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文档简介

第三章排列、组合与二项式定理章末题型大总结

01知识导图

知识网络

合概念:一般地,从《个不同对象中取出m(mww)个对象并成

一组,称为从《个不同对象中取出机个对象的一个组合

cm_A":…[”一(加-1)]_〃!

组合数公式:"

项"-mx(m-\)x•••x2x1-

题型总结

两个计数原理的应用分组分配问题

求二项展开式的特定项

三项式展开问题

二项式系数与系数最值问题

二项式系数和问题

整除和余数问题

杨辉三角及应用

02

题型01两个计数原理的应用

解题锦囊

1.使用两个计数原理解决问题的思路

(1)选择使用两个计数原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式,确定是分类还是分步,要抓住两个

原理的本质.

(2)分类加法计数原理的关键是“类”,分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准

下进行分类;其次分类时要注意,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是

不同的方法.

(3)分步乘法计数原理的关键是“步”,分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次,分步时还要注意

满足完成一件事必须并且只有连续完成这几个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计

数原理.

2.使用两个原理解决问题时应注意的问题

对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理,又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图

或列出表格,使问题更加直观、

清晰.

【典例1](24-25高三上•广东汕头•期中)一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c.三位

数中,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为"有缘数"(如213,134等)若a,b,ce{1,2,3,4,5},

且a,b,c互不相同,则这个三位数为"有缘数"共个.

【变式1](23-24高二下•陕西西安•期中)5名同学分别从4个景点中选择一处游览,不同选法的种数为()

A.9B.20C.54D.45

【变式2](24-25高二下•全国•课后作业)从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重

复数字的"五位凹数1出的必"(满足1>%>%<%<%),则这样的“五位凹数"的个数为()

A.126个B.112个C.98个D.84个

【变式3】(24-25高二下•全国•课后作业)汽车制造的专业化流程是:设计效果图玲制作油泥模型好生产样

车玲对样车检验玲投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院,A市有

2个能制作油泥模型的制作中心,8市有6个能生产样车的生产车间,C市有1处能对样车检验的检验中心,

A市、8市、C市、。市、E市分别有8,8,6,3,2家能实际投入生产的生产厂家,从设计到实际生产,

有种选择方法.

【变式4](24-25高三上•广东•阶段练习)小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶

进行购买,若每种饮料至多买一瓶,则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.(用

数字作答)

题型02排列、组合数的计算问题

lf====================================

II解题锦囊

应用排列、组合数公式时应注意的三个方面

II

II(1)准确展开.应用排列数、组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确;

(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算;

II

(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算

11的速度和准确性.

【典例2](23-24高二下•贵州遵义•期中)(多选)下列选项中正确的有()

A.

6

B.A;;-A;=81A;

C.湍=4950

D.C;+C:+C;+C;+C;+C;+C;+C:o=164

【变式1】(23-24高二下•山东枣庄.期中)下列公式错误的是()

wT

A,A"=(n-m)!D=_____—_____c./y+cjrD.窜

•n

【变式2](23-24高二下•云南•期中)(1)求C;+6C;+2C;+5c+3C;+4C;+7C;的值;

(2)若等式〃C:+A:=4C"不成立,求正整数〃的值.

【变式3】(23-24高二下.广东清远•期中)不等式A;<6A/的解集为.

题型03队列排序问题

I解题锦囊||

1、解有“相邻元素”的排列问题的方法

1II

对于某些元素必须相邻的排列,通常采用“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与||

!排列,再考虑这个整体内部各元素间的顺序。11

1II

I2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法|

对于某些元素不相邻的排列,通常采用“插空法”,即先排不受限制的元素,使每两个元素之间形成“空”,”

1II

I然后将不相邻的元素进行“插空”。||

3、解有限制元素(位置)的排列问题的方法II

解有限制元素或特殊位置的排列问题,一般先安排特殊元素或特殊位置,再考虑其他元素或位置,当।

1以元素为主或以位置为主。II

|4、定序问题

定序通常指在排列组合问题中,某些元素的顺序是固定的,而其他元素则可以自由排列。解决这类问II

!题的基本方法是使用“除法”原则,即将所有元素一起排列,然后除以那些顺序固定元素的全排列数。

.____4

角度1限制元素问题

【典例3](23-24高二下•江苏南通・期中)学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序,学生的节目

有6个,教师的节目有2个,如果教师的节目既不排在第一个,也不排在最后一个,那么不同的排法数为

()

A.A;B.A:A;C.D.

