人教B版高中数学必修二同步讲义：指数函数与对数函数的关系（学生版+解析）

第05讲指数函数与对数函数的关系

BI学习目标

课程标准学习目标

1.知道对数函数ylogaX与指数函数y/互为1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为

反函数（。>0且aWl）反函数，了解它们的图像间的对称关系.

2.能利用反函数与原函数图像、单调性等2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.

性质的关系解决相关的问题.3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题.

f!H思维导图

1.反函数存在的条件

.求反函数的解析式

反函数的概念V2

（3.反函数过定点问题

反函数的性质卜丁----------------------------------<4.根据反函数求参数

-----------指数函数与对数函数的关系一］题型

5.反函数的定义域问题

6.反函数的图像问题

7.单调性问题

8.零点问题

9.指数函数与对数函数的综合应用

ra知识清单

知识点01反函数的概念

一般地，如果在函数对⑺中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的无与之对应，那么X是y的函数，

这个函数称为W（X）的反函数.此时，称玳X）存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用X表示，因变量仍

用y表示，则函数Mx）的反函数的表达式，可以通过对调玳X）中的X与y,然后从犷U）中求出y得到.

【即学即练1】（24-25高一上•上海•课堂例题）下列函数没有反函数的是（）

①广2+E；②眸③1+2；④";■（£消

X十一（一

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

知识点02反函数的性质

一般地，函数求尤)的反函数记作矿i(x).则

的定义域与靖1。)的值域相同，求X)的值域与旷1(元)的定义域相同.

⑵玳x)与yi(x)的图像关于直线yx对称.

(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同.

【即学即练2】函数ylog3X的定义域为(0,+oo),则其反函数的值域是()

A.(0,+oo)B.R

C.(-00,0)D.(0,1)

知识点03求反函数的步骤

(1)求值域：由函数玳尤)求y的范围.

(2)解出x：由班㈤解出百七).若求出的尤不唯一，要根据条件中尤的范围决定取舍，只取一个.

(3)得反函数：将x,y互换得/气)，注意定义域得反函数.

提醒：求反函数时，若原函数玳x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域

来求.

【即学即练3】函数"+3的反函数为.

知识点04指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数丫乃与对数函数ylogd互为反函数.

(2)指数函数9与对数函数ylogd的图像关于直线法对称.

【即学即练4］已知。＞0,且则函数W*与ylogaX的图像只能是()

题型精讲

题型01反函数存在的条件

【典例01】判断下列函数是否有反函数.

x~\~1

(2)gCr)9f—2x.

【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是()

(

X

A.(1,4)B.(0,2]C.(2,4]D.[2,+oo)

【变式3】设〃x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）=^+b（O<a<l,beR）,若〃x）存在反函数,

则6的取值范围是

【变式4】判断下列函数是否存在反函数.

(l)y，[-2；⑵y—2f+4x,xG(l,+oo).

题型02求反函数的解析式

【典例2］（23-24高一上•广东茂名•期末）若指数函数/（X）经过点（2,4）,则它的反函数8。）的解析式为（）

2

A.g(x)=log2xB.gW=log05xC.g(x)=2.D.g(x)=x

【变式1】（23-24高一上•辽宁大连•期末）函数工工的反函数是（）

A.j=x2+2(^x><x<+co)B.y=%2+2(x>2)

C.y=x2+2(x<2)D._y=x2+2(x<0)

【变式2】（24-25高一上•上海,随堂练习）若函数y=/（久）的反函数为尸（x）=x+3,则y=外久）的解析式

为

【变式3】（23-24高一上•山西太原・期末）已知函数〃x）=log3X与y=g（x）互为反函数，则8⑵:

【变式4】（23-24高一上•上海•期末）函数y=2*-l的反函数为

题型03反函数过定点问题

【典例3］（23-24高一上•辽宁,期末）函数y=0i+l（。>1且awO）的反函数过定点

【变式1】（22-23高三上•辽宁抚顺•开学考试）已知函数/（%）="-左的图象过点（1,3）,其反函数的图象过

点（2,0）,则/（无）的表达式是

【变式2］已知函数y=f（x）存在反函数y=fT（x）.若函数y=f（x）+2的图像经过点（1,1）,则函数y=

f-\x）一2的图像必经过点.

