上海高考数学一轮复习：三角函数（含解析）

三角函数(7类核心考点精讲精练)

im.考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析

2024年秋考14题两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法

2024年春考17题正弦函数的图象和性质

2023秋考4、15题二倍角公式的应用、正弦函数的图象与三角函数的最值

2022秋考3题三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用

2022春考4题两角和的正切公式

2021年秋考15题三角函数的单调性，以及恒成立问题

2021年春考12题三角函数的最值

2020年秋考18题三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用

2020年春考3、5、14题正切函数的周期性和求法、三角函数的倍角公式、正弦函数的图象

2.命题规律及备考策略

【备考策略】

三角恒等变换的“4大策略”

⑴常值代换：特别是“1”的代换，I=sin2e+cos28=tan45。等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2ot+2cos2a=(sin2(x+cos2a)+cos2a,Q=(Q一夕)+夕等.

(3)降暴与升暴：正用二倍角公式升幕，逆用二倍角公式降暴.

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

12.考点梳理•

一、三角函数的运算

1.同角关系：sin2a+cos2a=1,^^=tan

cosa

2.诱导公式：在画+%左£Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

2

二、三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(l)sin(a土尸)=sinacos£±cosasmP;

(2)cos((z±^)=cos(zcos■干sinasmp;

g、z,nxtana±tan£

(3)tan(a±£)=-------------J

1+tanatan0

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa;

(2)cosla—cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2(z;

(3)tan2a=用吸.

1-tan2(x

知识讲解

考点一.三角函数的周期性

中典例引领

1.(2024•静安区二模)函数y=2siiu-cosx(xGR)的最小正周期为()

37171

A.2KB.TIC.—D.一

22

【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解.

21

【解答】解：因为歹=2sinx-cosx=遮(-^=sinx—T=COSX)

V5V5

=V5sin(x-<p),tancp=q,

根据周期公式可得r=2ir.

故选：A.

【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题.

2.(2024•奉贤区三模)函数了=sinx+2cosx的最小正周期为2TT.

【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解.

【解答】解：j=sinx+2cosx=V5sin(x+<p),其中tan(p=2,

根据正弦函数的性质可知，函数的最小正周期为21T.

故答案为：2n.

【点评】本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质的应用，属于基础题.

即时检测

I______________________

3.(2024•普陀区校级三模)函数/(x)=sin(3x+(p)(3>0,0<(p<n),设7为/(x)的最小正周期,

若/（,）=¥，则隼=—

【分析】由7=呼，代入函数解析式中，结合0＜隼＜冗，可得（P的值.

2TT

【解答】解：函数/（x）=sin（o）x+（p）（a）＞0,0＜（p＜n）,最小正周期7=不，

由/（4）=sin（a）x诟+0）=三，

+w）=coscp=?，

又OVcpVn,可得0="

71

故答案为：

4

【点评】本题主要考查了正弦函数周期性的应用，属于基础题.

4.（2024•杨浦区校级三模）函数y=sinxcosx的最小正周期是TT.

【分析】把函数y=sinxco改化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期.

一1

【解答】解：函数y=sinrcosx=^sinZx,

它的最小正周期是：-y=TT.

故答案为：IT.

【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题.

考点二.函数v=Asin（cox+s）的图象变换

典例引领

5.（2024•黄浦区校级模拟）要得到函数y=2cos（久-仓）的图象，只需将函数y=2s讥★的图象上所有的

点（）

1TT

A.横坐标变为原来的E倍（纵坐标不变），再向右平行移动五个单位长度

71

B.横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动五个单位长度

157r

c.横坐标变为原来的］倍（纵坐标不变），再向左平行移动运个单位长度

57r

D.横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动运个单位长度

【分析】直接利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求出结果.

【解答】解：要得到函数y=2cosO-金）的图象，只需将函数y=2s讥*的图象上所有的点横坐标变为

原来的和（纵坐标不变），得到y=2sinx的图象，再向右平行移动工个单位长度得到y=2s讥（x+修）=

2.cos（x—告■）的图象.

故选：c.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生运算能力，属于

基础题.

