陕西省榆林市某中学2024-2025学年高二年级上册期末质量检测考试数学试题

陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检

测考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知直线4："+2y+l=0,直线/2：x+(a-l)y+2=0,若工乙，则实数。=()

32

A.-B.-C.-1D.2

23

2.已知函数/(》)在x=x0处可导，则lim()

-Ax

A.7.r(x0)B.，(与)C.r(x0)D.2f'(x0)

3.已知抛物线V=8y的焦点是尸，若抛物线上的点尸到尸的距离为4,则点尸到x轴的距

离为()

A.2B.3C.4D.5

4.已知等比数列｛%｝是递增数列，其前〃项和为S",且%,6练,总成等差数列，则?=()

A.10B.15C.18D.20

5.已知实数满足/+/一2工-8=0,则/+/的取值范围是()

A.[2,4]B.[8,10]C.[8,16]D.[4,16]

6.己知函数/'(x)的导函数为/'(X),若存在/使得则称％是“X)的一个

“巧值点下列四个函数中，没有“巧值点''的是()

A.f(x)=ln(x+l)B.七J

C./(x)=sinxD./(x)=cosx

22

7.已知双曲线C：3-3=l(a>0)的左，右焦点分别为用此，以线段片外为直径的圆与双

4

曲线C在第二象限内的交点为若sin/及/鸟=y,则原点O到直线的距离为()

j3

A.-B.1C.-D.2

22

8.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案

试卷第1页，共4页

将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟

至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：

出生时1965年1月1965年5月1965年9月1966年1月

...

间—4月—8月—12月T月

改革后

法定退60岁+1个月60岁+2个月60岁+3个月60岁+4个月...

休年龄

那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（）

A.62岁3个月B.62岁5个月C.62岁8个月D.63岁

二、多选题

22

9.已知双曲线C的方程为上二=贝IJ（）

9-m25-m

A.9<m<25

B.C的焦点可能在x轴上

C.C的焦距一定为8

D.C的渐近线方程可以为y=±百x

10.已知数歹支。“｝的前〃项和5,=-/+31”,则下列说法正确的是（）

A.4=32-2〃

B.S”取得最大值时，〃=15

C.同+2k-----*~|461=240

D.|^i|+1^|H〃3O|=465

11.在平面直角坐标系中，曲线。：/+必=2忖+23是一条形状优美的曲线，对于此曲线,

下列说法正确的有（）

A.曲线C围成的图形有4条对称轴

B.曲线C围成的图形的周长是8夜兀

C.曲线C上任意两点间的距离最大值是4行

试卷第2页，共4页

D.若T(”,6)是曲线C上任意一点，则囹+36-18|的最小值是口_50

三、填空题

12.已知直线瓜+y-l=O与直线26x+加y+3=0平行，则它们之间的距离是.

13.已知函数“x)=x(x-a)2在无=1处取得极大值，则实数。的值是.

14.已知正项等比数列｛%｝的前〃项和为S),，若邑=4,则名+R的最小值为.

四、解答题

15.已知函数f(x)=ahu;-加+i(a,beR),曲线y=/(x)在x=1处与直线V=0相切.

⑴求。、6的值；

(2)求/(x)在1,e2上的最大值和最小值.(其中e=2.718…为自然对数的底数)

16.设数列｛%｝的前"项和为耳，已知首项为=1,。用=3s.(〃eN)

(1)求数列｛%｝的通项公式；

⑵在数列低｝中，bn=an+\Og4Sn,求数列也｝的前“项和

17.已知圆C:(x+3)2+3-4)2=4.

⑴若直线4过点”(TO),且与圆C相切，求直线4的方程；

⑵若圆。的半径为3,圆心在直线/2：x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆。的方程.

18.在平面直角坐标系xQy中，已知点尸上8,0),点亚,0),直线相交于点E,

且它们的斜率之积是-：.

2

(1)求动点E的轨迹方程；

⑵若直线＞=区+；与点石的轨迹交于",N两点，线段"N的中点为A.若直线OA的斜率为

1,求线段的长.

19.定义：若函数"X)与g(x)的图象在xeC上有且仅有一个交点，则称函数〃x)与g(x)

在xeC上单交,此交点被称为“单交点”.已知函数/(x)=2e*-a无,aeR,g(x)=底，+2.

试卷第3页，共4页

⑴讨论函数””的单调性；

(2)当04.<1时，

(i)求证：函数/'(x)与g(x)在(0,+8)上存在“单交点”(七,/(%))；

(ii)对于(i)中的正数天,证明：ln[x0(a+l)]<l.

