全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题（讲义）-2025年高考数学二轮复习（解析版）

专题13全面攻克几何体的外接球、内切球及棱切球相关难题

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03知识梳理•方法技巧............................................................3

04真题研析•精准预测............................................................4

05核心精讲•题型突破...........................................................13

题型一：正四面体外接球13

题型二：对棱相等的三棱锥外接球17

题型三：直棱柱外接球20

题型四：直棱锥外接球25

题型五：正棱锥与侧棱相等模型29

题型六：垂面模型35

题型七：二面角模型40

题型八：坐标法解决外接球问题45

题型九：多面体外接球50

题型十：锥体内切球55

重难点突破：棱切球61

差情;奏汨•日标旦祐

近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问题在小题

中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺利解答。从全国高

考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现在大题中。此部分是考试的

重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。

考点要求目标要求考题统计考情分析

2022年乙卷第12题，5分预测2025年高考中，

掌握求解方法，灵2022年II卷第7题，5分与球相关的组合体问题多

外接球

活运用。2022年I卷第8题，5分

以小题形式呈现，同时也

2021年甲卷第11题，5分

有可能融入解答题中，作

理解概念，熟练求为相对独立的部分。具体

内切球2020年HI卷第16题，5分

解。来说：

(1)这类问题可能会以选

择题或填空题的形式出

现，旨在考查学生的综合

理解概念，掌握应

棱切球2023年I卷第1题，5分推理能力。

用。

(2)锥体内切球与棱切球

问题将成为考查的热点。

（正四面体外接球）

（棱切球）/

（锥体内切球）一7^---------^―।对棱相等的三棱锥外接球

全面攻克几何7直棱柱外接球

多面体外接球鬻鬻普％

内切球及棱切

球相关难题直棱锥外接球

坐标法解决外接球--------------

正棱锥与侧棱相等模型

二面角模型

垂面模型

葡3

//知识梳理•方法技氐\\

1、补成长方体

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.

PA

(3)正四面体尸-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长。=如图3所示.

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

图1图2图3图4

1.(2023年高考全国乙卷数学(文)真题)已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，VABC是边长为3的

等边三角形，SAL平面ABC,则&4=.

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥S-ABC转化为正三棱柱SMN-ABC,

设VABC的外接圆圆心为。一半径为厂，

2r=______=-^―=2J3

则sinZACB是,可得r=JL

设三棱锥S-ASC的外接球球心为。，连接。则。A=2,0q=；&4,

因为042=00；+0.,即4=3+；SA）解得&4=2.

故答案为：2.

2.（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）在正方体ABC。-A瓦GR中，A8=4,。为AG的中点，若该正

方体的棱与球。的球面有公共点，则球0的半径的取值范围是

【答案】［2页,2我

【解析】设球的半径为R.

当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包

含正方体，导致球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径2R为体对角线长AC】=142+42+42=48,即2R=4A/IR=2A/^,故4ax=2百；

分别取侧棱相，明,”1,。"的中点K〃,G,N,显然四边形MZVG”是边长为4的正方形，且。为正方形

MM汨的对角线交点,

连接MG,则MG=4也，当球的一个大圆恰好是四边形MNG"的外接圆，球的半径达到最小，即R的最

小值为20.

综上，7?e[2V2,2A/3].

故答案为：[2&,2我

3.（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）在正方体中，E,尸分别为AB,GR的中点,

以跖为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

【答案】12

【解析】不妨设正方体棱长为2,班中点为。，取CO,CG中点G,M,侧面的中心为N,连接

FG,EG,OM,ON,MN,如图,

由题意可知，。为球心，在正方体中，EF=VFG2+EG2=722+22=272，

即R=&，

则球心。到CC]的距离为OM=yJON2+MN2=Vl2+12=应，

所以球。与棱CG相切，球面与棱CG只有1个交点，

同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点，

所以以所为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.

