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文档简介
重难点专题20三角函数解答题十一大题型汇总
dan
题型1识图问题......................................................................1
题型2单调性问题...................................................................4
题型3对称轴与对称中心问题........................................................5
题型4值域问题......................................................................7
题型5最值问题......................................................................9
题型6凑角求值问题................................................................11
题型7方程的根问题................................................................13
题型8零点问题.....................................................................14
题型9恒成立问题..................................................................15
题型10有解问题....................................................................17
题型11实际应用问题...............................................................19
IOKDII
题型1识图问题
【例题1】(2022秋•安徽六安•高三六安二中校考阶段练习)已知函数f(x)=2sin(3x+0)
(0<0<3的部分图像如图,该图像与y轴交于点4(0,遥),与光轴交于点B,C两点,。为图
像的最高点,且△的面积为与
(1)求/(久)的解析式及其单调递增区间;
(2)若将/(x)的图像向右平移"个单位,再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍
(纵坐标不变),得到函数9(久)的图像,若9(硝=塞<戊<兀),求sin(a+.)的值.
【变式1-1】1.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(幻=先113%+|35(3>0)的
周期为4.
(1)求/(久)的解析式;
(2)将f(%)的图像沿%轴向右平移|个单位得到函数g(x)的图像,P,Q分别为函数g(x)图像的
最高点和最低点(如图),求NOQP的大小.
【变式1-1】2.(2022湖南长沙•统考一模)如图是函数f。)=4sin(3x+乡)(4>0,3>0,
\(p\〈今图像的一部分.
(1)求出43,0的值;
(2)当x6(0分时,求不等式/(%")>产6")—2的解集.
【变式1-1]3.(2022秋・江西赣州•高三校联考期中)已知函数万久)=4sin(3x+s)
(%€/?,4>0,3>0,0<中<5图像如图,P是图像的最高点,Q为图像与x轴的交点,。为
(2)将函数y=f。)图像向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图像,当久e[0,2]时,
求函数%(x)=f(久)(%)的最大值.
【变式1-114.(2022秋•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中)函数f⑺=sin®%+哈
(1)求函数丫=/。)的解析式;
(2)将y=/Q)的图像向右平移区单位,再向上平移2个单位得到y=gQ)的图像,求g僖)
的值.
题型2单调性问题
划重点
函数Y=sinxY=cosxY=tanx
单调[—+2^71^+2^7i](fceZ)JZ递[—71+2^71,2^TT](kEZ)JZ(-7+%.+k
性增;递增;兀)(keZ)上递增
号+2^TT,Y+2及扪(左Z)上递减匕及匹n+2^TT](fceZ)Jt递
减
2
【例题2](2023秋・湖南•高三校联考阶段练习)设函数了(久)=sinxsin(x+()—cos%+
(1)求/(久)的最小正周期、最大值及取最大值时》的取值集合;
(2)讨论人吗在区间[—与,耳上的单调性.
【变式2-1】1.(2023秋・山东临沂・高三统考期中)已知函数f(x)=V3
sinwxcoswx+cos2wx-1(w>0),与其图象的对称轴x=£相邻的f(x)的个零点为患.
(1)判断函数f(x)在区间[-肾]上的单调性;
(2)设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c="Q,f(C)=1.若向量
n=(1,sinA),n-(sinB,-V3),fin-Ln,求a,b.
【变式2-1】2.(2022•天津河西•统考三模)已知函数f(久)=cos2%+V3sinxcosx-1(%eR)
(1)求/(%)的最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间[4局上的单调性;
【变式2-1]3.(2022天津滨海新•校联考一模)设函数/(幻=(sinx+低。sQcos(L.
tanx
⑴求了(久)的最小正周期;
(2)讨论八久)在区间(0,当上的单调性.
【变式2-1]4.(2022秋•四川雅安•高三雅安中学阶段练习)已知函数/(*)=2V3sinxcos
^-2cos2^+1.
(1)求f。)的最大值和对称中心坐标;
(2)讨论f(久)在[0,汨上的单调性.
【变式2-1】5.(2022春・安徽安庆・高三阶段练习)已知函数-x)=sin»(2cosx-sinx)+cos2
x.
