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文档简介

2023-2024学年高二数学上学期期末考试模拟卷01

(考试时间:120分钟试卷满分:150分)

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡

皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围:选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第三章排列、组合与二项式定理。

5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共58分)

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的。

1.经过点。,3),(-2,4)的直线方程为()

A.x+3y-10=0B.3%+y—10=0C.%—3y+10=0D.3%+y+10=0

【答案】A

【分析】由直线的两点式方程求解即可;

【详解】由题意得二=手,整理得无+3y-10=0.

3-41+2

故选:A.

2.平面内,动点尸的坐标(X,y)满足方程J(元+若y+y2+J[_若)?+、=24,则动点尸的轨迹方程为()

【答案】B

【分析】由椭圆的定义可知,动点尸的轨迹为椭圆,根据等式得到椭圆的求得6,即可写出轨迹方程.

【详解】设点网-后。),虫后。)

,­•J(尤+川+/+“尤一厨+V=2斯=|尸耳|+|尸西|>2道=|耳闻

由此可知点尸的轨迹为椭圆,

IPT^I+IPT^I=2a=2y[6,即〃=而,且°=若,

•*•b2=a2—c2=3,

...动点尸的轨迹方程为1+q=1.

o3

故选:B.

3.在正方体A3CD-4瓦£2中,AB=1,MN分别是棱A氏C£的中点,则点4到直线"N的距离为(

A.昱B.1C.D.-

4123

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系,求得各点的坐标,以及直线的方向向量,利用向量法直接求解即可.

【详解】

如图,以。为原点,。4。。,。鼻的方向为男y衣轴建立空间直角坐标系,如下所示:

易知4(1,0,1),.(1。0)川(0,1,:),丽=(0。-1),丽=(-!„),|丽卜/+;+;邛;

取a=4M=[o,;,—l],

JWV=2_f_i1I1nJ瓜戈瓜、

\MN\d,/句句-「于"T,"

4

[5r_A/174

所以点A到直线MN的距离为77-(tz-w)2

\4-24-12

故选:C.

4.已知[:-4(x+y)7展开式中V产的系数为28,则该展开式的各项系数和为()

B.2-7C.0D.28

【答案】D

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数得a=-1,利用赋值法求出结果.

【详解】根据(x+»的展开式通项加=,r=0,1,2,3,4,5,6,7,

当与上配对时,r=l,故的系数为c;=7,

X

当与-a配对时,厂=2,故三产的系数为c,(—a)=—21a,

所以7-21a=28,故a=—l;

故令无=y=l,则各项的系数和为丁.

故选:D.

5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点/作直线交抛物线于A、8两点,若|A尸|=3|8可,的中点到y轴

的距离为g,则P的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据给定条件,利用焦点弦的几何性质推理计算得解.

【详解】抛物线V=2px(p>0)的焦点尸§,0),准线/:无=-微,准线交x轴于点K,

由对称性,不妨令点A在第一象限,过A,B分别作垂足分别为2E,

过3作5G_LAD于G,交尸K于“,令|8£|=|3尸|=〃,|AD|=|AF\=3n,\FK|=p,

IFHIIBFID—rin3n

\AG\=2n,\FH\=p-n,由切//AG,得力4=匕募,即一=:,则夕=胃,

IAG|\AB\2n4n2

线段AB中点M,过M作肱V,/于N,则LI/皿;1砌=2〃=子,

由AB的中点到了轴的距离为得|MN|=§+],因此¥=§+1,所以0=3.

故选:B

6.2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超

球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研,每个村各有一组来调研,每个组至多3名学生,则

不同的安排方法种数为()

A.900B.600C.450D.150

【答案】C

【分析】按1,2,3或2,2,2将6人分成三组,再把分成的三组分到3个村寨即可.

