2022北京中考数学二模分类《几何综合压轴题》含答案解析

2022北京中考数学二模分类一一几何综合压轴题

手拉手中点问题(附加2题)一线三垂猜证类等腰结论共计

6题倍长2题相似3题1题1题1题14题

一、手拉手共5小题

1.(2022密云二模27题)如图，在等边AABC中，点。在BA的延长线上，点P是边上的

一个动点(点P不与点8重合)，将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE,连接BE和

DE.

(1)依据题意，补全图形；

(2)比较乙BDE与Z.BPE的大小，并证明；

(3)用等式表示线段BE、BP与BD之间的数量关系，并证明.

BPBP

2.(2022丰台二模27题)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是中点，连接AZ).点M在

线段AD上(不与点A,D重合)，连接MB,点E在CA的延长线上且ME=MB,连接EB.

(1)比较与NAEM的大小，并证明；

(2)用等式表示线段AM,AB,AE之间的数量关系，并证明.

EE

「

BDcBDC

3.（2022西城二模27题）在/XABC中，AB=AC,过点C作射线CB',使^ACB'=^ACB（点

B'与点B在直线4C的异侧），点D是射线CB'上一个动点（不与点C重合），点E在线段

BC上，且/-DAE+/-ACD=90°.

（1）如图1,当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是,若BC=a,贝UCD

的长为；（用含a的式子表示）

（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接DE.

①用等式表示/-BAC与Z.DAE之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.

图1图2

图2图2

4.(2022大兴二模27题)如图，AC=AB,/CAB=NCDB=a,线段CD与AB相交于点O,以点A为中心,

将射线AD绕点A逆时针旋转a(0°<a<180°)交线段CD于点H,

(1)若a=60°,求证：CD=AD+BD

(2)请你直接用等式表示出线段CD,AD,BD之间的数量关系(用含a的式子表示)

5.(2022东城二模27题)如图，在△A5C中，，山

AP(9Q°a.^PACISQP2a),作点C关于直线AP的对称点。，连接At*分怫螳理般学点E.

(1)依题意补全图形；

(2)连接J*求证：-ACE/ABE；

(3)过点A作A/CE于点口，用等式表示线段8£,2石£。石之间的数量关系，并证明。

BB

6.（2022燕山二模27题）在R/AABC中，/ACB=9（r,CZ）是A8边的中线，DE_LBC于E,连结CD,点尸

在射线C2上（与B,C不重合）.

（1）如果乙4=30。

①如图1,DE与BE之间的数量关系是

②如图2,点尸在线段CB上，连结。尸，将线段。尸绕点。逆时针旋转60。，得到线段。F,连结BR补全

图2猜想CP、之间的数量关系，并证明你的结论.

（2）如图3,若点尸在线段CB的延长线上，且（0°<a<90°）,连结。P,将线段。尸绕点。逆

时针旋转2a得到线段。凡连结B凡请直接写出DE、BF、8尸三者的数量关系（不需证明）.

二、中点问题共5小题

附加1.（2020秋•朝阳区校级期中）已知AABC是等边三角形，点尸在8C的延长线上，以P为旋转中心,

将线段PC逆时针旋转"。（0<«<180）得线段P。，连接AP,BQ.

（1）如图1,若尸C=AC,画出w=60时的图形，直接写出2Q和AP的数量及位置关系；

（2）当”=120时，若点M为线段BQ的中点，连接判断MP和AP的数量关系，并证明.

图1备用图

附加2.(2021•通州区一模)已知点尸为线段上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60。，得到线段

AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°,得到线段8。；连接A。，取AO中点连接CM.

(1)如图1,当点尸在线段CM上时，求证：PM//BD；

(2)如图2,当点尸不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并证明.

图1图2

7.(2022顺义二模27题)如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,P,D为射线AB上两点(点D在点P

的左侧)，且PD=BC,连接CP,以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°(0<n<180)得线段PE.

(1)如图1,当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；

(2)当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM.

①在图2中依题意补全图形。

②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明。

图1图2

8.(2022朝阳二模27题)在正方形ABCD中，E为8C上一点，点〃在AB上，点N在。C上，且MNDE,

垂足为点F.

