人教版高二数学上学期期末考试模拟题（全解全析）

2023-2024学年高二数学上学期期末考试模拟卷01

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：选择性必修第一册全部内容+选择性必修第二册第三章排列、组合与二项式定理。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.经过点。,3）,（-2,4）的直线方程为（）

A.x+3y-10=0B.3%+y—10=0C.%—3y+10=0D.3%+y+10=0

【答案】A

【分析】由直线的两点式方程求解即可；

【详解】由题意得二=手，整理得无+3y-10=0.

3-41+2

故选：A.

2.平面内，动点尸的坐标（X,y）满足方程J（元+若y+y2+J[_若）?+、=24,则动点尸的轨迹方程为（）

【答案】B

【分析】由椭圆的定义可知，动点尸的轨迹为椭圆，根据等式得到椭圆的求得6,即可写出轨迹方程.

【详解】设点网-后。），虫后。）

,­•J（尤+川+/+“尤一厨+V=2斯=|尸耳|+|尸西|>2道=|耳闻

由此可知点尸的轨迹为椭圆,

IPT^I+IPT^I=2a=2y[6,即〃=而，且°=若，

•*•b2=a2—c2=3,

...动点尸的轨迹方程为1+q=1.

o3

故选：B.

3.在正方体A3CD-4瓦£2中，AB=1,MN分别是棱A氏C£的中点，则点4到直线"N的距离为（

A.昱B.1C.D.-

4123

【答案】C

【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可.

【详解】

如图，以。为原点，。4。。,。鼻的方向为男y衣轴建立空间直角坐标系，如下所示：

易知4（1,0,1）,.（1。0）川（0,1,：）,丽=（0。-1）,丽=（-!„）,|丽卜/+；+；邛;

取a=4M=［o，；，—l］，

JWV=2_f_i1I1nJ瓜戈瓜、

\MN\d，/句句-「于"T，"

则

4

[5r_A/174

所以点A到直线MN的距离为77-（tz-w）2

\4-24-12

故选：C.

4.已知［：-4（x+y）7展开式中V产的系数为28,则该展开式的各项系数和为（）

B.2-7C.0D.28

【答案】D

【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数得a=-1,利用赋值法求出结果.

【详解】根据(x+»的展开式通项加=,r=0,1,2,3,4,5,6,7,

当与上配对时，r=l,故的系数为c；=7,

X

当与-a配对时，厂=2,故三产的系数为c，(—a)=—21a,

所以7-21a=28,故a=—l；

故令无=y=l,则各项的系数和为丁.

故选：D.

5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点/作直线交抛物线于A、8两点，若|A尸|=3|8可，的中点到y轴

的距离为g,则P的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用焦点弦的几何性质推理计算得解.

【详解】抛物线V=2px(p>0)的焦点尸§,0),准线/:无=-微，准线交x轴于点K,

由对称性，不妨令点A在第一象限，过A,B分别作垂足分别为2E,

过3作5G_LAD于G,交尸K于“，令|8£|=|3尸|=〃，|AD|=|AF\=3n,\FK|=p,

IFHIIBFID—rin3n

\AG\=2n,\FH\=p-n,由切//AG,得力4=匕募，即一=:，则夕=胃，

IAG|\AB\2n4n2

线段AB中点M,过M作肱V，/于N,则LI/皿;1砌=2〃=子,

由AB的中点到了轴的距离为得|MN|=§+],因此¥=§+1,所以0=3.

故选：B

6.2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕某校足球社的6名学生准备分成三组前往村超

球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，每个组至多3名学生，则

不同的安排方法种数为（）

A.900B.600C.450D.150

【答案】C

【分析】按1,2,3或2,2,2将6人分成三组，再把分成的三组分到3个村寨即可.