【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生,

所以可以分成1,2,3或2,2,2两类,

当6人分成1,2,3三组,有C;C;C;A;=360种分法,

2A3

当6人分成2,2,2三组,有6y2A3=90种分法,

所以不同的安排方法种数为360+90=450种,

故选:C

f-v271

7.已知双曲线C:2=1(。>0,》>0)的左、右焦点分别为4,F?,点尸是C上一点,B.ZF.PF^-,

a~b3

|尸阊=3|尸耳I,则C的渐近线方程为()

A.y=±2百xB.y=±g^尤C.y=±^-xD.y=±y/3x

'332"

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义结合|尸引=3|尸团,求得|「胤=*|尸阊=3%在甲里中,利用余弦定理求得

a、b、c之间的关系,进而求得。、/之间的关系,即可得出答案.

【详解】

由双曲线定义知旭耳H尸用1=2%因为|「局上3|尸周,

所以忸耳|=。,|尸阅=3a,

在月产区中,因为/月「月=;,|耳司=2c,

附|2+|尸耳

一出用2

所以cos/耳尸B=

2|Pf;|-PF2\

即"+9/―4L化简得7/=4c"

2x4x3。2

又。2=°2+凡所以9=3,解得2=走,

a4a2

所以双曲线C的渐近线方程为y=土好x.

2

故选:C.

8.已知圆。:(*-2)2+(尸1)2=9.若。为直线加2元-尹5=0上的动点,M是圆C上的动点,定点N(2,4),

则|QM|+|QN|的最小值()

A.769+3B.765+3C.765-3D.刷-3

【答案】C

【分析】求出点N(2,4)关于直线根:2x-y+5=0的对称点N'的坐标,进而可得

\QM\+\QN\^\QM\+\QN'\>\MNr\,由此即可得解.

【详解】设点N(2,4)关于直线加:2x-y+5=0的对称点为N'(a,b),

b-41

I22

则\QM\+\QN\^|QM|+|QN[>\MN'\2|CN[-3=J(-2-2)2+(6+l)2-3=痛-3,

当且仅当C、M.Q.N'四点共线(M点在C、N'两点之间)时,取等号,

所以|W|+|QN|的最小值为屈一3.

故选:C.

【点睛】结论点睛:若点尸是半径为,•的圆C外的一点,则点P到圆C的上一点的距离d的取值范围是

\PC\-r<d<\PC\+r.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得。分.

9.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、

乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆,且允许多人选择同一个场馆,下列说法中正

确的有()

A.所有可能的方法有34种

B.若场馆甲必须有志愿者去,则不同的安排方法有37种

C.若志愿者小明必须去场馆甲,则不同的安排方法有16种

D.若三名志愿者所选场馆各不相同,则不同的安排方法有24种

【答案】BCD

【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性,利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选

项的正确性,利用排列数计算判断D选项的正确性.

【详解】对于A,所有可能的方法有43种,故A错误.

对于B,分三种情况:第一种:若有1名志愿者去场馆甲,则去场馆甲的志愿者情况为C;,

另外两名同学的安排方法有3x3=9种,此种情况共有C;x9=27种,

第二种:若有两名志愿者去场馆甲,则志愿者选派情况有《,另外一名志愿者的排法有3种,

此种情况共有C;x3=9种,

第三种情况,若三名志愿者都去场馆甲,此种情况唯一,

则共有27+9+1=37种安排方法,B正确.

对于C,若小明必去甲场馆,则小红,小兵两名志愿者各有4种安排,共有4x4=16种安排,C正确.

对于D,若三名志愿者所选场馆各不同,则共有A:=24种安排,D正确.

故选:BCD.

10.如图,在平行六面体ABC。-中,AB^AD=1,9=a,ZBA4,=ZDA^=45°,=60°,

贝IJ()

B.何+必-入时

D.弥卜3

C.AC1.(AB1-AD)=O

【答案】CD

【分析】设">=4,4?="^=。,根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算,依次判断选项即可.

(详解】设AD=a,AB=b,AA^=c.

A:AD1—AD+DD[=a+c,B1B+BC=a—c9

所以A,//(48+gc)不成立,故A错误;

B:fT4JA+AjD|-=(-e+〃-Z?+2)=(4-b)=&?—,Z?+Z?=1,

又3A与2=3b=3,

所以(AA+AD-AB)?w3A3「,故B错误;

C:AC,=AB+BC+CCX=a+b+c^B^-AD=b-a,

所以AC1<44-^^)=(£+〃+工)=lx0cos45°-lx忘cos45°=0,故C正确;

D:|AG|=卜+匕+c|=++c)=yja2+b2+c2+2(ct'b+c'b+a'

=J4+2(1X1XL+1X0X走x2〕=3,故D正确.