故答案为：12

4.（2022年新高考全国II卷数学真题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3代和4道，其顶

点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.IOOTIB.1287rC.144TTD.1927r

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径4,2，所以入=牝一,24=江-,即a=3,々=4,设球心

sin60sin60

到上下底面的距离分别为4,右，球的半径为R，所以4=收一9,d2=依-16，故同-囚=1或4+4=1，

即向一9一五―16卜1或+=解得4=25符合题意，所以球的表面积为

5=4兀尺2=100兀.

故选：A.

_____qq==

AT-____

5.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）己知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均

在球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

【答案】C

【解析】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形ABCD四边形ABCD所在小圆半径为r,

设四边形ABC。对角线夹角为。，

2

则S^BCD=-ACBDsina<-ACBD<--2r?.r=1r

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面A8CD面积最大值为2r2

又设四棱锥的高为4，则/=1，

当且仅当r2=2h2即"邛时等号成立.

故选:C

［方法二］:统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为「，贝"=受°,

2

所以该四棱锥的高

/222\3

12rv4：//4

V=-aA/I-------=—/------------(1-------)S--------------------------

3V23AV442313

(当且仅当g=1-弓，即/=:时，等号成立)

FZJ

其高人乓二

所以该四棱锥的体积最大时,

故选：C.［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为r,则厂=走”,

2

所以该四棱锥的高公卜手，v=g/巧手，令。2=，（0<『<2）,V=*_］，设〃。=/一则

0</<|,尸⑺>0,单调递增，1<r<2,单调递减，

所以当/=士时，丫最大，此时〃=、「^=走.

3V23

故选：C.

【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解；

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.

6.（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积

为36万，且3VH36，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

27812764

A.B.C.T?TD.[18,27]

【答案】C

【解析】•・•球的体积为36万，所以球的半径尺=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2a,高为h,

则I2=2a~+/i2,32=2a2+（3—h）2,

所以6〃=/，2a2=l2-h2

42

所以正四棱锥的体积V=w1S/2=1w><4a2x/z=2wx（/2-甚7）X/丁=讨If广I6

3333669136

i（J5

所以=X4/3--

916

当3W/42#时，r>0,当2n<”3若时，V'<0,

所以当/=2面时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为日,

2781

又/=3时，V=—,I=时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为2今7，

4

ryr-j4/

所以该正四棱锥体积的取值范围是—.

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

由方法一故所以V=g/〃=g（6〃一〃2“=；（12-2〃）〃x4,；x（12-2?+h+h=?（当且仅当〃=4取到），

当〃苧寸，得八辛,则%"卜％=；（¥）*=*

当/=3g时，球心在正四棱锥高线上，此时力=|+3=g,

今=空="=福，正四棱锥体积K=3%=g（嚓y4号若，故该正四棱锥体积的取值范围是目,争.

7.（2021年天津高考数学试题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32宁"，

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3万B.4TTC.9〃D.12〃

【答案】B

【解析】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点

设圆锥和圆锥8。的高之比为3:1,即">=33。，

设球的半径为R,则----=——，可得H=2,所以，AB=AD+BD=4BD=4,

33

所以，BD=T,AD=3,

CDLAB,则NG4D+ZAC£)=NBCD+ZAC。=90，所以，NCAD=NBCD,

又因为/ADC=/3Z)C,所以，AACD^ACBD,

crADCD,----------f-

所以‘——=--,CD=VAD-BD=A/3，

C/JDD

因此，这两个圆锥的体积之和为:万xCZ)2.(A£>+BD)=g»x3x4=4».

故选：B.

8.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知A,B,。是半径为1的球。的球面上的三个点，且

AC±BC,AC=BC=1,则三棱锥O—ABC的体积为（）

A.正B.在C.—D.在

121244

【答案】A

【解析】AC，BC,AC=BC=1,,ABC为等腰直角三角形，.[43=拒,

则V.夕卜接圆的半径为今又球的半径为1,

设。到平面A3C的距离为d,

=克,

则〃=

~~2,

诉“i/_1e,_11,.V2_V2

所以%.ABC=§S

故选：A.

