三角函数概念与诱导公式【10类题型】（解析版）-2025年高考数学题型重难点专项突破

专题4-1三角函数概念与诱导公式

近5年考情

考题示例考点分析考点要求

2023年甲卷，第14题,5分三角函数概念与诱导公式考点

(1)三角函数基本概念

分析：掌握正弦、余弦、正切等

2022年浙江卷第13题,5分(2)任意角的三角函数

基本定义，理解其在单位圆上的

(3)同角三角函数的基本

几何意义。诱导公式是重点，需

关系

2021年甲卷第8题,5分熟练记忆并应用，解决复杂角度

(4)诱导公式

的三角函数值问题。

模块一1热点题型解读(目录)

【题型1】等分角的象限问题......................................................2

【题型2】三角函数的定义.......................................................4

【题型3】对sina,cosa,tana的知一求二问题.....................................6

【题型4】弦切互化求值..........................................................8

【题型5]sina±cosa与sinacosa的关系...........................................10

【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数...................12

【题型7】诱导求值与变形(给值求值问题)......................................13

【题型8】扇形弧长与面积的计算................................................15

【题型9]割圆术...............................................................19

【题型10】象限与三角函数正负的辨析...........................................21

模块二核心题型•举一反三

【题型1］等分角的象限问题

基础知识

a

如何确定角一5£N+）终边所在象限

n

oc

法1分类讨论法：利用已知条件写出a的范围（用人表示），由此确定一的范围，在对左进行分类

n

（X

讨论，从而确定—所在象限。

n

法2几何法：先把各象限分为〃等份，再从工轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、

（7

二、三、四……则a原来是第几象限的角，标号为几的区域即角一终边所在的区域。

n

1.（多选）如果a是第三象限的角，那么最可能是下列哪个象限的角（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】ACD

【解析】a是第三象限的角，则a《2丘+万,2版•+半），ksZ,

〜a（27n2万、

所以可€金女"+可，石7版■+5ksZ；

D\DJJ乙）

a7171\

当fZ,-e2/vr+—,+万J,MeZ,在第—象限；

a(77r।

当k=3n+l,n^Z,—eIInn+n,Inji+—I,nGZ,在第三象限;

a(571AH^rixc

当k=3n+2,〃£Z—E2〃aH----,2Tl兀H-------\,nE.Z,在弟四象限;

3\36J

ry

所以H可以是第一、第三、或第四象限角.故选：ACD

2.已知a是第二象限角，则（）

CK（7

A.1是第一象限角B.sin^>0

22

C.sin2a<0D.2c是第三或第四象限角

【答案】C

【解析】•・•。是第二象限角，

jlJI0L71

/.—F2k7i<a<万+2kji.k£Z,即—Fk7i<—<—Fkyi,左eZ,

2422

Of

・・・,是第一象限或第三象限角，故A错误；

ncia

由上是第一象限或第三象限角，sin上>0或sin—<0,故B错误；

222

是第二象限角，

71

：.—+2k兀<a<7i+2kn,keZ,

:-兀+4k7t<2a<2兀+4k兀,kwZ,

；.2（z是第三象限，第四象限角或终边在y轴非正半轴，sin2a<0,故C正确，D错误.

故选：C.

【巩固练习1］（多选）如果26是第四象限角，那么。可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】BD

7T7T

【解析】由已知得<20<2k7t,kwZ,所以左乃<0<k兀，左eZ,

24

当上为偶数时，。在第四象限，当％为奇数时，。在第二象限，即6在第二或第四象限.故选：BD.

a

【巩固练习2】已知sina>0,cosa<0,则了的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【答案】D

【解析】因为sina>0,cosa<0,

兀

所以a为第二象限角，即耳+2kli<a<兀+2kn,kGZ,

..,兀2kjia兀2防i.「

所以一十---<—<—+,kGZ,

63333

则?的终边所在象限为。［普，?］所在象限，

即H的终边在第一、二、四象限.

