平面向量与解三角-2025年高考数学复习易错题（原题版）

专题06平面向量与解三角形

目录

题型一：平面向量

易错点01对平面向量的基本概念理解不到位

易错点02忽略平面向量夹角的范围与方向性

易错点03忽略向量共线时的两种情况

易错点04错用平面向量的运算律

题型二：解三角形

易错点05解三角形时错判解的个数

易错点06忽略边角互化条件

易错点07忽略三角形中的隐含条件

题型一：平面向量

易错点01：对平面向量的基本概念理解不到位

易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二下•全国•课后作业）在下列结论中，其中正确的是（）

A.若向量五，石共线，则向量2,5所在的直线平行

B.若向量5所在的直线为异面直线，则向量苕，石一定不共面

C.若三个向量b,^两两共面，则向量，，b,1共面

D.已知空间的两个不共线向量1,b,对于空间的一个向量"，存在实数x,y,使得力=xa+y5,则

向量力与向量&,5共面

【答案】D

【分析】根据向量共线共面的判断，对选项逐一判断即可.

【详解】选项A,向量落5共线，则向量商而所在的直线平行或重合，故A错误；

选项B,根据空间向量的意义知，空间任意两个向量日石都共面，故B错误.

选项C,由于三个向量。，瓦0两两共面，但是。，方,1不一定共面，故C错误;

选项D,已知向量M，5｝是空间的一个基底，p=xa+yb,则向量扇尻万共面，D选项正确.

故选：D.

【易错剖析】

在解题时容易混淆向量平行与直线平行的不同而出错,另外也容易忽略零向量的特殊性.

【避错攻略】

1.向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量统称为向量，向量的大小叫作向量的模.

(2)零向量：长度为0的向量，记作0.

(3)单位向量：模等于1个单位长度的向量.

(4)共线向量：若两个非零向量a,5的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，规定:

零向量与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)交换律：

a~\~b=b~\~a；

加法求两个向量和的运算

厂…结合律：

(2)

三角形法则平行四边形法则

(a+m+c=a+S+c)

求。与力的相反向量一方7y

减法的和的运算叫做〃与万的a->=〃+(—b)

三角形法则

差

(DIM=|川同;(2)当2>0时,2a

2(//a)=(，/)〃；

求实数4与向量a的积的的方向与a的方向相同；当衣0

数乘(2+〃)〃=%。+〃a；

运算时，2a的方向与a的方向相反；

A(a+b)=Xa+Ab

当A=0时，/a=0

【解读】（1）利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点.

（2）当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用.

3.共线向量定理

向量a（aWO）与6共线的充要条件是：存在唯一一个实数九使8=加.

【解读】共线向量定理中规定“知原因：⑴当”=0时，若厚0,则不存在实数人使得》=猫，但此时

向量a与》共线；（2）当a=0时，若5=0,则对任意实数人都有》=茄，与有唯---个实数4矛盾.

因此限定存0的目的是保证实数力的存在性和唯一性.

易错提醒：（1）注意0与。的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它

们的模相等，但方向不一定相同；（3）零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向

不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性；（4）任一组平行向量都可以平移到同一直线上；（5）向量平行

与向量共线是完全相同的一个概念，指两个向量的方向相同或相反，亦即向量所在的直线可以平行，也可

以重合；但直线平行不包含直线重合的情况.

举一反三

1.（2024高三.北京.专题练习）给出下列命题：①任一非零向量都可以平行移动，零向量的长度为零，方向

是任意的；②若a,B都是单位向量，则1=方；③向量南与丽相等.其中正确命题的序号为（）

A.①B.③C.①③D.①②

2.（2024高三・全国・专题练习）下列命题错误的是（）

A.若£与否都是单位向量，则£=尻

B.“同=间”是的必要不充分条件.

C.若工B都为非零向量，则使，+方=°成立的条件是日与B反向共线.