6.（2024•浦东新区校级四模）将函数/（x）=sin（3x+g）（（o＞0）的图像向左平移5个单位长度后得到

曲线C,若C关于了轴对称，则3的最小值是（）

1111

A.—B.-C.-D.一

6432

【分析】由题意，利用函数了=然亩（3x+（p）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得3的最小

值.

【解答】解：将函数/（%）=sin（a）x+|77_）（a）＞0）的图__像向左平移5TT个单位长度后得到曲线C,

则。对应函数为y=sin（o）x+等+号），

的图象关于y轴对称，，二■+彳=加+今左EZ,

23乙

1

即co=2左+可，左EZ,

则令左=0,可得3的最小值是:，

故选：C.

【点评】本题主要考查函数y=/sin（3X+（P）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题.

即时检测

1------------------__________________

1

7.（2024•普陀区校级模拟）将函数f（x）=s讥（x-看n）图象上所有点的横坐标变为原来的5,纵坐标不变，

n

再将其图象上的所有点向左平移隼个单位，得到函数g（x）的图象关于了轴对称，则隼的值可以为—百

（答案不唯一）.（写出一个符合要求的答案即可）

【分析】由正弦型函数的平移与伸缩变换可得变换后的函数为9。）=sin（2x+2s-3），再利用正弦型

函数的对称性求中的值即可.

【解答】解：将正弦函数/㈤=sW%—看）图象上所有点的横坐标变为原来的5得到y=s讥（2%-看），

再将其图象上的所有点向左平移cp个单位得到函数g（%）=sin[2（x+0）-看]=sin（2x+2（p一卷）的图象,

又函数g（x）的图象关于》轴对称，

则2（p—看=kn+.keZ,即0=.-Z,

TC

故＜p的值可以为5（答案不唯一）.

71

故答案为：-（答案不唯一）.

【点评】本题考查三角函数的图象变化的应用，属于中档题.

8.(2024•浦东新区校级模拟)设函数/(x)=sin-看)+sin(u)x-^),其中0〈a)V3,已知/总)

=0.

(I)求3;

(II)将函数>=/(%)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左

平移3个单位，得到函数y=g(x)的图象，求g(%)在［―a手］上的最小值.

444

【分析】(I)利用三角恒等变换化函数/(X)为正弦型函数，根据/(看)=0求出3的值；

(II)写出/G)解析式，利用平移法则写出g(x)的解析式，求出-半彳］时g(x)的最小值.

【解答】解：(I)函数/(x)=sin(3%-看)+sin(cox-5)

717171

=sino)xcos——cosooxsin——sin(——o)x)

662

V53

=-^-sincox—^cosoox

=V3sin(o)x一金,

ITi—TTTT

又/(一)=V3sin(-可)=0,

663

TTJI

o)--y左EZ,

6$

解得o)=6左+2,

又0<o)V3,

.*.o)=2；

(II)由(I)知，f(x)=V3sin(2x—5),

J3

将函数y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=gsin(x-0

的图象；

再将得到的图象向左平移%单位，得到〉=Bsin的图象，

...函数y=g(x)=V3sin(x-金)；

*ur兀37r1.nit2%

当为日一17］f时H，x—适曰一my］,

sin(x-Y2)G［-1］>

.•.当x=—押，g(x)取得最小值是—苧xb=—/

【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题.

考点三.由v=Asin(3X+<P)的部分图象确定其解析式

典例引领

9.(2024•嘉定区校级模拟)将函数/(%)=s讥(3%+0)(3〉0,101V])的图像向左平移9个单位长度得到

71TT

函数g(X)的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为；，则隼

26

【分析】结合正弦型函数图象的对称性与割补法，可知阴影部分是一个长为2,宽为。的矩形，从而可得

0=1根据T=M求得3的值，再代入点邑1)，即可得解.

【解答】解：根据正弦型函数图象的对称性可知，阴影部分是一个长为2,宽为。的矩形，

所以29=*即6=?

1TT

所以即

所以3=竿=《=2,f(x)=sin(2x+<p),

将点(7-1)代入/(x)的解析中，有l=sin(2«7+<P)，则三+隼=另2右T,任Z,

所以叩=石+2后T,左ez,

因为所以<p=看.