【巩固练习3】（2024・高三•湖北黄冈•期中）若角a满足。=学/K-TT+9TT（虻2）,贝Ua的终边一定在（）

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上

D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上

【答案】D

TT

【解析】当％=0时，«=-,终边位于第一象限

当左=1时，a=丁,终边位于第二象限

6

37r

当左=2时，«=—,终边位于y轴的非正半轴上

TT

当上=3时，a=2兀,终边位于第一象限

6

综上可知，则a的终边一定在第一象限或第二象限或y轴的非正半轴上

【题型2】三角函数的定义

基础知识

一'、任意角的三角函数

(1)定义：任意角a的终边与单位圆交于点P(x,y)时，则sina=y,cosa=x,tancr=-(x0).

X

(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x，y)是角a终边上异于顶点的任一点，设点P到

、yxy

原点。的距离为广，则sina=J,cosa=—,tan«=—(x^O)

rrx

二、三角函数的定义中常见的三种题型及解决办法

1、已知角a的终边上一点P的坐标，求角戊的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解。

2、已知角a的一个三角函数值和终边上一点p的横坐标或纵坐标，求与角a有关的三角函数值

方法：先求出点尸到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出

未知数，从而求解问题。

3、已知角的终边所在的直线方程(y=Ax，左HO),求角的三角函数值

方法：先设出终边上一点P(a,履),aw0,求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解，

注意。的符号，对。进行讨论。若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角。的三角函数值

【注意】不要忽略角的终边在坐标轴上的情况

3.已知P(-3,4)为角a终边上一点，则sina+cosa=.

【答案】1/0.2

【解析】•••P(-3,4)为角a终边上一点，

.1O尸卜-9+16=5,

43

则sina=—,cosa=——,

55

,43_J_

/.sma+cosa=—

55-5

4.（2024•山东青岛•一模）已知角夕终边上有一点P]tang兀,2sin[-=7r]],贝!Jcosd的值为（

A.；B.--C.—BD.2

2222

【答案】D

4\7T।71I—

【解析】因为tan—»=tan=+—=tan—=J3

sinR^sin(-2"-"+6>sinp4h-sinF?)-sinr4

即2sin一，所以尸（后力所以侬。=发;㈠广日

【巩固练习1】（2024•江西•二模）己知角a的终边经过点则cosa=（）

A.逅B.乎C.3

3D-T

【答案】A

【解析】根据题意r=|0河|=J（V2）2+12=6,

X_y/2_y[6

由三角函数的定义得cosa

7一出一万

sina+2cosa

【巩固练习2]如果角。的终边在直线y=2x上,则

3sina-cosa

,45_

A.—B.-D.

554

【答案】B

【解析】因为角a的终边在直线y=2x上，所以tana=2.

sina+2cosa

~sina+2cos1tana+22+2_4

所以------------cosaB.

3sina-cosa3sina-cosa3tana-13x2-15

COS6Z

【巩固练习3】在平面直角坐标系中，角a的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终

边经过点尸f,X,且sina=[x,则x的值可以是（）

2J

A.±\/2B.±1C.0D.±2

【答案】BC

.x2Y24Y2

sina-—1=­——x__"—,__i

【解析】由题设“V3，故-9，整理得尤2=J,

V4+A4+X

所以元=0或％=±1.故选：BC

【巩固练习4】已知角a的终边经过点尸(l,2sine),贝Usina的值不可能是()

B.0D.-2

【答案】D

.2sina

【解析】由定义,sina=,

Vl+4sin2a

当sina=O,合题意;

当sinawO,化简得sin2a=2,由于横坐标1>O,角的终边在一、四象限，所以sina=±@

42

【题型3】对sin%cosa,tana的知一求二问题

基础知识

1、知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2a+cos2a=l求解

sina

2、知弦求切：常通过平方关系，与对称式sina±cosa,sina・cosa建立联系，注意tana=cosa的灵

活应用

sina

3、知切求弦：先利用商数关系得出sina=tana・cosa或cosa=tana,然后利用平方关系求解

5.若sina=——,贝”tana=.

【答案】《或封

【解析】因为sina=—(<(),所以a为第三象限角或第四象限角，

当a为第三象限角时，cosa=_Jl—sin2a=一空,因此121101=包里=2

13coscr12

当a为第四象限角时，cosa=Jl-sin2a=~~，因此tana=必"=一』.