【变式3】已知函数/T（X）为函数f（x）的反函数，且函数/0-1）的图象经过点（1,1）,则函数/一1（久）的图象

一定经过点.

题型04根据反函数求参数

【典例4］（24-25高一上•上海•随堂练习）如果直线，=方+3与直线y=3x+8关于直线y=x对称，那么

b的值分别是

【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数/（久）的图象与丫=e*的图象关于直线y=x对称，若/'（m）=-1,

则nt的值是（）

A.—eB.--C.eD.-

ee

【变式2】已知函数y=J二3的图象关于直线丫=》对称，则实数机的值为

2x-m

题型05反函数的定义域问题

函数，=1083《：4彳481］的反函数的定义域为（

【典例5】（24-25高一上•全国•课前预习）)

A.(0,+oo)B.?81C.(1,4)D.[-1,4]

【变式1】（24-25高一上•上海•随堂练习）函数y=%2+2x+l,xe［O,y）的反函数的定义域是（）.

A.B.[0,+oo)

C.[1,+co)D.R

【变式2】函数Tog?（3'+1）的反函数y=f-1（x）的定义域为

【变式3】函数与函数g（x）互为反函数，若=且*«0,心），则函数g（x）的定义域为（）

A.(O,+8)B.RC.(0,1)D.(1,+⑹

【变式4］（多选）已知函数y=T0gli武。>0,。工1）和》=0（a>0,awl）,以下结论正确的有（）

A.它们互为反函数B.它们的定义域与值域正好互换

c.它们的单调性相反D.它们的图像关于直线y=x对称

题型06反函数的图像

【典例6】（2023・辽宁•高一校联考期末）如图，已知函数〃力=3、则它的反函数y=/T（x）的大致图像

【变式11（2023•高一课时练习）函数y=/（x）的图像经过第二、第三象限，贝Ijy=/T（x）的图像经过（）

A.第一、第二象限；B.第二、第三象限；

C.第三、第四象限；D.第一、第四象限.

【变式2】（23-24高一上•福建泉州•期末）若函数g（x）与函数=2,+1的图象关于直线y=x对称,

【变式3】（23-24高二上•天津和平•阶段练习）如果直线>=改+2与直线y=3x—b关于直线丁二%对称，那

么。，b的值分别为（）

A.a=—,b=6B.a=—,b=6C.a=3,b=-2D.〃=3,b=6

33

题型07单调性问题

【典例7］（23-24高一上•辽宁丹东•期末）已知函数/（x）=log”尤,（a>0,。w1）与g（x）的图象关于直线>=》对

称，且g（-D=g,则函数y=iog/x2-2x）的单调递减区间是（）

A.（-0o,l）B.（1,+8）

C.（—8,0）D.（2,+00）

【变式1］（22-23高一上•云南昆明•期末）已知函数y=的图象与函数y=e'的图象关于直线对称，

则函数y=/（/-4x+3）的单调递增区间为（）

A.（-oo,l）B.（-oo,2）C.（2,+oo）D.（3,+oo）

【变式2】若函数〃同=（£|,函数〃尤）与函数g（x）图象关于y=x对称，则g（9-尤2）的单调减区间是（）

A.[0,3)B.[-3,0)

C.(0,3]D.(-3,0]

题型08反函数与零点问题

【典例8］（23-24高一下•广东东莞•阶段练习）已知方程e，+x=0与x+lnx=0的根分别为不尤2,则下列说

法不亚睥的是（）

八11

%1+%2=

A.。B.-<x2<l

C.In/"D.4XJX2-1>2（^-x2）

【变式1］（23-24高一上•北京•阶段练习）若天是函数/（x）=Hog“x-2023（a>l）的零点，%是函数

g（x）=x。*—2023（。>1）的零点，则占%的值为（）

A.1B.2023C.20232D.4046

【变式2](23-24高一上•广东•阶段练习)若毛，超分别是方程e，+x-2023=0,lnx+尤—2023=0的根,

)

2

20232023

A.------B.2023C.------D.4046

24

【变式3](23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习)已知函数>=d和y=lnx的图象与直线y=2-九交点的

横坐标分别a,b,则a+b=()

A.1B.2C.3D.4

题型09指数函数与对数函数的综合应用

a-2x~1

【典例9】已知叫92%+i(〃£R)，A0)0.

