人教B版高中数学选择性必修二同步讲义：排列、组合与二项式定理章末题型大总结（学生版+解析）

第三章排列、组合与二项式定理章末题型大总结

01知识导图

知识网络

排

列

、

组

合概念：一般地，从《个不同对象中取出m(mww)个对象并成

一组，称为从《个不同对象中取出机个对象的一个组合

与

二

cm_A":…[”一(加-1)]_〃！

组合数公式:"

项"-mx(m-\)x•••x2x1-

式

定

理

题型总结

两个计数原理的应用分组分配问题

求二项展开式的特定项

三项式展开问题

二项式系数与系数最值问题

二项式系数和问题

整除和余数问题

杨辉三角及应用

02

题型01两个计数原理的应用

解题锦囊

1.使用两个计数原理解决问题的思路

（1）选择使用两个计数原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式,确定是分类还是分步,要抓住两个

原理的本质.

（2）分类加法计数原理的关键是“类”，分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准

下进行分类;其次分类时要注意,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是

不同的方法.

（3）分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次,分步时还要注意

满足完成一件事必须并且只有连续完成这几个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计

数原理.

2.使用两个原理解决问题时应注意的问题

对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图

或列出表格，使问题更加直观、

清晰.

【典例1］（24-25高三上•广东汕头•期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c.三位

数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为"有缘数"（如213,134等）若a,b,ce{1,2,3,4,5},

且a,b,c互不相同，则这个三位数为"有缘数"共个.

【变式1］（23-24高二下•陕西西安•期中）5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（）

A.9B.20C.54D.45

【变式2］（24-25高二下•全国•课后作业）从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重

复数字的"五位凹数1出的必"（满足1>%>%<%<%），则这样的“五位凹数"的个数为（）

A.126个B.112个C.98个D.84个

【变式3】（24-25高二下•全国•课后作业）汽车制造的专业化流程是：设计效果图玲制作油泥模型好生产样

车玲对样车检验玲投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有

2个能制作油泥模型的制作中心,8市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，

A市、8市、C市、。市、E市分别有8,8,6,3,2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，

有种选择方法.

【变式4］（24-25高三上•广东•阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶

进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.（用

数字作答）

题型02排列、组合数的计算问题

lf====================================

II解题锦囊

应用排列、组合数公式时应注意的三个方面

II

II（1）准确展开.应用排列数、组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确；

（2）合理约分.若运算式是分式形式，则要先约分后计算；

II

（3）合理组合.运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算

11的速度和准确性.

【典例2］（23-24高二下•贵州遵义•期中）（多选）下列选项中正确的有（）

A.

6

B.A；；-A；=81A；

C.湍=4950

D.C；+C：+C；+C；+C；+C；+C；+C：o=164

【变式1】（23-24高二下•山东枣庄.期中）下列公式错误的是（）

wT

A，A"=(n-m)!D=_____—_____c./y+cjrD.窜

•n

【变式2］（23-24高二下•云南•期中）（1）求C；+6C；+2C；+5c+3C；+4C；+7C；的值;

（2）若等式〃C：+A：=4C"不成立，求正整数〃的值.

【变式3】（23-24高二下.广东清远•期中）不等式A；＜6A/的解集为.

题型03队列排序问题

I解题锦囊||

1、解有“相邻元素”的排列问题的方法

1II

对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起参与||

!排列，再考虑这个整体内部各元素间的顺序。11

1II

I2、解有“不相邻元素”的排列问题的方法|

对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先排不受限制的元素，使每两个元素之间形成“空”，”

1II

I然后将不相邻的元素进行“插空”。||

3、解有限制元素（位置）的排列问题的方法II

解有限制元素或特殊位置的排列问题，一般先安排特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置，当।

1以元素为主或以位置为主。II

|4、定序问题

定序通常指在排列组合问题中，某些元素的顺序是固定的，而其他元素则可以自由排列。解决这类问II

!题的基本方法是使用“除法”原则，即将所有元素一起排列，然后除以那些顺序固定元素的全排列数。

.____4

角度1限制元素问题

【典例3］（23-24高二下•江苏南通・期中）学校要安排一场文艺晚会的8个节目的演出顺序，学生的节目

有6个，教师的节目有2个，如果教师的节目既不排在第一个，也不排在最后一个，那么不同的排法数为

（）

A.A；B.A：A；C.D.

