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文档简介
陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检
测考试数学试题
学校:姓名:班级:考号:
一、单选题
1.已知直线4:"+2y+l=0,直线/2:x+(a-l)y+2=0,若工乙,则实数。=()
32
A.-B.-C.-1D.2
23
2.已知函数/(》)在x=x0处可导,则lim()
-Ax
A.7.r(x0)B.,(与)C.r(x0)D.2f'(x0)
3.已知抛物线V=8y的焦点是尸,若抛物线上的点尸到尸的距离为4,则点尸到x轴的距
离为()
A.2B.3C.4D.5
4.已知等比数列{%}是递增数列,其前〃项和为S",且%,6练,总成等差数列,则?=()
A.10B.15C.18D.20
5.已知实数满足/+/一2工-8=0,则/+/的取值范围是()
A.[2,4]B.[8,10]C.[8,16]D.[4,16]
6.己知函数/'(x)的导函数为/'(X),若存在/使得则称%是“X)的一个
“巧值点下列四个函数中,没有“巧值点''的是()
A.f(x)=ln(x+l)B.七J
C./(x)=sinxD./(x)=cosx
22
7.已知双曲线C:3-3=l(a>0)的左,右焦点分别为用此,以线段片外为直径的圆与双
4
曲线C在第二象限内的交点为若sin/及/鸟=y,则原点O到直线的距离为()
j3
A.-B.1C.-D.2
22
8.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工,新方案
试卷第1页,共4页
将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月,逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟
至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示:
出生时1965年1月1965年5月1965年9月1966年1月
...
间—4月—8月—12月T月
改革后
法定退60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月...
休年龄
那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为()
A.62岁3个月B.62岁5个月C.62岁8个月D.63岁
二、多选题
22
9.已知双曲线C的方程为上二=贝IJ()
9-m25-m
A.9<m<25
B.C的焦点可能在x轴上
C.C的焦距一定为8
D.C的渐近线方程可以为y=±百x
10.已知数歹支。“}的前〃项和5,=-/+31”,则下列说法正确的是()
A.4=32-2〃
B.S”取得最大值时,〃=15
C.同+2k-----*~|461=240
D.|^i|+1^|H〃3O|=465
11.在平面直角坐标系中,曲线。:/+必=2忖+23是一条形状优美的曲线,对于此曲线,
下列说法正确的有()
A.曲线C围成的图形有4条对称轴
B.曲线C围成的图形的周长是8夜兀
C.曲线C上任意两点间的距离最大值是4行
试卷第2页,共4页
D.若T(”,6)是曲线C上任意一点,则囹+36-18|的最小值是口_50
三、填空题
12.已知直线瓜+y-l=O与直线26x+加y+3=0平行,则它们之间的距离是.
13.已知函数“x)=x(x-a)2在无=1处取得极大值,则实数。的值是.
14.已知正项等比数列{%}的前〃项和为S),,若邑=4,则名+R的最小值为.
四、解答题
15.已知函数f(x)=ahu;-加+i(a,beR),曲线y=/(x)在x=1处与直线V=0相切.
⑴求。、6的值;
(2)求/(x)在1,e2上的最大值和最小值.(其中e=2.718…为自然对数的底数)
16.设数列{%}的前"项和为耳,已知首项为=1,。用=3s.(〃eN)
(1)求数列{%}的通项公式;
⑵在数列低}中,bn=an+\Og4Sn,求数列也}的前“项和
17.已知圆C:(x+3)2+3-4)2=4.
⑴若直线4过点”(TO),且与圆C相切,求直线4的方程;
⑵若圆。的半径为3,圆心在直线/2:x-y+2=0上,且与圆C外切,求圆。的方程.
18.在平面直角坐标系xQy中,已知点尸上8,0),点亚,0),直线相交于点E,
且它们的斜率之积是-:.
2
(1)求动点E的轨迹方程;
⑵若直线>=区+;与点石的轨迹交于",N两点,线段"N的中点为A.若直线OA的斜率为
1,求线段的长.
19.定义:若函数"X)与g(x)的图象在xeC上有且仅有一个交点,则称函数〃x)与g(x)
在xeC上单交,此交点被称为“单交点”.已知函数/(x)=2e*-a无,aeR,g(x)=底,+2.
试卷第3页,共4页
⑴讨论函数””的单调性;
(2)当04.<1时,
(i)求证:函数/'(x)与g(x)在(0,+8)上存在“单交点”(七,/(%));
(ii)对于(i)中的正数天,证明:ln[x0(a+l)]<l.
试卷第4页,共4页
《陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题》参考答
案
题号12345678910
答案BDAADBCCACDAC
题号11
答案ACD
1.B
【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.