(1)如图1,当点N与点C重合时，求证：MNDE-,

(2)将图1中的向上平移，使得尸为OE的中点，此时MN与AC相交于点”，

①依题意补全图2；

②用等式表示线段之间的数量关系，并证明

二1

BEC网BE

图1图2图2

9.(2022房山二模27题)如图1,在四边形ABCD中，ZABC^ZBCD,过点A作AE//DC交BC边

于点E,过点E作EF//AB交CD边于点F,连接AF,过点C作CH//AF交AE于点H,连接BH。

(1)求证：AABH^AEAF；

BE

(2)如图2,若BH的延长线经过AF的中点M,求——的值。

图1图2

图2图2

10.(2022石景山二模27题)在AABC中，/ACB=90。,CA=CB,D是AB的中点，E为边AC上一动点

(不与点A,C重合〉，连接DE,将线段BA绕点B逆时针旋转90。得到线段BF,过点F作FHLDE于

H,交射线BC于点G.

(1)如图1,当AE<EC时，比较NADE与NBFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证

明：

(2)如图2,当AE>EC时，依题意补全图2,用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.

11.(2022门头沟二模27题)如图，在△ABC中，ZACB=90°,。是BC的中点，过点C作CE_L4D

交于点E,交A8于点R作点E关于直线AC的对称点G,连接AG和GC,过点8作8MLGC

交GC的延长线于点M.

(1)①根据题意，补全图形;

②比较/2b与N2CM的大小，并证明.

(2)过点8作8NLCP交B的延长线于点N,用等式表示线段AG,EN与8M的数量关系，并证

明.

三、一线三垂直共1小题

12.（2022海淀二模27题）已知AB=8C,ZABC=90°,直线/是过点B的一条动直线（不与直线AB,BC

重合），分别过点A,C作直线/的垂线，垂足为。，E.

（1）如图1,当45"ABD<90-时，

①求证：CEDEAD；

②连接AE,过点。作。于H,过点A作A尸〃交QH的延长线于点孔依题意补全图形，

用等式表示线段DFBE,的数量关系，并证明；

（2）在直线/运动的过程中，若。E的最大值为3,直接写出AB的长.

备用图

四、猜证类共1小题

13.（2022昌平二模27题）如图，已知NM0N=a（0°<a<90°）,0P是NM0N的平分线，点A是射线0M

上一点，点A关于0P对称点B在射线ON上，连接AB交0P于点C,过点A作0N的垂线，分别交OP,0N

于点D,E,作/OAE的平分线AQ,射线AQ与OP,0N分别交于点F,G.

（1）①依题意补全图形；

②求/BAE度数；（用含a的式子表示）

（2）写出一个a的值，使得对于射线0M上任意的点A总有0D=0AF（点A不与点。重合），并证明.

O

NON

四、等腰△结论共1小题

14.(2022平谷二模27题)

如图，在△48C中，乙BAC=90。，点D为BC边中点、,过点。作Z)E_L8c交4c于心

连接8E并延长使=连接FC,G为8c上一点，过G作C〃_L8/于点〃，作

GMLAC于点M.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：乙ABE=AFCE；

(3)判断线段〃G、GM、/C之间的数量

关系，并证明.

2022北京中考数学二模分类一一综合压轴题

手拉手中点问题(附加2题)一线三垂猜证类等腰结论共计

6题倍长2题相似3题1题1题1题14题

一、手拉手共5小题

L(2022密云二模27题)如图，在等边△ABC中，点。在BA的延长线上，点P是BC边上的

一个动点(点P不与点、B重合)，将线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE,连接BE和

DE.

(1)依据题意，补全图形；

⑵比较乙BDE与Z-BPE的大小，并证明；

(3)用等式表示线段BE、BP马BD之间的数量关系,并证明.