【详解】由题意可知6个人分成三组且每组最多3名学生，

所以可以分成1,2,3或2,2,2两类，

当6人分成1,2,3三组，有C；C；C；A；=360种分法,

2A3

当6人分成2,2,2三组，有6y2A3=90种分法,

所以不同的安排方法种数为360+90=450种,

故选：C

f-v271

7.已知双曲线C：2=1（。＞0,》＞0）的左、右焦点分别为4，F?,点尸是C上一点，B.ZF.PF^-,

a~b3

|尸阊=3|尸耳I，则C的渐近线方程为（）

A.y=±2百xB.y=±g^尤C.y=±^-xD.y=±y/3x

'332"

【答案】C

【分析】根据双曲线的定义结合|尸引=3|尸团，求得|「胤=*|尸阊=3%在甲里中，利用余弦定理求得

a、b、c之间的关系，进而求得。、/之间的关系，即可得出答案.

【详解】

由双曲线定义知旭耳H尸用1=2%因为|「局上3|尸周,

所以忸耳|=。，|尸阅=3a,

在月产区中，因为/月「月=；,|耳司=2c,

附|2+|尸耳

一出用2

所以cos/耳尸B=

2|Pf；|-PF2\

即"+9/―4L化简得7/=4c"

2x4x3。2

又。2=°2+凡所以9=3,解得2=走，

a4a2

所以双曲线C的渐近线方程为y=土好x.

2

故选：C.

8.已知圆。:（*-2）2+（尸1）2=9.若。为直线加2元-尹5=0上的动点，M是圆C上的动点，定点N（2,4）,

则|QM|+|QN|的最小值（）

A.769+3B.765+3C.765-3D.刷-3

【答案】C

【分析】求出点N（2,4）关于直线根:2x-y+5=0的对称点N'的坐标，进而可得

\QM\+\QN\^\QM\+\QN'\>\MNr\,由此即可得解.

【详解】设点N（2,4）关于直线加:2x-y+5=0的对称点为N'（a,b）,

b-41

I22

则\QM\+\QN\^|QM|+|QN[>\MN'\2|CN[-3=J（-2-2）2+（6+l）2-3=痛-3,

当且仅当C、M.Q.N'四点共线（M点在C、N'两点之间）时，取等号，

所以|W|+|QN|的最小值为屈一3.

故选：C.

【点睛】结论点睛：若点尸是半径为，•的圆C外的一点，则点P到圆C的上一点的距离d的取值范围是

\PC\-r<d<\PC\+r.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.现安排小明、小红、小兵3名志愿者到甲、

乙、丙、丁四个场馆进行服务.每名志愿者只能选择一个场馆，且允许多人选择同一个场馆，下列说法中正

确的有（）

A.所有可能的方法有34种

B.若场馆甲必须有志愿者去，则不同的安排方法有37种

C.若志愿者小明必须去场馆甲，则不同的安排方法有16种

D.若三名志愿者所选场馆各不相同，则不同的安排方法有24种

【答案】BCD

【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选

项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性.

【详解】对于A,所有可能的方法有43种，故A错误.

对于B,分三种情况：第一种：若有1名志愿者去场馆甲，则去场馆甲的志愿者情况为C；,

另外两名同学的安排方法有3x3=9种，此种情况共有C；x9=27种，

第二种：若有两名志愿者去场馆甲，则志愿者选派情况有《，另外一名志愿者的排法有3种，

此种情况共有C；x3=9种，

第三种情况，若三名志愿者都去场馆甲，此种情况唯一，

则共有27+9+1=37种安排方法，B正确.

对于C,若小明必去甲场馆，则小红，小兵两名志愿者各有4种安排，共有4x4=16种安排，C正确.

对于D,若三名志愿者所选场馆各不同，则共有A：=24种安排，D正确.

故选：BCD.

10.如图，在平行六面体ABC。-中，AB^AD=1,9=a，ZBA4,=ZDA^=45°,=60°,

贝IJ（）

B.何+必-入时

D.弥卜3

C.AC1.（AB1-AD）=O

【答案】CD

【分析】设">=4,4?="^=。，根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.

（详解】设AD=a,AB=b,AA^=c.

