平面向量与复数-2024年高考数学一轮复习提升卷

单元提升卷07平面向量与复数

（考试时间:120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

L-

)

2-i

13.c13.c13.

A.一一+-1B.1D.------1

5555c-255

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质以及复数的除法运算，即可求得答案.

【详解】由题意得=匚=（T7）（2+i）=土卫13.

---------1,

2-i5555

故选：B

2.如图，在梯形/BCD中，BC=2AD,DE=EC,设瓦5=3，RC=b，则屉=（

1-

B.-aH—b

2436

D.京-

C.-a+-b

24

【答案】C

【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.

【详解】由题意OE=EC得£为中点,

故屁=g（就+而）=；芯+；（豆+益）

」於+工函+上工前」西+2旅

222224

=-a+-b,

24

故选：C

3.在中，角/,8,C的对边分别为a,b,c,向量机=（见6）与〃=（cos4sin5）平行.若c—2,

b=也,则2c边上的中线40为（）

A.1B.2C.VlOD.巫

2

【答案】D

【分析】根据向量平行列方程，利用平方的方法求得NO.

【详解】由于向量加=（。,6）与i=（cos4sinB）平行,

所以qsinB=bcos/,由正弦定理得5出/51115=5111535/,

由于sin8〉0所以sin/=cosA,

TT

由于0</<兀，所以Z=1.

石=；（方+就），两边平方得力2=；（方之+2方.就+就2）

=­f4+2x2x^2xcos—+2>1=—=—,

4（4J42

所以府卜芈.

故选：D

4.已知两个单位向量用B满足归-可=|司.则向量行与的夹角为（）

71—兀-2兀c5兀

A.—B.-C.—D.--

6336

【答案】B

【分析】由已知求得小（，-B）,再由数量积求向量的夹角公式求解.

【详解】由已知可得，w=i司=1,

由归-'=同，得।秆一2）3+而=|汗，则落坂=；,

.•z（a-B）=|开一鼠很=i_g=g,

/aa讣.2_1,

cos\/同卡川1X12

（即-同«0,可，.•.向量）与的夹角为。.

故选：B

5.已知复数4，Z2是关于x的方程x2+6x+i=o（-2<b<2,6eR）的两根，则下列说法中不正确的是（）

A.向=z?B.eR

C.闾=闾=1D.若b=1,则z：=2：=1

【答案】B

【分析】在复数范围内解方程得4，Z2,然后根据复数的概念、运算判断各选项.

【详解】对于关于%的方程/+及+1=0,则A=〃—4<0,

,—b土"3

,*x-，不妨设4=

22222

4=Z2,故A正确；

ZR=1,.・.2=£=z；=匕心一当6片0时，20R,故B错误;

z

Z[Z1Z2222

当6=1时，z=-—+^-i,z=,所以z；==z2=Z],

12222212221

z；=%=z2,z；=z,=1,同理z：=1,故D正确.

故选:B.

6.设M为函数/(x)=/+3(0<x<2)图象上一点，点N(O,1),。为坐标原点，|。叫=3道，NO-NM

的值为()

A.-4B.1-V7C.4D.1

【答案】A

【分析】由数量积的定义表示求出福•加=-|加-］，再利用条件|。叫=36，结合点M在函数

〃x)=/+3(0<尤<2)图象上，可求出点M,从而解决问题.

【详解】设点”（XM/M），则NO=（0,-1）,NM={xM,yM-\）,

2而7=1阿丽斗cos/OW=T阿.cos（兀-/OW）

Ml焉f』

又(0町2=蒋+城=(3&丫，则加-3+丹=(36『

可得咒+加一30=0,又TO（工<2,则3<><7,

解得%=5，所以万。・两=-4.

7.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为不，作用在

行李包上的两个拉力分别为耳，耳，且园=|司，耳与瓦的夹角为a给出以下结论：

①6越大越费力，6越小越省力；②6的范围为［0,兀］;

③当夕4时，同=同；④当6=与时，用=同.

其中正确结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解.

