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文档简介
第01讲实数指数嘉及其运算
01学习目标
课程标准学习目标
1.理解有理数指数塞的含义,会用幕的运算法则进行有
关计算.
①有理指数幕含义及运算
2.通过具体实例了解实数指数暴的意义.
②实数指数暴
3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,
可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.
思维导图
n次方根的定义及表示
n次方根的性质
有理数指数幕
实数指数导的运算性质
根式的性质与运算
根式与分数指数帚的互化
指数年的运算与化简
条件求值问题
03知识清单
知识点01n次方根的定义及表示
⑴定义
给定大于1的正整数〃和实数。,如果存在实数x,使得,则称为的〃次方根.
(2)表示
①0的任意正整数次方根均为—,记为——;
②正数。的偶数次方根有_____个,它们互为——数,其中正的方根称为a的n次—根,记为—,
负的方根记为—;负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当。<0且”为偶数时,标没有意义;
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为—.而且正数的奇数次方根是一个—数,负数的
奇数次方根是一个—数.
【即学即练1】
1.若2+(0—4)。有意义,则。的取值范围是()
A.[2,+8)
B.[2,4)U(4,+°0)
C.(—8,2)U(2,+8)
D.(—8,4)U(4,+°°)
知识点02根式的定义和性质
⑴定义
当_____有意义时,称为根式,〃称为一,a称为.
(2)性质
7
②当w为奇数时,旧—;当〃为偶数时,成
【即学即练2】
2.行=()
1
A.0B.-C.1D.2
3
知识点03有理数指数幕
(1)如果加,"GN*,w>l,且那是既约分数,那么当缶有意义时,规定:加,
(2)有理数指数导的运算法则
c1sd,,(ab)s.
【即学即练3】
3.(多选)下列表达式不正确的是()
22/2\36
A-a3+•=a(a>0)B-=a
r-r_
C.=D.晤=&
a
知识点04实数指数幕的运算律
(1)a'd(a>0,r,sGR).
(2)(ay(«>0,r,sdR).
(3)(aby(a>0,b>Q,rdR).
【即学即练4】
4.x的值是()
A.3B.3电C.9D.81
04题型精讲
题型01根式的性质与运算
【典例1】下列各式正确的是()
A.O=V(-8)2B.7(3-TT)2=3-K
C.>fa"=\a\(^n>l,neN*D.丽)"=a(n>1,neN
【变式1](多选)下列说法中正确的是()
A.16的4次方根是±2B.07=3
C.病=±3D.J(x+y)2=|x+y]
【变式2】J(兀-4了+#(兀一3)3=
【变式3】已知x<0,化简:腾+底=
【变式4】求下列各根式的值:
(2)痴一6)6(其中“<6).
题型02根式与分数指数哥的互化
9。1
3
【典例2】(1)求值:x,6应)+8zx^2-
2
(2)求值:+2-X(2^2-(0.01)°5;
⑶化简:用!""
【变式D化简&-#/(”>())的结果是()
A.>JaC.-y[aD.
a
【变式2](多选)下列根式与分数指数事的互化正确的是()
A.-yf^=(-X)2
B,而2=(y>°)
【变式3】化简:而1.
【变式4](1)求值:3^±=
(2)用分数指数幕表示0)=
题型03指数幕的运算与化简
【典例3】计算:一(事]+仅0080*福
【变式11若2m=5,4"=3,则43E的偃谭()
A.0.9B.1.08c.2D.4
【变式2】已知2鹤1+4"=192,贝!!”=()
A.3B.4c.5D.6
【变式3](多选)下列运算不正确的是()
A.3a+2a3=5a4B.3a2.2a3=6a6c.(-2Q3)=4。6D.4a6+/=4〃3
【变式4】化简:(指+应广”.(有一血)2=.
2
【变式5】计算:后J+(无+球=.
题型03条件求值问题
【典例】己知一3,求下列各式的值:
4ClrCl-J
①Q+/;
1
②「+a4
【变式1】已知实数。满足4+小=:4,贝+的值为()
A.14B.16C.12D.18
22
那么,+X-等于()
【变式2】已知户+兀5=5(x>0),
A.77B.—5/7C.土币D.7
【变式3】已知a+a~1=6,贝(J_的值为---------
【变式4】已知x+x~l=3,求下列各式的值:
①£+■;
2
②f+X~;
③x2-x~2.