BPCBPC

【答案A】A

(1)

BpC

图1

(2)ZBDE=ZBPE

证明：:△ABC是等边三角形；./ABC=60

:线段PD绕点P逆时针旋转60°得到线段PE.\PE=PD.-.APDE是等边三角形

/.ZPED=60°ZABC=ZPED

设PE和BD交于0点在

△DOE和△BOP中

VZE0D=ZB0P

NBDE=NBPE

图2

(3)BD=BP+BE

法1：证明：如图3过点D作DH//AC交BC延长线于点H

.•.ZBDH=ZBAC=60°,ZH=ZACB=60°

ABDH是等边三角形，BD=BH=DH

APDE是等边三角形，ZEDP=60°,ED=PDZEDB=ZPDH

BED^HPD.*.BE=PH

•.,BH=BP+PH；.BD=BP+BE

图3

法2：如图4

思路：过点E作EG平行于BC交AB于点G,利用四点共圆或者相似可得可证NEBD=NEPD=600

，得三角形BGE是等边三角形，再证AGDE/ABPE,结论可得。

法3：如图5

图5

思路：过点P作PF平行于AC交AB于点F

可证APBEAPFD,结论可得.

法4：如图6

图6

思路：过点D作PF平行于BC交BE的延长线于点F

可证ADFEADBP,结论可得.

2.(2022丰台二模27题)如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=120°,。是BC中点，连接AD.点M在

线段A。

上(不与点A,D重合)，连接MB,点E在CA的延长线上且ME=MB,连接EB.

(1)比较NA8M与NAEM的大小，并证明；

(2)用等式表示线段AM,AB,AE之间的数量关系，并证明.

【答案】27.Q)【导角】

'：AB=AC,D是BC中点，

：.AD垂直平分BC,ZABC^ZACB

:点M在线段4。上

：.MB=MC

：.ZMBD=ZMCD

:./ABC-ZMBD=ZACB-ZMCD

即...................................2分

:•ME=MB

:.ME=MC

：.ZAEM=ZACM

：.ZABM=ZAEM..........................................................................3分

(2)法1：【截长补短+证明等边三角形+全等】

证明：延长AE至点R^AF=AB,连接

VZBAC=120°AZFAB=60°.,.△厂区4是等边三角形

：.AB^BF,ZFBA^6Q°

VZEAB+ZAEM+Z1=ZEMB+ZABM+Z2=180°,ZAEM=ZABM,Z1=Z2

/EAB=/EMB=60°/.ABEM是等边三角形

：.BE=BM,/EBM=60°/.ZFBA-ZEBA=ZEBM+ZEBA即

:.A.FEB咨LAMB：.FE^AM：.AB^AF=AE+EF^AE+AM

法2：【截长补短+构造等边三角形+全等】

在AB上截取一点AT,使得

'：AB=AC,ZBAC=12Q°,。是BC中点

ZEAB=/BAD=ZDAC=60°/.AAMM）是等边三角形

ZBM'M=NEAM=120°

又ZABM^ZAEM：.AEAMm/\BM'M:.AE=M'B

：.AB=AM,+BM,=AE+AM...............................................7分

3.（2022西城二模27题）在ZX/IBC中，AB=AC,过点C作射线CB',使Z-ACB'=^ACB（点

B'与点B在直线AC的异侧），点D是射线CB'上一个动点（不与点C重合），点E在线段

BC上，且^DAE+^ACD=90°.

（1）如图1,当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是，若BC=a,贝UCD的长为；

（用含a的式子表示）

（2）如图2,当点E与点C不重合时，连接DE.

①用等式表示/-BAC与Z.DAE之间的数量关系，并证明；

②用等式表示线段BE,CD,DE之间的数量关系，并证明.

图1图2

【答案】27.解：(1)AD±CBr-；...........................................................2分

f2

(2)®ZBAC=2ZDAE.

证明：TAB=AC,

・•・ZABC=ZACB.

：.ZBAC=180°-2ZACB.

VZDAE+ZA0)=90°,ZACD=ZACB9

：.ZDAE=90°-ZACD=90°~ZACB.

：.ZBAC=2ZDAE........................................................4分

®BE=CD+DE.

证明：作ND4尸二NZME,A尸交射线。夕于点R如图，

则ZEAF=ZDAE+ZDAF=2ZDAE.

■:/BAC=2NDAE,

：.ZBAC=ZEAF.

：.ZBAC-ZEAC=ZEAF-NEAC,

W?ZBAE=ZCAF.

VZABC=ZACB,ZACD=ZACB,

：.ZABE=ZACF.

9

：AB=ACf

：.AABE^AACF.

：.BE=CF,AE=AF.

9：AD=AD,

：.AAED^AAFD.

：.DE=DF.

：.CF=CD+DF=CD+DE.