⑴求。的值，并判断八x)的奇偶性;

(2)求人x)的反函数；

1-f-jv

(3)对任意的左e(o,+oo),解不等式/上尤)>k»g2一

【变式1】已知指数函数，=(。2-3°+3)优的反函数为y=〃x).

(1)求函数y=的解析式;

⑵己知函数g(x)=/(/+l),求不等式g(2x+l)<g(3—x)的解集.

【变式2】设函数/(尤)=优+3。(其中a>0且awO).

⑴求函数丫=尸(%)的解析式;

⑵设函数g(x)=log.(x-a),h(x)=f\x)+g(x),如果当xe[a+2,+oo)时,"(x)Wl恒不成立,求。的取

值范围.

_1

【变式3】已知心)=储，

⑴求〃尤)的反函数广(x);

⑵己知=,若小,使得g(x)+g(y)=2,求g(2.g(〃)的最大值.

强化训练

一、单选题

1.下列命题组真命题的个数为（）

①存在反函数的函数一定是单调函数

②偶函数存在反函数

③奇函数必存在反函数

A.0B.1C.2D.3

2.函数y=ln无是与函数y=e'的图象（）

A.关于无轴对称B.关于y轴对称

C.关于原点对称D.关于直线y=x对称

3.若函数y=/（x）是函数y=a*（a>0且"1）的反函数，且〃2）=1,则/'（》）=（）

A.—B.log9xc.l°g，*D.2A2

X

22

4.已知函数/Q）=log2%的反函数为g（x）,则g（lr）的图像为（）

5.已知函数/(尤)=log“无过点(4,2),若丁〃幻43"。)的反函数为83),则g(x)的值域为(

A.g,彳B.-,1C.[1,3]D.[2,8]

82J|_3_

6.函数y=21+35€11)的反函数的解析表达式为()

2x-33-x2

A.y=log,--B.y=log——c.y=log——D.y=iog

x-3222223-x

7.若函数>=履+优左WO）的反函数为>=丘+〃，贝！I必有（）

A.k=l,b为任意实数；B.k=-l,b为任意实数;

C.k=l,b=0；D.k=l,b=0或左=一1,b为任意实数.

8.己知函数〃尤）=六六的反函数图像的对称中心是（T3）,则实数4的值是（）

A.2B.3C.-3D.-4

二、多选题

9.设。>0且。片1,函数/（x）=a*,g（x）=log0x,下列说法正确的是（）

A./（0与g（x）在各自的定义域内有相同的单调性

B.“X）与g。）两者的图象关于直线y=x对称

C./（尤）与g（x）两者都既不是奇函数，又不是偶函数

D./（力与g（x）有相同的定义域和值域

10.设无1，尤2分别是方程尤.2'.-1=0与x/og2X-l=。的实数解，贝1J（）

A.玉<工2B.X2>2C.XjX2=1D.%=2''

11.已知函数〃x）=2f的图象与函数y=g（x）的图象关于直线y=x对称，令=则关于函

数y=〃（x）说法正确的是（）

A.函数y=Mx）的图象关于原点对称B.函数y=4外的图象关于N轴对称

C.函数y=/7（x）的最小值为1D.函数y=/7（x）在（0,1）上为减函数

三、填空题

12.已知函数“X）是函数g（x）=（a+l）-*（a>-Lar0）的反函数，则/'（力过定点.

13.已知函数/（x）=-Y-i,%>o,贝!|/T（-10）=.

14.定义在（T2）上的函数y=|lg（x+a）|不存在反函数，则实数。的取值范围是.

四、解答题

15.函数"X）与g（x）互为反函数，若/（尤）=1（）赢（x<0）.求函数g（x）的解析式，定义域，值域.

16.已知/（log3X）=2x+L（x21）

（1）求/（尤），并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；

⑵已知尸（X）为“X）的反函数，解不等式尸（2x-1）<1.

17.己矢口/（x）=[x—-a,a-

⑴求的反函数;

⑵若/'（x）"T（x）,求°的直

⑶如何作出满足（2）中条件的y=的图像

18.我们知道y=a'与y=10g,X（。＞0且"1）互为反函数，它们具有以下性质：①图象关于直线对

称；②y=a'的定义域是y=log〃x的值域，＞=优的值域是y=log“x的定义域，反之亦然；③若点（九加

在函数y=«'的图象上，则点5,相）一定在函数y=log。X的图象上.