D.若a=B,B=c,则£=

3.（23-24高一下.四川.期中）下列命题正确的是（）

A.若］与石都是单位向量，则商=5

B.方向为南偏西60。的向量与北偏东60。的向量是共线向量

C.若万与5是平行向量，则。=5

D.若用有向线段表示的向量丽与福不相等，则点M与N不重合

易错题通关

1.（2024高三・北京•专题练习）下列说法正确的是（）

A.长度相等的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度为零，方向是任意的

D.冠〃前就是通所在的直线平行于9所在的直线

2.（2024高三.全国・专题练习）已知非零向量Z与石共线，下列说法不正确的是（）

A.或a=—B

B.%与B平行

c.Z与B方向相同或相反

D.存在实数彳，使得£="

3.（23-24高三下•江苏扬州•阶段练习）下列命题中，正确的是（）

A.若同明,则2=万B.若问〉W，则£>3

C.若2=方，则Z//BD.y^allb,bllc,则a//c

4.设£是非零向量，力是非零实数,下列结论中正确的是（）

A.—与的方向相反B.J与储公的方向相同

C.卜司即|D.|-Aa|>|A|a

5.（2024高三.全国.专题练习）（多选）下列命题中错误的有（）

A.平行向量就是共线向量

B.相反向量就是方向相反的向量

c.Z与否同向，且问>瓦则2>行

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

6.（23-24高二上•安徽阜阳•阶段练习）（多选）给出下列命题，其中假命题为（）

A,向量荏的长度与向量丽的长度相等

B.向量£与B平行，则£与B的方向相同或相反

C.向+问=|正同与方方向相反

D.若非零向量Z与非零向量B的方向相同或相反，则2+B与Z,B之一的方向相同

7.（2024高三•江苏•专题练习）（多选）下列说法不正确的是（）

A.若。不,则々与B的方向相同或者相反

ab

B.若£,5为非零向量，且同=忖，则£与5共线

C.若Z//5,则存在唯一的实数2使得2=4

D.若录式是两个单位向量，且W，=1,则何+司=6

8.（多选）下列叙述中正确的是（）

A.若£//%//乙则薪

B.若£=方，贝U3Z>2B

c.已知非零向量Z与5且Z〃后，则Z与5的方向相同或相反

一a

D.对任一非零向量'是一个单位向量

9.（多选）下列说法错误的是（）

A.前〃也就是血所在的直线平行于前所在的直线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量的长度等于0

D.AB+CA+BC=6

易错点02:忽略平面向量夹角的范围与方向性

般易错陷阱与避错攻略

典例（23-24高三上.山东聊城•期末）已知向量£=（3f+l,2）,5=（l,r）,若£与石所成的角为钝角，则实数f

的取值范围：.

【答案】（-S,-DUIT，-：

【分析】Z与B所成的角为钝角即且£与B不平行，列式求解即可.

【详解】£与6所成的角为钝角即且Z与5不平行,

1

3,+1+2/<0t<——

即（3/+l）lw2n5

3r+1—2。0

所以才£（-8,T）u1—l,—g]

故答案为：（-8,-1）口1一1,一;

【易错剖析】

本题容易误认为2•石＜0是2与石夹角为钝角的充要条件而出错，因为当％不＜0时£与石夹角可能为万.

【避错攻略】

1.向量的模

（1）向量的大小叫向量的模.向量1=（%,%）的模为。=J片+才.

⑵若/1（占,%）,3优,%）,则向量彳豆的模卜J（.一々J+（%--

2.向量的夹角

（1）已知两个非零向量a,仪如图），O是平面上的任意一点，作芯="，Oh=b,则NAOB=6»（OW6»WTI）

叫做向量。与入的夹角.

（2）当9=0时，〃与方同向；当。=兀时，a与力反向.