NI22J

故选:CD

11.如图曲线E:可以看成是抛物线y=;/和y=-±尤2+5所围成示,点M,N在曲线£上,给定点A(0,a),

则下列说法中正确的是()

A.任意a«0,5),都存在点M,N,使得|A〃|=|AN|

B.任意ae(O,5),都存在点M,N,满足这对点关于点4对称

C.存在ae(O,5),当点跖N运动时,使得|AM|+|AN|<10

D.任意ae(0,5),恰有三对不同的点M,N,满足每对点M,N关于点A对称

【答案】ABC

【分析】根据抛物线的对称性可得选项A、B正确;取。=1,求两抛物线的焦点坐标和准线方程,根据抛

物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等可得选项C正确;取a=l,可在抛物线y=上找到一对

对称点,假设关于点A对称的两点分别在两抛物线上,通过计算得出不成立,选项D错误.

【详解】抛物线和>=-[/+5的对称轴都为y轴,因此封闭曲线E关于y轴对称,且抛物线

416

A.如图1,任意。40,5),点4(0,。)在y轴上,在曲线E上取关于y轴对称的两点M,N,则有|AM|=|AN|,

故A正确;

B.如图2,过点A作垂直于y轴的直线与曲线E的交点M,N关于点A对称,故B正确;

_12

y-j\x--A(x=4

C.由4得,或所以C(-4,4),D(4,4).

12Uy=4y=4

y=-----x+5B

[16

取。=1,即4(0,1),抛物线y=可化为尤2=打,焦点为A(0,l),准线方程为y=-l,

点在y尤2(owy<4)上运动时,o<5<4,

由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得,|儿碎=S+1«1,5].

抛物线y=-[炉+5可由抛物线>向上平移5个单位而得,

抛物线>可化为尤2=_i6y,焦点为(0,-4),准线方程为,=4,贝悯物线>=-々n2+5的焦点为

4(0,1),准线方程为y=9,

点M«,s)在y=-2v+5(44yW5)上运动时,4WsW5,

16

由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得,|恻=9-544,5],

因此当点M,N运动时,10阿V5,1<|W4|<5,恒有|川田+|4Vl<10,故C正确;

对于D,取。=1,即4(0,1),直线y=l与抛物线y=的两个交点关于点A对称,在此抛物线上关于点

A对称的两点只有一对,在抛物线y=-x2+5上不存在两点关于点A对称.

16

若关于点A对称的两点分别在y=和尸_±/+5上,不妨令加,,;/),则点“关于点A(O,I)对称

的点(-“,2-卜]在、=一葭2+5上,而方程2-L=_J“2+5,即最"2=-3无解,则此时不存在关于

<4J1641616

点A对称的两点分别在两条抛物线上,故D错误.

故选:ABC.

【点睛】思路点睛:本题考查抛物线定义及性质的应用,具体思路如下:

(1)由抛物线方程得封闭曲线E关于y轴对称,即可判断选项A、B正确.

(2)取。=1,分析两抛物线的焦点坐标和准线方程,利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等

可得出|MA|的取值范围,计算出|AM|+|AN|<10,得出选项C正确.

(3)取。=1,可在抛物线y尤2上找到一对对称点,假设关于点A对称的两点分别在两抛物线上,设出

4

其中一点坐标,通过对称计算另一点坐标,经过计算得出不成立,选项D错误.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.圆/+寸-4%+4丫-12=0与圆/+丫2=4的公共弦长为.

【答案】2年

【分析】两圆方程作差并整理可得,公共弦所在的直线方程,再结合点到直线的距离公式,以及垂径定理,

即可求解.