2
【详解】由已知,若4U,贝IJaxl+2(a-l)=0,解得
故选:B.
2.D
【分析】利用导数的定义可得结果.
【详解】因为函数/(x)在x=x0处可导,则
Hm=2]油«%@-J/心》
AxAT2Ax
/(尤o+Ax)-/(%-Ax)
=2lim
Ax->0
(x0+Ax)-(x0-Ax)J.
故选:D.
3.A
【分析】设点尸(为,%),由抛物线的焦半径公式得先,则P到X轴的距离可求.
【详解】设点尸(X。,%),准线方程为了=-2,由抛物线定义可得为+2=4,得%=2,
所以点P到x轴的距离为2.
故选:A.
4.A
【分析】根据题中条件,得到公比%>0a>1或%<。,0<4<1,再由%,6%,网成等差数列,
求出公比;根据等比数列的求和公式,即可求出结果.
【详解】因为等比数列{%}是递增数列,所以%>0,夕>1或%<0,0<q<l,
又%,6&,。8成等差数列,所以12q6=%+%,则12=q+q2,解得q=3(-4舍去),
答案第1页,共12页
%(1-7)
因止匕区=—r=1+q2=10;
S]q(l-q2)
1-q
故选:A
5.D
【分析】化简应用三角换元结合辅助角公式和三角函数值域计算可得.
【详解】因为一+/-2》-8=0,
所以(1)2+/=9,
设=3cos。/=3sin6
则x2+y2=(3COS6+1)2+9sin2^=10+6cos6,cos。G[-1,1],所以4+1后[4,16].
故选:D.
6.B
【分析】求导,然后直接解方程〃x)=/'(x)可判断BCD;根据零点存在定理可判断A.
【详解】对于A选项,/(x)=ln(x+l),f'(x)=-L-,
令g(X)=/(X)_广(x)=In(尤+1)_9,
因为函数y=ln(x+l)、y=——L在(T,+8)上均为增函数,
X+1
所以,函数g(x)=ln(x+l)-fj在(T+oo)上为增函数,
因为g(0)=-l<0,g(l)=ln2-1>0,贝iJg(0)g(l)<0,
由零点存在定理可知,函数g(x)=ln(x+l)-占在(0,1)上存在唯一零点,
所以,函数/(x)=ln(x+l)有“巧值点”;
对于B选项,/(x)=QT,则=
由/(x)=/(x)可得[即ln;=l,矛盾,
所以,函数〃x)=[g]没有“巧值点”;
答案第2页,共12页
对于C选项,/(x)=sinx,则r(x)=cosx,
由=可得sinx=cosx,即tanx=l,解得x=for+?左eZ),
所以,函数/(x)=sinx有“巧值点”;
对于D选项,/(x)=cosx,贝ij/'(无)=-sinx,
由/(x)=/'(x)可得cosx=-sin尤,即tanx=-l,解得x=左eZ),
所以,函数/(x)=cosx有“巧值点”.
故选:B.
7.C
4
【分析】根据题意先确定即,峥,记双曲线的焦距为2c,再由sin/龙用丹=y,表示出
\MF^W\MF^,根据双曲线定义以及题中所给双曲线方程,求出C,得到|儿阴];最后根据点
。到直线匹的距离是点片到直线班距离的一半,即可求出结果.
【详解】由题意可得,MFJMF],
4\MFA
因为sin乙鸣8=£=用,记双曲线的焦距为2c,
5喀|
则眼闻=:片用=:c,所以1Ml=历曰两2=:c,
O1
根据双曲线定义可得,|吟|-|5|=2a,即:c=2a,贝3=不,
2s
又c?=/+/=/+6=•^•+6,解得c=7所以|A/F;|=3,
因为点。是月耳的中点,所以点。到直线烟的距离是点与到直线距离的一半,
即原点O到直线皿居的距离为?=|;
故选:C
8.C
【分析】设7月出生的男职工退休年龄为{%},可得{%}是首项为609,公差为;的等差数
列,利用等差数列通项公式计算即可.
【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为4=60J岁,
答案第3页,共12页
则1966年7月出生的男职工退休年龄为。2=60,+:岁,
设7月出生的男职工退休年龄为{%},则{%}是首项为609,公差为;的等差数列,
64
112
1975年7月出生的男职工退休年龄为%1=6(^+(11-1*4=62§.
故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月.
故选:C.
9.ACD
【分析】根据方程为双曲线可得9〈加〈25,且焦点在V轴上,即A正确,B错误;计算可
得焦距为8,即C正确;当机=13时,渐近线方程为>=±瓜,即D正确.