【详解】对于②，当6=无时月+瓦=6,故无法抬动物体，故②错误；

对于①，根据题意，得同=|瓦+司,所以耳=同+同+2同X同xcosO=2同11+COS。）,

解得同，因为夕£（0,兀）时，>=cos。单调递减，所以。越大越费力，夕越小越省力，故①正确;

2(1+cos6)

同=4,所以区

忖—，所以当。=3时,I=-^-|G|,故③错误;

对于③,因为同

2(1+-I-cmoes'।2II

对于④，因为同2=—忖—，所以当"日时，同=同，所以同=同，故④正确.

I'I2(1+cos3)3

故选：B.

8.在A/BC中，AB=2,AC=3,//=60。.若P,。分别为边42,/C上的点，且满足万=2万,

【答案】A

【分析】根据平面向量基底法进行转化并结合数量积运算公式、二次函数相关知识求解即可.

【详解】由题意得，BQ=AQ-AB,CP=AP-AC，

因为万=4与，AQ=[I-^]AC,

所以苑太-方，CP=AAB-AC^

所以皿,在就—益-(2AB-l4C)=^y-1^3IC2-/lZ82+^l+2-yABJc,

222O

因为元2=|^c|=9,AB=|ZB|=4,AB-^C=|AB|-|IZC|COS60=2X3X1=3,

所以加.力=(2_1]乂9_4；1+3(]+彳_乙]=_3/12+32_6,

函数了=一|3+1/1—6(04/141)开口向下，对称轴为几=一

3、3

当a=一时，取最大值y=-3*化]+—x——6=——6=——.

3,5⑶531515

故选：A

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列与平面向量相关的结论正确的是().

A.在四边形43CD中，若方=反，则该四边形为平行四边形

B.对任意一个等边。8C,刀=前=而都成立

C.对于非零向量3,B，|展可=|同村成立的充要条件是二日方向相同

D.对于非零向量葭B,卜+同=同+同成立的充要条件是3，B方向相同

【答案】AD

【分析】根据向量相等的定义，以及向量数量积的公式，即可判断选项.

【详解】A.由向量相等可知，ABHDC，且|次|=|方4，所以四边形为平行四边形，

故A正确；

B.对任意一个等边“3C,应是|万|=|而卜都成立，故B错误；

C.因为z•在=同归k05,行),所以=同|矶COS(a,研，若"可=同|可，

则卜。s(a研=1,贝.20=0。或180。，即心B方向相同或相反，

反过来，a,B方向相同，则cosR»=l,即"可=同忖，

所以应是充分不必要条件，故c错误；

D.对于非零向量3,鼠B+B卜同+间成立的充要条件是心3方向相同，

故D正确.

故选：AD

10.已知复数z=1+23,复数z满足|z-zj=2,则()

A.Z],=5

B.V5-2<|z|<V5+2

C.复数可在复平面内所对应的点的坐标是(-1,2)

D.复数z在复平面内所对应的点为Z(x,y),则(x-l)2+(y-2)2=2

【答案】AB

【分析】根据共朝复数的定义以及复数的几何意义即可判断BCD,根据复数的乘法计算即可求解B.

【详解】由已知1=1-2i,其对应点坐标为(1,-2),C错；Z/I=12+22=5,A正确;

由|z-zj=2知z对应的点在以句对应点为圆心，2为半径的圆上，匕|=火,

因止匕逐-2引z|<«+2,B正确；Z对应点坐标为(1,2),因此(x-l)2+(y-2)2=4,故D错误，

故选：AB.

11.已知点。为。8C所在平面内一点，且3厉+2砺+4加=6，则下列选项正确的是()

A.直线/O不过边的中点

B.^AAOB-^AAOC=2：1

_,_,_,—►—►3

C.若|OA|=|OB|=|0C|=1贝OC,AB——

f16

D.AO=^AB+-AC

39

【答案】ABC

【分析】利用向量加法法则结合向量线性运算计算判断D；假定A0过BC的中点，利用平面向量基本定理

判断A；取点H0C使得罚=3万，丽=2无，/=4反，结合重心性质计算判断B,利用数量积及运

算律计算判断C作答.

【详解】对于D,304+205+406=0.因为砺=况+刀，OC=OA+AC，

所以疫+2@+珂+4@+码=0,

_»_―►2—►4―►

即9O/+2/2+4/C=0，则9/Ok=2/2+4/Ck，n\^A0=-AB+-AC,故D错误;

对于A,设8c的中点为。，则赤=g(次+就).