【变式11（23-24高二下•四川遂宁•阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天

员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开"家门"，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，

唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安.若这6

名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排

法有（）

A.144种B.204种C.1580种D.240种

【变式2】（23-24高二下•北京丰台•期末）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1

名到第5名的名次（无并列情况）.甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说："你不是最差的."对乙说："很遗

憾，你和甲都没有得到冠军."对丙说："你不是第2名."从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情

况种数为（）

A.44B.46C.52D.54

【变式3】（23-24高二下•山东济宁•期中）某中学元旦晚会共由7个节目组成，演出顺序有如下要求:

节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有种.（用

数字作答）

角度2相邻与不相邻问题

【典例4］（23-24高二下•广西柳州•期中）某中学运动会期间，甲、乙、丙、丁、戊、戌六名志愿者站

成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（）

A.180种B.190种C.192种D.240种

【变式1】（23-24高二下•浙江•期中）东阳市一米阳光公益组织主要进行"敬老"和"助学”两项公益项目，某

周六，组织了七名大学生开展了"筑梦前行，阳光助学”活动后，大家合影留念，其中米一同学想与佳艳、刘

西排一起，且要排在她们中间，则全部排法有（）种.

A.120B.240C.480D.720

【变式2］（23-24高二下•云南大理•期中）在学校组织的一次活动结束后，3名男生和2名女生站成一排

照相留念，其中2名女生不相邻，则不同的站法有（）

A.120种B.72种C.48种D.24种

【变式3】（23-24高二下•江苏泰州•阶段练习）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和

价值.它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3个红色的"将""车""马"棋子与2个

黑色的"将""车"棋子排成一列，则下列说法不正确的是（）

A.共有120种排列方式

B.若两个"将"相邻，则有24种排列方式

C.若两个"将"不相邻，则有72种排列方式

D.若同色棋子不相邻，则有12种排列方式

角度3定序问题

【典例5】7人站成一排.

（1）甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？

（2）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？

【变式1】（23-24高二下.湖北•期中）14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9

人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）

A.C；A；B.C；A；C.D.C：A；

【变式2】某4位同学排成一排准备照相时，又来了2位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺

序不变，则不同的加入方法种数为（）

A.10B.20C.24D.30

题型04数字排列问题

II解题锦囊1

;数字排列问题的常见类型及解决原则：

II（1）常见的数字排列问题：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的II

1问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等.

IIII

II（2）解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置（末II

!位或首位）由谁占领分类，分类中再按特殊位置（或特殊元素）优先的策略分步完成；如果正面分类较多，11

IIII

II可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位,|

J

【典例6】用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？

（1）六位奇数；

（2）个位数字不是5的六位数；

（3）不大于4310的四位偶数.

【变式1】（23-24高二下•天津南开•期中）用。~9这10个数字，可以组成个没有重复数字的三位偶数（）

A.720B.648C.320D.328

【变式2】（23-24高二下•江苏连云港•月考）从0,1,2,3,4五个数字中选出3个数字组成一个三位数.

（1）可以组成多少个三位数？

（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？

（3）可以组成多少个无重复数字的三位偶数？

【变式3】（23-24高二下.广东东莞・月考）从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复

数字的五位数.求：

（1）共有多少个五位数？

（2）其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个?

（3）其中两个偶数不相邻的有多少个？

题型05涂色问题

=================;-----:=================D

|11|解题锦囊

II

II涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”

在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一

II

II对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进II

II行涂色即可。

IL===================================J

【典例7］（23-24高二下•吉林长春•阶段练习）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四种颜售

全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（）

K

A.72种B.96种C.170种D.168种

【变式1】春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域.现

有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的

布置方案有（）

A.120种B.240种C.420种D.720种

【变式2】（23-24高二下•江苏连云港•月考）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每

个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（）种.

A.480B.800C.380D.770

【变式3］（23-24高二下•重庆•期中）给正六边形ABCDEP的六条边涂色，现有3种不同的颜色可以

选择，要求相邻两条边颜色不同，则不同的涂法有（）种

A.99B.96C.66D.80

【变式4】（23-24高二下•山东泰安•期中）现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体AB-CDEF的六个顶点，

要求A,8用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有种.

