三角函数解答题十一大题型（学生版）-2024年高考数学重难点题型突破

重难点专题20三角函数解答题十一大题型汇总

dan

题型1识图问题......................................................................1

题型2单调性问题...................................................................4

题型3对称轴与对称中心问题........................................................5

题型4值域问题......................................................................7

题型5最值问题......................................................................9

题型6凑角求值问题................................................................11

题型7方程的根问题................................................................13

题型8零点问题.....................................................................14

题型9恒成立问题..................................................................15

题型10有解问题....................................................................17

题型11实际应用问题...............................................................19

IOKDII

题型1识图问题

【例题1】（2022秋•安徽六安•高三六安二中校考阶段练习）已知函数f（x）=2sin（3x+0）

（0<0<3的部分图像如图，该图像与y轴交于点4（0,遥），与光轴交于点B,C两点，。为图

像的最高点，且△的面积为与

（1）求/（久）的解析式及其单调递增区间；

（2）若将/（x）的图像向右平移"个单位，再将所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍

（纵坐标不变），得到函数9（久）的图像，若9（硝=塞<戊<兀），求sin（a+.）的值.

【变式1-1】1.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/(幻=先113%+|35(3>0)的

周期为4.

(1)求/(久)的解析式;

(2)将f(%)的图像沿%轴向右平移|个单位得到函数g(x)的图像，P,Q分别为函数g(x)图像的

最高点和最低点(如图)，求NOQP的大小.

【变式1-1】2.(2022湖南长沙•统考一模)如图是函数f。)=4sin(3x+乡)(4>0,3>0,

\(p\〈今图像的一部分.

(1)求出43,0的值；

(2)当x6(0分时，求不等式/(%")>产6")—2的解集.

【变式1-1]3.(2022秋・江西赣州•高三校联考期中)已知函数万久)=4sin(3x+s)

(%€/?,4>0,3>0,0<中<5图像如图，P是图像的最高点，Q为图像与x轴的交点，。为

(2)将函数y=f。)图像向右平移1个单位后得到函数y=g(x)的图像，当久e[0,2]时，

求函数%(x)=f(久)(%)的最大值.

【变式1-114.(2022秋•湖北武汉•高三华中师大一附中校考期中)函数f⑺=sin®%+哈

(1)求函数丫=/。)的解析式；

(2)将y=/Q)的图像向右平移区单位，再向上平移2个单位得到y=gQ)的图像，求g僖)

的值.

题型2单调性问题

划重点

函数Y=sinxY=cosxY=tanx

单调[—+2^71^+2^7i](fceZ)JZ递[—71+2^71,2^TT](kEZ)JZ(-7+%.+k

性增；递增；兀)(keZ)上递增

号+2^TT，Y+2及扪(左Z)上递减匕及匹n+2^TT](fceZ)Jt递

减

2

【例题2］(2023秋・湖南•高三校联考阶段练习)设函数了(久)=sinxsin(x+()—cos%+

(1)求/(久)的最小正周期、最大值及取最大值时》的取值集合；

(2)讨论人吗在区间［—与,耳上的单调性.

【变式2-1】1.(2023秋・山东临沂・高三统考期中)已知函数f(x)=V3

sinwxcoswx+cos2wx-1(w>0),与其图象的对称轴x=£相邻的f(x)的个零点为患.

(1)判断函数f(x)在区间［-肾］上的单调性；

(2)设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中c="Q,f(C)=1.若向量

n=(1,sinA),n-(sinB,-V3),fin-Ln,求a,b.

【变式2-1】2.(2022•天津河西•统考三模)已知函数f(久)=cos2%+V3sinxcosx-1(%eR)

(1)求/(%)的最小正周期；

(2)讨论f(x)在区间［4局上的单调性；

【变式2-1］3.(2022天津滨海新•校联考一模)设函数/(幻=(sinx+低。sQcos(L.

tanx

⑴求了(久)的最小正周期;

(2)讨论八久)在区间(0,当上的单调性.

【变式2-1］4.(2022秋•四川雅安•高三雅安中学阶段练习)已知函数/(*)=2V3sinxcos

^-2cos2^+1.