(1)讨论函娄妤(久)在[0,兀]上的单调性;
(2)设三<a<且/'(a)=-警,求sin2a的值
题型3对称轴与对称中心问题
驷』1重点
函数y=Asin(3x+cp)(A>0,3>0)的性质
⑴奇偶性:cp=kn(kGZ)时,函数y=Asin(3x+(p)为奇函数;
(p=kir+5(kGZ)时,函数y=Asin(3x+(p)为偶函数.
(2)周期性:y=Asin(3x+(p)存在周期性,其最小正周期为7=今
⑶单调性:根据y=sint和t=3x+(p(3>0)的单调性来研究,由-5+2kir43x+(p苔+
2kn(kGZ)得单调增区间;由]+2kn43x++2kiT(kwZ)得单调减区间.
(4)对称性:利用y=sinx的对称中心为(kn,0)(kwZ)来解,令3x+(p=kTr(kwZ),求得
其对称中心.
利用y=sinx的对称轴为x=kn+](keZ)来解,令3x+(p=kn+5(kwZ)得其对称轴
【例题3】(2021•陕西咸阳•校考二模)已知函数/(久)=285%因的—85%)+1,%67?
⑴求函数/⑶的对称轴和对称中心;
(2)当久求函数久支)的值域.
【变式3-1]1.(2022秋・天津静海・高三静海一中校考阶段练习)已知函数f(x)=2sinwxcos
3K+尺箸+V3cos2o)x-V3+1.将周期为n的函数/(x)图像上所有点的横坐标伸长到原
来的2倍,所得图像对应的函数为。(久).
(1)求9(久)的单调区间;
(2)求g(x)图像的对称轴方程和对称中心坐标.
【变式3-1】2.(2022秋•江苏苏州・高三苏州市第五中学校开学考试)已知函娄好(久)=5sin
xcosx—5V3cos2x+eR).
⑴求/(x)的周期和最值;
(2)求/(久)的单调增区间;
(3)写出f(x)的图象的对称轴方程和对称中心坐标.
【变式3-1】3.(2022•山西吕梁统考一模)已知函数/'(%)=2asin2%+2sinxcosx—a的图
象过点(0,—V3).
(1)求常数a;
(2)求函数f。)的最小正周期、单调区间、对称轴方程、对称中心坐标;
(3)当%e[()5时,求函数了⑶的值域.
【变式3-1]4.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)设函数f(x)
=cos(2久_Q_V3COS2%-1.
(1)求f(X)的最小正周期及其图象的对称中心;
(2)若配e悟用且f(xo)=日Q求cos2xo的值.
【变式3-115.(2021秋・安徽六安•高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习)已知向量五=(
sinwx+cos3久,sinoi久),向量B=(sintox—coso>x,2V3cosa>x),设函数f(%)=a-b+1(%eR)
的图象关于直线%=取寸称,其中常数36(0,2).
(1)求函数f(久)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移合个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(久)的图象,求
出函数g(x)对称中心.
题型4值域问题
市卜划重点
求三角函数值域的常用方法
⑴求解形如y=asinx+b(或y=acosx+b)的函数的最值或值域问题时,利用正、余弦函
数的有界性(-1<sinx<1,-1<cosxw1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合
时,要注意考虑三角函数的周期性.
(2)求解形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c),xGD的函数的值域或最
值时,通过换元,令1=5吊乂(或85点将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法才
值域或最值即可.求解过程中要注意t=sinx(或cosX)的有界性.
s/WWWWWWWWWWWWXA/WWWWWSAA/WWWVS/WWWWWWSA/WWWWWWWVZWWWWWWWWWWWWSAA/WWWSA
【例题4](2023春•陕西宝鸡•高三校考阶段练习)设函数f⑴=2sin仁x+。
(1)歹4表并画出、=/0),xe[―2,10]的图象;
(2)求函数g(x)=/(I+x)+/(4-吗在区间[0,6]上的值域.
yjk
【变式4-1]1.(2023秋•河南•高三郑州一中校联考阶段练习)设函娄好(无)=sinx+2|cosx|.