（用数字作答）

题型06分组分配问题

（T-------------------------------------------------------------------------------------------------

|,解题锦囊

111、解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题；

2、分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有加组元素个数相同，则

II分组后除以〃2!;③完全非均匀分组，只要分组即可；

3、分配：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，分步乘法计数原理，先分

II组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解；

IL________________________________________________________________________________________

【典例8]（24-25高三上•重庆・开学考试）第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛（CCFNOI2024）于2024

年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名育才新教师参加了接

待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师

参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有（）种

A.108B.114C.170D.240

【变式1]（2024•山西运城・高三统考期末）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国

巴黎举办，这届奥运会将新增2个竞赛项目和3个表演项目.现有三个场地A,B,C分别承担这5个新增

项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有（）

A.170种B.300种C.720种D.1008种

【变式2】（23-24高二下•上海•期中）从2男4女中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆1人，且至

少有1位男生入选，不同的安排方法有一种.

【变式3】（24-25高三上•山东烟台•开学考试）安排4名大学生到两家公司实习，每名大学生只去一家公

司，每家公司至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家公司实习的概率为（）

【变式41（23-24高二下•福建泉州・月考）2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，

最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传

杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，

且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为

【变式5】（23-24高二下•江苏盐城•期中）某校将12名优秀团员名额分配给4个不同的班级，要求每个班

级至少一个，则不同的分配方案有种.

题型07求二项展开式的特定项

解题锦囊

二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第〃项、常数项、有理项等，求解二项展开式中

［的特定项的关键点如下：

II（1）求通项，利用（a+b）"的展开式的通项公式。+1孰0「方'（加，1,2,…，〃）求通项.

（2）列方程（组）或不等式（组），利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程（组）或不等式（组）.

（3）求特定项，先由方程（组）或不等式（组）求得相关参数，再根据要求写出特定项.

IL=________________________________________________________________________

【典例9］（23-24高二下.上海黄浦•期中）在卜+君y『的展开式中，系数为有理数的项共有一项.

【变式1】（23-24高二下•浙江丽水・期中）的展开式中常数项是（）

A.-225B.-252C.252D.225

【变式2】（2024•湖南长沙•长郡中学校考一模）（尤无一的展开式中含/项的系数为（）

A.20B.-20C.30D.-30

【变式3］（23-24高二下.四川内江・期中）（2-x）6的展开式中，/的系数是（）

A.160B.-160C.240D.-220

题型08三项式展开问题

।解题锦囊

这类问题主要有以下解题方法：

I（1）通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解.

（2）两次利用二项式定理的通项公式求解.

I（3）由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得

।到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.

［地例］10］（23-24高二下•重庆巴南•期中）［尤2一：+2］的展开式中常数项为（）

A.544B.559C.495D.79

【变式1123-24高二下.江苏无锡・期中）G+y—2＞展开式中一产的系数为（）

A.80B.-60C.30D.-30

【变式2］（23-24高二下.广东茂名.期中）［石+土+］的展开式中，的系数为.

【变式3】（23-24高二下.河南・月考）在（1+彳+2»°的展开式中，丁丁项的系数是.

题型09二项式系数与系数最值问题

解题锦囊11

II

II1、二项式系数先增后减中间项最大,|

（1）如果二项式的事指数〃是偶数，则中间一项的二项式系数最大；

（2）如果二项式的累指数〃是奇数，则中间两项餐，勺+i的二项式系数c?1，cF相等且最大.

11如求（a+bx）"（a,bGR）的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为4,4,…，II

II

II\Ak>Ak-i9.I

||A〃+l，且第七项系数最大，应用/,从而解出上来，即得.

11〔A仑4+1，||

11II

L________________________________________________________________________________u

【典例11］（23-24高二下•重庆•期中）（多选）在"j”的展开式中，含一项的系数为-11,则下

列选项正确的有（）

A.CI=—1

B.展开式的各项系数和为0

C.展开式中系数最大项是第6项

D.展开式中系数最大项是第7项

【变式1】若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则〃=（）

A.9B.10C.11D.12

【变式2］的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中系数最

大的项的系数为.

【变式3］（23-24高二下.福建福州.期中）在"-口的展开式中，

（1）求展开式中所有项的系数和；

（2）求二项式系数最大的项；

（3）系数的绝对值最大的项是第几项？

题型10二项式系数和问题

解题锦囊

系数和问题常用“赋值法”求解：赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项

［系数和的方法.求解有关系数和题的关键点如下：

①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：一1,0,1等.

②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值.

II③求值，根据题意，得出指定项的系数和.

II_________________________________________________________________________________________________

【典例12］（23-24高二下・贵州•阶段练习）在）-的展开式中，下列说法错误的是（）

A.二项式系数之和为64B.各项系数之和为上

64

C.二项式系数最大的项为25户3D.常数项为1?5

216

【变式1］（23-24高二下•甘肃兰州•期中）设（x-1）6=%+4（X-2）+—+3（X-2）6,则

+出+%+,,,+〃6=.