【变式11(23-24高二下•四川遂宁•阶段练习)北京时间2023年10月26日19时34分,神舟十六号航天

员乘组(景海鹏,杜海潮,朱杨柱3人)顺利打开"家门",欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组(汤洪波,

唐胜杰,江新林3人)人驻“天宫随后,两个航天员乘组拍下“全家福”,共同向全国人民报平安.若这6

名航天员站成一排合影留念,唐胜杰与江新林相邻,景海鹏不站最左边,汤洪波不站最右边,则不同的排

法有()

A.144种B.204种C.1580种D.240种

【变式2】(23-24高二下•北京丰台•期末)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛,决出了第1

名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说:"你不是最差的."对乙说:"很遗

憾,你和甲都没有得到冠军."对丙说:"你不是第2名."从这三个回答分析,5名同学可能的名次排列情

况种数为()

A.44B.46C.52D.54

【变式3】(23-24高二下•山东济宁•期中)某中学元旦晚会共由7个节目组成,演出顺序有如下要求:

节目甲必须排在乙的前面,丙不能排在最后一位,该晚会节目演出顺序的编排方案共有种.(用

数字作答)

角度2相邻与不相邻问题

【典例4](23-24高二下•广西柳州•期中)某中学运动会期间,甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站

成一排拍照留念,其中甲和乙相邻,甲和丙不相邻,则不同的排列方式共有()

A.180种B.190种C.192种D.240种

【变式1】(23-24高二下•浙江•期中)东阳市一米阳光公益组织主要进行"敬老"和"助学”两项公益项目,某

周六,组织了七名大学生开展了"筑梦前行,阳光助学”活动后,大家合影留念,其中米一同学想与佳艳、刘

西排一起,且要排在她们中间,则全部排法有()种.

A.120B.240C.480D.720

【变式2](23-24高二下•云南大理•期中)在学校组织的一次活动结束后,3名男生和2名女生站成一排

照相留念,其中2名女生不相邻,则不同的站法有()

A.120种B.72种C.48种D.24种

【变式3】(23-24高二下•江苏泰州•阶段练习)象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏,具有深远的意义和

价值.它具有红黑两种阵营,将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子,现将3个红色的"将""车""马"棋子与2个

黑色的"将""车"棋子排成一列,则下列说法不正确的是()

A.共有120种排列方式

B.若两个"将"相邻,则有24种排列方式

C.若两个"将"不相邻,则有72种排列方式

D.若同色棋子不相邻,则有12种排列方式

角度3定序问题

【典例5】7人站成一排.

(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻),则有多少种不同的排列方法?

(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻),则有多少不同的排列方法?

【变式1】(23-24高二下.湖北•期中)14名同学合影,站成前排5人后排9人,现摄影师要从后排9

人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()

A.C;A;B.C;A;C.D.C:A;

【变式2】某4位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,如果保持原来4位同学的相对顺

序不变,则不同的加入方法种数为()

A.10B.20C.24D.30

题型04数字排列问题

II解题锦囊1

;数字排列问题的常见类型及解决原则:

II(1)常见的数字排列问题:①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”;②在某一定范围内的数的II

1问题;③各位数字和为某一定值问题;④各位数字之间满足某种关系问题等.

IIII

II(2)解决原则①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末II

!位或首位)由谁占领分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,11

IIII

II可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位,|

J

【典例6】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字?

(1)六位奇数;

(2)个位数字不是5的六位数;

(3)不大于4310的四位偶数.

【变式1】(23-24高二下•天津南开•期中)用。~9这10个数字,可以组成个没有重复数字的三位偶数()

A.720B.648C.320D.328

【变式2】(23-24高二下•江苏连云港•月考)从0,1,2,3,4五个数字中选出3个数字组成一个三位数.