：.BE=CD+DE............................................................7分

r

BEC

法L构造半角模型

证明：作/DAF=NDAE,AF交射线DB'于点F,如图，则/EAF=NDAE+NDAF=2/DAE.

VZBAC=2ZDAE,AZBAC=ZEAF.ZBAC-ZEAC=ZEAF-ZEAC,即NBAE=NCAF.

VZABC=ZACB,ZACD=ZACB,/.ZABE=ZACF.

VAB=AC,.•.△ABE^AACF.；.BE=CF,AE=AF.

VAD=AD,AAAED^AAFD.Z.DE=DF.\CF=CD+DF=CD+DE.

.*.BE=CD+DE.7分

法2:截长补短①

在BC上截取BM=CD,连接AM,再证明AABM丝zXACD

法3：截长补短②

任上截取CM二BE,连接AM,再证明△ABEgZ^ACM

4.（2022大兴二模27题）如图，AC=AB,/CAB=NCDB=a,线段CD与AB相交于点O,以点A为中心,

将射线AD绕点A逆时针旋转a（0。〈a〈180°）交线段CD于点H,

（1）若a=60°,求证：CD=AD+BD

（2）请你直接用等式表示出线段CD,AD,BD之间的数量关系（用含a的式子表示）

【答案】

(1)证明：由题意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=aAZDAH=ZCABZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,AZB=ZC.

:又AB=AC,/.AABD^AACH...............................................................3分

；.BD=CH,DA=AH.△ADH是等腰三角形.

VZDAH=ZCAB=a=60°,Z\ADH是等边三角形.，AD=HD.

VCD=HD+CH；.CD=AD+BD..............................................................5分

(3)证法(一)

证明：过A点作AM_LCD于M由题意知，ZDAH=a

VZCAB=ZCDB=a.\ZDAH=ZCABAZDAB=ZHAC.

VZAOC=ZBOD,.,.ZB=ZC.

•.•又AB=AC,/.AABD^AACH.ABD^H,DA=AH.ZkADH是等腰三角形.

制制制

VAM±CD.，.ZDAM=ZHAM=2-DM=HM=AD•sin-DH=2AD-sin-

凰】

VCD=HD+CHACD=2AD・sin-+BD.

2

证法（二）

E

在4ADB的外侧作/DAE=a,交BD的延长线于E,过点A作AN_LDE于N

：/CAB=NCDB=a=/DAE；.NEAB=NDAC

VZAOC=ZBOD,.\ZB=ZC.

:又AB=AC,.'.AABE^AACD；.BE=CD,AE=ADZXADE是等腰三角形.

剌割朝

VAN±DEAZ1=Z2=2-DN=EN=AD•sin-二DE=2AD•sin-

朝

VBE=DE+BD；.CD=2AD•sin-+BD.

5.（2022东城二模27题）如图，在ZVlBC中，幻，在△ABC的外侧作直线

AP（90aa-_PAC18OJ2a）,作点C关于直线AP的对称点。,翦乳D,BD,BD交直线AP于点E.

（1）依题意补全图形；

（2）连接求证：一ACE一ABE；

/IHIH卜

（3）过点A作于点，用等式表示线段3£,2E££）E之间的数量关系，并证明。

B

【答案】

解：Q）补全图形如图1：

(2)证明:如图2・・•点D与点C关于直线AP对称，

AD=AC,ED=EC

大Z\AJJE^△ACE

住和n

rh

,ADAC'

,DEEC

'EAEA

：./\ADE三△ACErADEZACE

图3

结论：DE=BE+2EF

证明：在CE上取一点G,使CG=BEo

在△ABE和△ACG中，

,ABAC

'.ABENACE

lBECG

Z^ABE=AACG..AE=AG

AFECEF=FGEC=BE+2EFDE=BE+2EF

法2：如图4：

图4

思路导航:

作AYBU于点N

证AA7VD二AA/C\ANB

得EF=EN

由于是等腰三角形，据三线合一得：DN=BN

可以转化：DE=DN+NE=BN+NE=BE+NE+NE=BE+2NE=BE+2EF,得证。

思路导航:

作AG8。于点G,在线段ED上作GK=GE,可证\AGK二\AGE,\AKDL\AEB

得DK=BE;再证GE=GF,可以转化：DE=DK+KG+GE=BE+KG+GE=BE+2EF,得证。

6.(2022燕山二模27题)在R/AABC中，/ACB=90。,。是A8边的中线，DELBC^E,连结CD,点尸

在射线C8上(与2,C不重合).