(1)求f。)的最大值和对称中心坐标；

(2)讨论f(久)在［0,汨上的单调性.

【变式2-1】5.(2022春・安徽安庆・高三阶段练习)已知函数-x)=sin»(2cosx-sinx)+cos2

x.

(1)讨论函娄妤(久)在［0,兀］上的单调性；

(2)设三<a<且/'(a)=-警，求sin2a的值

题型3对称轴与对称中心问题

驷』1重点

函数y=Asin(3x+cp)(A>0,3>0)的性质

⑴奇偶性：cp=kn(kGZ)时，函数y=Asin(3x+(p)为奇函数；

(p=kir+5(kGZ)时，函数y=Asin(3x+(p)为偶函数.

(2)周期性：y=Asin(3x+(p)存在周期性，其最小正周期为7=今

⑶单调性：根据y=sint和t=3x+(p(3>0)的单调性来研究，由-5+2kir43x+(p苔+

2kn(kGZ)得单调增区间；由］+2kn43x++2kiT(kwZ)得单调减区间.

(4)对称性：利用y=sinx的对称中心为(kn,0)(kwZ)来解，令3x+(p=kTr(kwZ),求得

其对称中心.

利用y=sinx的对称轴为x=kn+］(keZ)来解，令3x+(p=kn+5(kwZ)得其对称轴

【例题3】(2021•陕西咸阳•校考二模)已知函数/(久)=285%因的—85%)+1，%67?

⑴求函数/⑶的对称轴和对称中心；

(2)当久求函数久支)的值域.

【变式3-1]1.(2022秋・天津静海・高三静海一中校考阶段练习)已知函数f(x)=2sinwxcos

3K+尺箸+V3cos2o)x-V3+1.将周期为n的函数/(x)图像上所有点的横坐标伸长到原

来的2倍，所得图像对应的函数为。(久).

(1)求9(久)的单调区间；

(2)求g(x)图像的对称轴方程和对称中心坐标.

【变式3-1】2.(2022秋•江苏苏州・高三苏州市第五中学校开学考试)已知函娄好(久)=5sin

xcosx—5V3cos2x+eR).

⑴求/(x)的周期和最值；

(2)求/(久)的单调增区间;

(3)写出f(x)的图象的对称轴方程和对称中心坐标.

【变式3-1】3.(2022•山西吕梁统考一模)已知函数/'(%)=2asin2%+2sinxcosx—a的图

象过点(0,—V3).

(1)求常数a；

(2)求函数f。)的最小正周期、单调区间、对称轴方程、对称中心坐标；

(3)当％e[()5时，求函数了⑶的值域.

【变式3-1]4.(2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习)设函数f(x)

=cos(2久_Q_V3COS2%-1.

(1)求f(X)的最小正周期及其图象的对称中心；

(2)若配e悟用且f(xo)=日Q求cos2xo的值.

【变式3-115.(2021秋・安徽六安•高三六安市裕安区新安中学校考阶段练习)已知向量五=(

sinwx+cos3久,sinoi久),向量B=(sintox—coso>x,2V3cosa>x),设函数f(%)=a-b+1(%eR)

的图象关于直线％=取寸称，其中常数36(0,2).

(1)求函数f(久)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)的图象向左平移合个单位，再向下平移1个单位，得到函数g(久)的图象，求

出函数g(x)对称中心.

题型4值域问题

市卜划重点

求三角函数值域的常用方法

⑴求解形如y=asinx+b(或y=acosx+b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函

数的有界性(-1<sinx<1,-1<cosxw1)求解.求三角函数取最值时相应自变量x的集合

时，要注意考虑三角函数的周期性.

(2)求解形如y=asin2x+bsinx+c(或y=acos2x+bcosx+c),xGD的函数的值域或最

值时，通过换元，令1=5吊乂(或85点将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法才

值域或最值即可.求解过程中要注意t=sinx(或cosX)的有界性.

s/WWWWWWWWWWWWXA/WWWWWSAA/WWWVS/WWWWWWSA/WWWWWWWVZWWWWWWWWWWWWSAA/WWWSA

【例题4］(2023春•陕西宝鸡•高三校考阶段练习)设函数f⑴=2sin仁x+。

(1)歹4表并画出、=/0),xe［―2,10］的图象；

(2)求函数g(x)=/(I+x)+/(4-吗在区间［0,6］上的值域.

yjk

【变式4-1]1.(2023秋•河南•高三郑州一中校联考阶段练习)设函娄好(无)=sinx+2|cosx|.