(1)可以组成多少个三位数?

(2)可以组成多少个无重复数字的三位数?

(3)可以组成多少个无重复数字的三位偶数?

【变式3】(23-24高二下.广东东莞・月考)从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数,排成一个无重复

数字的五位数.求:

(1)共有多少个五位数?

(2)其中偶数排在一起,奇数也排在一起的有多少个?

(3)其中两个偶数不相邻的有多少个?

题型05涂色问题

=================;-----:=================D

|11|解题锦囊

II

II涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”

在处理涂色问题时,可按照选择颜色的总数进行分类讨论,每减少一种颜色的使用,便意味着多出一

II

II对不相邻的区域涂相同的颜色(还要注意两两不相邻的情况),先列举出所有不相邻区域搭配的可能,再进II

II行涂色即可。

IL===================================J

【典例7](23-24高二下•吉林长春•阶段练习)如图,用四种不同的颜色对图中5个区域涂色(四种颜售

全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有()

K

A.72种B.96种C.170种D.168种

【变式1】春节期间,某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛,花坛分为5个区域.现

有5种不同的花卉可供选择,要求相邻区域不能布置相同的花卉,且每个区域只布置一种花卉,则不同的

布置方案有()

A.120种B.240种C.420种D.720种

【变式2】(23-24高二下•江苏连云港•月考)如图所示,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每

个格子涂一种颜色,要求相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有()种.

A.480B.800C.380D.770

【变式3](23-24高二下•重庆•期中)给正六边形ABCDEP的六条边涂色,现有3种不同的颜色可以

选择,要求相邻两条边颜色不同,则不同的涂法有()种

A.99B.96C.66D.80

【变式4】(23-24高二下•山东泰安•期中)现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体AB-CDEF的六个顶点,

要求A,8用同一种颜色的彩灯,其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯,则不同的装饰方案共有种.

(用数字作答)

题型06分组分配问题

(T-------------------------------------------------------------------------------------------------

|,解题锦囊

111、解题思路:先分组后分配,分组是组合问题,分配是排列问题;

2、分组方法:①完全均匀分组,分组后除以组数的阶乘;②部分均匀分组,有加组元素个数相同,则

II分组后除以〃2!;③完全非均匀分组,只要分组即可;

3、分配:①相同元素的分配问题,常用“挡板法”;②不同元素的分配问题,分步乘法计数原理,先分

II组后分配;③有限制条件的分配问题,采用分类求解;

IL________________________________________________________________________________________

【典例8](24-25高三上•重庆・开学考试)第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛(CCFNOI2024)于2024

年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中,有甲、乙等5名育才新教师参加了接

待、咨询、向导三个志愿者服务项目,每名新教师只参加一个服务项目,每个服务项目至少有一名新教师

参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目,则不同的安排方案有()种

A.108B.114C.170D.240

【变式1](2024•山西运城・高三统考期末)第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国

巴黎举办,这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增

项目的比赛,且每个场地至少承办其中一个项目,则不同的安排方法有()

A.170种B.300种C.720种D.1008种

【变式2】(23-24高二下•上海•期中)从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者,每个场馆1人,且至

少有1位男生入选,不同的安排方法有一种.

【变式3】(24-25高三上•山东烟台•开学考试)安排4名大学生到两家公司实习,每名大学生只去一家公

司,每家公司至少安排1名大学生,则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为()

【变式41(23-24高二下•福建泉州・月考)2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”,出自白居易的“江南忆,

最忆是杭州”,名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物,是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传

杭州亚运会,某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场,每名志愿者只安装一个吉祥物,

且每个吉祥物至少有一名志愿者安装,若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”,则不同的安装方案种数为

【变式5】(23-24高二下•江苏盐城•期中)某校将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级,要求每个班

级至少一个,则不同的分配方案有种.