①若函数〃x）=log2（x-3）与g（x）=a'j互为反函数，求实数a,b的值；

⑵运用⑴题中得到的函数/（尤）,g（x）,若对叫使得8（占）叶/伍）丁+靖■（々）+7不

成立，求实数。的取值范围.

19.已知函数〃x）=3",且y=/（%）的反函数为y=g（x）.

⑴求〃log35）+g（36）-g（4）的值；

⑵若函数无）=[g（x）[-2g⑴-％+4（%eR）,问：依）是否存在零点，若存在，请求出零点及相应实数k

的取值范围：若不存在，请说明理由

第05讲指数函数与对数函数的关系

课程标准学习目标

1.知道对数函数ylogax与指数函数y"互为1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为

反函数（cz>0且aWl）反函数，了解它们的图像间的对称关系.

2.能利用反函数与原函数图像、单调性等2.利用图像比较指数函数、对数函数增长的差异.

性质的关系解决相关的问题.3.利用指数、对数函数的图像性质解决■些简单问题.

02思维导图

71.反函数存在的条件

/2.求反函数的解析式

（3.反函数过定点问题

<4.根据反函数求参数

题型J一5.反函数的定义域问题

16.反函数的图像问题

17.单调性问题

卜8.零点问题

'、9.指数函数与对数函数的综合应用

知识清单

知识点01反函数的概念

一般地，如果在函数的）中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的工与之对应，那么兀是y的函数，

这个函数称为玳X）的反函数.此时，称玳X）存在反函数.而且，如果函数的自变量仍用X表示，因变量仍

用y表示，则函数求X）的反函数的表达式，可以通过对调玳X）中的X与》然后从犷U）中求出y得到.

【即学即练1】（24-25高一上•上海•课堂例题）下列函数没有反函数的是（）

①尸2+G；②眸£；③Z+2；④消

X十今（一

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】C

【分析】根据X与y之间是否一一对应逐个分析判断即可.

【详解】对于①，当y=4时，土布，所以没有反函数；

对于②，当y=g时，尤=±1,所以没有反函数；

对于③，x与y------对应，所以有反函数；

对于④，当产3时，x=3或x=-l,所以没有反函数.

知识点02反函数的性质

一般地，函数求尤)的反函数记作/i(x).则

(DWG)的定义域与旷i(x)的值域相同，求r)的值域与旷i(x)的定义域相同.

(2).x)与/i(x)的图像关于直线yx对称.

(3)单调函数的反函数一定存在，且互为反函数的两个函数的单调性相同.

【即学即练2】函数ylog3X的定义域为(0,+oo),则其反函数的值域是()

A.(0,+oo)B.R

C.(-00,0)D.(0,1)

【答案】A

【详解】由原函数与反函数间的关系知，反函数的值域为原函数的定义域，故选A.

知识点03求反函数的步骤

(1)求值域：由函数玳尤)求y的范围.

(2)解出x：由状x)解出/七).若求出的无不唯一，要根据条件中尤的范围决定取舍，只取一个.

(3)得反函数：将x,y互换得了匕)，注意定义域得反函数.

提醒：求反函数时，若原函数玳x)的定义域有限制条件，其反函数的定义域只能是根据原函数的值域

来求.

【即学即练3］函数yx+3的反函数为.

【答案】yx—3(尤GR)

【详解】由yx+3,得孙一3,x,y互换得声一3,所以原函数的反函数为yx—3(xGR).

知识点04指数函数与对数函数的关系

(1)指数函数ya*与对数函数ylogd互为反函数.

(2)指数函数/X与对数函数ylogd的图像关于直线.对称.

【即学即练4］已知a>0,且aWl,则函数与ylogaX的图像只能是()

【答案】A

【详解】因为。＞1时，y=aT=仕］,0＜工＜1是减函数，恒过(0,1)点，ylogax为增函数,

yaJa

恒过(1,0)点，故选A.

题型精讲

题型01反函数存在的条件

【典例01】判断下列函数是否有反函数.

x+1

（1求x）£7p（2应（无）/9—2k

【分析】由反函数的定义判断，当函数没有反函数时，可取值说明.