7T

故答案为：

6

【点评】本题考查三角函数的图形与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，理解3,<p的几何意义是解题的

关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

10.(2024•长宁区二模)某同学用“五点法”画函数/(x)=sin(3x+(p)(3>0)在某一个周期内的图

像时，列表并填入了部分数据，如下表：

7T

o)x+(p07137r2Tl

2T

XA7157127r117T

612312

sin(a)x+(p)01△-10

(1)请在答题卷上将上表△处的数据补充完整，并直接写出函数y=/G)的解析式；

(2)设3=1,(p-0,g(x)-/2(x)+-x)(xG[0,^]),求函数y=g(x)的值域.

【分析】(1)先求出3,中，即可得函数解析式，再由五点作图法可将表格补充完整;

(2)求出g(x)解析式，再由正弦函数的性质可得函数值域.

【解答】解：(1)根据表中的数据，得7=2(第一£)=n=穹，

363

.•.(0=2,

X2xJ+(p=

..隼=不，

...函数的解析式为/(x)=sin⑵+看)，

令2x+看=0,解得x=-

_,口571

可得=sinTT=0,

12

数据补全如下表：

7T

(A)x+(p0IT37r2n

2T

X7T7T57r27T117T

-12

612312

sin(a)x+(p)010-10

(2)若a)=l,(p=0,则/(%)=sinx,

C冗

g(x)=?(x)+f(x)f(—―x)

.27T

sin'x+sinxsin(—―x)

2

=sin2x+sinxcosx

l-cos2x,1..

=-----2------1-2sm^x

42.7t.,1s7rl

=-^-sm(2x—4)+彳

.•・2x一江[一£坐I，sin(2x—*)€乎，1],

V2+1

・・.g(x)e[0,2].

【点评】本题主要考查五点作图法，三角函数的图像和性质，考查运算求解能力，属于中档题.

即时检测

{____________________

11.(2024•浦东新区三模)已知/(x)=2sin(3x+(p),其中3>0,|(p|V今

(1)若隼=?函数V=/(x)的最小正周期T为4TT,求函数y=/(x)的单调减区间；

(2)设函数y=/(x)的部分图像如图所示，其中易•品=12,。(0,-V3),求函数的最小正周期T,

【分析】(1)由周期公式求出3,可得/(X)解析式，再由正弦函数的单调性求解即可；

(2)由题意可得T力力T。=一T年2+16,结合已知条件求出周期7,从而求出3,将。(0,-b_)代入/G)

解析式中，结合叩的取值范围可得隼的值，从而可得/(x)的解析式.

【解答】解：(1)若隼=?函数尸/(x)的最小正周期7为4死

则T=空=4兀，解得3=i,

(x)Z

故/(%)=2s讥(8+今).

令2kji++2/CTT+(kCZ),

解得2—2"(左EZ),

解得单调减区间为［4/CTT4々兀+苧］(k£Z).

TT

(2)由题可得%4—%B=2，xc~XA=~2f为->8=4,yc~yA=4

则AB=(—*,-4),ZC=G，-4),

TTT2

因止匕48,AC=——F16,

又6•AC=12,得T=4.

由T=—=4,得3=y.

COz

再将D(0,—旧)代入y=/(x),BP2sin<p=-V3.

由1如<*,解得0=_*

因此y=/(x)的解析式为/(x)=2sin(^x-^).

【点评】本题主要考查由y=Nsin(3x+(p)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的性质，考查运算

求解能力，属于中档题.

12.(2024•松江区二模)设/(x)=sin?当x+V^cos与xs出当久(3〉0),函数y=/(x)图像的两条相邻对称

轴之间的距离为TT.

(1)求函数>=/(X)的解析式；

(2)在△/8C中，设角/、8及C所对边的边长分别为°、6及c,若a=B,b=近,/⑷=措，求

角C.

【分析】(1)先对函数化简，然后由函数y=/(x)图像相邻两条对称轴之间的距离为m可求周期，进

而可求3,即可求解函数解析式；

(2)先由己知求出力,结合正弦定理求出2,然后结合三角形内角和即可求解C.