13cosa12

故答案为：』或一工

1212

6.已知，e(0,7r),sin，=cos，，贝!]sin6cos6=()

A._近D.V2

【答案】C

【解析】因为，e（o,兀）,sin，=cos，，则6e[o,,结合siYd+cos/=1,

解得sin。=cos。=——,贝'Jsindcos”—

2I2J2

【巩固练习1】已知&e兀J,sina=|,贝ijcoscz等于（）

【答案】B

且sina=。2

【解析】：aecosa=-A/l-sina=——，故选：B.

5

【巩固练习2]若。wI0,—tan<9=i厕sin，-cos，=

【答案】-好

5

【解析】因为6e则sin0>0,cos6»>0,

又因为tane=包乌=[,则cos9=2sin，,

cos，2

-3-cos20+sin20=4sin2<9+sin2^=5sin20=1,解得sin8=好或sin8=—且（舍去），

55

所以sin6—cos8=sin6—2sin6=—sin8=—.

5

【巩固练习3】（2023年全国甲卷真题）设甲：sin26z+sin2/7=l,乙：sina+cosQ=0,则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【解析】当sin2a+sin2，=l时，例如二=耳,分=0但sina+cos/?w0,

即sin2a+sin2p=1推不出sin。+cos4=。；

当sina+cos尸=0时,sin2a+sin213=（-cos/3）1+sin2p=1,

即sina+cos4=0能推出sin2a+sin20=1.

综上可知，甲是乙的必要不充分条件.

【题型4】弦切互化求值

核心•技巧

1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值.常见的结构有：

(1)sina,cosa的二次齐次式(如tzsin2a+Z?sinacosa+ccos2。)的问题常采用“切”代换法求解；

(asina+bcosa\

(2)sina,cos。的齐次分式(如csina+dcosoj的问题常采用分式的基本性质进行变形.

sina

2、切化弦：利用公式tana=cosa,把式子中的切化成弦.一般单独出现正切的时候，采用此技巧.

7.已矢口sina+cosa=3cos。tana,贝Ucos2atana=()

2

D.

7

【答案】D

【解析】因为sina+cosa=3cosatana,

“».csin。

所以sm。+cosa=3cosa--------,

cosa

即sinacosa+cos2a=3cosasina,即cos2a=2cosasin。,

显然cosawO,所以cosa=2sina,则tancr=—,

4412

又siYa+cos2a=1,所以852。=^,所以cos2atana=二乂5二

5

8.若tan9=2,贝1Jsin〃(cos，一sine)=.

【答案】-：2

sin0cossin20tantan26

【解析】由已知sin，(cosO—sin。)=sin8cos8—sir?8

sin2+cos20tan20+1

_2-22_2

-22+l--5?

2

故答案为：-二.

9.已知角。的大小如图所示，则三鬻二(

)

C.-4D.4

【答案】C

【分析】根据三角函数的定义可得tan,+：］=-4,进而又和差角公式得tanO=g

又二倍角和齐次

式即可求解.

【详解】由图可知tan［o+：)=-4,

，八兀、兀

tan6+--tan—

I4J45

所以tan6=一、「、—-=-

1(八兀)兀3

I+tan6+—tan—

I44

I+sin29_(sin0+cos0^_sin夕+cos0_tan0+l

则

cos2。(cos0+sin0^(cos0-sin6^cos。一sin6I-tan0

【巩固练习I】已知tana=2,则侬(…)+3sina=________

4cosa-sina

【答案】I

2

【解析】因为tana=2,

讦以COS(TI—a)+3sina_cosa+3sina

4cosa-sin。4cos。一sin。

-I+3tana

4-tana

-1+3x25

4-2~2,

【巩固练习2】已知tan6=2,贝!Jsin2夕+3cos?8=

7

【答案】y

［解析］sin28+3cos2夕=2sin6cos8+3cos26=2sin";os"+3：os"2tan6+32x2+37

sin20+cos2tan26>+l-22+l-5

7

故答案为：y.