(1)是否存在机>0,使得f(久)=/(m-久)对WxeR恒成立？若存在，试给出一个符合题意的

实数皿并加以证明；若不存在，请说明理由；

(2)若xe[—9兀]时，求人久)的值域.

【变式4-1]2.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=sinxcosx-V3cos2x+亨

(1)求函数f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象

向左平移泠单位，得到函数g(x)的图象，求函数仅切=%(久)+/(久)在工4,徘勺值域.

【变式4-1]3.(2023秋•河南•高三校联考阶段练习)在△ABC中，A+B=2c且cos力+sin

B=sinA+cosB.

⑴求角B的大小；

(2)设函数f(x)=2cosxsin(x+1)—2sin2xsinS+3sinxcosxcos(2X+C),当xeg知]时，

求f(%)的值域.

【变式4-1]4.(2023春•陕西西安•高三西安中学校考阶段练习)已知函数f(x)=sin

(TT-60%)costox+cos2wx(w>0),y=/(x)的图象的一T"对称中心到最近的对称轴的距离为

TI

4,

⑴求3的值；

(2)将函数y=/(久)的图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，得到函数y=g(x)

的图象，求函数y=g(x)在区间[o,4上的值域.

【变式4-1】5.(2021秋・重庆涪陵・高三重庆市涪陵高级中学校校考阶段练习)已知数

/(%)=V3sin(o)x+q+2sin2俘+0>0)的相邻两对称轴间的距离为三

(1)求八久)的解析式；

(2)将函数/(%)的图像向右平移衿单位长度，再把横坐标缩小为原来的J(纵坐标不变)，

得到函数y=9(%)的图像，当xe[—雪⑶时，求函数g(久)的值域.

(3)对于第(2)问中的函数g(x),记方程g(%)/在万啸,外上的根从小到依次为灯,久2,…

xn,试确定n的值，并求久1+2x2+2x3+…+2%„-1+久n的值.

【变式4-516.(2022•全国•高三专题练习)设函数了(久)=sinx—cosx(xeR).

(1)求函数y=/(%)-K-切的最小正周期及其对称中心；

(2)求函数y=[/(x)]2+[/(%+；)(在[一况]上的值域.

题型5最值问题

【例题5】(2023•辽宁沈阳•东北育才双语学校校考一模)已知函数/⑺=2cos+2遮sin

3xCOS3》+a(3>0,a&R).再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数

f(x)解析式的两个合理条件作为已知，条件①：八久)的最大值为1；条件②：/(%)的一条对

称轴是直线％=-盘；条件③：f。)的相邻两条对称轴之间的距离为会求：

(1)求函数/(久)的解析式；并求八%)的单调递增区间、对称中心坐标；

(2)若将函数-x)图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的也再向右平移各单位，得到函

数9。)的图象，若9。)在区间[0,河上的最小值为9(0),求m的最大值.

【变式5-1]1.(2023秋•北京•高三北京市八一中学校考开学考试)已知函数｛x)=2sin

(a)x+<p)+1(3>0,\<p\<?，/(久)图象上两相邻对称轴之间的距离为与；；

(I)在①人龙)的一条对称轴乂=苫；②/㈤的一个对称中心痣,1)；③/⑺的图象经过点

(等,0)这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；

(n)若动直线％=1«6[0,利)与/'(久)和9(%)=27^11%85%的图象分别交于「、Q两点，求

线段PQ长度的最大值及此时t的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【变式5-1]2.(2022秋・安徽•高三校联考期末)设向量而=(2cos<ox,V3sinwx),n=(coswx,2

coswx),函数/'(x)=访•日+a(3>0,aeR)的最大值为1,且图象相邻两个对称中心之间的

距离为会

(1)求函数/(久)的解析式；

(2)若将函数"%)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的士再向右平移个单位长

度，得到函数9(%)的图象，若9(久)在区间[0用上的最小值为9(0),求实数t的最大值.