若直线/。过3c的中点，则存在实数4满足而=2而，

由选项D知，A0=^AB+^AC=^(AB+ACy而9与正不共线，

则有5=3且5=§,无解，即彳不存在，/。不过3。边的中点，故A正确；

对于B,取点4；B',c使得0A'=304,OB'=2.0B,OC'=40C,

贝1JH?+砺+^即点。为A/'B'C'的重心，如图,

则SdB'OC==S、A'OB'=]'

-OAOCsmZAOC

V0Aoe1

而2

SAHOCOA'OC'12

-OA^OCsinZArOC

2

同理可得5①=:，

)△A'OB'0

T^/XA'OB'

因此^/\AOB:S/uoc=~=2,故B正确;

五S/^oc

对于c,^30A+20B+40C=0,得4面=-（3刀+2无），|1=|OB|=|OC|=1,

贝打6反,=9场°+4砺°+129・无，解得加•沃=；，

所以反•砺=_；（3厉+2砺）•（砺—刀）=—：卜3厉?+2砺?+E.砺）

=一：（一3+2+;]=[,故C正确.

414）16

故选：ABC.

12.如图1,甲同学发现家里的地板是正方形的形状，地板的平面简化图如图2所示，四边形43CD和四边

形跖GH均为正方形，且E为43的中点，则下列各选项正确的是（）

B.国+码•（而-码=0

_6--

c.向量次在向量至上的投影向量为:/尸

D.向量善在向量就上的投影向量为

【答案】BCD

【分析】连接3D,取尸G的中点/,取3。的中点。，则。为4C的中点，易得F,G分别是3C,CD的

中点.利用勾股定理判断A,根据正方形的性质及向量线性运算判断B,过C作尸于J,利用等面积

法求出CJ,即可求出即可判断C,依题意可得/CLG/且C/=!4C,即可判断D.

【详解】如图，连接区D,取FG的中点/,取AD的中点。，则。为NC的中点，易得尸，G分别是8C,CD

的中点.

因为。G==所以村3加+。62=$5,即就=孚方，故A错误.

2222

易得反=怎,贝1万+诟=就+品=就，因为近一方=丽，ACLBD,

所以国+码.闻-画=而而=0,故B正确.

过。作C/，/尸于J,设48=2,则CF=1,AF=45,

由等面积法得gx2xl=；xC/xV^,得CJ=卡,则=JCF。-CJ。=1,

所以4/=1/尸，所以向量就在向量看上的投影向量为尸，故C正确.

易得FG//BD,CF=CG,所以4C_LGP,

113—•

因为ABCDSA7cG,所以C/=；；CO=：/C,则向量就在向量衣上的投影向量为:/c,故D正确.

7244

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若复数z满足目-2=卷，则2=.

【答案】3-4i

【分析】设z=a+6i(a,6eR),根据条件得到,求出。和方的值即可.

【详解】设2=〃+折，(o,bwR),

则忖_z=yja2+b2-a-bi，

1010(l+2i)10+20i.

而----=7-------77------r=----------=2+41,

1Jl-2i(l-2i)(l+2i)5

由题意知，yla2+b2-a-bi=2+4i)

所以z=3-4i.

故答案为：3-4i

14.已知£=(1,0),6=(1,1),则■在B方向上的投影向量的坐标为.

【答案】

【分析】根据平面数量积的几何意义，结合数乘的坐标表示，可得答案.

【详解】设Z与石的夹角为巴

15.已知对任意平面向量次=(x,y),把8绕其起点沿逆时针方向旋转e得到向量

AP=(xcos0-ysin0,xcos0+ysin。)叫做把点2绕点/沿逆时针方向旋转6得到点尸.已知平面内点4(2,1),

点8(2+血,1-血)，把点8绕点力沿逆时针;后得到点P,向量Z为向量方在向量⑸上的投影向量，则

|a|=

【答案】2-V2/-V2+2

【分析】根据题意，计算出万，再利用投影向量的定义及模长公式即得.

