移等知识点，求出原来正方形的对称中心，结合对

称中心点的平移方式得到正方形的平移方式是解题的关键.

13.（2023•西安一模）如图，直线/平分正方形A8CD的面积，直线/分别与AB、CD交于点E、F,BH1

直线/于X,连接48,若AB=2如,则48长的最小值为■后-1.

【分析】连接BD交EF于O,取中点连接AM,作MN±AB于N,由正方形的性质得到O是

的中点，求出08的长，得到MH,M2的长，由勾股定理求出AM的长，由三角形三边关系得到A8

^AM-MH=45-1,于是即可求出AH长的最小值.

【解答】解：连接BD交所于。，取02中点M,连接AM,作MNLAB于N,

•.•直线/平分正方形ABC。的面积，

是的中点，

:四边形ABC。是正方形，AB=2如,

：.BD=y[2AB=4,

：.OB=LBD=2,

2

"：BH±FE,

:./BHO=90°,

是中点，

:.MH=LOB=I,

2

'JMNLAB,/MBN=45°,

：.ANBM是等腰直角三角形,

:.MN=BN=—BM,

2

2

J?

:.MN=BN=上,

2

：.AN=AB-BN=2近-亚=

22

'：AH^AM-MH=4S-1,

...AH长的最小值是泥-1.

故答案为：V5-1.

【点评】本题考查中心对称，正方形的性质，三角形的三边关系，求线段长的最小值，关键是通过作辅

助线，由三角形的三边关系得到

14.（2023•舟山一模）如图1,在△ABC中，NC=90°,AC=8c〃z,BC=6cm.动点尸沿线段AC以5c«t/s

的速度从点A向点C运动，另有一动点。与点尸同时出发，沿线段BC以相同的速度从点8向点C运

动.作PO_LA8于点。，再将△APD绕尸。的中点旋转180°,得到△?!'DP-,作于点E,再将

△BQE绕。E的中点旋转180°,得到AB'EQ.设点P的运动时间为xs.

（1）如图（2）当A'点落在8c边上时x的值为致；

-41―

（2）如图1,在点P,0运动中，当点A'在△B'E。内部时x的取值范围为殁＜%＜改

一531L

【分析】（1）利用锐角三角函数的意义直接求出;

（2）找出分界点①A刚好到达BE边时，②A刚好到达EQ边时，利用同一条线段两种算法求出无值,

即可得尤的取值范围.

【解答】解：(1)VZC=90°,AC=8cm.BC=6cm,

.,.AB=lQcm,

4.33

cosA---sinA----，tanA----，

554

由题意得：AP=5x,

/.B4=A£>=APcosZA=-X5x=4x,CP=8-5尤，

5

cosZCB\—cosZA—^-—^~">x

PA4x5

•・•Av―40,

41

故答案为：40

41

(2)同(1)可得sin8=居，cosB=—taaB=—,

553

①A刚好到达BE边时，

由旋转可知，四边形AD4P是平行四边形，四边形BEB。是平行四边形,

：.AP//DA,BQ//EB,

：.ZADE=ZA,ZBED=ZB,

：.ZADE+ZAED=ZA+ZB=90°,即/£>AE=90°,

；ZM=E4=8O=5无，

则BE^BO'cosZB=3x,DE=——辿——=$X5x=^^,

cosZADE44

;.4尤+2旦+3x=AB=10,

4

•••xA=-4-0-.,

53

②A刚好到达EQ边时，

c

A

/.DE=ADcosZADE=5xX—=4x,

5

.•.4x+4x+3x=A3=10,

./<3.

5311

故答案为：i2<x<12..

5311

【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了锐角三角函数，解直角三角形等知识，具体的规划是学

会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题.

15.(2022秋•惠济区校级月考)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,8C=8,ZB=60°,过平行四边

形的对称中心点。的一条直线与边A。、分别交于点E、F,设直线所与BC的夹角为a.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形.

(2)填空：

①当a的度数是60。时,四边