A:AD1—AD+DD[=a+c,B1B+BC=a—c9

所以A，//（48+gc）不成立，故A错误；

B：fT4JA+AjD|-=（-e+〃-Z?+2）=（4-b）=&?—,Z?+Z?=1,

又3A与2=3b=3,

所以（AA+AD-AB）?w3A3「，故B错误；

C:AC,=AB+BC+CCX=a+b+c^B^-AD=b-a,

所以AC1<44-^^）=（£+〃+工）=lx0cos45°-lx忘cos45°=0,故C正确；

D：|AG|=卜+匕+c|=++c）=yja2+b2+c2+2（ct'b+c'b+a'

=J4+2（1X1XL+1X0X走x2〕=3,故D正确.

NI22J

故选：CD

11.如图曲线E：可以看成是抛物线y=；/和y=-±尤2+5所围成示，点M,N在曲线£上，给定点A（0,a）,

则下列说法中正确的是（）

A.任意a«0,5),都存在点M,N,使得|A〃|=|AN|

B.任意ae(O,5),都存在点M,N,满足这对点关于点4对称

C.存在ae(O,5),当点跖N运动时，使得|AM|+|AN|<10

D.任意ae(0,5),恰有三对不同的点M,N,满足每对点M,N关于点A对称

【答案】ABC

【分析】根据抛物线的对称性可得选项A、B正确；取。=1,求两抛物线的焦点坐标和准线方程，根据抛

物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等可得选项C正确；取a=l,可在抛物线y=上找到一对

对称点，假设关于点A对称的两点分别在两抛物线上，通过计算得出不成立，选项D错误.

【详解】抛物线和>=-[/+5的对称轴都为y轴，因此封闭曲线E关于y轴对称，且抛物线

416

A.如图1,任意。40,5),点4(0,。)在y轴上，在曲线E上取关于y轴对称的两点M,N,则有|AM|=|AN|,

故A正确；

B.如图2,过点A作垂直于y轴的直线与曲线E的交点M,N关于点A对称，故B正确;

_12

y-j\x--A(x=4

C.由4得，或所以C(-4,4),D(4,4).

12Uy=4y=4

y=-----x+5B

[16

取。=1,即4(0,1),抛物线y=可化为尤2=打，焦点为A(0,l),准线方程为y=-l,

点在y尤2(owy<4)上运动时，o<5<4,

由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得，|儿碎=S+1«1,5].

抛物线y=-[炉+5可由抛物线>向上平移5个单位而得，

抛物线>可化为尤2=_i6y,焦点为(0,-4),准线方程为，=4,贝悯物线>=-々n2+5的焦点为

4(0,1),准线方程为y=9,

点M«,s)在y=-2v+5(44yW5)上运动时，4WsW5,

16

由抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等得，|恻=9-544,5],

因此当点M,N运动时，10阿V5,1<|W4|<5,恒有|川田+|4Vl<10,故C正确；

对于D,取。=1,即4(0,1),直线y=l与抛物线y=的两个交点关于点A对称，在此抛物线上关于点

A对称的两点只有一对，在抛物线y=-x2+5上不存在两点关于点A对称.

16

若关于点A对称的两点分别在y=和尸_±/+5上，不妨令加,,；/),则点“关于点A(O,I)对称

的点(-“,2-卜]在、=一葭2+5上，而方程2-L=_J“2+5,即最"2=-3无解，则此时不存在关于

<4J1641616

点A对称的两点分别在两条抛物线上，故D错误.

故选：ABC.

【点睛】思路点睛：本题考查抛物线定义及性质的应用，具体思路如下：

(1)由抛物线方程得封闭曲线E关于y轴对称，即可判断选项A、B正确.

(2)取。=1,分析两抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等

可得出|MA|的取值范围，计算出|AM|+|AN|<10,得出选项C正确.

(3)取。=1,可在抛物线y尤2上找到一对对称点，假设关于点A对称的两点分别在两抛物线上，设出

4

其中一点坐标，通过对称计算另一点坐标，经过计算得出不成立，选项D错误.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.圆/+寸-4%+4丫-12=0与圆/+丫2=4的公共弦长为.

【答案】2年

【分析】两圆方程作差并整理可得，公共弦所在的直线方程，再结合点到直线的距离公式，以及垂径定理,

即可求解.