试卷第4页，共4页

《陕西省榆林市第一中学2024-2025学年高二上学期期末质量检测考试数学试题》参考答

案

题号12345678910

答案BDAADBCCACDAC

题号11

答案ACD

1.B

【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.

2

【详解】由已知，若4U，贝IJaxl+2（a-l）=0,解得

故选：B.

2.D

【分析】利用导数的定义可得结果.

【详解】因为函数/（x）在x=x0处可导，则

Hm=2］油«%@-J/心》

AxAT2Ax

/(尤o+Ax)-/(%-Ax)

=2lim

Ax->0

(x0+Ax)-(x0-Ax)J.

故选：D.

3.A

【分析】设点尸（为,%）,由抛物线的焦半径公式得先,则P到X轴的距离可求.

【详解】设点尸（X。,%）,准线方程为了=-2,由抛物线定义可得为+2=4,得%=2,

所以点P到x轴的距离为2.

故选：A.

4.A

【分析】根据题中条件，得到公比%>0a>1或％<。,0<4<1,再由%,6%,网成等差数列,

求出公比；根据等比数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】因为等比数列｛%｝是递增数列，所以%>0,夕>1或%<0,0<q<l,

又%,6&,。8成等差数列，所以12q6=%+%，则12=q+q2,解得q=3（-4舍去）,

答案第1页，共12页

%(1-7)

因止匕区=—r=1+q2=10;

S]q(l-q2)

1-q

故选：A

5.D

【分析】化简应用三角换元结合辅助角公式和三角函数值域计算可得.

【详解】因为一+/-2》-8=0,

所以(1)2+/=9,

设=3cos。/=3sin6

则x2+y2=(3COS6+1)2+9sin2^=10+6cos6,cos。G[-1,1],所以4+1后[4,16].

故选：D.

6.B

【分析】求导，然后直接解方程〃x)=/'(x)可判断BCD；根据零点存在定理可判断A.

【详解】对于A选项，/(x)=ln(x+l),f'(x)=-L-,

令g(X)=/(X)_广(x)=In(尤+1)_9，

因为函数y=ln(x+l)、y=——L在(T,+8)上均为增函数，

X+1

所以，函数g(x)=ln(x+l)-fj在(T+oo)上为增函数，

因为g(0)=-l<0，g(l)=ln2-1>0,贝iJg(0)g(l)<0,

由零点存在定理可知，函数g(x)=ln(x+l)-占在(0,1)上存在唯一零点，

所以，函数/(x)=ln(x+l)有“巧值点”；

对于B选项，/(x)=QT,则=

由/(x)=/(x)可得[即ln；=l,矛盾,

所以，函数〃x)=[g]没有“巧值点”；

答案第2页，共12页

对于C选项，/(x)=sinx,则r(x)=cosx,

由=可得sinx=cosx,即tanx=l,解得x=for+?左eZ),

所以，函数/(x)=sinx有“巧值点”；

对于D选项,/(x)=cosx,贝ij/'(无)=-sinx,

由/(x)=/'(x)可得cosx=-sin尤，即tanx=-l,解得x=左eZ),

所以，函数/(x)=cosx有“巧值点”.

故选：B.

7.C

4

【分析】根据题意先确定即，峥，记双曲线的焦距为2c,再由sin/龙用丹=y,表示出

\MF^W\MF^,根据双曲线定义以及题中所给双曲线方程，求出C,得到|儿阴]；最后根据点

。到直线匹的距离是点片到直线班距离的一半，即可求出结果.

【详解】由题意可得，MFJMF],

4\MFA

因为sin乙鸣8=£=用，记双曲线的焦距为2c,

5喀|

则眼闻=:片用=：c,所以1Ml=历曰两2=：c,

O1

根据双曲线定义可得，|吟|-|5|=2a,即：c=2a,贝3=不，

2s

又c?=/+/=/+6=•^•+6,解得c=7所以|A/F；|=3,

因为点。是月耳的中点，所以点。到直线烟的距离是点与到直线距离的一半，

即原点O到直线皿居的距离为?=|；

故选：C

8.C

【分析】设7月出生的男职工退休年龄为｛%｝,可得｛%｝是首项为609，公差为;的等差数

列，利用等差数列通项公式计算即可.

【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为4=60J岁，

答案第3页，共12页

则1966年7月出生的男职工退休年龄为。2=60，+：岁，

设7月出生的男职工退休年龄为｛%｝,则｛%｝是首项为609，公差为;的等差数列，

64

112

1975年7月出生的男职工退休年龄为%1=6(^+(11-1*4=62§.

故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月.

故选：C.

9.ACD

【分析】根据方程为双曲线可得9〈加〈25,且焦点在V轴上，即A正确，B错误；计算可

得焦距为8,即C正确；当机=13时，渐近线方程为>=±瓜，即D正确.