(1)如果乙4=30。

①如图1,OE与3E之间的数量关系是

②如图2,点P在线段CB上，连结。尸，将线段。尸绕点。逆时针旋转60。，得到线段。£连结BR补全

图2猜想CP、8尸之间的数量关系，并证明你的结论.

(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上，且NA=''(0°<a<90°),连结。P,将线段QP绕点。逆

时针旋转R得到线段连结B凡请直接写出DE、BF、8P三者的数量关系(不需证明).

(I)(DDE-fiBt

@Cp=Bf

证明：在除MBC中、

'：«二疗,CP为AB边中我

£C吟时

又,1阳二。。

,二局二工(:叩.

又WPF=DP

MOcp2(SAS)

,、、Cp=BF

MBF=〃£如好甲

证闲：如国任RtAA配中

yCD为AB边中找

CD=PA=PB

，、'/A=d

,\ZCP0=2O(

又IPEXBCPC=PB

C3-2CE,/卜必始“

«'1含=ionol/BE=PE-to>ol

I="DB

BPF

5?WDp=Pf

、'、B『=cp=CB+B产2B£+甲

上东二2见.如金+Bp

二、中点问题共5小题

附加1.（2020秋•朝阳区校级期中）已知AABC是等边三角形，点尸在8C的延长线上，以P为旋转中心,

将线段PC逆时针旋转/（0<//<180）得线段P。，连接AP,BQ.

（1）如图1,若尸C=AC,画出w=60时的图形，直接写出2Q和AP的数量及位置关系；

（2）当w=120时，若点M为线段8。的中点，连接判断和AP的数量关系，并证明.

图1备用图

【答案】解：（1）BQ=AP,BQ//AP,

如图1所示：

ZABC=ZACB=ZBAC=60°,AB=BC=AC,

又：PC=AC,

/E4C=ZAPC,

VZACB=ZPAC+ZAPC=60°,

：.ZPAC=ZAPC^3Q°,

.*.ZBAP=90°,

•..将线段PC逆时针旋转60°得线段P。，

：.PC=PQ,NCPQ=60°,

：.AB=AC^CP^PQ,NAPQ=90°,

：.ZBAP+ZAPQ^180°,

：.AB//PQ,

.••四边形ABQP是平行四边形，

：.BQ=AP,BQ//AP；

(2)AP=2MP,

理由如下：如图2,以CP为边作等边三角形CHP,连接8”,

ACHP和△CA4都是等边三角形，

：.CB=CA,CP=CH,ZACB=ZHCP=ZCPH=60°,

：.ZBCH=ZACP,

在△ACP和△BCH中，

(超鞅=噌鞅

N吧毁零=

/嘲鞅噢，

鞅果=鞅夔

AACP^AJBC//(SAS),

：.AP=BH,

:将线段PC逆时针旋转120°得线段P。，

:.CP=PQ,NCPQ=120°,

/CP。=180°,

.•.点X,点尸，点。三点共线，

"：BM=MQ,PQ=CP=HP,

:.BH=2MP,

：.AP=2MP.

附加2.(2021•通州区一模)已知点尸为线段上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60。，得到线段

AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°,得到线段8。；连接A。，取AO中点连接CM.

(1)如图1,当点尸在线段CM上时，求证：PM//BD；

(2)如图2,当点尸不在线段CM上，写出线段与CM的数量关系与位置关系，并证明.

图1图2

【解答】解：(1)有题意可得，ZCAP=6Q°,且AP=AC,

/.△APC是等边三角形，

ZAPC=60°,

：.ZBPM=6Q°,

又：々8。=120°,

/.ZBPM+ZPBD^180°,

：.PM//BD.

(2)猜想，CMLMB,CM=V3MB,理由如下：

如图，延长至点G,使得连接AG,BC,GC,PC,

"：AM=MD,GM=BM,

四边形AGCB是平行四边形,

J.AG^BD,AG//BD,

/.ZBAG=180°-ZABD=60°,

...NCAG=120°,

VAAPC是等边三角形，

J.AC^CP,ZCPB=120°,

•：PB=DB=AG,

:.△CAGmACPB(SAS),

CG=CB,ZAFC=ZPCB,

.\ZGCB=60°,

.,.△CBG是等边三角形，

"：GM=BM,

：.CM±BM,CM=V3MB.