【详解】圆光~+y-4x+4y-12=。与圆+>2=4,

两圆方程相减可得，x-y+2=0,即为公共弦所在的直线方程，

圆/+/=4,则圆心为(0,0),半径r=2,

I21I-

则圆心(0,0)到直线无一y+2=0的距离d=卜<2=<2,

5+(-1)2

故公共弦长为2“-d2=2,4-2=272.

故答案为：20.

13.如图是我国古代著名数学家杨辉在《详解九章算术》给出的一个用数排列起来的三角形阵，请通过观

察图象发现递推规律，并计算从第三行到第十五行中，每行的第三位数字的总和为.

杨辉三角

0行

1

1行

11

uJ2行

-t121

3行

1331

4行

14641

5行

15101051

6行

1615201561

7行

172135352171

8行

18285670562881

【答案】559

【分析】结合杨辉三角的性质及组合数的性质计算即可得.

【详解】第三行的第三位数字是C二第四行的第三位数字是C3

第五行的第三位数字是C；,L,第十五行的第三位数字是C；,

n\n\（n+l-m）n!+m-n!

由c：+c：T

—（m—l）!（n+l-m）!m!（n+l—m）!

5+1）!:C"

m!（n+l—m）!77+1

则c；+c；+c"-+c；5=c；+c；+c"+…+c；5-1=C；+C；+,+c；5-1

=C+C-…-「"=”小559.

故答案为：559.

22

14.己知尸是椭圆C:^+当的右焦点，A是。的右顶点，5是。的上顶点，月为。上一点且

a1b1

在第二象限，若OP//AB,tanNPFO=兴,则。的离心率为.

【答案】专

【分析】画出图形，由椭圆的性质和两直线平行得到OP方程，再代入椭圆方程求出点尸坐标，利用正切值

即椭圆的性质和离心率的定义求解即可;

【详解】

由题意可得A（a,o）,3（o,b）l（c,o）,

设尸（%,村,耳0,»0,由0「//钻可得直线。2方程为了=-工》,

代入椭圆方程可得/，解得工=一叵，

—r+-~^-=12

及、

所以尸b

7

于6⑪

由tan/PFO=^——=-,即2回=。+缶，

-----Q+C

2

又/二廿+才，联立解得《=£=逑=变，

〃42

所以C的离心率为正，

2

故答案为：当.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知A：=252C；.

⑴求〃的值;

（2）求尤2一2）展开式中V项的系数.

【答案】（1）10

105

（2）—

8

【分析】（1）利用排列数和组合数的性质求解即可.

（2）利用二项式定理求解指定项系数即可.

【详解】（1）因为A：=252C：,所以心7,

可得〃——52J-一厂―）,

化简得〃2_1山+10=0,解得〃=10（另一个根舍去），故〃的值为10.

（2）由上问得”=10,所以

由二项式定理得通项展开式为=，（4/严，（-；），=（T），.《严—吟,

2sjx2

令20-0=5,解得r=6,所以〃项的系数为萼.

22o

16.（15分）己知圆M的方程为/+;/-6尤-8>>+21=0,点P（3,〃。在圆M内.

（1）求实数优的取值范围;

⑵求过点。（1,0）且与圆M相切的直线/的方程.

【答案】⑴（2,6）；

⑵尤=1或3x-4y-3=0.

【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.

（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.

【详解】（1）圆M：（工一3）2+“-4）2=4的圆心加（3,4）,半径厂=2

由点P（3,〃。在圆M内，得（3-3『+（苗-4）2<4,解得2<相<6,

所以加的取值范围为（2,6）.

（2）显然点。在圆“外，圆〃的切线经过点。（1,0）,圆心加（3,4）到直线*=1的距离为2,

则直线X=1是过点。(1,0)的圆M的切线；

当切线的斜率存在时，设圆M的切线方程为y=k(x?l),

12左一4|33z

由=解得左=j切线方程为>=：(xT)，即3元-4y-3=0,

所以圆M的切线方程为x=l或3x-4y-3=O.

17.(15分)已知椭圆C:J+/=l(a>6>0)离心率为4，直线y=-x+1与椭圆C相交于A,8两点.