【详解】由题意得(9一加)(25-机)<0,解得9<加<25,故A正确；

22

由前可得双曲线。的标准方程为」-------=1,故双曲线。的焦点一定在了轴上，故B

25—mm—9

错误；

双曲线C的焦距为2j25-m+加-9=8,所以C正确；

22

当m=13时，双曲线C的标准方程为二-土=1,其渐近线方程为了=±技，故D正确.

124

故选:ACD.

10.AC

【分析】利用和与项的关系，分〃=1和"W2分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定

A；根据数列的项的正负情况可以否定B；根据前16项都是非负值可计算判定C；由

1ali+|。2%=$16+Q%7-q9。30)=2$顼-邑0可计算后否定D.

【详解】因为数列｛%｝的前〃项和S"=-〃2+3In,

则％=st=-1+31=30,

cin=Sn—S“_\=—n~+3177+(〃-1)-31(a-1)=—2n+32("W2),

当”=1时也成立，所以。"=32-2〃，故A正确；

由。“=32-2〃>0,得“<16,当〃=16时仆=0，当”>16时，an<0,

所以S“取得最大值时，〃=15或〃=16,故B错误；

答案第4页，共12页

因为当“<16时，>0,当力=16时q=0，

所以同+同+…+何6|=几=762+31x16=15x16=240,故C正确；

因为+1。21+,.,+|/o|=耳6+(_47~ai9----%0)

2

=2S16-S30=2x240-(-30+31x30)=450,故D错误.

故选：AC.

11.ACD

【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线。的四段关系式，从而作出曲线C的图象，由曲线C

图象判断各选项即可.

【详解】当时，曲线C的方程可化为(x77+(y-l)2=2,

当xVO/NO时，曲线C的方程可化为(x+1)2+(J-1)2=2,

当xNO/WO时，曲线C的方程可化为(x-iy+(y+l)2=2,

当xVOjVO时，曲线C的方程可化为(x+iy+(y+l『=2,

所以曲线C的图象如图所示，

对于A,由图可知曲线C围成的图形有4条对称轴，故A正确；

对于B,曲线C由4个半圆组成，其周长为2X2TTX收=4&兀，故B错误;

对于C,由图可知曲线C上任意两点间的最大距离为4夜，故C正确；

对于D,7伍力)到直线4x+3y-18=0的距离d=附+7®,

点(1,1)到直线4x+3y-18=0的距离为H+；T8|=H,

由圆的性质得曲线C上一点到直线4x+3y-18=0的距离最小为^-亚，

所以囹+36-18|的最小值为1>5行，故D正确.

答案第5页，共12页

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分类讨论去掉绝对值，得到曲线C的四段方程，作

出图象，数形结合求解.

-5

12.一

4

【解析】由条件可得/=2,然后利用平行线间的距离公式可算出答案.

【详解】因为直线行工+>-1=0与直线2+zwy+3=0平行，所以zw=2

方程瓜+y-l=O变形为2怎+2y-2=0

3+2_5

所以直线6x+y-l=0与直线2Gx+2了+3=0的距离为了面工7一^

故答案为：f

4

13.3

【分析】对函数求导，得/(x)=(x-a)(3x-a),由题意得至3=1或a=3,将a=l和a=3分

别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在无=1处的极值，即可得出结果.

【详解】由/(无)=x(x-a)2得/'(尤)=(尤-a)~+2x(尤-“)=(尤-a)(3x-a),

因为函数/(x)=Mx-。)？在x=1处取得极大值，

所以x=l是方程/1x)=0的根，因此a=l或：=1,即a=l或a=3；

①若a=l,贝U/'(x)=(x-l)(3x-l),

当xe's,；1时，r(x)>0,则/(x)单调递增；

当时，r(x)<0,则单调递减；

当xe(l,+⑹时，r(x)>0,则/(x)单调递增；

此时函数了=/(尤)在x=l处取得极小值，不符合题意；

②若°=3,则/'(x)=(x-3W3x-3),

当xe(f1)时,r(x)>0,则/(x)单调递增；

当xe(l,3)时，r(x)<0,则/(x)单调递减;

答案第6页，共12页

当xe(3,+s)时，r(x)>0,则/(x)单调递增;

此时函数了=/(尤)在x=l处取得极大值，符合题意；

故答案为：3

14.872-4

【分析】应用等比数列求和的基本量运算，结合基本不等式计算最小值.

【详解】正项等比数列｛g｝的前”项和为s”，

若邑=4=邑+二邑,

..4402(1+/)+2

贝3+5="+,+/=#-

1+q1+1\+q2

O■-2

=4+4N4+412亚-2]=8拒-4.