【解答】解：f(x)=sin2-^-+正s讥与cos半

_V3.1,1

=SlTL(x)X—COSOOX+2

./兀、

=SITlyCOX-6)+।彳1

因为函数y=/(x)的图像相邻两条对称轴之间的距离为m

所以T=2TT,

27r

所以一=271,得3=1,

0)

所以/(%)=—着)+

(2)由f(4)=3，得/(/)=si"/一看)+}="!■,

所以si7i(Z—召)=1，

因为力€(0,n),贝!)4—注[―看，等]，

所以4—看=£解得4=票

因为Q=V3,b=V2,

由正弦定理得二三=-y——Tn=得sinB=孚，

sinAsinBsm-sinB乙

因为Q>6,所以56(0,J),

所以B=$

TT

C=TC—A—B=j-2.

【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦定理在求解三角

形中的应用，属于中档题.

考点四.三角函数的最值

中典例引领

13.(2024•崇明区二模)设函数/(久)=s讥(久―看)，若对于任意ae[—等，—%在区间[0,〃”上总存

在唯一确定的仇使得/(a)+f(P)=0，则加的最小值为()

717177r

A.-B.-C.—D.n

626

【分析】由三角函数图象的单调性得：因为n>)=sin(xY),xe[—普，—刍，所以xYe[—兀，—争,

所以f(x)G[—0],即f(a)G[—0],

由三角函数的最值得：在区间[0,加]上总存在唯一确定的B，使得/(a)tA(B)=0，则在区间[0，团

上总存在唯一确定的B，使得y(B)G[0,y],由函数/(x)在[0,争为增函数，值域为：[-表1],又

TC7TTT7T

f(-)=sin—=—,即论2，故冽的最小值为：万，得解.

【解答】解：因为/(%)=sin。—看)，x6[——刍，

所以X—看€[—兀，—»

所以f(工)可―0],即/(a)6[--^-90],

由在区间[0,河上总存在唯一确定的仇使得了(a)=0，

则在区间[0,河上总存在唯一确定的B，使得/(B)e[0,y],

27r[TCTC\3

由函数/(x)在[0,；为增函数，值域为：I-亍1],又f(3)=sin-=—,

3乙，32

TTTC

即冽之亍故冽的最小值为：—,

故选：B.

【点评】本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题.

14.(2024•嘉定区二模)已知〃久)=熹+熹，xe(0,y),则函数y=/(x)的最小值为4a.

oLItJLCL/OA.乙

【分析】t=sinx+cosx=&sin(x+a)，可求f的范围，然后结合同角基本关系对已知函数进行化简，然

后结合函数的单调性即可求解.

【解答】解：因为"x)='+加=2(霓展广),

令，=sinx+cosx=V^sin(x+亨)，

因为OVxV货

7T7137r

所以T<x+7<—»

444

,V27T

所以kVs讥(％+-)<1,

L4

故1vt<VL

由，=sinx+cosx可得,Z2=l+2sinxcosx,

贝!Jsinxcosx=~2~

2t4t4

原函数可化为g⑺一目一F'

2

1

因为＞=:一/在(1,鱼]上单调递增,

L1V2L

故勺鱼时，尸f-钝得最大值于此时g⑺取得最小值4&

故答案为：4vL

【点评】本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式的应用，还考查了函数单调性在函数最值求解中的

应用，属于中档题.

即时校L

15.（2024•浦东新区校级模拟）已知a>0,若函数/（x）=sinx-acosx的最大值为2,则a=_V5_.

【分析】由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解.

【解答】解：由题意/（x）=sinx—acosx=Va?+lsbi（尤一cp）,其中coscp=，sin（p=.

Va2+1Va2+l

所以/'（x）max=Va2+1=2,

因为a>0,所以a=国.

故答案为：V3.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能

力，属于中档题.

16.（2024•浦东新区校级模拟）记函数y=4s讥（2x+专）在［如t+制上的最大值为M,最小值为机”则

当怎R时，Mt-侬的最小值为_4-2V3_.