(1)若椭圆C的焦距为2相，求椭圆C的方程；

(2)若。4,08,求椭圆的长轴长.

【答案】⑴《+9=1；

4

(2)710.

【分析】(1)利用焦距、结合离心率求出。，6即得.

(2)由离心率可得。=»,联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求出b即可.

【详解】(1)由椭圆C的焦距为2/，得半焦距c=6，

由椭圆C的离心率为在，得。=2,则〃=/一,2=1,

2

所以椭圆C的方程为上+y2=l.

4

(2)由椭圆。的离心率为走，得1三1=立，则，=2"椭圆U/+4y2=4/,

2a2

由-2消去,得：5——8x+4—4/=0,A=64-80(1-Z?2)>0<^>/?2>|,

[x+4y=4b5

设AQi，%),5(%2，%)，则%+%=|•，玉工2=4,

由OA.LOB,^OA-OB=xix2+yiy2=x,x2)(1-x2)=2xLx2_(%+J;2)+1=0,

贝！|^i-§+i=o,解得62=1,符合题意，b=眄,a=2b=叵,

55842

所以椭圆C的长轴长为质.

JT

18.(17分)如图，等腰直角三角形ABC中，ZACB=~,。是AC中点，E、尸分别是以、BC边上的

动点，且£F〃AC,将秘跖沿所折起，将点B折至点P的位置，得到四棱锥尸-ACEE.

(1)求证：EF±PC；

2一

(2)若=二面角尸-印-C是直二面角，求平面PE尸与平面P4C夹角的余弦值；

TTTT

(3)当3c=2时，是否存在这样的点歹，使得二面角尸-EF-C为三，且直线PO与平面ACEE所成角为

若存在，求出C尸的长，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

⑵与

(3)存在，CF=也

3

【分析】(1)由折叠可证线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论.

(2)建立空间直角坐标系，表示各点坐标，计算平面法向量，利用公式计算平面夹角的余弦值.

(3)建立空间直角坐标系,设c/=f,利用“二面角尸-EF-C为三”表示点P坐标，根据线面角的向量公

式求CP的长.

【详解】(1)VACLBC,AC//EF,

：.EF1BC,即EF_LFC,EFLPF,

,；PFcFC=F,PF,FCu平面PFC,二Eb_L平面尸FC,

,/PCu平面PFC,：.EFrPC.

(2)I•二面角P-EF-C是直二面角，，平面尸平面EFC,

•.•平面PEF平面瓦C=砂，PF±EF,PFu平面PEF,二PF_L平面EPC,

如图，以FE,FC,小分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设AC=3,则bP=2,bC=l,P（0,0,2）,C（O,1,O）,E（2,0,0）,A（3,l,0）,

CP=(O,-l,2),C4=(3,0,0).

设平面PAC法向量为根=(x,%z),

m-CP=-y+2z=0、

<，令z=l,贝!|y=2,x=0故帆=z(0,2,1),

m-CA=3x=09

由题意得，平面P£F法向量为〃=（0」,0）,

设平面PEF与平面R4C的夹角为。，

则c°se=H^，小揣=高2君

分别以EE、忆所在直线分别为x轴、y轴，过尸作平面A3C的垂线为z轴，建立如图空间直角坐标系,

设C/=r,贝！］尸尸=2T,c(oj,o),A(2,r,0),0(1/0),

7T7T

由（1）得，二面角尸―EF-C的平面角为/PFC,即/尸FC=二，^ZPFz=~,

36

由题意得，平面ACFE的法向量为2=（。,。/）,

sin-=|cos,解得/当

4।

.•.存在点八CF/

19.（17分）已知动点M到丁轴的距离为a。为坐标原点，且|OM「=X+〃/，其中九〃均为常数，动点M

的轨迹称为（4〃）曲线.

⑴判断（3,-5）曲线为何种圆锥曲线.

（2）当4〃应满足什么条件时，（九〃）曲线为双曲线？

⑶设曲线C为曲线，斜率为左且左2/；）的直线/过曲线C的右焦点，且与C交于两个不同

的点.若点3关于x轴的对称点为。，试证明直线A