(1)是否存在机>0,使得f(久)=/(m-久)对WxeR恒成立?若存在,试给出一个符合题意的
实数皿并加以证明;若不存在,请说明理由;
(2)若xe[—9兀]时,求人久)的值域.
【变式4-1]2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=sinxcosx-V3cos2x+亨
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再将所得图象
向左平移泠单位,得到函数g(x)的图象,求函数仅切=%(久)+/(久)在工4,徘勺值域.
【变式4-1]3.(2023秋•河南•高三校联考阶段练习)在△ABC中,A+B=2c且cos力+sin
B=sinA+cosB.
⑴求角B的大小;
(2)设函数f(x)=2cosxsin(x+1)—2sin2xsinS+3sinxcosxcos(2X+C),当xeg知]时,
求f(%)的值域.
【变式4-1]4.(2023春•陕西西安•高三西安中学校考阶段练习)已知函数f(x)=sin
(TT-60%)costox+cos2wx(w>0),y=/(x)的图象的一T"对称中心到最近的对称轴的距离为
TI
4,
⑴求3的值;
(2)将函数y=/(久)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变,得到函数y=g(x)
的图象,求函数y=g(x)在区间[o,4上的值域.
【变式4-1】5.(2021秋・重庆涪陵・高三重庆市涪陵高级中学校校考阶段练习)已知数
/(%)=V3sin(o)x+q+2sin2俘+0>0)的相邻两对称轴间的距离为三
(1)求八久)的解析式;
(2)将函数/(%)的图像向右平移衿单位长度,再把横坐标缩小为原来的J(纵坐标不变),
得到函数y=9(%)的图像,当xe[—雪⑶时,求函数g(久)的值域.
(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(%)/在万啸,外上的根从小到依次为灯,久2,…
xn,试确定n的值,并求久1+2x2+2x3+…+2%„-1+久n的值.
【变式4-516.(2022•全国•高三专题练习)设函数了(久)=sinx—cosx(xeR).
(1)求函数y=/(%)-K-切的最小正周期及其对称中心;
(2)求函数y=[/(x)]2+[/(%+;)(在[一况]上的值域.
题型5最值问题
【例题5】(2023•辽宁沈阳•东北育才双语学校校考一模)已知函数/⑺=2cos+2遮sin
3xCOS3》+a(3>0,a&R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数
f(x)解析式的两个合理条件作为已知,条件①:八久)的最大值为1;条件②:/(%)的一条对
称轴是直线%=-盘;条件③:f。)的相邻两条对称轴之间的距离为会求:
(1)求函数/(久)的解析式;并求八%)的单调递增区间、对称中心坐标;
(2)若将函数-x)图象上的点纵坐标不变,横坐标变为原来的也再向右平移各单位,得到函
数9。)的图象,若9。)在区间[0,河上的最小值为9(0),求m的最大值.
【变式5-1]1.(2023秋•北京•高三北京市八一中学校考开学考试)已知函数{x)=2sin
(a)x+<p)+1(3>0,\<p\<?,/(久)图象上两相邻对称轴之间的距离为与;;
(I)在①人龙)的一条对称轴乂=苫;②/㈤的一个对称中心痣,1);③/⑺的图象经过点
(等,0)这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中,然后确定函数的解析式;
(n)若动直线%=1«6[0,利)与/'(久)和9(%)=27^11%85%的图象分别交于「、Q两点,求
线段PQ长度的最大值及此时t的值.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【变式5-1]2.(2022秋・安徽•高三校联考期末)设向量而=(2cos<ox,V3sinwx),n=(coswx,2
coswx),函数/'(x)=访•日+a(3>0,aeR)的最大值为1,且图象相邻两个对称中心之间的
距离为会
(1)求函数/(久)的解析式;
(2)若将函数"%)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的士再向右平移个单位长
度,得到函数9(%)的图象,若9(久)在区间[0用上的最小值为9(0),求实数t的最大值.
【变式5-1】3.(2022秋•宁夏银川•高三校考阶段练习)在△4BC中,角A,B,C的对边
分别为a,b,c,且sinCcosg=(^―cosC)sin|.
(1)当8=求sinC+sinA的值
(2)求B的最大值.