【详解】圆光~+y-4x+4y-12=。与圆+>2=4,

两圆方程相减可得,x-y+2=0,即为公共弦所在的直线方程,

圆/+/=4,则圆心为(0,0),半径r=2,

I21I-

则圆心(0,0)到直线无一y+2=0的距离d=卜<2=<2,

5+(-1)2

故公共弦长为2“-d2=2,4-2=272.

故答案为:20.

13.如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵,请通过观

察图象发现递推规律,并计算从第三行到第十五行中,每行的第三位数字的总和为.

杨辉三角

0行

1

1行

11

uJ2行

-t121

3行

1331

4行

14641

5行

15101051

6行

1615201561

7行

172135352171

8行

18285670562881

【答案】559

【分析】结合杨辉三角的性质及组合数的性质计算即可得.

【详解】第三行的第三位数字是C二第四行的第三位数字是C3

第五行的第三位数字是C;,L,第十五行的第三位数字是C;,

n\n\(n+l-m)n!+m-n!

由c:+c:T

—(m—l)!(n+l-m)!m!(n+l—m)!

5+1)!:C"

m!(n+l—m)!77+1

则c;+c;+c"-+c;5=c;+c;+c"+…+c;5-1=C;+C;+,+c;5-1

=C+C-…-「"=”小559.

故答案为:559.

22

14.己知尸是椭圆C:^+当的右焦点,A是。的右顶点,5是。的上顶点,月为。上一点且

a1b1

在第二象限,若OP//AB,tanNPFO=兴,则。的离心率为.

【答案】专

【分析】画出图形,由椭圆的性质和两直线平行得到OP方程,再代入椭圆方程求出点尸坐标,利用正切值

即椭圆的性质和离心率的定义求解即可;

【详解】

由题意可得A(a,o),3(o,b)l(c,o),

设尸(%,村,耳0,»0,由0「//钻可得直线。2方程为了=-工》,

代入椭圆方程可得/,解得工=一叵,

—r+-~^-=12

及、

所以尸b

7

于6⑪

由tan/PFO=^——=-,即2回=。+缶,

-----Q+C

2

又/二廿+才,联立解得《=£=逑=变,

〃42

所以C的离心率为正,

2

故答案为:当.

2

四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)已知A:=252C;.

⑴求〃的值;

(2)求尤2一2)展开式中V项的系数.

【答案】(1)10

105

(2)—

8

【分析】(1)利用排列数和组合数的性质求解即可.

(2)利用二项式定理求解指定项系数即可.

【详解】(1)因为A:=252C:,所以心7,

可得〃——52J-一厂―),

化简得〃2_1山+10=0,解得〃=10(另一个根舍去),故〃的值为10.

(2)由上问得”=10,所以

由二项式定理得通项展开式为=,(4/严,(-;),=(T),.《严—吟,

2sjx2

令20-0=5,解得r=6,所以〃项的系数为萼.

22o

16.(15分)己知圆M的方程为/+;/-6尤-8>>+21=0,点P(3,〃。在圆M内.

(1)求实数优的取值范围;

⑵求过点。(1,0)且与圆M相切的直线/的方程.

【答案】⑴(2,6);

⑵尤=1或3x-4y-3=0.

【分析】(1)利用点与圆的位置关系列出不等式,求解不等式即得.

(2)按切线斜率存在与否分类求出切线方程.

【详解】(1)圆M:(工一3)2+“-4)2=4的圆心加(3,4),半径厂=2

由点P(3,〃。在圆M内,得(3-3『+(苗-4)2<4,解得2<相<6,

所以加的取值范围为(2,6).

(2)显然点。在圆“外,圆〃的切线经过点。(1,0),圆心加(3,4)到直线*=1的距离为2,

则直线X=1是过点。(1,0)的圆M的切线;

当切线的斜率存在时,设圆M的切线方程为y=k(x?l),

12左一4|33z

由=解得左=j切线方程为>=:(xT),即3元-4y-3=0,

所以圆M的切线方程为x=l或3x-4y-3=O.

17.(15分)已知椭圆C:J+/=l(a>6>0)离心率为4,直线y=-x+1与椭圆C相交于A,8两点.