题型07求二项展开式的特定项

解题锦囊

二项展开式中的特定项,是指展开式中的某一项,如第〃项、常数项、有理项等,求解二项展开式中

[的特定项的关键点如下:

II(1)求通项,利用(a+b)"的展开式的通项公式。+1孰0「方'(加,1,2,…,〃)求通项.

(2)列方程(组)或不等式(组),利用二项展开式的通项及特定项的特征,列出方程(组)或不等式(组).

(3)求特定项,先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数,再根据要求写出特定项.

IL=________________________________________________________________________

【典例9](23-24高二下.上海黄浦•期中)在卜+君y『的展开式中,系数为有理数的项共有一项.

【变式1】(23-24高二下•浙江丽水・期中)的展开式中常数项是()

A.-225B.-252C.252D.225

【变式2】(2024•湖南长沙•长郡中学校考一模)(尤无一的展开式中含/项的系数为()

A.20B.-20C.30D.-30

【变式3](23-24高二下.四川内江・期中)(2-x)6的展开式中,/的系数是()

A.160B.-160C.240D.-220

题型08三项式展开问题

।解题锦囊

这类问题主要有以下解题方法:

I(1)通过变形先把三项式转化为二项式,再用二项式定理求解.

(2)两次利用二项式定理的通项公式求解.

I(3)由二项式定理的推证方法知,可用排列、组合的基本原理去求,即把三项式看作几个因式之积,要得

।到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.

[地例]10](23-24高二下•重庆巴南•期中)[尤2一:+2]的展开式中常数项为()

A.544B.559C.495D.79

【变式1123-24高二下.江苏无锡・期中)G+y—2>展开式中一产的系数为()

A.80B.-60C.30D.-30

【变式2](23-24高二下.广东茂名.期中)[石+土+]的展开式中,的系数为.

【变式3】(23-24高二下.河南・月考)在(1+彳+2»°的展开式中,丁丁项的系数是.

题型09二项式系数与系数最值问题

解题锦囊11

II

II1、二项式系数先增后减中间项最大,|

(1)如果二项式的事指数〃是偶数,则中间一项的二项式系数最大;

(2)如果二项式的累指数〃是奇数,则中间两项餐,勺+i的二项式系数c?1,cF相等且最大.

11如求(a+bx)"(a,bGR)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为4,4,…,II

II

II\Ak>Ak-i9.I

||A〃+l,且第七项系数最大,应用/,从而解出上来,即得.

11〔A仑4+1,||

11II

L________________________________________________________________________________u

【典例11](23-24高二下•重庆•期中)(多选)在"j”的展开式中,含一项的系数为-11,则下

列选项正确的有()

A.CI=—1

B.展开式的各项系数和为0

C.展开式中系数最大项是第6项

D.展开式中系数最大项是第7项

【变式1】若展开式中只有第6项的二项式系数最大,则〃=()

A.9B.10C.11D.12

【变式2]的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则的展开式中系数最

大的项的系数为.

【变式3](23-24高二下.福建福州.期中)在"-口的展开式中,

(1)求展开式中所有项的系数和;

(2)求二项式系数最大的项;

(3)系数的绝对值最大的项是第几项?

题型10二项式系数和问题

解题锦囊

系数和问题常用“赋值法”求解:赋值法是指对二项式中的未知元素赋值,从而求得二项展开式的各项

[系数和的方法.求解有关系数和题的关键点如下:

①赋值,观察已知等式与所求式子的结构特征,确定所赋的值,常赋的值有:一1,0,1等.

②求参数,通过赋值,建立参数的相关方程,解方程,可得参数值.

II③求值,根据题意,得出指定项的系数和.

II_________________________________________________________________________________________________

【典例12](23-24高二下・贵州•阶段练习)在)-的展开式中,下列说法错误的是()

A.二项式系数之和为64B.各项系数之和为上

64

C.二项式系数最大的项为25户3D.常数项为1?5

216

【变式1](23-24高二下•甘肃兰州•期中)设(x-1)6=%+4(X-2)+—+3(X-2)6,则

+出+%+,,,+〃6=.