9.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标H））已知AABC是面积为当8的等边三角形，且其顶

4

点都在球O的球面上.若球O的表面积为167，则O到平面ABC的距离为（）

A.V3B.-C.1D.在

22

【答案】C

设球。的半径为R,则4颁2=16万，解得：R=2.

设VA5C外接圆半径为「，边长为。，

由是面积为竽的等边三角形,

旦述，解得：［=3,"=2X卜_d=2XrI-6,

2243V43V4

•••球心。到平面ABC的距离d=依-/=4与=1.

故选：C.

10.（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I））已知ARC为球。的球面上的三个点，。。1为VABC

的外接圆，若。。1的面积为4兀，AB=BC=AC=OO,,则球。的表面积为（）

A.64兀B.48兀C.36TID.32兀

【答案】A

【解析】设圆。।半径为「，球的半径为R,依题意，

得万产=4e，r=2,VABC为等边三角形，

由正弦定理可得48=2七亩60。=26，

,OQj=AB=26，根据球的截面性质OOJ平面ABC,

OOt±&A,R=OA=JOO；+0.2=^OO2+ri=4,

，球0的表面积S=4TR2=64%.

故选：A

㈤5

孩心精说，题型突破

题型一：正四面体外接球

【典例1・1】已知正四面体A-5co的棱长为3,点E在棱AZ）上，且DE=1,若点A5,C,E都在球。的球

面上，则球。的表面积为（）

3

A.—7iB.2兀C.9兀D.12兀

2

【答案】D

【解析】如图，取BC的中点尸，连接。尸,4尸，在线段AF上取点G,使得AG=2GF,连接GB,GC,GE.

在△AZ）尸中，4。=3,4尸=。尸=*8.易知点3为等边丫/15。的中心，

2

所以G4=GB=GC=2AP=VL

3

易知GE〃DF,所以GE=|op=JL

所以G4=G3=GC=GE,点G即为球心。，球0的半径为百，

表面积为S=4兀=12兀.

故选：D.

【典例1-2】小张同学将一块棱长为友的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失）,

则该四面体外接球的体积为（）

A."兀B.2#无C.35/671D.9&n

【答案】C

【解析】设正四面体的棱长为。，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，

设正四面体如图，尸为为底面3C。的中心，E为C。的中点，F在BE上,

A

。为正四面体外接球的球心，则AF为四面体的高，。在AF上，

W\BE=^a,BF=鼠是a=^a,则A尸=/走二逅〃，

23233J3

即得修四面体g2Px冬=3=嗅方体=2后,所以“3=24,

又设正四面体外接球的半径R,

则052=0尸2+区尸2,即尺2=（半〃—R）2+（¥〃）2,即得尺二手〃，

故外接球体积为吗=±^-=事乎。=9义手义24=3面兀.

故选：C.

如图，设正四面体ABCD的的棱长为*将其放入正方体中，则正方体的棱长为包a,显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为尺=变a•走=迈。，即正四面体外接球半径为R=^a.

2244

【变式已知正四面体尸-ABC的外接球的体积为白兀'则该正四面体的棱长为（）

A.1B.73C.72D.新

【答案】C

【解析】设正四面体尸-ABC的外接球半径为R,则如汗=走兀，解得R=立,

322

将正四面体尸-ABC放入正方体中，设正方体的棱长为〃，如下图所示:

则岛=2氏=石，所以，a=l,故该正四面体的棱长为0a=夜.

故选：C.

【变式1-2】已知正四面体的各棱长均为3,各顶点均在同一球面上，则该球的表面积为

A.9TIB.1271C.—D.—

42

【答案】D

如图，DM是正四面体ABC。的高，。是外接球球心，设外接球半径为R,

・•,正四面体棱长为3,.•.AM=¥><3=6，DM=,一(6)j=痛，OM=巫一R,AOR,

由A02=32+0”得尺2=(可+(存R『,

、2

(3瓜27兀

解得R=S=4兀R?=4兀x

44J~2~

故选：D.