2022

【变式2】（23-24高二下•四川内江•期中）若（1-2尤）2°22=%+%尤+4/+“44必工,则

佝+色+与+.•.+■=

°22222022------------

525

【变式3】（23-24高二下.江苏连云港•期中）设（1-2x）=a0+a.x+a^+L+a5x.

（1）求火的值；

（2）求同+闻+同+㈤+冈的值.

【变式4】（23-24高二下.河南•期中）已知（x-l）（x+2）6=旬+卬彳+的/+…+,则

q+2%+3%+4%+5%+6%-（）

A.722B.729C.-7D.-729

【变式5］（23-24高二下•安徽滁州・期末）若（以+：）的展开式中二项式系数之和为32,各项系数

之和为243,则展开式中/的系数是（）

A.32B.64C.80D.180

题型11整除和余数问题

【典例12］（23-24高二下•江苏南通•阶段练习）若且5。2°24+〃能被17整除，贝心的最小值为（）

A.0B.1C.15D.16

【变式1】已知（3X-1广4=4+平+生召+1+%）犷2024,贝lJq+%+L+%024被3除的余数为（）

A.3B.2C.1D.0

【变式2】中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设b,机（相＞0）为整数,

若。和b同时除以机所得的余数相同，则称。和b对模机同余，记为。三6（mod〃z）.若a=C；o+C；o+…+/,

6Z=Z?（modlO）,贝!Jb的值可以是（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

题型13杨辉三角及应用

,

解题锦囊।

1、在同一行中，每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等；।

2、在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之和.

由此可知，当二项式次数不大时，可借助“杨辉三角”直接写出各项的二项式系数.I

L===================================2

【典例15］（23-24高二下•云南•期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《解析九章算法》一书中展

示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（）

n4杨辉三角

第

0行

r方

4*g1行1

算

2行1I

T7方

第

r3行121

争

4行1331

ftr•14641

£5行

驾

方15101051

£6行

q

章1615201561

7行

夸

聋8172135352171

行

第918285670562881

aDr行

弯

第1193684126126843691

弯

货1or1104512021025221012045101

耳lff111551653304624623301655511I

A.1+C；+C；+C；=C；

B.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

C.第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11

D.第2020行的第1010个数最大

【变式1】（23-24高二下.湖北•期中）如图，在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列:

1,3,6,10,15,...,则该数列前10项的和为（）

第

0行

第

1行

第

2行121

第

3行1331

第

4行14641

第

5行55

1010

第

6行6

152015

A.66B.120C.165D.220

【变式2】如图，在“杨辉三角”中从第2行右边的1开始按箭头所指的数依次构成一个数列：1,2,3,

3,6,4,10,5,L,则此数列的前30项的和为（）

第1行11

第2行1201

第3行13<-31

第4行14<-641

_X

第5行15<-101051

A.680B.679C.816D.815

【变式3】“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数

表中的一种几何排列规律，如图所示,则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是

第0行（。+6）。1

第1行11

第2行Q+6）2121

第3行（a+b）31331

第4行（4+8）414641

第5行（。+6）515101051

第6行（。+，）61615201561

第7行（a+b）7172135352171

第行办

8J+18285670562881

A.第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数

B.第2023行中第1012个数和第1013个数相等

C.记“杨辉三角”第"行的第i个数为生，则士（2%，）=3"

1=1

D.第34行中第15个数与第16个数之比为2:3

第三章排列、组合与二项式定理章末题型大总结

01知识导图

知识网络

排

列

、

组

合概念：一般地，从n个不同对象中取出机（用W"）个对象并成

一组，称为从《个不同对象中取出m个对象的一个组合

与

二«A?=…]”_(加_1)]_〃！

组合数公式:C=

-

项"A„-mx(MI-1)x•••x2x1-

式

组合数性质：⑴c，=c；r；⑵以"+以=（2胃

定

理r|Cl?=C：=l|

H二项式系数的画-Tc3=c3而

H二项式定理卜

二项展开式的通项公式：或+kCfa"-*"（其中0近1W〃,AeN,"eN.）|

1■［杨辉三角］

题型总结

02题型精讲

题型01两个计数原理的应用

解题锦囊

1.使用两个计数原理解决问题的思路

（1）选择使用两个计数原理解决问题时,要根据我们完成某件事情采取的方式,确定是分类还是分步,要抓住两个

原理的本质.