7.（2022顺义二模27题）

如图，在^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P,D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且PD=BC,连接

CP,以P为中心，将线段PD逆时针旋转n°（0<n<180）得线段PE.

（1）如图1,当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；

（2）当n=135°时，M为线段AE的中点，连接PM.

①在图2中依题意补全图形。

②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明。

图I图2

【答案】

(1)n=45°

证明：：四边形ACPE是平行四边形.,.AC^PE.*.ZAPE=ZCAP

VZACB=90°,AC=BC.,.ZCAP=45°=ZAPE；.n=45°

(2)①如右图

CP=2PM..4分

分析：此题已知了M是AE的中点，求证的是CP和PM的关系。先观察度量就可以推断出是二倍关系，所

以方法一：倍长PM;方法二：作中位线。

证法(一)

证明：延长PM到点Q,使QM=PM.连接AQ,EQ...........5分

VM为线段AE的中点，.*.AM=EM.

又：QM=PM,四边形APEQ是平行四边形.；.PE=AQ,PE//AQ.

.•.ZQAP=180°-ZDPE=180°-135°=45°.

VZACB=90°,AC=BC,.<ZCAP=ZCBA=45°.ZCAP=ZQAP.....................6分

VAC=BC,PD=BC,PD=PE,.,.AC=AQ.ACAP^AQAP.

/.CP=QP=2PM..................................7分

此问也可以连接CQ,ZXACQ为等腰三角形，AP平分NCAQ,根据等腰三角形三线合一得AP垂直平分CQ,

于是CP=QP=2PM.

证法（二）

延长EP到N,使PN=EP,连接AN.

VM为线段AE的中点，；.AM=EM.；.PM〃AN,AN=2PM

VZACB=90o,AC=BC,/.ZCAP=ZCBA=45°.

：NDPE=a=135°；.NNPA=45°=/CAP

•.*PE=PD=CB=AC=PNAP=PA/.△ACP^APNA.\CP=AN=2PM

8.（2022朝阳二模27题）在正方形ABCD中，E为BCk一点,点M在42上，点V在DC上，BMNDE,

垂足为点尸.

、]，刈h],=iE、NRK、c里口”,小HL：jyjjy

DE；

（2）将图1中的MN向上平移，使得尸为。E的中点，此时MN与AC相交于点X,

①依题意补全图2；

②用等式表示线段MH,HEFN之间的数量关系，并证明

【答案】27.(1)证明：：四边形ABC。是正方形,

：.BC=CD,BBCD90............................................................................1分

/.MCBDCF90。，

■：MNDE,垂足为点尸，EDCDCF90MCBEDC

"MCB△fDC........................................................................2分

MCDE.......................................................................3分

即MNDE.

(2)①补全图形如图所示。..................................4分

②HFMHFN.......................................................................5分

法1：对角线的对称性

证明：如图，连接.

HDHE.6分'

,四边形ABC。是正方形，/.ACB-ACD.

,：CHCH,

CBCD.A°”Av.HBHDHBC.HDC.HBHE

A.HBEHEB.：.'HDCHEB.：."以""IGU’

/.DHEDCE180."""VU.；.HF壶.

2

由(1)知MNDE,：.HF1分：.HFMHFN.

法2：截长补短

在口上截取口=E,连接ZD、TE.7H与于0,做NFF_LZ8于％

由FT=FM,FE=FD,TNLDE,可知四边形7EMD为菱形,

:.TE=DN,TE//DN,

易证四边形4叼VD为矩形，AW=DN,

易证△0EC为等腰直角三角形，QE=EC,

易证>MW=EC,

：.AW=DN=TE,MW=EC=QE,

：.AM=TQ,

可证△⑷，

：.HM=HT，

，MH+FN=HT+FT=HF.