命题预测

1.正四面体ABC。的棱长为。，。是棱的中点，以。为球心的球面与平面38的交线和C。相切，则

球。的体积是（）

A.3万/B.兀a'C.^-7ra3D.^^7ra3

6663

【答案】D

【解析】设点A在平面BCD内的射影为点E,则E为△BCD的中心，

取CD的中点M,连接BM,则EeBM,取线段BE的中点尸，连接。尸，

因为0、歹分别为AB、3E的中点，则Of7/AE且。/=；AE,

因为AE_L平面BCD,则Ob_L平面BCD,因为3Eu平面38,则隹_LBE,

正△38的外接圆半径为'U:日."公而〜二当〃,

3

所以，OF==AE=^a,

26

易知球。被平面BCD所截的截面圆圆心为点尸，且BF=EF=EM,故FM=BE=Ba,

3

因为△BCD为等边三角形，M为CO的中点，则

因为以。为球心的球面与平面3。的交线和CD相切，则切点为点M,

则球0的半径为0M=y/OF2+FM2=—a,

2

因此，球。的体积是

323

故选：D.

题型二：对棱相等的三棱锥外接球

【典例2-11四面体尸-MC的一组对棱分别相等，且长度依次为2逐，而，5,则该四面体的外接球的

表面积为（）

29

A.—JiB.28万C.——%D.29万

46

【解析】:四面体尸-ABC的一组对棱分别相等，且长度依次为2如，岳,5,

，可将其补为一个三个面上对角线分别为2如，耳,5的长方体，如图所示：

,0

A

.•.长方体的三边长分别为2,3,4,

二长方体的夕卜接球即是四面体的外接球，，四面体的外接球的半径为白打+3?+4;叵

2

，四面体的外接球的表面积为：4万x（当=29%,

故选：D.

【典例2-2］在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等且依次为用，0T,5则此四面体ABCD的外接

球的半径尺为（）

A.5近B.5C.—D.4

2

【解析】四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，

故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为衣，同，5的长方体，

则其外接球的直径2R=Jg（34+41+25）=5&,

则一

故选：c.

四面体ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题.

b2+c2=m2222

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,》,c,贝,三式相加可得/+加+/="+〃一+厂,

2

a2+b2=t2

j-_2

【变式2-1］如图，在三棱锥尸一ABC中，PA=BC=m,PB=AC=2,尸C==6,则三棱锥尸一ABC

外接球的体积为（）

A.0兀B.曲乃C.屈兀D.6兀

【解析】由题意，PA=BC=6,PB^AC=2,PC=AB=y/5,将三棱锥P-ABC1放到长方体中,

可得长方体的三条对角线分别为班，2,&,

即yja1+b2=y/3,\Ja2+c2=2,A/C2+b2=y[5,

解得：a=1,b=V2,c="J3.

外接球的半径R='x"话17=迈.

22

4f—

：.三棱锥尸-ABC外接球的体积V=—万*=6.

3

故选：C.

【变式2-2】在三棱锥RLBC中，出=3C=4,PB=AC=5,PC=AB=J11,则三棱锥R4BC的外接球

的表面积为（）

A.26TTB.12万C.8万D.24万

【解析】.,三棱锥尸一ABC中，PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=y/11,

，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,5,7TT,

则长方体的对角线长等于三棱锥尸-ABC外接球的直径.

设长方体的棱长分别为x,y,z,则/+>2=16,y2+z2=25,x2+z2=11,

x2+y2+z2=26,

三棱锥P-ABC外接球的直径为底，

，三棱锥尸-ABC外接球的表面积为4万（学『=26".

故选：A.