【详解】⑴令玳龙)，因为月4+三，是由反比例函数右向右平移一个单位，向上平移一个单位

XIXIX

得到，在(一8,1),(1,+功上都是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的X与之对应，所以

/(X)存在反函数.

(2)令g(x)3,即％2-2尤一30,

解得X—1或x3,

即对应的x不唯一，因此g(X)的反函数不存在.

【变式1】下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是()

【答案】A

【解析】根据反函数的定义，存在反函数的函数应满足一个y至多对应一个x.

对于A,当y为正数时，一个y对应两个无，不满足反函数的定义，A错;

对于B,当y为正数时，一个y对应两个x,不满足反函数的定义，B错;

对于C,当y为正数时，一个y对应两个x,不满足反函数的定义，C错；

对于D,满足反函数的定义，D对.

4

【变式2]若函数y=x+—在xe(O,。)上存在反函数，则实数。的取值范围为()

x

A.(1,4)B.(0,2]C.(2,4]D.[2,+«)

【答案】C

4

【解析】若函数y=x+—在上存在反函数，

x

4

则函数y=x+—在xe(O,。)上单调即可，

x

又因为函数y=x+：在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以(O,a)=(O,2),所以“e(0,2]..

【变式3】设/'(X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)=a、+b(O<a<l,beR),若“X)存在反函数，

则匕的取值范围是.

【答案】6WT或620.

【解析】当x<0时，-x>0,f{-x)=ax+b,〃x)是定义在R上的奇函数，

所以/(%)=—f(一元)=—。，一人，即xV0时，f(-^)=—ax—b,

ax+b,x>0

所以/(%)=,一"x<0,

0,x=0

若f(%)存在反函数，则/(%)在每段单调且各段值域无重合，

当九="+&G(Z?,Z?+1),x<O,f^x)=-a~x-be(-1-b,-b),/(0)=0；

所以人NON—b或Z?+l<0<—1—人

所以1或bNO.

【变式4】判断下列函数是否存在反函数.

(1也[]-2；(2)y—2/+4x,x£(l,+oo).

【解析】(1)兀尢一2是由函数/向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，在(一8,-1),(-1,

+◎上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的尤值与之对应，所以函数存在反函数.

(28-2/+4无-2(X-1)2+2,对称轴为xl,在(1,+oo)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只

有唯一的x值与之对应，所以函数存在反函数.

题型02求反函数的解析式

【典例2】(23-24高一上•广东茂名•期末)若指数函数/(x)经过点(2,4),则它的反函数8。)的解析式为()

A.g(x)=log,xB.g(x)=logosxC.g(x)=2'D.g(x)7

【答案】A

【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解.

【详解】设指数函数〃x)="(a>0且"1),点(2,4)在了⑺的图象上，

所以4=",解得a=2.

所以/(x)=2*,故反函数g(x)=log2X.

【变式1】(23-24高一上•辽宁大连•期末)函数与的反函数是()

A.y=x2+2(^»<x<-K»)B.y=x2+2(x>2)

C.y=x2+2(x<2)D.y=d+2(x40)

【答案】A

【分析】根据反函数定义求解即可.

【详解】解：E.V=-A/7^2,回yvo,

0-y=\jx-2,即y?=x-2,回尤=丁+2,

将x,y调换可得，J=X2+2(X<0),

故函数y=-G^的反函数是y=£+2(x40).

【变式2】(24-25高一上•上海•随堂练习)若函数y=f(x)的反函数为尸(力=龙+3,贝的=外功的解析式

为.

【答案】y=x-3(xeR)

【分析】根据反函数的定义求解即可.

【详解】由>=》+3,

得x=y-3,

将互换得，>=尤-3,

且函数y=x+3的值域为R,

因此，函数y=/(x)=x-3(xeR),

故答案为：y=X-3(XeR).

【变式3](23-24高一上•山西太原•期末)已知函数〃x)=log3X与y=g(x)互为反函数，则g(2)=.

【答案】9

【分析】由指数函数与对数函数互为反函数可得答案.

【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得g(x)=3、，

故g⑵=32=9.

故答案为：9.

【变式4】(23-24高一上•上海•期末)函数>=2,-1的反函数为.

【答案】y=log2(x+l)(x>-l)

【分析】利用反函数的定义求解即可.

【详解】因为>=2*-1的反函数为了=2〉-1,

所以尤+1=2>，J!!Jy=log2(x+1)(x>-1).