【详解】因为4(2,1),5(2+V2,l-V2),所以方=(立—行),

AP=(V2cos--(-^2)sin—,V2cos—+(-6)sin—)=(2,0),

4444

所以尸点坐标为(4,1),

所以而2,_血)，方=(-2,0)

由PB-PAPA\I4-2V2(-2,0).万

所以同=西.同|=一•一1=2-逝.

故答案为：2-血.

16.在直角梯形/BCD,ABLAD,DC//AB,AD=DC^\,4B=2,E,尸分别为4B,的中点,

点P在以A为圆心，为半径的圆弧OEM上变动(如图所示)，若万=4而+〃石，其中2,〃eR,

则22-〃的取值范围是.

【答案】［-Ai］

__kk3

【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由万=4而+得到cosa=Y+'〃,

sina=A+—/2,从而得至I12/1-〃=-彳］,由此可求得24―〃的取值范围.

【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：

则/(0,0),£(1,0),Z>(O,l),C(l,l),5(2,0),P(cos6r,sin6r)

3]_

则尸,力尸=(cosa,sina),EZ)=(-1,1),AF=

252141

u：AP=XED+]uAF,

:.(cosa,sina)=4(-1,1)+〃-2+|^,2+1//

.•.cose=-2+3〃，sina=4+^〃,

22

/I=；(3sina-cosa),//=；(cosa+sina),

71

22-(3sin67-cos(cosa+sina^=sina-cosa=V2sina——

4

71713兀71兀

—<a<—,-----<a——<—,一1«sin]a-；

224449

71

-41<拒sina——<1,Sfc-V2<22-//<l,即(24-〃)十后,1].

4

故答案为:『0,1]

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

17.在①z<0,②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.已知复数:

z={nr-2",-8)+("7—9)j.

（1）若,求实数切的值;

（2）若复数z-/（i+i）+8的模为J区，求s的值.

【答案】（1）答案见解析；（2）m=+\.

【分析】（1）从所给条件中选择其一，再根据复数的概念进行计算即可得解;

（2）根据复数的几何意义，由模长公式进行计算即可得解.

m2-2m—8<0

【详解】（1）选择①z<0,则

m2—9=0

解得m=3.

选择②z为虚数，贝!l〃"9w0,

解得m丰+3.

选择③z为纯虚数，贝1」/_2羽_8=0,/-9片0,

解得加=4或-2.

(2)由z=卜〃2-2m-8)+(机2-9)i可矢口

复数z—77/(i+i)+8=(tn2-8)+{m1—9)i-m2i—m2+8=—2m-9i.

依题意J（-2后y+81=屈,

解得加=±1.因此加=±1.

18.已知向量：3=(2,3),6=(1,-3).

(1)求万与3的模长.

(2)求5与B的数量积.

(3)求)与B的夹角的余弦值.

(4)借助向量和单位圆求证：cos(tz-/7)=cosacos夕+sinasin/7

【答案】(1)14=jn,13=而;

(2)-7；

小7V130

130

(4)证明见解析.

【分析】(1)利用向量模的坐标表示计算作答.

(2)利用数量积的坐标表示计算作答.

(3)利用(1)(2)的结论，结合向量夹角公式求解作答.

(4)求出角4夕的终边与单位圆的交点坐标，再利用向量夹角公式推理作答.

【详解】⑴向量3=(2,3)石=(1,-3),则内=也2+32=后，⑻=jE+(_3)2=质.

(2)向量1=(2,3),彼=(1,-3),则)Z=2xl+3x(-3)=-7.

~-a-b-77^/130

(3)由(1)(2)知，3与B的夹角的余弦值cos〈a,6〉=告等=^^==-2^

⑷向J13xJ10130

(4)令角a］的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆分别交于点43,

则/(cosa,sina),5(cos/3,sin夕)，即宓=(cosa,sina),OB=(cos/3,sin"),

存在《eZ,使得〈方，砺〉=2E+(a_£)或〈刀，砺)=2E_(a_£)

于是cos(a一仍=cos(OA,OB)="竺=C+si3iM，

Q||O8|

所以cos(a-)3)=cos6zcos/?+sinasin,.

19.已知关于x的方程--3ax-3a=0（aeR）的两个虚数根为.