当且仅当/=8一1时取最小值.

故答案为：872-4.

15.(l)a=2,6=1

(2)最大值为0,最小值为-e,+5

【分析】(1)由题意可得可得出关于。、6的方程组，即可解出这两个未知数

[/⑴=0

的值；

(2)利用导数分析函数/(x)在1,e2上的单调性，即可求出该函数在区间1,e2上的最

大值和最小值.

【详解】(1)因为函数/(x)=a欣-苏+1,其中x>0,则八同=：-2区，

因为曲线y=〃x)在x=l处与直线尸。相切，

广⑴="26=0a=2

所以,,解得

/⑴7+1=0b=\'

(2)由(1)可得/(x)=21nx-x2+l,所以，/，⑺=2_2x=生"=2(l-x)(l+x),

XXX

当Lx<l时，r(x)>0,当lew,时，r(x)<0,

e

答案第7页，共12页

所以，/'(x)在上单调递增，在(l,e［上单调递减，

所以，函数/(X)在X=1处取得极大值即最大值，则/(41a,=/⑴=0,

又=+1=一［1>一2,/(e2)=21ne2-(e2)2+l=-e4+5<-2,

所以，/⑺*=/(5)=-/+5.

=1

(2)7；=4〃T+t^〃GN*

【分析】(1)应用%=s〃-S〃T计算求出通项公式；

(2)应用分组求和结合等差数列及等比数列求和公式计算.

【详解】(1)当〃=1时,可得出=3岳=3%=3；

当〃22时，%+i=3S”,%=3sl,

两式相减，得：。〃+1-4=3a〃，即％=4%,4=3〃1不满足该式,

"a"-［3-4n-2,n>2.

(2)当〃=1时，4=1；

12

当“22时，S„=1a„+1=-3-4-=A-',：.bn=3-^+n-1,

02

.-.7；=1+3(4+4'+4+…+4"。卜[1+2+3+…+(z-1)]

=1+3.上j,

1-422

〃=1时，4=4=1,上式也成立.

17.(1)尤=-1或3x+4y+3=0

22

(2)(尤+3)2+(y+l)2=9^(x-2)+(y-4)=9

【分析】(1)根据题意，可分直线《的斜率不存在和存在两种情况讨论，结合直线与圆相切,

答案第8页，共12页

利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解；

(2)设。(d。+2),由两圆相外切，得至“。|=5,列出方程求得〃的值，即可求解.

【详解】(1)由题知，圆C的圆心为C(-3,4),半径为『=2,

当直线4的斜率存在时，设直线4的方程为歹=左(》+1),即丘-y+左=0,

由圆心C(T4)到直线4的距离等于半径,

可得J3

2,解得％=z

此时直线k的方程为3x+4v+3=0；

当直线4的斜率不存在时，直线方程为x=T,此时直线与圆相切，符合题意;

综上可得，直线4的方程为x=-l或3x+4y+3=0.

(2)由圆。的半径为3,圆心在直线4：x—y+2=0上,

设。(a,a+2),且圆C的圆心C(T4),半径为r=2,

由两圆相外切，可得|CD|=5,即J(a+3)2+(a_2)2=5,

解得a=-3或a=2,

.•.。(-3,-1)或。(2,4),

・•.圆D的方程为(x+3)2+3+Ip=9或(x-2y+(丁一4>=9.

2

18.⑴、+/=1(XR土也)

⑵谨

3

【分析】(1)设点石(龙,田，根据题意建立等式求解即可；

(2)先利用点差法求得太，然后联立方程组利用弦长公式求弦长即可.

【详解】⑴设点E(x,力,

因为直线尸瓦。£的斜率之积是

•••壶、金=一”化简得：9/=l(xR土©，

2

即动点E的轨迹方程为：y+/=l(x^±V2),

答案第9页，共12页

(2)设M(X1/J,N(X2，%)，

V线段的中点为4二土产，七及

22

•k乂+%卜_必一力_必一为

••^OAEMN则^OA'MN

再+/西-x2

22

由题可得，争才=喘+£=1,

=_；,即左04.£3=_；，

两式求差化简得:

kOA=1,.,.右加=—万，•二直线MN的方程为y=--x+—,

^11

y=——x+—

22

联立2，消去歹得3M—2x—3=0,

X21

——+V=1

12/

2日

..西+%2=,国次2=-1，目.A〉0,

.-.|A£V|=+・J(X]+X2)2_4X]X2-4x(-1)

【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键是利用点差法求出直线"N的斜率，再利用弦

长公式求解.

19.(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)利用导数，分aWO及。>0讨论即可得；

(2)(i)