【巩固练习3］已知tan6=2,则二—-----「的值是___________.

sm20+cos23

【答案】5

【解析】因为tan6=2,

.11cos20+sin20

rJcf以---------------=-------------------5----------5-=----------------------------z----z—

sin20+cos202sin^cos^+cos^-sin02sin0cos0+cos2-sin20

22

—---l-+-ta-n--6>--=---1-+-2--=5<

2tan0+1-tan202x2+1-22

【题型51sinaicosa与sinacosa的关系

/核心•技巧/

对于s泳z+cosa,since—cosa,s加zcosa这三个式子，知一可求二：（sz72a±cosc）2=l±2s加纥。sa

10.（多选题）已知sina-cosa=,0<a<7i则下列选项中正确的有（）

5f

A.sina-cosa=—B.sin6Z+COS6T=—

55

-15

C.tana+-------=一D.sina=

tana35

【答案】AB

【解析】由sina-cosa=走，得(sina-cosaf=l-2sinacosa=1,

53

2

所以sinacosa=—,故选项A正确；

2

因为sinacosa=二，ae[0,TI],所以sina>0,cosa>0,

又因为(sina+cosa)?=l+2sinacosa=一，所以sina+cosa=△—,故选项B正确;

55

l.、，1sinacosa15一、L.

因为tan】+----=-----+-----=----------=一，故选项C错沃；

tanacosasmasinacosa2

由sina-cosa=,sina+cosa=,所以sin一二,故选项D错误

555

11.已知。为第三象限角，sina-cosa=,则tan2a=()

3

A275R2盯r275n2百

5335

【答案】D

【解析】因为sina-cosa两边平方得1—2sinacoscr=—,

3

22

即2sinacosa=sin2a=§,又因为a为第三象限角，且2sinacosa=§>0,

所以sina<0,coscr<0,

5

所以(sini+cosa)2=1+2sincrcos«=—,所以sina+cosa=-

则cos2a=cos2a-sin2a=coser-sina)(cos。+sina

2

sin2a_3_2r

故tan2a=故选：

cos2ay/55D.

3

7

【巩固练习1】已知cosA+sinA=——,A为第四象限角，则tanA等于（）

5

D.

12

【答案】C

7

【解析】•/cosA+sinA=-—

120

可得2sinAcosA=------

289

(cosA-sinA)2=1—2sinAcosA=.

17

•二cosA-sinA=±——.

13

17

又A为第四象限角，cosA-sinA=一

13

又cosA+sinA=———

13

51212

所以cosA=—,sinA=-----.所以tanA=------.答案：C.

13135

【巩固练习2】（多选题）已知。«0,兀），sina+cosa=半，则下列结论中正确的是（）

2碗

A.sin26z=--B.cosa-sma=-------

55

一04

C.cos2a=一D.tana=-3

5

【答案】AD

【解析】对于选项A,由sina+cosa=10两边平方得：l+sin2a=：,故得sin2a=-3，即A项正

555

确；

3

对于选项B,由sin2a=2sinacosa=—g<0,兀)可得：aG兀)故cosa<sina,

由(COS6Z-sin。)？=1-sin2a=§可得：coscr一sina=一3叵,故B项错误；

55

4

对于选项C,cos2a=cos2a—sin2a—(sina+cosa)(cosa-sina)=x(—=故C项错

5

、口

沃；

3A/10

sina+coscr=-----sma=-------

匕，故得：.故项正确.

对于选项D,由＜可解得：<1tana=-3D

2V10Vio

cosa-sina=---------cosa=-------

510

【题型6】利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数

核心•技巧

一、诱导公式

公式•二三四五六

n71

角2k7i+a(keZ)7ia—ex7i-a-----a----FCC

22

正弦sina—sincr—sinasinacosacosa

余弦cosa-cosacosa-cosasiner一sina

正切tanatana一tana一tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

二、把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤

任意负角任意正角〜兀的

利用诱导公式02利用诱导公式二|锐角三|

的三角函的三角函角的三角|角函数|

1数三或一数函数或四或五

也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了

12.点尸(sin2022°-cos2022°,sin2022°cos2022°)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】sin2022°-cos2022°=sin(5x360°+222°)-cos(5x360°+222°)

=sin222°-cos222°=sin(180°+42°)一cos(180+42)°=一sin42°+cos42°>0.

同理，sin2022°cos2022°=(一sin42°)•(一cos42°)=sin42°cos42°>0,

所以点尸位于第一象限.故选：A.