⑴若同=同，求㈤的取值范围;

⑵若|西-引=1，求实数a的值.

【答案】（1）[0,2）

（2）二±4

33

【分析】（1）由题意复数再,超互为共辗复数，由复数的运算可得上上卮=卮，根据判别式得出。的

范围，从而得出答案；

（2）将|再-引=1平方，将韦达定理代入，结合判别式得出。的范围，可得答案.

【详解】（1）因为关于x的方程/-3办-3a=0（。eR）的两个虚数根为加马，

4

A=9/+12。<0,贝

再+%2=3〃，Xj-x2=-3a,且复数芭,12互为共轨复数，即/=再，

若M=|司，=Jx/i="I%~J-3a，

因为一所以0<J-3a<2,

所以同的取值范围是（0,2）；

222

（2）1=|^-x2|=|（xj-x2）|=|（玉+x2）_4/川=pa?+12a],

因为9/+124<0,所以9〃+12a=—1,所以Q=—2±^^.

33

20.如图，在平行四边形/8CZ）中，E,F分别为CD,的中点，BE与AC,/月分别相交于M,N两

点.

（1）若诉=2箫，求心

jr_

(2)若4B=5,AD=2,NBAD=q,求而.病.

【答案】(1)?

92

⑵了

【分析】U）根据题意以｛方，而｝为基底向量，根据平面向量基本定理运算求解;

（2）由（1）可得加=g（2/8+N。），根据几何性质可得4W

,进而结合数量积的定义以及

运算律运算求解.

(,»\>>>>I,>>>I>>

【详解】(1)以148,/。)为基底向量，则AF=AB+BF=AB+QAD,BE=BC+CE=-gAB+AD,

I

因为不=2万=彳+—=AAB+-AD,

22

—>—*2—*------*/、------*2--*

所以BN=AN—AB=AAB+—AD—AB=(A-i)AB+-AD,

2

又因为丽〃而，则存在唯一实数左，使得丽=左前,

__

即（彳一1）益+万诟=左--AB+BC--AB+kAD,

22

2-1=--

5

可得2,解得，

2

k=-

125

所以实数丸的值为4:

（2）由（1）可得而=|（29+25）

AMAU

因为CE〃/3,贝！］侬=丝=2,

MCCE

可得而=|就

由题意可得：AB-AD=5x2x-=5,

2

则京.屈=|（2万+西（方+>2>»

2AB+3AB-AD+

492

2x

155

—-——’92

所以

21.如图，向量力，砺为单位向量，ZAOB=—点P在内部，OP=mOA+nOB，|O?|=A/3,

ZAOP=a.

⑴当方.砺=0时，求加，〃的值;

⑵求加+〃的取值范围.

【答案】(1)"2=2,〃=1

⑵[后2肉

【分析】(1)以。为原点，建立平面直角坐标系，设尸(X/),其中y>0,根据丽.历=0,得到

x-s/3y=0,再由|而|=6,得到/+/=3,联立方程组求得工=,/=孝，结合赤=机况+〃砺，列

出方程，即可求解；

(2)根据题意得到O尸=(6cosa,gsina),其中0£((),3■),结合加。/+〃03，求得

m=cosa+sina,n=2sina，得至lj机+〃=26sin(a+?),利用三角函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解：以。为原点，以方所在的直线为％轴，以过点。垂直》轴的直线为歹轴建立平面直角坐

标系，如图所不，

因为向量方，而为单位向量且=可得/(1,0),2(-工,立)，

设尸(X“其中…’可得注(],"=(小当初")’

又因为。尸.05=0，可得一,工+^^>=0,BPx-y/3y=0,

22

由|西=6,可得/+丁=3,联立方程组卜「丹二°,解得=

1122

[x+y=322

又由OP=mOA+nOB，可得g,日)=加。,0)+〃(一;，^)'

可得加=2/=1.

(2)解：因为尸卜百且乙4OP=a,可得P(A万cosa,esina),

__2兀

所以赤=(6cos。,VJsina),其中a£(0,—),

又因为方=机刀+〃砺，可得(百cosa,

m--ncosa

2

可得解得m=y/3cosa+sina,n=2sina,

^-n=y/isma

I2

所以加+几=6cosa+3