【变式5-1]4.(2020秋•上海黄浦•高三上海市大同中学校考阶段练习)已知五=(V3,-1),
1=(sin2x,cos(2x—()),函数/1(%)=、.江
(1)若4={x|/O)=0,xeR},B=[-用列举法表示4nB;
(2)求函数"久)的单调递增区间以及当函数取得最大值时,蒲前的夹角仇
【变式5-115.(2020•安徽马鞍山•校联考一模)在△ABC中的内角4、B、C,sin(4—B)=
sinC-sinfi,。是边BC的三等分点(靠近点B),t=:;:彳案•
(1)求4的大小.
(2)当t取最大值时,求tan乙4CD的值.
题型6凑角求值问题
II
中卜约重点
1."打散":角度不一致,可以拆开
2."重组":系数次幕一致,合并为正弦余弦,便于使用辅助角"化一"
【例题6】(2020秋新疆•高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习)已知函数了⑺=遮sin亨cos
T+cos?等+旧cos(s+Q—*3>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为当
(1)求函数y=/(久)的解析式:
(2)已知角%“满足:/©/©=-竽且a+6=乎,tan。=2,求变例鬻空阻的值.
【变式6-1】1.(2022秋•山东枣庄•高三阶段练习)已知函数f(x)=2sinwxcoscox-2V3
sin2cox+V3(3>0),直线x=Xi,x=x?是函数y=f(x)的图象的任意两条对称轴,且网-
X2冏最小值为?
(I)求3的值;
(H)求函数f(x)的单调增区间;
(in)若f(a)=|,求sin(|n-4a)的值.
【变式6-1】2.(2021秋河南•高三阶段练习)已知函数f(x)=2sin(a)x+。)(3>0,|0|<()
图象的一条对称轴方程为%=巳,这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为尢
()求/(久)的解析式;
(2)若sin4a—cos4a=—|,ae(0,求/'(a+胃
__________1
【变式6-1】3.(2022•全国,高三专题练习)已知函数/'(%)=sins:(sin3x+cos3x)-万
(3>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为27r.
(1)求/(x)的单调递增区间以及/(比)图象的对称中心坐标;
(2)是否存在锐角a,S,使a+20=^,/(a+/f(28+堂=寺同时成立?若存在,求出
角a,夕的值;若不存在,请说明理由.
【变式6-1】4.(2022・全国•高三专题练习)在下列三个条件中任选一个,补充在下面问题
中,并加以解答.①图象上一个最低点为网争,—2);②直线x=黑其图象的一条对称轴;③
点N(詈,0)是其图象的一个对称中心.
问题:已知函数/'(X)=4cos3久sin(3x+9)—l(3>0,0<9<9的图象与左轴的交点中,相
邻两个交点之间的距离为会且.
(1)求人吗的解析式;
(2)若a为锐角,且府)=今求/(a+工)的值.
【变式6-1】5.(2022-浙江•高三专题练习)已知函数/(%)=2sin(s:+9)
(0<3<6,\(p\<乡J(x)的图象的一条对称轴是久=枭一个对称中心是管,0).
(1)求八%)的解析式;
(2)已知△48C是锐角三角形,向量访=(/偿+工),/&)),n=(胆+a(8+勃,
1n,sinC=|z求cos4
【变式6-1】6.(2022秋・宁夏银川•高三校考阶段练习)已知函数了(x)=gcosx.cos(x—,
+sin2(%-f)-j.
(1)求f(x)的对称中心;
(2)若久e[o,J/")=充,求cos2久的值.
【变式6-1】7.(2022-全国•高三专题练习)在①函数
sin(2a)x+,)+sin(23x—川;②函数/(x)=cos3*sin(3x+段)—>。)这两个条件中
任选一个,补充在下面问题中,并解答.
已知,函数f(x)的图像相邻两对称中心之间的距离为与
⑴求函数久久)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若。<9<季,且/'(6)=卷,求cos28的值.
题型7方程的根问题
【例题7】(2023・辽宁大连•育明高中校考一模)已知函数f(x)=2sina)xcos^+2sm(p-4sin2^
sin,(3>O,|0|<JT),其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差会,从以
下两个条件中任选一个补充在空白横线中.