（3）设Z=（%,%）石=,%）是两个非零向量，它们的夹角为°，则cos0=器（

Jx；+才也；；£

7T

3.垂直：如果a与6的夹角是了则称。与垂直，记作a，尻

易错提醒：（1）两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角（2）向量的夹角是指向量方向的夹

角；（3）向量的夹角范围是[0,»],这一点是与直线的夹角范围是不同的，要注意区分.

举一反三

1.（23-24高三下•湖南湘潭•阶段练习）已知向量@=（利+1,机），5=（2,-1）,若之与B所成的角为锐角，则实

数机的取值范围为.

2.（24-25高三上•北京顺义期中）设点A,B,C不共线，贝『'而与XT的夹角为锐角”是

荏+衣|＞|通的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高三上•湖南常德•阶段练习）如图，在边长为2的正三角形ABC中，。为8C的中点，AB=3AE,

贝IJ而•屈=（）

C

44

A.2B.-C.—2D.—

33

，易错题通关.

1.（23-24高三上.北京.开学考试）已知不共线的两个非零向量洒方，则“1+5与。-5所成角为钝角”是

“|菊＜出|”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（24-25高三上•河南安阳•期中）设非零向量。石的夹角为0,若同=1,问=2,则“，为钝角”是“归-5卜石”

的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（24-25高三上•山西大同•期中）已知向量二族满足2+办+"=0,同=2相=技且£与否的夹角为巳，则

cos（B,c）=（）

A2岳2而02屈n2屈

A.------D.R----C.----D.----------------

13131313

4.（24-25高三上•湖南•阶段练习）已知VA3C为单位圆。的内接正三角形，则加.起=（）

33

A.—B.—C.1D.—1

22

5.（2024.云南贵州二模）设向量商=（1,2）出=（加,1）,且卜+同=卜-.，贝卜”=—,&和5所成角为

6.（2024.四川绵阳.模拟预测）平面向量苕与方相互垂直,已知々=（6,-8）,|方|=5,且5与向量（1,0）的夹角

是钝角，则3=.

7.（24-25高三上•福建福州•期中）已知同=6,Z为单位向量，且1在8上的投影向量为-3后巨，则万与巨的

夹角为.

8.（24-25高三上•福建福州•阶段练习）已知商=。,2）,b=（x,-4）,若2与5的夹角是钝角，则实数x的取

值范围是.

易错点03：忽略向量共线时的两种情况

，易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高二上•安徽马鞍山•阶段练习）已知单位向量汗与向量万=（1,2）共线，则向量商的坐标

是.

【解析】根据与向量共线的单位向量的计算公式，即可求解.

【详解】由题意，单位向量乙与向量3=（1,2）共线，

则向量Z=±j=即向量。的坐标是（9,当）或（一手，一半）.

【易错剖析】共线向量的定义指出方向相同或相反的非零向量称为共线向量，并规定零向量与任意向量共

线，本题容易忽略方向相反的情况而造成漏解.

【避错攻略】

1.向量数乘的定义

规定实数4与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：Aa,它的长度与方向规定如

下：①|2a|=|R|a|；②当几>0时，4a的方向与。的方向相同；当4<0时，几@的方向与0的方向相

反.当4=0或a=0时，Aa=0.

2.向量共线（平行）定理

向量a（awO）与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数几，使方=①.

3.平面向量共线的坐标表示

（1）设。=（芯，%）,〃=（々，%）,其中8/0，。，入共线的充要条件是存在实数X,使。=劝.

（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是X1%-

易错提醒：处理平面向量的共线问题一般有两个思路：一是从几何的角度，二是从坐标的角度，这类问题

的求解过程有两类特殊情况需要特别注意，一种是向量为零向量的情况；二是要考虑向量方向相同或相反

的情况.