2022

【变式2】(23-24高二下•四川内江•期中)若(1-2尤)2°22=%+%尤+4/+“44必工,则

佝+色+与+.•.+■=

°22222022------------

525

【变式3】(23-24高二下.江苏连云港•期中)设(1-2x)=a0+a.x+a^+L+a5x.

(1)求火的值;

(2)求同+闻+同+㈤+冈的值.

【变式4】(23-24高二下.河南•期中)已知(x-l)(x+2)6=旬+卬彳+的/+…+,则

q+2%+3%+4%+5%+6%-()

A.722B.729C.-7D.-729

【变式5](23-24高二下•安徽滁州・期末)若(以+:)的展开式中二项式系数之和为32,各项系数

之和为243,则展开式中/的系数是()

A.32B.64C.80D.180

题型11整除和余数问题

【典例12](23-24高二下•江苏南通•阶段练习)若且5。2°24+〃能被17整除,贝心的最小值为()

A.0B.1C.15D.16

【变式1】已知(3X-1广4=4+平+生召+1+%)犷2024,贝lJq+%+L+%024被3除的余数为()

A.3B.2C.1D.0

【变式2】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设b,机(相>0)为整数,

若。和b同时除以机所得的余数相同,则称。和b对模机同余,记为。三6(mod〃z).若a=C;o+C;o+…+/,

6Z=Z?(modlO),贝!Jb的值可以是()

A.2021B.2022C.2023D.2024

题型13杨辉三角及应用

,

解题锦囊।

1、在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;।

2、在相邻的两行中,除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

由此可知,当二项式次数不大时,可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.I

L===================================2

【典例15](23-24高二下•云南•期中)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展

示了二项式系数表,数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究,则下列结论错误的是()

n4杨辉三角

0行

r方

4*g1行1

2行1I

T7方

r3行121

4行1331

ftr•14641

£5行

方15101051

£6行

q

章1615201561

7行

聋8172135352171

第918285670562881

aDr行

第1193684126126843691

货1or1104512021025221012045101

耳lff111551653304624623301655511I

A.1+C;+C;+C;=C;

B.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

C.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

D.第2020行的第1010个数最大

【变式1】(23-24高二下.湖北•期中)如图,在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列:

1,3,6,10,15,...,则该数列前10项的和为()

0行

1行

2行121

3行1331

4行14641

5行55

1010

6行6

152015

A.66B.120C.165D.220

【变式2】如图,在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列:1,2,3,

3,6,4,10,5,L,则此数列的前30项的和为()

第1行11

第2行1201

第3行13<-31

第4行14<-641

_X

第5行15<-101051

A.680B.679C.816D.815

【变式3】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一,它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数

表中的一种几何排列规律,如图所示,则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是

第0行(。+6)。1

第1行11

第2行Q+6)2121

第3行(a+b)31331

第4行(4+8)414641

第5行(。+6)515101051

第6行(。+,)61615201561

第7行(a+b)7172135352171

第行办

8J+18285670562881

A.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数

B.第2023行中第1012个数和第1013个数相等

C.记“杨辉三角”第"行的第i个数为生,则士(2%,)=3"

1=1

D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3

第三章排列、组合与二项式定理章末题型大总结

01知识导图

知识网络

合概念:一般地,从n个不同对象中取出机(用W")个对象并成

一组,称为从《个不同对象中取出m个对象的一个组合

二«A?=…]”_(加_1)]_〃!

组合数公式:C=

-

项"A„-mx(MI-1)x•••x2x1-

组合数性质:⑴c,=c;r;⑵以"+以=(2胃

理r|Cl?=C:=l|

H二项式系数的画-Tc3=c3而

H二项式定理卜

二项展开式的通项公式:或+kCfa"-*"(其中0近1W〃,AeN,"eN.)|

1■[杨辉三角]

题型总结

02题型精讲

题型01两个计数原理的应用

解题锦囊

1.使用两个计数原理解决问题的思路

(1)选择使用两个计数原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式,确定是分类还是分步,要抓住两个

原理的本质.

(2)分类加法计数原理的关键是“类”,分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准

下进行分类;其次分类时要注意,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是

不同的方法.