【变式5-1】3.(2022秋•宁夏银川•高三校考阶段练习)在△4BC中，角A,B,C的对边

分别为a,b,c,且sinCcosg=(^―cosC)sin|.

(1)当8=求sinC+sinA的值

(2)求B的最大值.

【变式5-1]4.(2020秋•上海黄浦•高三上海市大同中学校考阶段练习)已知五=(V3,-1),

1=(sin2x,cos(2x—()),函数/1(%)=、.江

(1)若4={x|/O)=0,xeR},B=[-用列举法表示4nB;

(2)求函数"久)的单调递增区间以及当函数取得最大值时，蒲前的夹角仇

【变式5-115.(2020•安徽马鞍山•校联考一模)在△ABC中的内角4、B、C,sin(4—B)=

sinC-sinfi,。是边BC的三等分点(靠近点B),t=:;:彳案•

(1)求4的大小.

(2)当t取最大值时，求tan乙4CD的值.

题型6凑角求值问题

II

中卜约重点

1."打散"：角度不一致，可以拆开

2."重组"：系数次幕一致，合并为正弦余弦，便于使用辅助角"化一"

【例题6】(2020秋新疆•高三乌鲁木齐市第70中校考阶段练习)已知函数了⑺=遮sin亨cos

T+cos?等+旧cos(s+Q—*3>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为当

(1)求函数y=/(久)的解析式：

(2)已知角%“满足：/©­/©=-竽且a+6=乎，tan。=2,求变例鬻空阻的值.

【变式6-1】1.(2022秋•山东枣庄•高三阶段练习)已知函数f(x)=2sinwxcoscox-2V3

sin2cox+V3(3>0),直线x=Xi,x=x?是函数y=f(x)的图象的任意两条对称轴，且网-

X2冏最小值为？

(I)求3的值；

(H)求函数f(x)的单调增区间；

(in)若f(a)=|,求sin(|n-4a)的值.

【变式6-1】2.(2021秋河南•高三阶段练习)已知函数f(x)=2sin(a)x+。)(3>0,|0|<()

图象的一条对称轴方程为％=巳，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为尢

()求/(久)的解析式；

(2)若sin4a—cos4a=—|,ae(0,求/'(a+胃

__________1

【变式6-1】3.(2022•全国,高三专题练习)已知函数/'(%)=sins:(sin3x+cos3x)-万

(3>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为27r.

(1)求/(x)的单调递增区间以及/(比)图象的对称中心坐标；

(2)是否存在锐角a,S,使a+20=^,/(a+/f(28+堂=寺同时成立？若存在，求出

角a,夕的值；若不存在，请说明理由.

【变式6-1】4.(2022・全国•高三专题练习)在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，并加以解答.①图象上一个最低点为网争,—2)；②直线x=黑其图象的一条对称轴；③

点N(詈,0)是其图象的一个对称中心.

问题：已知函数/'(X)=4cos3久sin(3x+9)—l(3>0,0<9<9的图象与左轴的交点中，相

邻两个交点之间的距离为会且.

(1)求人吗的解析式；

(2)若a为锐角,且府)=今求/(a+工)的值.

【变式6-1】5.(2022-浙江•高三专题练习)已知函数/(%)=2sin(s:+9)

(0<3<6,\(p\<乡J(x)的图象的一条对称轴是久=枭一个对称中心是管,0).

(1)求八%)的解析式；

(2)已知△48C是锐角三角形，向量访=(/偿+工),/&)),n=(胆+a(8+勃，

1n,sinC=|z求cos4

【变式6-1】6.(2022秋・宁夏银川•高三校考阶段练习)已知函数了(x)=gcosx.cos(x—,

+sin2(%-f)-j.

(1)求f(x)的对称中心；

(2)若久e[o,J/")=充，求cos2久的值.

【变式6-1】7.(2022-全国•高三专题练习)在①函数

sin(2a)x+，)+sin(23x—川；②函数/(x)=cos3*sin(3x+段)—>。)这两个条件中

任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知,函数f(x)的图像相邻两对称中心之间的距离为与

⑴求函数久久)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若。<9<季,且/'(6)=卷，求cos28的值.