举一反三

1.（2025高三・全国・专题练习）己知向量乙石不共线，且C=2万+瓦彳=万+（24-1）5,若1与2反共线，则

实数力的值为（）

A.1B.—C.1或—D.—1或—

222

2.（24-25高二上.河南.阶段练习）已知直线4的方向向量为7=（左,1）,直线4的方向向量为Z=（2-左㈤,

若4〃4，贝壮=（）

A.-2B.1C.—2或1D.0或2

3.（24-25高一下•四川泸州•期中）（多选）与Z=（3,-4）共线的单位向量有（）

r34r34

C.b=（---）D./?=（--,——）

5555

■4易错题通关A

1.（24-25高三上•山东日照•阶段练习）已知向量口，石不共线，S.c=Aa+b，d=a+［2A+\）b,若。与徒同

向共线，则实数4的值为（）

A.1B.；

C.1或一］D.-1或g

2.（2024•全国•模拟预测）已知向量”（3,-1）,单位向量。与向量B==（2,1）同向共线，则向量在向量4方向

上的投影向量为（）

（3百石）（3&■石）（V23应、

A.「而,而JB.［而，-而JC.「于三J122J

3.（23-24高一下•全国•随堂练习）下列关于向量的描述正确的是（）

A.若向量B都是单位向量，则£=B

B.若向量G,B都是单位向量，则|Z1=1石1=1

C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共线

4.（24-25高一下•江苏连云港•阶段练习）已知向量荏=（2,2）,则与通共线且反向的单位向量为（）

C.库用或苫一用〉（2,2）

5.（24-25高一上•云南・期末）（多选）设九石是互相垂直的单位向量，AB=Aa+2b，AC=a+（A-l）b,

下列选项正确的是（）

A.若点C在线段A8上，则2=2

2

B.若AB1AC,则4=]

C.当4=1时，与通共线的单位向量是好Z+冬$3

55

1-2-

D.当4=—1时，£在衣上的投影向量为二〃-二人

6.（24-25高一上•上海•课前预习）设[、团是两个不平行的向量，则向量温=-1+左段（^GR）与向量

7=E-平行的充要条件是.

7.（24-25高一下•河南•期末）已知向量£=（2,2）,与万共线且方向相反的单位向量石=

8.（23-24高一下•广东佛山•期中）已知忖=3,忖=1,2与石的夹角为45。.

（1）求Z在后方向上的投影向量；

⑵求忖+2©的值;

⑶若向量（21砌与（篇-3石）平行且方向相同，求实数九

易错点04：错用平面向量的运算律

易错陷阱与避错攻略

1111一

典例（24-25高二上•山东青岛•期中）已知。的=人若，下列关系一定正确的是（）

A./?=0B.Q=CC.（a—c）_LZ?D.（a—c）//b

【答案】C

解析】由已知“助=人④，所以〃•/?—/?♦c=0,即/?•(〃—。)=0,所以(Q—C)故选C.

【易错剖析】本题容易混淆了向量数量积与实数的积的概念而出错，如由高，两边同除以B，所

以〃二。・

【避错攻略】

1.向量数量积的性质

设B都是非零向量，工是单位向量，。为［与B(或3)的夹角.则

(1)a-e=e-a=；

(2)〃_LB=Q%=0；

(3)当〃与B同向时，〃3=„卜当Q与B反向时，=-忖W；

特别地，〃・〃二口或H=；

/、八a-b

(4)cos0-p||Tj；

耶

(5),张耶|

2.向量数量积的运算律

(1)a-b=b-a；

(2)(.〃)./?=((〃./?)=a.(4?/4为实数);

(3)^a+b^'c=a'C+b-c\

(4)常用公式

―►—►\/—►—►\—»2-*2/—♦->\2-*2-*-►->2/—>->\2->2-►-►/

(a+by\a-b\=a-b\a+b\=a+2a-b+b\a-b\=a-2a-b+b

易错提醒：(1)在实数中：若awO,且必=0,则人=0,但在向量的数量积中，若且7B=0,

不能推出5=0.