（2）分类加法计数原理的关键是“类”，分类时,首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准,然后在这个标准

下进行分类;其次分类时要注意,完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同类的两种方法是

不同的方法.

（3）分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准;其次,分步时还要注意

满足完成一件事必须并且只有连续完成这几个步骤后,这件事才算完成,只有满足了上述条件,才能用分步乘法计

数原理.

2.使用两个原理解决问题时应注意的问题

对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图

或列出表格，使问题更加直观、

清晰.

【典例1】3.（24-25高三上•广东汕头•期中）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为b,c.三

位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为"有缘数"（如213,134等）若a,6,ce（1,2,3,4,5},

且a,b,c互不相同，则这个三位数为"有缘数"共个.

【答案】24

【分析】利用"有缘数"的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数.

【详解】解：根据题意知在123,4,5中，能组成有缘数的组合有；1,2,3；1,3,4；1,4,5:2,3,5；

由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,"有缘数”共6个；

同理：由1,3,4组成的三位数为"有缘数"是6个；

由1,4,5组成的三位数为"有缘数"是6个；

由2,3,5组成的三位数为"有缘数”是6个；

所以三位数为"有缘数"的个数为：4x6=24个.

故答案为：24.

【变式1123-24高二下•陕西西安•期中）5名同学分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为（）

A.9B.20C.54D.45

【答案】A

【分析】利用分步乘法计数原理即可计算.

【详解】因为每名同学都有4种选择，

所以由分步乘法计数原理可知不同选法的种数为：4x4x4x4x4=45.

【变式2】（24-25高二下•全国•课后作业）从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个组成一个没有重

复数字的"五位凹数WzWM"（满足外>%>/<%<%），则这样的“五位凹数"的个数为（）

A.126个B.112个C.98个D.84个

【答案】A

【分析】利用分步乘法计数原理可得.

【详解】第一步，从0,1,2,3,4,5,6这7个数中任选5个共有C；种方法，

第二步,选出的5个数中，最小的为。3，从剩下的4个数中选出2个分给49，由题意可知，选出后。1，。2，。4,火

就确定了，共有C：种方法，

故满足条件的"五位凹数"C；C；=126个，

【变式3】（24-25高二下•全国•课后作业）汽车制造的专业化流程是：设计效果图玲制作油泥模型好生产样

车玲对样车检验好投入生产.已知A市、B市、C市分别有3个、10个、7个能设计效果图的设计院，A市有

2个能制作油泥模型的制作中心,2市有6个能生产样车的生产车间，C市有1处能对样车检验的检验中心，

A市、B市、C市、。市、E市分别有8,8,6,3,2家能实际投入生产的生产厂家，从设计到实际生产，

有种选择方法.

【答案】6480

【分析】利用分步计数原理可求得总的方法数.

【详解】共分五步：第一步，设计效果图，共计3+10+7=20种方法；

第二步，制作油泥模型，有2种方法；第三步，生产样车，有6种方法；

第四步，对样车检验，有1种方法；第五步，投入生产，共计8+8+6+3+2=27种方法.

所以从设计到实际生产有20x2x6x1x27=6480种选择方法.

【变式4］（24-25高三上•广东•阶段练习）小明去超市从4种功能性提神饮料和5种电解质饮料中选3瓶

进行购买，若每种饮料至多买一瓶，则功能性提神饮料和电解质饮料都至少买1瓶的买法种数为.（用

数字作答）

【答案】70

【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及组合计数问题列式计算即得.

【详解】依题意，两种饮料都至少买1种的买法种数为C；c；+c；c；=30+40=70.

故答案为：70

题型02排列数与组合数的计算问题

Ir=

解题锦囊

应用排列、组合数公式时应注意的三个方面

（1）准确展开.应用排列数、组合数公式展开时要注意展开式的项数要准确；

（2）合理约分.若运算式是分式形式，则要先约分后计算；

（3）合理组合.运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算

的速度和准确性.

【典例2］（23-24高二下•贵州遵义•期中）（多选）下列选项中正确的有（）

A.

6

B.A；；-A；=81A；

C.湍=4950

D.C；+C：+C；+C；+C；+C；+C；+C：o=164

【答案】CCD

【解析】A选项，因为Aj+A；=24+20=|,所以A错误；

B选项，因为At-A?=10!-9!=9!x（10-l）=9x9!=81x8!,所以A：>A；=81A；,故B正确;