题型7方程的根问题

【例题7】(2023・辽宁大连•育明高中校考一模)已知函数f(x)=2sina)xcos^+2sm(p-4sin2^

sin,(3>O,|0|<JT),其图像的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差会,从以

下两个条件中任选一个补充在空白横线中.

①函数f(x)的图像向左平移区单位长度后得到的图像关于y轴对称且-0)<0;

②函数f(x)的图像的一个对称中心为00)且虺)>0.

(1)求函数/(久)的解析式；

(2)若关于x的方程f(切+|/(2x7)=2爪有实根，求实数m的取值范围.

【变式7-1]1.(2023秋辽宁沈阳•高三沈阳二十中校考开学考试)已知函数〃x)=V3sin

(3%+9)+2siM(空£)—>0,0<a<兀)为奇函数，且外久)图象的相邻两对称轴间的距

离为三

(1)求人X)的解析式与单调递减区间；

(2)已知f(久)在[—,葛]时，求方程2尸(幻+73/(%)-3=。的所有根的和.

2

【变式7-1】2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数-x)=V3sin(o)x+cp)+2sin(^)

一1(3>0,0<(p<兀)为奇函数，且“久)图象的相邻两对称轴间的距离为三

(1)求f(x)的解析式与单调递减区间；

(2)将函数/(久)的图象向右平移g个单位长度，再把横坐标缩小为原来的T(纵坐标不变)，得

到函数y=g(x)的图象，当xe[o,,时，求方程2g2(久)+加(久)—3=0的所有根的和.

【变式7-1]3.(2023•全国•高三专题练习)已知函数“久)=sin%-cos(x+g.

⑴求函数〃久)的最小正周期和对称中心；

(2)若久e[o,,方程f⑺-m=。有两个实数解，求实数m的取值范围.

【变式7-1】4.(2022•全国•高三专题练习)已知乙4是△ABC的内角，函娄好⑴=cos&—当

sin(久一4)的最大值为t.

(1)求乙4的大小；

(2)若g(x)=2|f(x)+],关于x的方程4[g(x)]2-矶(切+i=o在xe(冶④内有两个

不同的解，求实数机的取值范围.

题型8零点问题

(2)是否同时存在实数a和正整数明使得函数gO)=/(W-a在xe[0,717rl上恰有2021个

零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由.

【变式8-1】1.(2023・山西太原・太原五中校考一模)已知函数/(久)=sin(s+9)

⑷>0,0<9<TT)的周期为明图象的一个对称中心为(%0),将函数了(久)图象上的所有点的

横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移令单位长度后得到函数

9(%)的图象.

⑴求函数/⑶与g(x)的解析式；

(2)求实数a与正整数明使得尸(久)=/(x)+ag(x)在(0,m1)内恰有2023个零点.

【变式8-1】2.(2022秋•福建福州•高三校考阶段练习)由两角和差公式我们得到倍角公

式cos26=2cos2。-lz实际上cos3。也可以表示为cos。的三次多项式.

⑴试用cos。表示cos3。;

(2)求sinl8。的值;

⑶已知方程4/一3%"=0在(一1,1)上有三个根，记为久1,%2,%3,求证：4君+4成+4

谒=|.

【变式8-1]3.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/'(久)=2V2sin3xcos3x+2V2cos23x—

V2.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)若函数g(x)=/(%)-鱼在⑺河)上恰有2023个零点，求m-n的最大值.

【变式8-1]4.(2020秋•安徽六安•高三校考阶段练习)将函数/⑶=-cos4久的图象向右

平移泠单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到

的图象对应的函数记作g(x).

(1)在△ABC中,三个内角4SC且力<B<C,若C角满足g(C)=—1,求cosA+cosB的

取值范围；

(2)已知常数4GR,neN*,且函数F(%)=g(x)+\inx在(0,丽)内恰有2021个零点，求

常数4与n的值.

【变式8-1]5.(2022秋•安徽六安•高三六安一中阶段练习)已知函娄好(久)=V3sin2x+2

cos2%+<x<5).