故答案为：y=log2(x+l)(x>-l).

题型03反函数过定点问题

【典例3](23-24高一上•辽宁•期末)函数>=罐一+1(。>1且。力0)的反函数过定点.

【答案】(2,1)

【分析】根据指数函数的性质及反函数的性质计算得到.

【详解】对于函数>=屋7+1(。>1且awO),令x-l=0,即x=l,所以y=a°+l=2,

即函数y=qi+l(a>l且“*0)恒过点(1,2),

所以函数y=0i+l(。>1且awO)的反函数恒过点(2,1).

故答案为：(2,1)

【变式1】(22-23高三上•辽宁抚顺•开学考试)已知函数左的图象过点(L3),其反函数的图象过

点(2,0),则的表达式是.

【答案】f(x)=2"+L

【分析】利用互为反函数的两函数图象对称性可得函数也过(。，2),代入点的坐标待定系数可得.

【详解】由函数〃幻=优-左的图象与其反函数的图象关于>对称，

又其反函数的图象过点(2,0),则函数/(x)="-左的图象过点(0.2).

则f(0)=2=0°—k=l—k,解得k=—l.

又函数/(尤)=优-左的图象过点(1,3),

则/⑴="—左=。一%=。+1=3,解得a=2.

故〃x)=2'+l.

故答案为：/(x)=2'+l.

【变式2]已知函数y=/(x)存在反函数y=/一1(>).若函数y=/(£)+2的图像经过点(1,1),则函数y=

-2的图像必经过点.

【答案】(-1,-1)

【分析】由已知可得f(l)=—1,再由反函数的性质可得广1(一1)=1,从而可得广1(一1)一2=-1,进而

可得答案

【详解】因为函数y=/(x)+2的图像经过点(1,1),所以〃1)+2=1,得〃1)=—1,

所以由反函数的性质可得fT(—1)=1,所以/一1(—1)—2=—1,所以函数y=/T(X)-2的图像必经过点

(―1,—1),故答案为：(—1,-1)

【变式3】已知函数fT(x)为函数f(x)的反函数，且函数/0-1)的图象经过点(1,1),则函数/-1(久)的图象

一定经过点.

【答案】(1,0)

【分析】先求出函数f(x)的的图象经过点的坐标，再由函数fT(x)与函数“X)的图象关于y=%对称即可求

解.

【详解】因为函数/(X—1)的图象经过点(1,1),所以函数/(X)的的图象经过点(0,1),因为函数/T(x)与函

数f(x)的图象关于y=x对称，所以函数/TQ)的图象一定经过点(1,0),故答案为：(1,0).

题型04根据反函数求参数

【典例4](24-25高一上•上海•随堂练习)如果直线'=依+3与直线y=3x+b关于直线y=x对称，那么°、

6的值分别是、.

【答案】|-9

【分析】根据反函数的定义即可求解.

【详解】因为直线丁=办+3与直线y=3x+b关于直线y=x对称，

所以函数,=依+3与y=3九+8互为反函数，

又＞=3%+匕的反函数为＞=

所以"Lb=-9.

3

故答案为：—；—9.

【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数/(%)的图象与y=e”的图象关于直线y=%对称，若/(租)=-1,

则m的值是()

11

A.—eB.—C.eD.—

ee

【答案】A

【分析】由题得f(%)=In%,根据/(TH)=-1即得解.

【详解】解：因为函数/(%)的图象与丫=短的图象关于直线y=x对称，所以/(%)=ln居因为“血)二一1,

所以Inzn=-1,・•・m=-.

e

Y—5

【变式2]已知函数y=的图象关于直线y=x对称，则实数机的值为_________

2x-m

【答案】1

【解析】由y=4-得y（2x-m）=尤-5,

2x-m

my-5x-5.,iwc-5

BPX=-即an>----的反函数为丁=二—二，

2y-l2x-m2x-l

x—5

因为函数y==上的图象关于直线y=x对称，

2x-m

,,九―5,1TIX—5、r!_.u,,,,T

故y=7------与~为同一函数，故相=1・

2x-m2x-l

题型05反函数的定义域问题

【典例5]（24-25高一上•全国•课前预习）函数y=log3尤]VxV81）的反函数的定义域为（）

A.（0,+oo）B.⑻jC.（1,4）D.[-1,4]

【答案】A

【分析】计算函数，=1。83天色4X481）的值域，可求出原函数的反函数的定义域.