命题预测）1

1.在四面体ABCD中，若AB=CD=6AC=BD=2,AD=BC=#,则四面体ABCD的外接球的表

面积为（）

A.2%B.4万C.6兀D.8万

【解析】解：如下图所示,

将四面体ABCD放在长方体。内，设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z,

则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R,

AB-=*+9=3

由勾股定理得AC2=*+Z2=4,

AD2=/+z2=5

上述三个等式全加得2(x2+y2+z2)=12,

所以，该四面体的外接球直径为2R=Jx?+<+z2=#,

因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4万R?=%xRR)?=6%,

故选：C.

题型三：直棱柱外接球

【典例3-1】将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的最小值为()

.32兀D28历n„20西T「256后

.D.---------------C•---------D•----------

37327

【答案】A

若将这2个直三棱柱合成1个高为4的直三棱柱,

则底面正三角形的外接圆半径厂=—--=△

2sin6003

所以其外接球的半径为/381+2?=迪；

t3J3

若将这2个直三棱柱合成1个高为2的直四棱柱,

则底面为边长为2,锐角为60。的菱形，

则底面菱形的外接圆半径r=2sin600=/，

所以其外接球的半径为J(V3)2+12=2＜手.

故该球体的体积的最小值为4三7rX23=罟.

故选：A.

【典例3-2】已知直三棱柱ABC-ABC1中，AB=AC=2,ZBAC=,c点到直线A片的距离为S'，则

三棱柱ABC与G的外接球表面积为()

A.12兀B.16TTC.20n.24兀

【答案】C

【解析】

Oi

过点c作CD，A用于点。，连接G。,

因为三棱柱ABC-ABG为直三棱柱,

.^.CG，平面44G，

又♦.A与U平面平旦G，

eq4用，

CCX,CDu,平面CG。，且CGCD=C,

.•.4耳，平面。。]。，

.CQu平面CG。,

A[B]1CXD,

27c

易知NB]AC[=ABAC=,A与=AG=A5=AC=2,

:.QD=s/3,BC=273,

:.CD=Jy+CA=dec；+3=不,

贝UCG=2,

设VABC外接圆圆心为O1,△4B|G外接圆圆心为02,

20A=———=4

则।./兀，BPOA=2,

sinZ——1

3

且三棱柱外接球球心。为。。中点，

则外接球半径R=OA=/。[42+]；00)=遂，

表面积为4成2=20兀，

故选：C.

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

图1图2图3

第一步：确定球心。的位置，。［是AABC的外心，则OQ_L平面ABC；

h

第二步：算出小圆。1的半径4。=r,OOX=^（&A=〃也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：OT=aT+ao2n4=（_|）2+/=尺=，/+（。）2,解出尺

2

【变式3-1】在直三棱柱ABC-A4G中，底面VABC满足AB=AC,ZBAC=jn,若三棱柱ABC-A4G

的体积为8后，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（）

A.48兀B.32TIC.16兀D.8兀

【答案】A

【解析】如下图所示：

圆柱。。2的底面圆直径为2r,母线长为心则002的中点。到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则。为圆

柱。。2的外接球球心.

本题中，将直三棱柱ABC-A瓦£放在圆柱002中，如下图所示:

2TV

设AB=AC=a,因为NBAC==TI,则ZABC=2,

36

_Cl_I_

2

则V4?C的外接圆直径为F,S.ABC=-AB-ACsin—=^a,

sin—^ABC234

6

设AA]=〃，则匕棱柱ASC-MG=S4ABC,〃=¥/〃=873,可得//z=32，

（27?）2=（2r）2+h2=4a2+/z2=—+h2,

h

令〃〃）=胃+公，其中”>o,贝IJ尸优）=2〃一号=2色3：64）,

拉/z2h1

当0</z<4时，尸㈤<0,此时，函数〃%）单调递减,

当/7>4时，r㈤>0,此时，函数/㈤单调递增,

1OQ

所以，/色口丁/卜六丁+16=48,gP4/?2>48,

故该三棱柱外接球的表面积S=4成2>487r,

故选：A.