【详解】由题意得(9一加)(25-机)<0,解得9<加<25,故A正确;
22
由前可得双曲线。的标准方程为」-------=1,故双曲线。的焦点一定在了轴上,故B
25—mm—9
错误;
双曲线C的焦距为2j25-m+加-9=8,所以C正确;
22
当m=13时,双曲线C的标准方程为二-土=1,其渐近线方程为了=±技,故D正确.
124
故选:ACD.
10.AC
【分析】利用和与项的关系,分〃=1和"W2分别求得数列的通项公式,检验合并即可判定
A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是非负值可计算判定C;由
1ali+|。2%=$16+Q%7-q9。30)=2$顼-邑0可计算后否定D.
【详解】因为数列{%}的前〃项和S"=-〃2+3In,
则%=st=-1+31=30,
cin=Sn—S“_\=—n~+3177+(〃-1)-31(a-1)=—2n+32("W2),
当”=1时也成立,所以。"=32-2〃,故A正确;
由。“=32-2〃>0,得“<16,当〃=16时仆=0,当”>16时,an<0,
所以S“取得最大值时,〃=15或〃=16,故B错误;
答案第4页,共12页
因为当“<16时,>0,当力=16时q=0,
所以同+同+…+何6|=几=762+31x16=15x16=240,故C正确;
因为+1。21+,.,+|/o|=耳6+(_47~ai9----%0)
2
=2S16-S30=2x240-(-30+31x30)=450,故D错误.
故选:AC.
11.ACD
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线。的四段关系式,从而作出曲线C的图象,由曲线C
图象判断各选项即可.
【详解】当时,曲线C的方程可化为(x77+(y-l)2=2,
当xVO/NO时,曲线C的方程可化为(x+1)2+(J-1)2=2,
当xNO/WO时,曲线C的方程可化为(x-iy+(y+l)2=2,
当xVOjVO时,曲线C的方程可化为(x+iy+(y+l『=2,
所以曲线C的图象如图所示,
对于A,由图可知曲线C围成的图形有4条对称轴,故A正确;
对于B,曲线C由4个半圆组成,其周长为2X2TTX收=4&兀,故B错误;
对于C,由图可知曲线C上任意两点间的最大距离为4夜,故C正确;
对于D,7伍力)到直线4x+3y-18=0的距离d=附+7®,
点(1,1)到直线4x+3y-18=0的距离为H+;T8|=H,
由圆的性质得曲线C上一点到直线4x+3y-18=0的距离最小为^-亚,
所以囹+36-18|的最小值为1>5行,故D正确.
答案第5页,共12页
故选:ACD.
【点睛】关键点点睛:本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值,得到曲线C的四段方程,作
出图象,数形结合求解.
-5
12.一
4
【解析】由条件可得/=2,然后利用平行线间的距离公式可算出答案.
【详解】因为直线行工+>-1=0与直线2+zwy+3=0平行,所以zw=2
方程瓜+y-l=O变形为2怎+2y-2=0
3+2_5
所以直线6x+y-l=0与直线2Gx+2了+3=0的距离为了面工7一^
故答案为:f
4
13.3
【分析】对函数求导,得/(x)=(x-a)(3x-a),由题意得至3=1或a=3,将a=l和a=3分
别代入导函数,用导数的方法判断函数单调性,确定在无=1处的极值,即可得出结果.
【详解】由/(无)=x(x-a)2得/'(尤)=(尤-a)~+2x(尤-“)=(尤-a)(3x-a),
因为函数/(x)=Mx-。)?在x=1处取得极大值,
所以x=l是方程/1x)=0的根,因此a=l或:=1,即a=l或a=3;
①若a=l,贝U/'(x)=(x-l)(3x-l),
当xe's,;1时,r(x)>0,则/(x)单调递增;
当时,r(x)<0,则单调递减;
当xe(l,+⑹时,r(x)>0,则/(x)单调递增;
此时函数了=/(尤)在x=l处取得极小值,不符合题意;
②若°=3,则/'(x)=(x-3W3x-3),
当xe(f1)时,r(x)>0,则/(x)单调递增;
当xe(l,3)时,r(x)<0,则/(x)单调递减;
答案第6页,共12页
当xe(3,+s)时,r(x)>0,则/(x)单调递增;
此时函数了=/(尤)在x=l处取得极大值,符合题意;
故答案为:3
14.872-4
【分析】应用等比数列求和的基本量运算,结合基本不等式计算最小值.
【详解】正项等比数列{g}的前”项和为s”,
若邑=4=邑+二邑,
..4402(1+/)+2
贝3+5="+,+/=#-
1+q1+1\+q2
O■-2
=4+4N4+412亚-2]=8拒-4.
当且仅当/=8一1时取最小值.
故答案为:872-4.