(1)若椭圆C的焦距为2相,求椭圆C的方程;

(2)若。4,08,求椭圆的长轴长.

【答案】⑴《+9=1;

4

(2)710.

【分析】(1)利用焦距、结合离心率求出。,6即得.

(2)由离心率可得。=»,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求出b即可.

【详解】(1)由椭圆C的焦距为2/,得半焦距c=6,

由椭圆C的离心率为在,得。=2,则〃=/一,2=1,

2

所以椭圆C的方程为上+y2=l.

4

(2)由椭圆。的离心率为走,得1三1=立,则,=2"椭圆U/+4y2=4/,

2a2

由-2消去,得:5——8x+4—4/=0,A=64-80(1-Z?2)>0<^>/?2>|,

[x+4y=4b5

设AQi,%),5(%2,%),则%+%=|•,玉工2=4,

由OA.LOB,^OA-OB=xix2+yiy2=x,x2)(1-x2)=2xLx2_(%+J;2)+1=0,

贝!|^i-§+i=o,解得62=1,符合题意,b=眄,a=2b=叵,

55842

所以椭圆C的长轴长为质.

JT

18.(17分)如图,等腰直角三角形ABC中,ZACB=~,。是AC中点,E、尸分别是以、BC边上的

动点,且£F〃AC,将秘跖沿所折起,将点B折至点P的位置,得到四棱锥尸-ACEE.

(1)求证:EF±PC;

2一

(2)若=二面角尸-印-C是直二面角,求平面PE尸与平面P4C夹角的余弦值;

TTTT

(3)当3c=2时,是否存在这样的点歹,使得二面角尸-EF-C为三,且直线PO与平面ACEE所成角为

若存在,求出C尸的长,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵与

(3)存在,CF=也

3

【分析】(1)由折叠可证线面垂直,由线面垂直的性质可证明结论.

(2)建立空间直角坐标系,表示各点坐标,计算平面法向量,利用公式计算平面夹角的余弦值.

(3)建立空间直角坐标系,设c/=f,利用“二面角尸-EF-C为三”表示点P坐标,根据线面角的向量公

式求CP的长.

【详解】(1)VACLBC,AC//EF,

:.EF1BC,即EF_LFC,EFLPF,

,;PFcFC=F,PF,FCu平面PFC,二Eb_L平面尸FC,

,/PCu平面PFC,:.EFrPC.

(2)I•二面角P-EF-C是直二面角,,平面尸平面EFC,

•.•平面PEF平面瓦C=砂,PF±EF,PFu平面PEF,二PF_L平面EPC,

如图,以FE,FC,小分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设AC=3,则bP=2,bC=l,P(0,0,2),C(O,1,O),E(2,0,0),A(3,l,0),

CP=(O,-l,2),C4=(3,0,0).

设平面PAC法向量为根=(x,%z),

m-CP=-y+2z=0、

<,令z=l,贝!|y=2,x=0故帆=z(0,2,1),

m-CA=3x=09

由题意得,平面P£F法向量为〃=(0」,0),

设平面PEF与平面R4C的夹角为。,

则c°se=H^,小揣=高2君

分别以EE、忆所在直线分别为x轴、y轴,过尸作平面A3C的垂线为z轴,建立如图空间直角坐标系,

设C/=r,贝!]尸尸=2T,c(oj,o),A(2,r,0),0(1/0),

7T7T

由(1)得,二面角尸―EF-C的平面角为/PFC,即/尸FC=二,^ZPFz=~,

36

由题意得,平面ACFE的法向量为2=(。,。/),

sin-=|cos,解得/当

4।

.•.存在点八CF/

19.(17分)已知动点M到丁轴的距离为a。为坐标原点,且|OM「=X+〃/,其中九〃均为常数,动点M

的轨迹称为(4〃)曲线.

⑴判断(3,-5)曲线为何种圆锥曲线.

(2)当4〃应满足什么条件时,(九〃)曲线为双曲线?

⑶设曲线C为曲线,斜率为左且左2/;)的直线/过曲线C的右焦点,且与C交于两个不同

的点.若点3关于x轴的对称点为。,试证明直线A

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