【变式3・2】已知正六棱柱A5CD防一A由GAg耳的每个顶点都在球。的球面上，且筋=3,然=4,则

球O的表面积为（）

A.42兀B.48兀C.50KD.52K

【答案】D

【解析】因为AB=3,所以正六边形外接圆的半径厂=3,

所以球。的半径==屈，故球。的表面积为471&=52无.

故选：D

命题预测［

1.已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的表面积为（）

A.16TIB.207rC.8无D.5n

【答案】B

【解析】如图，设正六棱柱下底面的中心为。，其外接球的圆心为点0,

则OO'=1,△A3O'为等边三角形，

故AO'=2,即为其外接球的半径R,

所以R=AO=JaoQ+OO。=，2?+12=5

所以该正六棱柱的外接球的表面积为4M6『=20兀.

故选：B.

题型四：直棱锥外接球

【典例4」】已知三棱锥P-ABC中，24,平面A3C,ZABC=60,PA=AC=2,则此三棱锥外接球的

表面积为（）

A14兀°28兀-1八

A.-----B.-----C.10兀D.5兀

33

【答案】B

【解析】在VASC中，AC=2,ZABC=60,

_AC_2__2_

则VABC的外接圆的半径r~2sinZABC一、君一耳，

2x——

2

因为尸4,平面A3C,24=2,设此三棱锥外接球的半径为R，

则=|,

则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为4兀&=等.

故选：B.

【典例4-2】已知三棱锥P-ABC中，一上是边长为2的等边三角形，PC=2,AC=娓,BC=C，则三

棱锥PABC的外接球表面积为（）

C.必兀28

A.6兀B.IOTID.—兀

55

【答案】C

【解析】由已知A52+3C2=所以AB_L5C,

取AC中点。，则。是VA3C的外心，

又PA=PB=PC,所以尸点在底面ABC上的射影是VABC的外心，即为。，

所以尸平面ABC,因此外接球球心。在PD上，24c的外接圆就是球的大圆,

PD=^PC--CD-=^22-(^)2=浮，所以sin/PCD=^=乎，

2f}_AP2厂

'"sinZPCD-77w,。尸=名竺，这就是外接球的半径，

~T5

外接球表面积为S=4兀•。田=4人

故选：C.

如图，上4,平面ABC,求外接球半径.

解题步骤：

第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,则PD必

过球心O；

第二步：。1为AABC的外心，所以0。，平面ABC,算出小圆。的半径=r（三角形的外接圆直径

算法：利用正弦定理，得」L=―也=^=2r）,OOX=-PA-,

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①QR)2=尸4+(2r)2o2R=河+(24；

②a=/+0。；=R=商+0«2

【变式4-1】已知三棱锥P—ABC中，以，平面A8C,/CA3=2，PA=2,BC=2-，则此三棱锥外接球的

表面积为()

A.16TIB.20KC.24兀D.32兀

【答案】B

【解析】由题设，底面VA2C的外接圆半径，=.产C=2,

2sinZCAB

又申，平面ABC,且上4=2,则三棱锥的外接球半径7?=/产+(?)2=正，

所以外接球表面积为4兀改=20兀.

故选：B

【变式4-2】三棱锥尸-ABC的四个顶点均在同一球面上，其中PAL平面ABC,VABC是正三角形,

PA=2BC=4,则该球的表面积是()

.8兀n16兀c32兀

A.—B.——C.

333

【答案】D

【解析】取VABC的外接圆圆心为。，过点。作。底面A3C,

。为三棱锥P-ABC外接球球心，设该球半径为r,

由平面A5C,则。O//PA,连接。4、OP、AD,

由VABC是正三角形，BC=2,故AD=L立乂2=空,

323

由OA=OP=r,DOIIPA,则。£>=!丛=2,

2

故有厂

=CA=Jcz^+m=22+

2