1

［分析】求出函数的最小正周期，得到t+g-t=看为最小正周期的/数形结合得到当［t,t+看关于y=

4s讥（2支+导）的某条对称轴对称时M-电取得最小值，不妨令跖=4,得到khr,任Z,恤=2同得

到答案.

【解答】解：y=4s讥（2x+£）的最小正周期7=竽=兀，

由于t+装T屋，为最小正周期的，，

要想跖-如取得最小值，则y=4s讥（2支+引在［t,t+看］上不单调，

由对称性可知，当［t,t+?关于y=4s讥（2x+寺）的某条对称轴对称时，

71

/=——r兀

Mt~如取得取小值，其对称轴为一--=t+—,

所以当％=t+今时，y=4sin（2%+号）取得最值±4,

不妨令跖=4,则4s讥（2力+看+.）=4,解得£=而,kEZ,

故7nt=4sin（2t+.）=4sin（2kn+.）=2V3,

故Mt-mt的最小值为4一2V3.

故答案为：4-2V3.

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属中档题.

考点五.两角和与差的三角函数

卡“典例引领

7T

17.（2024•长宁区校级三模）若函数f（%）=as讥X-V^cos%的一个零点是石，则函数歹=/（x）的最大值为

2.

【分析】由两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质求解.

7T

【解答】解：函数/（久）=asinx-V^cosx的一个零点是

,V3V3

则n5"。一'7=0，

即a—1,

BP/（x）=sinx—43cosx—2sin（x—，）,

则/（x）e[-2,2],

则函数y=/（x）的最大值为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数的性质，属中档题.

18.（2024•黄浦区校级三模）若86（0,5），cosd=则cos（8+方）=——竽一

【分析】利用同角三角函数关系得sin。=孥，再结合诱导公式即可得到答案.

【解答】解：8€（0,,cosd=g，sind=J1—（.）2=cos（8+与）=—siti9=—

故答案为：—

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

7T1

19.（2024•宝山区二模）已知tana=3,则—彳）

4—2―

【分析】由已知结合两角差的正切公式进行化简即可求解.

【解答】解：因为tana=3,

百万四/vm，"7r、一tana~1-3_1_1

所以彼九（仇-4）-耳说五-1+3-2-

故答案为：

【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.

20.（2024•杨浦区校级三模）已知+苧）=一半则tanS=-5.

【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.

■一—一、，57rtan3+tan^tanBA-12

【解答】解：因为利九（8+苧）=；——--&=罂*=一*

4l—tan0-tan^-1—tanU3

所以tan0=-5.

故答案为：-5.

【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题.

考点六.二倍角的三角函数

典例引领

17

21.（2024•杨浦区二模）已知sina=a，则cos2a=9.

J9

【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sina的式子，将sina的值代入即可求出值.

【解答】解：因为sinaj

所以cos2a=l-2sin2a=1-2x（2）2=g.

7

故答案为：--

【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的

题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况.所以，在平时练习时，既要熟练掌

握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面.这样才能熟练驾驭三角函数题.

21

22.（2024•浦东新区校级模拟）若siirr=-a，贝1]cos2x=_^_.

【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解.

【解答】解：•.•siiix=-w，

21

cos2x=1-2sin2x=1-2X（一亍）2=

□v

,,1

故r答案为：--

【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

即

37

23.（2024•虹口区二模）若sinx=-1,贝!Icos2x=__^_.

D25

【分析】根据二倍角公式求解即可.

【解答】解:因为s3=-|,

D7

所以cos2x=l-2sin2x=l-2x(--g-)2=国.

7

故选：25,

【点评】本题考查了二倍角公式应用问题，是基础题.

24.(2024•虹口区模拟)若tan9=2,贝ijtan2e=——t

【分析】由题意利用二倍角的正切公式即可求解.

【解答】解：因为tan0=2,

2tan6_4

所以tcm28=

1—tarfl63,

故答案为：-*

【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题.