15.(l)a=2,6=1
(2)最大值为0,最小值为-e,+5
【分析】(1)由题意可得可得出关于。、6的方程组,即可解出这两个未知数
[/⑴=0
的值;
(2)利用导数分析函数/(x)在1,e2上的单调性,即可求出该函数在区间1,e2上的最
大值和最小值.
【详解】(1)因为函数/(x)=a欣-苏+1,其中x>0,则八同=:-2区,
因为曲线y=〃x)在x=l处与直线尸。相切,
广⑴="26=0a=2
所以,,解得
/⑴7+1=0b=\'
(2)由(1)可得/(x)=21nx-x2+l,所以,/,⑺=2_2x=生"=2(l-x)(l+x),
XXX
当Lx<l时,r(x)>0,当lew,时,r(x)<0,
e
答案第7页,共12页
所以,/'(x)在上单调递增,在(l,e[上单调递减,
所以,函数/(X)在X=1处取得极大值即最大值,则/(41a,=/⑴=0,
又=+1=一[1>一2,/(e2)=21ne2-(e2)2+l=-e4+5<-2,
所以,/⑺*=/(5)=-/+5.
=1
(2)7;=4〃T+t^〃GN*
【分析】(1)应用%=s〃-S〃T计算求出通项公式;
(2)应用分组求和结合等差数列及等比数列求和公式计算.
【详解】(1)当〃=1时,可得出=3岳=3%=3;
当〃22时,%+i=3S”,%=3sl,
两式相减,得:。〃+1-4=3a〃,即%=4%,4=3〃1不满足该式,
"a"-[3-4n-2,n>2.
(2)当〃=1时,4=1;
12
当“22时,S„=1a„+1=-3-4-=A-',:.bn=3-^+n-1,
02
.-.7;=1+3(4+4'+4+…+4"。卜[1+2+3+…+(z-1)]
=1+3.上j,
1-422
〃=1时,4=4=1,上式也成立.
17.(1)尤=-1或3x+4y+3=0
22
(2)(尤+3)2+(y+l)2=9^(x-2)+(y-4)=9
【分析】(1)根据题意,可分直线《的斜率不存在和存在两种情况讨论,结合直线与圆相切,
答案第8页,共12页
利用点到直线的距离公式,列出方程,即可求解;
(2)设。(d。+2),由两圆相外切,得至“。|=5,列出方程求得〃的值,即可求解.
【详解】(1)由题知,圆C的圆心为C(-3,4),半径为『=2,
当直线4的斜率存在时,设直线4的方程为歹=左(》+1),即丘-y+左=0,
由圆心C(T4)到直线4的距离等于半径,
可得J3
2,解得%=z
此时直线k的方程为3x+4v+3=0;
当直线4的斜率不存在时,直线方程为x=T,此时直线与圆相切,符合题意;
综上可得,直线4的方程为x=-l或3x+4y+3=0.
(2)由圆。的半径为3,圆心在直线4:x—y+2=0上,
设。(a,a+2),且圆C的圆心C(T4),半径为r=2,
由两圆相外切,可得|CD|=5,即J(a+3)2+(a_2)2=5,
解得a=-3或a=2,
.•.。(-3,-1)或。(2,4),
・•.圆D的方程为(x+3)2+3+Ip=9或(x-2y+(丁一4>=9.
2
18.⑴、+/=1(XR土也)
⑵谨
3
【分析】(1)设点石(龙,田,根据题意建立等式求解即可;
(2)先利用点差法求得太,然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可.
【详解】⑴设点E(x,力,
因为直线尸瓦。£的斜率之积是
•••壶、金=一”化简得:9/=l(xR土©,
2
即动点E的轨迹方程为:y+/=l(x^±V2),
答案第9页,共12页
(2)设M(X1/J,N(X2,%),
V线段的中点为4二土产,七及
22
•k乂+%卜_必一力_必一为
••^OAEMN则^OA'MN
再+/西-x2
22
由题可得,争才=喘+£=1,
=_;,即左04.£3=_;,
两式求差化简得:
kOA=1,.,.右加=—万,•二直线MN的方程为y=--x+—,
^11
y=——x+—
22
联立2,消去歹得3M—2x—3=0,
X21
——+V=1
12/
2日
..西+%2=,国次2=-1,目.A〉0,
.-.|A£V|=+・J(X]+X2)2_4X]X2-4x(-1)
【点睛】关键点点睛:本题第二问解题的关键是利用点差法求出直线"N的斜率,再利用弦
长公式求解.
19.(1)答案见解析
(2)(i)证明见解析;(ii)证明见解析
【分析】(1)利用导数,分aWO及。>0讨论即可得;
(2)(i)
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