(1)若函数/(久)的最大值为6,求常数小的值；

(2)若函数久久)有两个零点肛和%2,求M的取值范围，并求和%2的和；

⑶在(1)的条件下，若9(W=(t—1)/。)—方黑鬻《22),讨论函数反式)的零点个

数.

题型9恒成立问题

【例题9】(2023春•北京•高三校考阶段练习)已知函数;"(XiMKsinZsx-cos

23X(0<3<2),再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,

⑴求「㈤的解析式;

(2)当久中,卵寸，关于X的不等式a恒成立，求实数小的取值范围.

条件①：函数f(x)的图象经过点弓,2)；

条件②：函数;'(X)的图象可由函数g(X)=2sin2x的图象平移得到；

条件③：函数f(x)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为当

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

【变式9-1】1.(2020•全国校联考二模)已知函数y=f(x)的定义域为(0,+8),且满足

fOy)=f(久)+/(y),当％G(1,+oo)时,有/'(%)>o,且/'(2)=1.

(1)求不等式/(4t)—/(I-t)<2的解集；

(2)对任意xe［o,4,八2sin2(x+9—2&cos(x—9—5a+2］》/(6—2a)恒成立，求实

数a的取值范围.

【变式9-1】2.(2022秋・广东东莞・高三校考阶段练习)已知函数“久)=$也(5+0)(3>0,

I初<与)部分图象如下图所示.

(1)求函数/(%)的解析式，并写出f。)单调递增区间；

(2)函数g(x)=4f㈤—a.2f⑺+3(aeR),若对任意xe［翳］,都有g(x)>。恒成立，求实数a

取值范围.

【变式9-1】3.(2022秋•江苏南通・高三江苏省如皋中学统考阶段练习)已知五=

(sinwx,cosa)x),b=(cosa)x,V3cosa>x),f(x)=a-［b—乎d)(3>0).函数y=/(x)的最小正

周期为兀

(1)求函数f。)在[0川内的单调递增区间；

(2)若关于%的不等式/'(%-|)>V2msin(^x+9—V2cos(x-勺在[o,1|内恒成立，求实数小

的取值范围.

【变式9-1】4.(2020秋•江苏无锡•高三校考阶段练习)已知元=(sinx,cosx),n=

(cos%,—cosx),设/(x)=7?•n.

(1)当”e[o,当时，求f(x)的值域；

(2)若锐角△4BC满足/'(C)=0,且不等式taMA+taMB+mtandtanB+120恒成立，

求小的取值范围.

【变式9-1】5.(2020秋・海南・高三海南华侨中学校考阶段练习)已知函数fQ)=xcosx,

g(x)=sinx,x£[o,1].

(1)求证：/(久)Wg(x);

(2)若以<以久)<汝在(0,9上恒成立，求a的最大值与b的最小值.

题型10有解问题

【例题10】(2022•全国•高三专题练习)已知函数/■(>)=&sin(3x+9)(其中A>0,a)>0,

|如<$的图象与x轴的交于A,B两点，A,B两点的最小距离为？且该函数的图象上的

一个最高点的坐标为(工,2).

(1)求函数久久)的解析式；

(2)求证：存在大隹的正实数刈，使得不等式粤>2g在区间(沏,正)有解.(其中e为

自然对数的底数)

【变式10-D1.(2021秋・北京•高三北京一七一中校考期中)已知的函娄好(久)=cosx(2V3

sinx+cosx)—sin2x.

(1)求函数/(X)的最小正周期和单调递增区间；

(2)若当xe[o,当时，关于x的不等式f(X)>小有解，求实数m的取值范围.

【变式10-1]2.(2023秋•辽宁•高三辽河油田第二高级中学校考期末)已知函娄好(久)=cos

%(2V3sinx+cosx)—sin2%.

(I)求函数/(%)的单调递增区间和最小正周期；

(n)若当xe[o,4时，关于X的不等式久久)27n,求实数爪的取值范围.

请选择①和②中的一个条件，补全问题(口)，并求解.其中，①有解；②恒成立.

【变式10-1】3.(2020秋•安徽合肥•高三合肥市第六中学校考期中)已知函数f(久)=cos

%.