(2)已知实数。，反W0),且ab=bc,则。=c,但在向量的数量积中没有£・石二石•"=£•2・

(3)在实数中有(a/)-c=a-(6c),但是在向量数量积中(7抄号7仅①，这是因为左边是

与2共线的向量，而右边是与£共线的向量.

举一反三

1.（24-25高三•河北石家庄期末）已知3,反工均为非零向量，则下列结论中正确的有（）

A.若—〃.c=0,则B=c

B.^\a-c\=\b-c\则£=3

C.若|a|〉|B|,则（a+石）•（a—石）＞0

D.若2|a|=|B|=2,a-b=O，且|a+B—2cl=1,贝ij|c|的最大值与最小值之和为上

2.（2025全国高三第一次模拟）已知。瓦亍为非零平面向量，则下列说法正确的有（）

A.=0B.a//bR,b=Aa

c.若=则方=5D.（a.B）々=a.（B©

3.（2025,全国•高三课时练习）已知平面向量a=（1,3）,*2,且（_同=由,则（21+5）•（万-5）=（）

A.1B.14C.而D.710

易错题通关.

1.（2025高三•全国・专题练习）设九B为非零向量：2,〃eR,则下列命题为真命题的是（）

A.若7（£-@=0,贝|J£=B

B.若［=」£,则忖+忖=忖+耳

C.若+=贝!|丸=〃=0

D.若问＞.,则仅+叶（£一石）＞0

2.（24-25高三上•安徽合肥•阶段练习）下列叙述中正确的个数是：（）

①若一b,2为平面向量，则（无5斤=万（5©；

②向量,可不-（万⑹5与2垂直；

③%=（-3,m），5=（4,3）,若Z与B的夹角是钝角，则实数机的取值范围是加＜4

b

④.记闾=仁则向量Z在向量5上的投影向量为伍心”

A.0B.1C.2D.3

3.（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）若向量璃5满足忖=1,（a+b^Lb,（^a+2b）1af则同=（）

A.72B.73C.2D.3

4.（24-25高三上•山西太原•期中）（多选）已知非零向量£,瓦£,则下列结论正确的是（）

A.若〃（几c）=6,则6_12

B.若（。+石）_L（。一石）,则|〃|二|B|

C.向量可.杨c-（a.c）5与向量£垂直

D.若Q.C=B.C，则〃=石

题型二：解三角形

易错点05:解三角形时错判解的个数

叁易错陷阱与避错攻略

典例（24-25高三上•山东济宁•阶段练习）在三角形ABC中，a=2,A==,6=26，则/C=（）

6

71

A.—c殳或四D

6-I6^2洌

【答案】C

【分析】由正弦定理求得B,即可求解.

2273

ab

【详解】由可得：1sinB,

sinAsinB

2

所以sin5=,又b>a,

2

所以8=日或?，

33

结合内角和定理，所以/c=m或g,

62

故选：C

【易错剖析】

己知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，容易忽略对解的个数的讨论而出错.

【避错攻略】

在△ABC中，已知mb和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

C

-....Ac

X

图形

AB\BA......B八'B

AB

bsinA<a<ba>b

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

由上表可以得出：已知两边一对角:

「大角求小角一解（锐）

‘两解一sinA<K一锐角、一钝角）

小角求大角一,一解一sinA=l（直角）

无解—sinA>l

易错提醒：两边和其中一边的对角，求其它的边和角时，由于正弦函数在在区间（0,〃）内不单调，此时三

角形解的情况可能是无解、一解、两解，此时可通过大边对大角进行分析，也通过几何法来判断三角形解

的个数。

举一反三

1.（24-25高二上•河南洛阳•期末）在VABC中，已知A=60°，a=26,b=2,则3=（）

A.30°或150°B.60°C.30°D.60°或120°

2.（24-25高二上•山西晋城■阶段练习）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若“=

b=2非,C=g,则角B的大小为（）

71—兀—兀一lx兀_7T

A.-B.-C.一或一D.一

62634

3.（24-25高三下•江苏扬州•开学考试）在VABC中，内角A、B、C的对边分别为b、c,根据下列条

件解三角形，其中有两个解的是（）

A.a=8,b=W,A=45°B.a=6O,Z?=81,B=60°

C.a=7,b=5,4=80°D.a=14,b=20,A=45°

>易错题通关.