法3：利用角平分线构造全等

过点H做厘，BC于印,EG_LZ>C于G,

易证四边形RCG为正方形，

N侬G=90。，HW=HG,

又:：HE=HD、

4HWE沿4HGD'

'：4WHE=4GHD,

'：NWHE+ZEHG=90°,

-EHD=^EHG+£GHD=^EHG+NWHE=90°,

，4HDE为等腰直角三角形，

：.HF=FE=FD.

:.MH+FN=HF.

法4：倒角

AD

做MK工DC于K,交4c于G.连接尸C,

参考（1）易证△AC\Kg△DEC,

ZNMK=ZCDE,

△48。为等腰直角三角形，

•••易证△4MG为等腰直角三角形，

设乙EDC=NMMK=a,则/FCD=a,

•.•四边形-4BCZ）为正方形，

/.ZZ>C4=45°,

/.ZFC/f=45°-a,^.MHG=45°-a=£FHC,

：.AFCH="HC,

FH=FC,

，MH+FN=HF.

法5：构造一线三垂直模型

过点H做小JL8C于S,交40于T，

易证三角形4Hse为等腰直角三角形，

二.HS=SC,

易证四边形758为矩形，

TD=SC,

MN1DE,MN平分DE

：.HE=HD.

:.HS=TD,

4HSEW4DTH\HL）

'：ATHD=^SEH,

■:4SEH+LSHE=90°,

Z.THD+^SHE=90°,

：.^EHD=90°,△HDE为等腰直角三角形，

：.HF=FE=FD,

：.MH+FN=HF.

法6：利用斜边中线

连接尸C，

•；F为DE中点,ZDCE=90°,

FC=FE=FD,

设ZFDC=<z,则ZFCD=a,Z£FC=2a,

•••四边形488为正方形，

ADCA=45°,

ZFCH=45°-a,ZFHC=1SO°-ZFCH-ZHFC=180°-(45°-a)-(900+2a)=45°-a,

^FCH=AFHC,

,.FH=FC,

,.MH+FN=HF.

9.(2022房山二模27题)如图1,在四边形ABC。中，ZABC=ZBCD,过点A作AEHDC交BC边

于点E,过点E作EF//AB交CD边于点F,连接AF,过点C作CH//AF交AE于点H,连接BH。

(1)求证：AABH^AEAF；

BE

(2)如图2,若BH的延长线经过AF的中点M,求——的值。

EC

BE

图1

【答案】(1)【平行四边形性质+全等证明】

证明：:NABC=NBCD,AE//DC,EF//AB

：.ZABE=ZAEB,ZFEC=ZFCE,ZBAH=ZFEA：.AB=AE,FE=FC

又,：AF，四边形AHCT为平行四边形：.FE=FC=AH

：./\ABH^/\EAF.............................................3分

G

(2)【倍长中线+数量关系转化+相似比】

证明：延长EF,两延长线交于点G。

,?M为AR的中点AM=FM

又,：AB〃EF：.ZABM=ZFGM

'：ZAMB=ZFMG：.AABM^AFGM(AAS)：.AB=GM

又AB//EF：.AABHs丛EGH

'：XE//DC,EF//AB,CH//AF,ZABC=ZBCD

四边形AHCF为平行四边形，AABE和△REC为等腰三角形,

AZABE=ZFEC=ZAEB=ZFCE：.AABE^^FEC.............——

ECFE

设比值是a,则A"25a-。匕期FCFE,

HEAEAHAEFCaxFEFEa1.FE

EGEFGFa>FEFEa1>FE

.ABAHFEFE

•；LABHs△EGHa1-aa1

*EG~EHa1.FEa1<FE

a22a10解得：a12152舍基~

.BE_

.•沃V2.............................................7分

10.(2022石景山二模27题)在AABC中，/ACB=90。,CA=CB,D是AB的中点，E为边AC上一动点

(不与点A,C重合〉，连接DE,将线段BA绕点B逆时针旋转90。得到线段BF,过点F作FHLDE于

H,交射线BC于点G.

(1)如图1,当AE<EC时，比较NADE与NBFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证

明：

(2)如图2,当AE>EC时，依题意补全图2,用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系.

【答案】

方法一：在EC上截取EK=AE.连BK.

因为D为AB的中点，所以DE=俄，DE//BK,所以/ADE=NABK,所以NABK=/BFG.

2

由旋转知AB=FB,ZGBF=90°-ZABC=45°=ZA