(1)已知a,夕为锐角，/(a+£)=—辛，tana=£求cos2a及tan(£一a)的值；

(2)函数g(x)=3fqx)+1,若关于%的不等式#(x)>(a+l)g(x)+3a+3有解，求实数a

的最大值.

【变式10-1】4.(2022•全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=2sinxcosx—ZgsiMx+

V3,9(久)=sinx.

(工)若xe[o图，求函数八支)的值域；

(II)将函数f(x)图象向右平移泠单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原

来的2倍得到函数3)的图象，并设尸(X)=3)+t(g(x)+g(x+%若尸⑺>0在[o,4上

有解，求实数的勺取值范围.

【变式10-1】5.(2022秋・山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习)已知函数“久)=sin

(2x+勺+2(sin2x—1).

(1)求函数y=/(%)的单调减区间和对称轴；

(2)若不等式外久)+1<山在[。,国上有解，求小的取值范围.

题型11实际应用问题

【例题11】（2023•全国•高三专题练习）如图，某市拟在长为16km的道路。P的一侧修建一

条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线。SM,该曲线段为函数y=4sin3久（力>0,3>0,

%e[0,8]）的图像，目图像的最高点为S（6,4g）.赛道的后一段为折线段MNP,为保证参赛

⑵试求折线段MNP的最大值.

【变式11-1】1.（2022・山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习）某街道路宽OD为

10g米，在道路的边缘点。安装高度为11米（即。4=11）的路灯，灯杆48与灯柱。4成120。

角.当灯罩轴线BC与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过。。的中点.

⑴求灯杆力B的长;

（2）路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线（如图BM,BN）都

成30。角.设是否存在8,能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tan。的取

值范围；若不存在，在M,N都落在路面。。上的条件下，求MN的最大值.

【变式11-1】2.（2022・山东济南•高三山东省实验中学校考阶段练习）某街道路宽。。为

10g米，在道路的边缘点。安装高度为11米（即。4=11）的路灯，灯杆48与灯柱成120。

角.当灯罩轴线BC与灯杆力B垂直时，灯罩轴线正好通过。。的中点.

⑴求灯杆的长；

（2）路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线BC与灯的边缘光线（如图8M,BN）都

成30。角.设是否存在8,能使路灯的光线照亮整个路面？若存在，求tan。的取

值范围；若不存在，在M,N都落在路面。。上的条件下，求MN的最大值.

【变式11-1】3.（2022•全国•高三专题练习）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地

AOB（圆心角为或和COD（圆心角为力BD为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域,

其中一块为矩形区域OEFG,一块为平行四边形区域MNPQ,已知圆的直径PF=2百米，且

点P在劣弧48上（不含端点），点Q在。力上、点G在0C上、点”和N在0B上、点E在0D上，记

^BOP=9.

⑴经设计，当。E-gMN达到最大值时，取得最佳观赏效果，求8取何值时，。E-最大,

最大值是多少？

（2）设矩形OEFG和平行四边形MNPQ面积和为S,求S的最大值及此时cos28的值.

A

D/MNB

c

【变式11-1】4.(2022春•上海浦东新•高三上海市实验学校校考阶段练习)如图，在矩形

4BCD中，AB=2,AD=点点E为4B的中点，F,G分别为线段AD,BC±_的点，且

EF1EG/AEF=9.

(1)若aFFG的周长为/(。)，求“。)的解析式及8的取值范围；

(2)求f(0)的最值.

【变式11-1】5.(2022・全国•高三专题练习)如图，直线人11£点力是％%之间的一个定

点，过点力的直线EF垂直于直线匕，AE=m,AF=n(m,n为常数)，点B,C分别为d已

上的动点，已知NBAC=与设乙4CF=a(0<a<f),△ABC的面积为S(a).

⑴若a=7,求梯形EFCB的面积；

(2)写出S(a)的解析式；

(3)求S(a)的最小值.

1.(2023・湖南常德•常德市一中校考模拟预测)如图有一块半径为4,圆心角为微的扇形铁

皮力。B,P是圆弧力8上一点(不包括4,F),点M,N分别半径。4,。8上.

(1)若四边形/5"。可为矩形，求其面积最大值；

(