1.在AASC中，B=300,b=2,c=2&，则角A的大小为（）

A.45°B.135°或45°C.15°D.105°或15°

jr

2.（24-25高二上•重庆・开学考试）若满足ZABC=：,AC=6,BC=左的VABC恰有一个，则实数上的取值范

4

围是（）

A.（0,6]B.（0,6]U{6夜}C.[6,6近]D.（6,60）

3.（24-25高三上•江苏淮安•期中）在外接圆半径为4的VABC中，ZABC=30°,若符合上述条件的三角形

有两个，则边48的长可能为（）

A.2B.3C.4D.5

4.在44SC中，AC=1,ZACB=y,延长班到点。，使得4。=后，ZADC=^,则AB的长为____.

46

5.已知AABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若4=2,A=y,且，-sin（B-C）=sin25,

则AABC面积为.

易错点06:忽略边角互化条件

易错陷阱与避错攻略

典例在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知7〃cosB=b（c—7cosA）.

⑴求h;

IT

（2）。为边A3上一点，AD=2DB=2BC,ZBDC=~,求AASC的面积.

【答案】⑴人=7

4

【分析】（1）通过正弦定理将7acosB=Nc-7cosA）中的边化为角，可求出b的值；

（2）由题可知ABDC为等边三角形，|CD|=a,在△ADC中运用余弦定理可求出。的值，进而求得AABC

的面积.

【详解】（1）V7ocosS=Z?（c-7cosA）,由正弦定理得：7sinAcosS=sinB（c-7cosA）,

7sinAcosB+7sinBcosA=csinB,即7sin（A+jB）=Z?sinC=7sinC,

则6=7.

（2）由题可知&BDC为等边三角形，则|CD|=。，ZADC=y,

\-\AD\=2a,在八40。中，由余弦定理可得：

|AC|2-1AD|2+1£>C|2-21A£)|■|DC|■cosZADC,

2元

即49=(2a)2+q2-2.2Qa-cos3-,解得a=J7,

AABC的面积为,xJZX3A/7xsin4=处叵.

234

【易错剖析】

本题在对题设条件的应用过程中容易错用正弦定理进行边角转化，将7ocosB=6(c-7cosA)化为

7sinAcosB=sinB(sinC-7cosA)而出错.

【避错攻略】

1.正弦定理

在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为外接圆半径

4」=J2R

sinAsinBsinC

2.正弦定理的变形

①asin5=Z?sinA；Z?sinC=csinB；asinC=csinA；

②sinA:sin5:sinC=a:b:c

abca+b+ca+ba+cb+c

(3)-----=-----=------=--------------------=-------------=-------------=-------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

®<2=27?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC(可实现边到角的转化)

cihc

⑤sinA=——,sin3=——,sinC=——(可实现角到边的转化)

2R2R2R

3.正弦定理的应用

①边化角，角化边oa::c=sinA:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边a>bA>Bsin6ocosAvcos3

a+b+ca+bb+ca+cabc

③合分比:———————

sinA+sinB+sinCsinA+sinBsin5+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

易错提醒:若等式中每一项的边或者三角的正弦(特指sinAsinB,sinC)的个数相同，可以考虑直接改成对

应角的正弦或者对应角的边，否则就得利用2火进行等量代换.