①函数f(x)的图像向左平移区单位长度后得到的图像关于y轴对称且-0)<0;
②函数f(x)的图像的一个对称中心为00)且虺)>0.
(1)求函数/(久)的解析式;
(2)若关于x的方程f(切+|/(2x7)=2爪有实根,求实数m的取值范围.
【变式7-1]1.(2023秋辽宁沈阳•高三沈阳二十中校考开学考试)已知函数〃x)=V3sin
(3%+9)+2siM(空£)—>0,0<a<兀)为奇函数,且外久)图象的相邻两对称轴间的距
离为三
(1)求人X)的解析式与单调递减区间;
(2)已知f(久)在[—,葛]时,求方程2尸(幻+73/(%)-3=。的所有根的和.
2
【变式7-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数-x)=V3sin(o)x+cp)+2sin(^)
一1(3>0,0<(p<兀)为奇函数,且“久)图象的相邻两对称轴间的距离为三
(1)求f(x)的解析式与单调递减区间;
(2)将函数/(久)的图象向右平移g个单位长度,再把横坐标缩小为原来的T(纵坐标不变),得
到函数y=g(x)的图象,当xe[o,,时,求方程2g2(久)+加(久)—3=0的所有根的和.
【变式7-1]3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数“久)=sin%-cos(x+g.
⑴求函数〃久)的最小正周期和对称中心;
(2)若久e[o,,方程f⑺-m=。有两个实数解,求实数m的取值范围.
【变式7-1】4.(2022•全国•高三专题练习)已知乙4是△ABC的内角,函娄好⑴=cos&—当
sin(久一4)的最大值为t.
(1)求乙4的大小;
(2)若g(x)=2|f(x)+],关于x的方程4[g(x)]2-矶(切+i=o在xe(冶④内有两个
不同的解,求实数机的取值范围.
题型8零点问题
(2)是否同时存在实数a和正整数明使得函数gO)=/(W-a在xe[0,717rl上恰有2021个
零点?若存在,请求出所有符合条件的a和n的值;若不存在,请说明理由.
【变式8-1】1.(2023・山西太原・太原五中校考一模)已知函数/(久)=sin(s+9)
⑷>0,0<9<TT)的周期为明图象的一个对称中心为(%0),将函数了(久)图象上的所有点的
横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向右平移令单位长度后得到函数
9(%)的图象.
⑴求函数/⑶与g(x)的解析式;
(2)求实数a与正整数明使得尸(久)=/(x)+ag(x)在(0,m1)内恰有2023个零点.
【变式8-1】2.(2022秋•福建福州•高三校考阶段练习)由两角和差公式我们得到倍角公
式cos26=2cos2。-lz实际上cos3。也可以表示为cos。的三次多项式.
⑴试用cos。表示cos3。;
(2)求sinl8。的值;
⑶已知方程4/一3%"=0在(一1,1)上有三个根,记为久1,%2,%3,求证:4君+4成+4
谒=|.
【变式8-1]3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/'(久)=2V2sin3xcos3x+2V2cos23x—
V2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=/(%)-鱼在⑺河)上恰有2023个零点,求m-n的最大值.
【变式8-1]4.(2020秋•安徽六安•高三校考阶段练习)将函数/⑶=-cos4久的图象向右
平移泠单位,再将所得的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍后所得到
的图象对应的函数记作g(x).
(1)在△ABC中,三个内角4SC且力<B<C,若C角满足g(C)=—1,求cosA+cosB的
取值范围;
(2)已知常数4GR,neN*,且函数F(%)=g(x)+\inx在(0,丽)内恰有2021个零点,求
常数4与n的值.
【变式8-1]5.(2022秋•安徽六安•高三六安一中阶段练习)已知函娄好(久)=V3sin2x+2
cos2%+<x<5).
(1)若函数/(久)的最大值为6,求常数小的值;
(2)若函数久久)有两个零点肛和%2,求M的取值范围,并求和%2的和;
⑶在(1)的条件下,若9(W=(t—1)/。)—方黑鬻《22),讨论函数反式)的零点个
数.