_一，，.一，,»〜n-sina----cos-------\-atan(^-a)

【巩固练习1】已知。为第三象限角，J.

tan(-fz-%)sin(-«-冗)

【答案】一cosa

.(乃))/、

.」、.sina----cos——+atan(万一a).」

【解析】外、_12)(2)——cosasna•(-tana)_，故答案为：

JI0CI———COSCC

tan(-a-%)sin(-a-TI)-tana,sina

-cosa.

_■一，41,2sin(兀一a)-3tan(3兀一a)

【巩固练习2】已知sin(a+7i)=—,且sinacosa<0,则----------;----;------=.

54cos(a-7i)

7

【答案】y

44

【解析】Vsin（cir+7i）=—,/.sincr=-j<0.

又sinacosa<0,/.cos6z>0,/.cos«=Vl-sin2a=—,

sina4

「.tana=-------

cosa3

2sina-3tan（7t-a）_2sina+3tana7

原式=

4cos（兀一a）-4cosa

【巩固练习3】已知角。的顶点在原点，始边与工轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,y),且

4

tancr=——

3

（1）求sina+cosa的值;

sin（兀-a）+2cos（兀+a）

（2）求.（3f3的值.

sin-Tt-a-cos—Tt+a

<2J12J

v4

【解析】（1）,/tan«=y=,:.y=-49

sina=——,cosa,则sina+cosa=——.

555

_4_210

/、_、、sina-2cosatana-2=3=」一°

（2）原式:--------；-

一cosa-sina-1-tancif]41

-n——

33

【题型7】诱导求值与变形(给值求值问题)

核心;技巧「

(1)诱导公式用于角的变换，凡遇到与整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任

意角的三角函数化成锐角三角函数.

(2)通过等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.

(3)等可利用诱导公式把的三角函数化

13.已知aef0,—

72V21

C.D.

丁33

【答案】C

【解析】cosf717171]_

=cosa--+--—=-sina-----

102103

4(71

14.已知sin]a+：则cos[a()

6

A-4B--1D-i

【答案】C

714

【解析】因为sin<7+—

5

71兀兀4

所以cos[a-%=cos(X—=sina+g

25

n1,则

15.已知cosaH—sin12a.£

63

7

【答案】一

9

n1(,n\.271

【解析】cosaH—ncos——=2cos

63I3J699

7171717

/.cos2a+—=cos2ca---兀-+、—兀=-sin.2ca-------:.sin\2a--

I3J626969

【巩固练习1】已知cos(a+3-4贝Usin[a+2

5,

A-4B--1c-iD-1

【答案】A

2兀47171714.714

【解析】由cosCCH——=不可得COSa+—+—=-sinaH—=—=>sinCCH----

626565

则cos[n]+a]等于(

【巩固练习2】若sin)

3

V21

A.D

3-1

【答案】D

【解析】因为sin

〜兀.7171

所以cosi[1+a=sin——~+

2

【巩固练习3]已知sin?+a]=¥，贝ijcos|子一2a)=-

【答案】」

3

7万2、，.(兀V3

【解析】由题意sin-------FCC=sin万+工+。=-sin工+&所以sm\-a

6I61616T

(In\/.、…仔+2a

所以cos------2a—cos7c——\-2a=-cos

、(

3J3737

【题型8】扇形弧长与面积的计算

/核心•技巧/

一、扇形弧长与面积的基本公式

已知扇形的半径为R,圆心角为6

弧长公式：i=e-R

面积公式：s=L.R=LeR2

22

二、应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

16.(2024・四川南充・三模)如图，圆。内接一个圆心角为60。的扇形A3C,在圆0内任取一点,

该点落在扇形ABC内的概率为()

【答案】C

【分析】根据圆的半径与扇形半径的关系及扇形的面积公式，由几何概型求解即可.

【详解】设圆的半径为R,过。作于。点，如图，

则扇形的半径r=27?cos30°=6R,

所以扇形的面积S'='r~a——x—R2=""

圆的面积S=TIR2,

7lR2

由几何概型可得：_S'F

rD=—

STIR2

TT

17.（2024・辽宁抚顺・三模）已知圆锥的底面圆的半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为1的扇形,

则该圆锥的母线长为（）

【答案】D

IT

【分析】设母线长为/,根据题意得到5/=271X1,即可求解.

JT

【详解】设母线长为/,由题意，可得耳/=271、1,解得/=4,即圆锥