(3)分步乘法计数原理的关键是“步”,分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次,分步时还要注意

满足完成一件事必须并且只有连续完成这几个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计

数原理.

2.使用两个原理解决问题时应注意的问题

对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理,又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图

或列出表格,使问题更加直观、

清晰.

【典例1】3.(24-25高三上•广东汕头•期中)一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为b,c.三

位数中,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为"有缘数"(如213,134等)若a,6,ce(1,2,3,4,5},

且a,b,c互不相同,则这个三位数为"有缘数"共个.

【答案】24

【分析】利用"有缘数"的定义,利用分类讨论的思想,求出所有的三位数.

【详解】解:根据题意知在123,4,5中,能组成有缘数的组合有;1,2,3;1,3,4;1,4,5:2,3,5;

由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,"有缘数”共6个;

同理:由1,3,4组成的三位数为"有缘数"是6个;

由1,4,5组成的三位数为"有缘数"是6个;

由2,3,5组成的三位数为"有缘数”是6个;

所以三位数为"有缘数"的个数为:4x6=24个.

故答案为:24.

【变式1123-24高二下•陕西西安•期中)5名同学分别从4个景点中选择一处游览,不同选法的种数为()

A.9B.20C.54D.45

【答案】A

【分析】利用分步乘法计数原理即可计算.

【详解】因为每名同学都有4种选择,

所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为:4x4x4x4x4=45.

【变式2】(24-25高二下•全国•课后作业)从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重

复数字的"五位凹数WzWM"(满足外>%>/<%<%),则这样的“五位凹数"的个数为()

A.126个B.112个C.98个D.84个

【答案】A

【分析】利用分步乘法计数原理可得.

【详解】第一步,从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个共有C;种方法,

第二步,选出的5个数中,最小的为。3,从剩下的4个数中选出2个分给49,由题意可知,选出后。1,。2,。4,火

就确定了,共有C:种方法,

故满足条件的"五位凹数"C;C;=126个,

【变式3】(24-25高二下•全国•课后作业)汽车制造的专业化流程是:设计效果图玲制作油泥模型好生产样

车玲对样车检验好投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院,A市有

2个能制作油泥模型的制作中心,2市有6个能生产样车的生产车间,C市有1处能对样车检验的检验中心,

A市、B市、C市、。市、E市分别有8,8,6,3,2家能实际投入生产的生产厂家,从设计到实际生产,

有种选择方法.

【答案】6480

【分析】利用分步计数原理可求得总的方法数.

【详解】共分五步:第一步,设计效果图,共计3+10+7=20种方法;

第二步,制作油泥模型,有2种方法;第三步,生产样车,有6种方法;

第四步,对样车检验,有1种方法;第五步,投入生产,共计8+8+6+3+2=27种方法.

所以从设计到实际生产有20x2x6x1x27=6480种选择方法.

【变式4](24-25高三上•广东•阶段练习)小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶

进行购买,若每种饮料至多买一瓶,则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.(用

数字作答)

【答案】70

【分析】根据给定条件,利用分类加法计数原理及组合计数问题列式计算即得.

【详解】依题意,两种饮料都至少买1种的买法种数为C;c;+c;c;=30+40=70.

故答案为:70

题型02排列数与组合数的计算问题

Ir=

解题锦囊

应用排列、组合数公式时应注意的三个方面

(1)准确展开.应用排列数、组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确;

(2)合理约分.若运算式是分式形式,则要先约分后计算;

(3)合理组合.运算时要结合数据特点,应用乘法的交换律、结合律,进行数据的组合,可以提高运算

的速度和准确性.

【典例2](23-24高二下•贵州遵义•期中)(多选)下列选项中正确的有()

A.

6

B.A;;-A;=81A;

C.湍=4950

D.C;+C:+C;+C;+C;+C;+C;+C:o=164

【答案】CCD

【解析】A选项,因为Aj+A;=24+20=|,所以A错误;

B选项,因为At-A?=10!-9!=9!x(10-l)=9x9!=81x8!,所以A:>A;=81A;,故B正确;

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