题型9恒成立问题
【例题9】(2023春•北京•高三校考阶段练习)已知函数;"(XiMKsinZsx-cos
23X(0<3<2),再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,
⑴求「㈤的解析式;
(2)当久中,卵寸,关于X的不等式a恒成立,求实数小的取值范围.
条件①:函数f(x)的图象经过点弓,2);
条件②:函数;'(X)的图象可由函数g(X)=2sin2x的图象平移得到;
条件③:函数f(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为当
注:如果选择条件①、条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.
【变式9-1】1.(2020•全国校联考二模)已知函数y=f(x)的定义域为(0,+8),且满足
fOy)=f(久)+/(y),当%G(1,+oo)时,有/'(%)>o,且/'(2)=1.
(1)求不等式/(4t)—/(I-t)<2的解集;
(2)对任意xe[o,4,八2sin2(x+9—2&cos(x—9—5a+2]》/(6—2a)恒成立,求实
数a的取值范围.
【变式9-1】2.(2022秋・广东东莞・高三校考阶段练习)已知函数“久)=$也(5+0)(3>0,
I初<与)部分图象如下图所示.
(1)求函数/(%)的解析式,并写出f。)单调递增区间;
(2)函数g(x)=4f㈤—a.2f⑺+3(aeR),若对任意xe[翳],都有g(x)>。恒成立,求实数a
取值范围.
【变式9-1】3.(2022秋•江苏南通・高三江苏省如皋中学统考阶段练习)已知五=
(sinwx,cosa)x),b=(cosa)x,V3cosa>x),f(x)=a-[b—乎d)(3>0).函数y=/(x)的最小正
周期为兀
(1)求函数f。)在[0川内的单调递增区间;
(2)若关于%的不等式/'(%-|)>V2msin(^x+9—V2cos(x-勺在[o,1|内恒成立,求实数小
的取值范围.
【变式9-1】4.(2020秋•江苏无锡•高三校考阶段练习)已知元=(sinx,cosx),n=
(cos%,—cosx),设/(x)=7?•n.
(1)当”e[o,当时,求f(x)的值域;
(2)若锐角△4BC满足/'(C)=0,且不等式taMA+taMB+mtandtanB+120恒成立,
求小的取值范围.
【变式9-1】5.(2020秋・海南・高三海南华侨中学校考阶段练习)已知函数fQ)=xcosx,
g(x)=sinx,x£[o,1].
(1)求证:/(久)Wg(x);
(2)若以<以久)<汝在(0,9上恒成立,求a的最大值与b的最小值.
题型10有解问题
【例题10】(2022•全国•高三专题练习)已知函数/■(>)=&sin(3x+9)(其中A>0,a)>0,
|如<$的图象与x轴的交于A,B两点,A,B两点的最小距离为?且该函数的图象上的
一个最高点的坐标为(工,2).
(1)求函数久久)的解析式;
(2)求证:存在大隹的正实数刈,使得不等式粤>2g在区间(沏,正)有解.(其中e为
自然对数的底数)
【变式10-D1.(2021秋・北京•高三北京一七一中校考期中)已知的函娄好(久)=cosx(2V3
sinx+cosx)—sin2x.
(1)求函数/(X)的最小正周期和单调递增区间;
(2)若当xe[o,当时,关于x的不等式f(X)>小有解,求实数m的取值范围.
【变式10-1]2.(2023秋•辽宁•高三辽河油田第二高级中学校考期末)已知函娄好(久)=cos
%(2V3sinx+cosx)—sin2%.
(I)求函数/(%)的单调递增区间和最小正周期;
(n)若当xe[o,4时,关于X的不等式久久)27n,求实数爪的取值范围.
请选择①和②中的一个条件,补全问题(口),并求解.其中,①有解;②恒成立.
【变式10-1】3.(2020秋•安徽合肥•高三合肥市第六中学校考期中)已知函数f(久)=cos
%.
(1)已知a,夕为锐角,/(a+£)=—辛,tana=£求cos2a及tan(£一a)的值;
(2)函数g(x)=3fqx)+1,若关于%的不等式#(x)>(a+l)g(x)+3a+3有解,求实数a
的最大值.