举一反三

1.(2025高三•全国・专题练习)已知VABC的内角A,5,C所对的边分别为a,6,c,若

（c-〃）sinA=csinC-戾inB,Z?=3,则AC边上中线长度的最大值为（）

A3&口4指03后n40

2323

2.（23-24高一下•江苏盐城•期中）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos3+6cosA=a,

则△ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

3.（23-24高一下•广西南宁・期末）已知VABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,点。是A3的中

点.若a+1=ccosB且AC=1,CD=—,则AB=______.

22

易错题通关

1.（2024.四川成都.模拟预测）已知VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且产=产'

b+csinA+sinC

贝UA=（）.

JCJC2兀5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

2.（2024・陕西.模拟预测）在VABC中，角A,8,C所对的边分别为a,6,c,c（sinA-sinC）=（o-/?）（sinA+sinB）,

若VABC的面积为石，周长为36,则AC边上的高为（）

4

、BB.且C.6D.273

32

3.（2024•全国•二模）在AA8C中，内角A,8,C所对的边分别为a,6,c,2acosA=bcosC+ccosB,且a=4sinA,

则△ABC周长的最大值为（）

A.472B.642C.4A/3D.6y/3

4.（24-25高三上•广东东莞•阶段练习）在VABC中，sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C,且AB边上的中

线长为2,则VABC面积的最大值为.

5.（2024・山东•模拟预测）VABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若6=2asin3,bc=4,贝UVABC

的面积为.

6.（2024.陕西西安・模拟预测）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且〃="，

"cos3=（3c-b）cosA,则YABC面积的最大值为.

7.（2025高三•全国•专题练习）在VABC中，内角A,3,C所对的边分别为a,6,c,2b=a（2cosC-cosB）-bcosA.

⑴求A；

（2）若VABC的面积为4石，。为AC的中点，当80取得最小值时，求3C的长.

易错点07：忽略三角形中的隐含条件

易错陷阱与避错攻略

2f+b

典例（2025高三•全国•期末）设锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=2A,贝汁上^的

a

取值范围是.

【答案】（2五+1,2月+2）

【分析】根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角A的函数关系，再求A的

取值范围，根据函数值域即可求得结果.

【详解】因为C=2A,贝!JsinC=sin2A=2sinAcosA,cosC=cos2A=2cos2A—1,

又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,

故由正弦定理可得：

2c+bsinB+2sinCsinAcosC+cosAsinC+4sinAcosA-cosAsinC

-------=------------------=------------------------------------------------=4AcosA4+cosCH----------------

asinAsinAsinA

=4cosA+2cos2A-1+2cos2A

=4cos2A+4cosA-l,

又MBC为锐角三角形，故可得A£（0弓）,C=2A£（0个）,5=兀—3A£（0微），

解得Aw（弓,：）,则COSAE告），

由于V=4cos2A+4cosA-l=4（cosA+g1-2,在cosA£上单调递增，

当cosA=y=1+2\[2,当cosA=,y=2+2A/3,

22

故4cos2A+4cosA-1£（272+1,2石+2）,

即处主s（2应+1,2百+2）.

a

故答案为：（2夜+1,20+2）.

【易错剖析】

本题在求解过程中容易忽略条件中三角形是锐角三角形这一限制条件，以致求错A的取值范围而出错.

【避错攻略】

l.AABC内角和定理：A+B+C=7T

①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+Z?cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②—cosC=cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB；

tanA।tanZ?

③斜三角形中，一tanC=tan(A+5)=-------------------*»tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA-tanB

④sin(*)=cosC；cos(j)=sinC

2222

⑤在AA5c中，内角AB,C成等差数列=B=：,A+C=,

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB

3.中线、角分线

(1)中线:

在A45C中,设。是的中点角A,5,C所对的边分别为“，b,c

①向量形式:2AD=AB+AC

---；(Jb2+c2+2/?ccosA)

结论：AD

②角形式:

ZADB+ZADC=%=>cosZADB+cosZADC=0

在"中有：c某燎5-

122

升A4n心尾七DA+DC-AC

在AADC中有：cosZADC=----------------