考点七.三角函数中的恒等变换应用

典例引领

25.(2024•闵行区三模)对于函数f(%)=gsi7i%cos%+s讥2%—今给出下列结论：

(1)函数y=/G)的图像关于点(揩，0)对称；

(2)函数尸/G)在区间吟，的上的值域为［一白1］；

TC

(3)将函数y=/(x)的图像向左平移百个单位长度得到函数＞=-cos2x的图像；

(4)曲线y=/(x)在久=软的切线的斜率为1.

则所有正确的结论是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)

【分析】由三角恒等变化得/(x)=sin⑵―3)，

对于(1),验证工)=0是否成立即可；

对于(2),由三角函数的性质，求出函数的值域即可；

对于(3),由函数的平移及诱导公式即可判断；

对于(4),验证/(彳)=1即可.

【解答】解：因为/(%)=Hs讥xcosx+sin?久一去=孚疝12了一■|cos2x=sin(2x—卷),

57r57rTC2TFA/3C

(1)因为/(77)=sin(---)=sin—=—^=0,所以函数》=/(x)的图像不关于点(yy,0)对称,

lz663Z工乙

故错误；

IT27rrrIT7lT,Jr1,,__.

(2)当t时，2x—萨［9—］，所以sin(2x—石)日一］,1］，故正确；

(3)将函数(x)的图像向左平移9个单位长度得尸sin[2(x+号)-^]=sin⑵+掾)=cos2x,故

错误；

(4)因为/'(x)=sin(2x—，，所以，(x)=2cos(2x—专)，所以/(J—2cos(———)=2sin—=1,

即曲线y=/(x)在x=*处的切线的斜率为1,故正确.

故说法正确的有(2)、(4).

故选：C.

【点评】本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题.

26.(2024•浦东新区校级四模)已知函数/(比)=4(s讥2乂—cos?久)-V^sinxcos(7r—

(1)求/G)的单调递增区间；

(2)己知△/8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且/'(红今)=孚，b=2c—g,求角2的

大小.

【分析】(1)利用二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；

(2)由已知先求出力,然后结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解反

【解答】解：(1)由题意得，/(x)——^-cos2x+y[3sinxcosx-^-sin2x—^-cos2x-sin(2x—

令-2+2.ku42.x—G<2+2kir,keZ,得一石+ku<％<可+kukEz,

所以/(工)的单调递增区间为[—卷+%加,+kn](fc6Z)；

(2)由(1)知f(?+*)=si7i(4+3)=又(0,n),

所以4+可6(可，-2-),

所以4=等

由正弦定理及b=2c—V2a,得sinB=2sinC-42sinA,

贝!JsinB=2s讥(竽-B)一字=V3cos5+sin5—手，

整理得cosB=?，

277

又Be(0,-g-),

所以B=S

4,

【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用,

正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题.

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1

27.(2024•嘉定区校级模拟)已知函数/(%)=sinxcos%-sin?%+于

(I)求/(x)的单调递增区间；

(II)在△NBC中，a,b,c为角4,B,。的对边，且满足6cos2/=bcoM-asinB,且0<54V*求角

力的值，进而再求/(3)的取值范围.

【分析】(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用

整体思想求出函数的单调区间.

(II)首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果.

111

【解答】解：(I)由题知/(%)=讥2久一^(l-cos2%)+之，

11^^27171

=-^sin2x+,cos2%=~Y(sin2xcos-^^cos2xsin-^)

—~2~siYi(2.x+4)，

由2/CTT-242%+442klr+-2(左EZ),

解得Icn:-<x<kji+不

所以/(x)单调递增区间为即―等，fcTT+g］(Z：GZ).

(II)由正弦定理得sin5cos2/=sinScos/-siiL4sin5,

因为在三角形中0<5VTT,所以sin5WO,

所以cos2A=cosA-sinA,即cos?4-sin2^=cos^-sirU,

所以(cosZ-sirU)(cos4+siih4-1)=0,

当cos/=siih4时，

A71

A=T

当cosZ+siM=1时，

A71

A=2-

由于0<C4喘，

所以

则8+。=・兀.

则0<B<^n.

一7T7177r

又了<2B+-<—,

444

所以—14SITI(2B+?)W1.

q

由f(B)=辛s讥(2B+*),

则的取值范围是［一字.芋］.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应

用.