【变式10-1】4.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=2sinxcosx—ZgsiMx+
V3,9(久)=sinx.
(工)若xe[o图,求函数八支)的值域;
(II)将函数f(x)图象向右平移泠单位,再将图象上每一点的横坐标不变,纵坐标变为原
来的2倍得到函数3)的图象,并设尸(X)=3)+t(g(x)+g(x+%若尸⑺>0在[o,4上
有解,求实数的勺取值范围.
【变式10-1】5.(2022秋・山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习)已知函数“久)=sin
(2x+勺+2(sin2x—1).
(1)求函数y=/(%)的单调减区间和对称轴;
(2)若不等式外久)+1<山在[。,国上有解,求小的取值范围.
题型11实际应用问题
【例题11】(2023•全国•高三专题练习)如图,某市拟在长为16km的道路。P的一侧修建一
条自行车赛道,赛道的前一部分为曲线。SM,该曲线段为函数y=4sin3久(力>0,3>0,
%e[0,8])的图像,目图像的最高点为S(6,4g).赛道的后一段为折线段MNP,为保证参赛
⑵试求折线段MNP的最大值.
【变式11-1】1.(2022・山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习)某街道路宽OD为
10g米,在道路的边缘点。安装高度为11米(即。4=11)的路灯,灯杆48与灯柱。4成120。
角.当灯罩轴线BC与灯杆垂直时,灯罩轴线正好通过。。的中点.
⑴求灯杆力B的长;
(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩,灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图BM,BN)都
成30。角.设是否存在8,能使路灯的光线照亮整个路面?若存在,求tan。的取
值范围;若不存在,在M,N都落在路面。。上的条件下,求MN的最大值.
【变式11-1】2.(2022・山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习)某街道路宽。。为
10g米,在道路的边缘点。安装高度为11米(即。4=11)的路灯,灯杆48与灯柱成120。
角.当灯罩轴线BC与灯杆力B垂直时,灯罩轴线正好通过。。的中点.
⑴求灯杆的长;
(2)路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩,灯罩轴线BC与灯的边缘光线(如图8M,BN)都
成30。角.设是否存在8,能使路灯的光线照亮整个路面?若存在,求tan。的取
值范围;若不存在,在M,N都落在路面。。上的条件下,求MN的最大值.
【变式11-1】3.(2022•全国•高三专题练习)如图,某圆形小区有两块空余绿化扇形草地
AOB(圆心角为或和COD(圆心角为力BD为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域,
其中一块为矩形区域OEFG,一块为平行四边形区域MNPQ,已知圆的直径PF=2百米,且
点P在劣弧48上(不含端点),点Q在。力上、点G在0C上、点”和N在0B上、点E在0D上,记
^BOP=9.
⑴经设计,当。E-gMN达到最大值时,取得最佳观赏效果,求8取何值时,。E-最大,
最大值是多少?
(2)设矩形OEFG和平行四边形MNPQ面积和为S,求S的最大值及此时cos28的值.
A
D/MNB
c
【变式11-1】4.(2022春•上海浦东新•高三上海市实验学校校考阶段练习)如图,在矩形
4BCD中,AB=2,AD=点点E为4B的中点,F,G分别为线段AD,BC±_的点,且
EF1EG/AEF=9.
(1)若aFFG的周长为/(。),求“。)的解析式及8的取值范围;
(2)求f(0)的最值.
【变式11-1】5.(2022・全国•高三专题练习)如图,直线人11£点力是%%之间的一个定
点,过点力的直线EF垂直于直线匕,AE=m,AF=n(m,n为常数),点B,C分别为d已
上的动点,已知NBAC=与设乙4CF=a(0<a<f),△ABC的面积为S(a).
⑴若a=7,求梯形EFCB的面积;
(2)写出S(a)的解析式;
(3)求S(a)的最小值.
1.(2023・湖南常德•常德市一中校考模拟预测)如图有一块半径为4,圆心角为微的扇形铁
皮力。B,P是圆弧力8上一点(不包括4,F),点M,N分别半径。4,。8上.
(1)若四边形/5"。可为矩形,求其面积最大值;
(
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