【详解】由对数函数的性质可得：函数>=1。83武（4彳481）的值域为[-1,4],

则反函数的定义域为[T,4].

【变式1]（24-25高一上•上海,随堂练习）函数y=/+2x+i,xe[O,心）的反函数的定义域是（）.

A.B.[0,+oo）

C.[l,+oo）D.R

【答案】D

【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可.

【详解】因为函数y=V+2x+l=（x+l）2在xe[O,y）单调递增，

所以（龙+

即yw[l,+co）,

因为反函数的定义域是原函数的值域，

所以反函数的定义域为[L+8）,

1

【变式2】函数〃x）=log2（3'+1）的反函数y=P⑺的定义域为.

【答案】（0,+“）

x

【解析】：3'+1>1,Alog2（3+l）>0,

A函数=1皿（3V+1）的值域为（0,+功.

V>=广⑺的定义域即函数=log2（3'+1）的值域

•.•y=尸（力的定义域为（。,+8）.

【变式3】函数“X）与函数g（x）互为反函数，若〃x）=［£|且xe（O,E）,则函数g（x）的定义域为（）

A.（0,+s）B.RC.（0,1）D.（1,+<®）

【答案】D

【解析】:•当xe（O,+«）时，QJe（O,l）,

.••函数/（x）=QJ,xe（O,y）的值域为（0,1）,

又〃x）与g（x）互为反函数互为反函数，

故g（x）的定义域为（0,1）..

【变式4］（多选）已知函数了=一1。8/（。>0,。《1）和丫=［工］（a>0,awl）,以下结论正确的有（）

A.它们互为反函数B.它们的定义域与值域正好互换

c.它们的单调性相反D.它们的图像关于直线y=x对称

【答案】ABD

【解析】A选项，注意到y=T°g〃x=l°g/，则其与函数y=互为反函数，故A正确；

B选项，函数y=l°g［X定义域为（0,+8）,值域为R.

a

函数y=g］定义域为R,值域为（0,+动.故B正确；

C选项，当。>1时，两函数均在定义域内单调递减.

当。时，两函数均在定义域内单调递增.故C错误；

D选项，两函数互为反函数，则函数图像关于直线y=x对称，故D正确.

BD.

题型06反函数的图像

【典例6】（2023・辽宁•高一校联考期末）如图，已知函数〃x）=3i,则它的反函数丁=尸（尤）的大致图像

是（）

【答案】D

【解析】由题意得，函数〃X)=3*T的反函数是y=/T(x)=log3X+l,

吗；+，

这是一个在(0,+功上的单调递增函数，且＞=/一I=11=°

所以只有选项C的图像符合..

【变式11(2023・高一课时练习)函数＞=/(幻的图像经过第二、第三象限，贝ljy=广1(尤)的图像经过()

A.第一、第二象限；B.第二、第三象限；

C.第三、第四象限；D.第一、第四象限.

【答案】D

【解析】•••y=的图像与y=(x)的图像关于直线，=X对称，

若函数y=/(%)的图像经过第二象限，

/、fm＜0

即＞=/(x)的图像上的任意点P[m,n)满足〃＞0,

则P(〃z,〃)关于直线V=x的对称点P，(〃,间在第四象限，

且尸'(",也)在＞=尸(x)的图像上，

y=/-(%)的图像经过第四象限；

同理可得：若函数y=f(x)的图像经过第三象限，

则y=/T(X)的图像经过第三象限；

故y=7-(x)的图像经过第三、第四象限..

【变式2](23-24高一上•福建泉州•期末)若函数g(x)与函数〃尤)=2,+1的图象关于直线y=x对称,

【分析】由题意首先得g(x)=logz(xT)，根据它的定义域、单调性以及它所过定点即可得解.

【详解】由题意函数g(x)与函数=2工+1互为反函数，

所以x=2四+1*解得g(x)=log2(x-1),它在定义域(L+8)内单调递增,且过定点(2,0),

对比选项可知A符合题意.

【变式3](23-24高二上•天津和平•阶段练习)如果直线＞=6+2与直线y=3x-6关于直线y=x对称，那

么a,b的值分别为()

A.a=—,b—6B.a=--