28.(2024•浦东新区校级模拟)已知函数/(x)=cos2x-2sin2x-1.

(1)当x€[0,TT]时，求/(x)的增区间；

(2)在△/8C中，角/所对边角3所对边6=5,若/(/)=-1,求△48。的面积.

【分析】(1)利用二倍角公式得到/(x)=2cos2x-2,利用换元法求出单增区间；

(2)先求出力=看利用余弦定理求出c,即可求出三角形的面积.

【解答】解：(1)f(x)=cos2x»2sin2x-1=2cos2x-2,

令t=2x,则由x€[0,TT],可得始[0,2TT],

因为y=cosf在怎[n,2n]单调递增，

所以/'(x)=2cos2x-2在％e[£,兀]上单调递增，

即/(x)的单调递增区间为g,扪；

(2)由/(/)=-1,可得cos24=',

因为(0,TT),所以2/6(0,2TT),故2/=。或2/=等

当24=苧时，A=^,

因为a=g,b=5,则所以

即B＞里,不符合三角形内角和定理，舍去，

O

所以在△45C中，24=某即2屋，

由余弦定理及4=看，a=V13/b=5可得：

a2=b2+c2-2bccosA,即13=25+，一2x5xcX字，

解得c=遮或c=4V3,

当。=旧时，S^ABC--^bcsinA=*x5xV3x

当C=时，S4ABC=2^CS^n^=2x5X4V3X2=5V3,

r

所以△4SC的面积为一:一或5V3.

4

【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质，考查解三角形，属中档题.

.好题冲关

A基础过关

一.选择题(共3小题)

1.(2024•黄浦区二模)函数y=1-2852(了一()是()

A.最小正周期为九的奇函数B.最小正周期为万的偶函数

C.最小正周期为工的奇函数D.最小正周期为工的偶函数

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【分析】利用二倍角公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性和周期性，得出结论.

【解答】解：,函数y=1-2cos2(%-?)=-cos(2x-g=-sin2x,

故该函数的为奇函数，且最小正周期为主=%，

2

故选：A.

【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

_jr-rr

2.(2024•闵行区二模)已知〃x)=sinx,集合。=[-5,5],「={(x,y)|2/(x)+/(y)=0,x,yeD},

Q={(x,J)|2/(X)+/(J)^,x,yeD].

关于下列两个命题的判断，说法正确的是()

命题①：集合「表示的平面图形是中心对称图形

命题②：集合。表示的平面图形的面积不大于”

12

A.①真命题；②假命题B.①假命题；②真命题

C.①真命题；②真命题D.①假命题；②假命题

【分析】根据函数的奇偶性、判断命题①，再结合对称性计算阴影部分的面积判断命题②.

【解答】解：对于①，/(x)=sinx,集合D=显然该函数为奇函数，所以/(x),/⑺都是奇函

数，

则曲线2/(x)+/(y)=0必关于(0,0)对称，即集合T表示的平面图形是中心对称图形，①正确；

对于②，如图：

2s2

阴影部分是由x=土工与y=土生围成的正方形的一半，故面积为二>工，②错误.

22212

故选：A.

【点评】本题考查三角函数的奇偶性与对称性，属于中档题.

3.(2024•虹口区二模)设/(x)=sin2x+gcos2x,将函数y=/(x)的图像沿x轴向右平移三个单位，得

6

到函数y=g(x)的图像，贝!1()

A.函数〉=g(x)是偶函数

B.函数y=g(x)的图像关于直线x=1对称

C.函数y=g(x)在[&,刍上是严格增函数

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D.函数y=g(x)在匕，朋]上的值域为[-行,2]

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【分析】先确定g(x)的解析式，再根据正弦函数的性质逐项判断即可.

【解答】解：/(x)=2sin(2x+-),把函数/(x)的图象沿X轴向右平移&个单位，

36

得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin[2(x-&)+^]=2sin2x,是奇函数，/项错误；

63

当2x=左"+即x=^+?/eZ),y=g(x)其图象关于直线》=曰+:(左eZ)对称，B项错误；

当2左左+9六月左"+日，即左"+乃+今，y=