强化训练
一、单选题
4
1.^(2-e)+(-8)l=()
A.—6+eB.2+eC.-2—eD.6—e
2.已知〃eN+,贝V府二=/是"。>0"的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.下列各式正确的是()
A-H(-3?=4B.#(x+y)4=(x+y尸
D.[二]=n2m^
C.^8=-2
\rn)
3
4.化简[而不了的结果为()
A.5B.C.-5D.-V5
5.已知尤40且“?=—2x,则有()
A.x<0B.x>0C.x>QD.x<0
4〃
6.若m-2n=1,则二=()
交1厂
A.1B.c-2D.6
2
7.已知2'=3,2,=5,则呜的值()
厂45
A.9+v5B.—C.66D.9A/5
8.已知〃>0,力>0,4"="=16,则2""的值是()
811
A.—B.-C.24D.—
3424
9.当J—x+l有意义时,化简Jr?一8%+16—,尤2—10X+25的结果是().
A.2x—7B.—2x+1C.-1D.7—2x
10.已知<2+47=7,贝!Ct—CL-.()
A.6B.±\^5C.3D.±3
二、多选题
11.下列各式正确的是()
A.丘=aB.^37=-3c.7^7=-4D.-1(-々J=a
12.下列运算正确的是()
A.aJ—I—J-Q
B-%=振
2
Q一鼻D-(
C;-aJ
7a%
13.若实数满足2,+2刑=1,则()
A.x<0且y<-lB.A+y的最大值:kj-3
C.仕[+七广的最小值为7
D.-2x+y<2
))
三、填空题
14.计算27,-0.2-.
1/7-6
15.化简:0.001F一可+165+(V2-A/3)+02=.
16.借助信息技术计算+的值,我们发现当〃=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…时11+工]的
底数越来越小,而指数越来越大,随着〃越来越大,[1+:]会无限趋近于e(e=2.71828…是自然对数的底
数).根据以上知识判断,当〃越来越大时,+会趋近于.
四、解答题
17.化简求值:
27--11
⑵(沙+-J—+2.(e-l)°-84x^2
OV7+2
18.计算.
⑴(0.0081。-
(2)V-125+36y+y(i)6_也3一兀丫.
19.已知/求下列各式的值:
ClICl-
⑴。+;
33
(2)+〃万-3.
2-2
a+Q-2
第01讲实数指数嘉及其运算
课程标准学习目标
1.理解有理数指数基的含义,会用幕的运算法则进行有
关计算.
①有理指数幕含义及运算
2.通过具体实例了解实数指数幕的意义.
②实数指数暴
3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,
可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.
02思维导图
k
n次方根的定义及表示
n次方根的性质
有理数指数幕
实数指数痔的运算性质
根式的性质与运算
根式与分数指数器的互化
指数年的运算与化简
条件求值问题
03知识清单
知识点01n次方根的定义及表示
⑴定义
给定大于1的正整数”和实数。,如果存在实数X,使得H,则x称为a的"次方根.
(2)表示
①0的任意正整数次方根均为0,记为—而=0_;
②正数a的偶数次方根有—西—个,它们互为相反一数,其中正的方根称为a的W次算术.根,
记为—而负的方根记为—二标_;负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当。<0且w为偶数
时,而没有意义;
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为—标—.而且正数的奇数次方根是一个—正—数,负
数的奇数次方根是一个二—数.
【即学即练1】
1.若标;+(。一4)°有意义,则。的取值范围是()
A.[2,+°0)
B.[2,4)U(4,+8)
C.(—8,2)U(2,+8)
D.(—8,4)U(4,+°0)
【答案】C
(a-2N0,
【解析】要使原式有意义,需满足<解得2Wa<4或a>4.
[a—4^0,
知识点02根式的定义和性质
⑴定义
当也有意义时,而称为根式,w称为_根指数.,°称为被开方数.
(2)性质
②当〃为奇数时,归a:当〃为偶数时,仃⑷.
【即学即练2】
2.疗=()
1
A.0B.-C.1D.2
3
【答案】A
【分析】根据指数幕运算计算即可.
【详解】行=2,.
知识点03有理数指数幕
1
m___I
⑴如果"GN*,n>l,且蓝是既约分数,那么当缶有意义时,规定:6—海d7""
(2)有理数指数累的运算法则
as+,,(asyast,(abYasbs.
【即学即练3】
3.(多选)下列表达式不正确的是()
A-凉+加=”(">0)B.[a~)=a
C.^-=£(a<0)D.疗=6
a
【答案】DD
【分析】对于AB,根据指数幕的运算性质分析判断,对于CD,根据根式的运算性质分析判断.
5252J
【详解】对于A,京+后§=Q(Q>0),所以A正确,
对于B,(4)3=々2x3=〃6,所以B正确,
____________3
对于C,叵=正1f=与上=_口(4<0),故C错误;
aa~\a)
对于D,"=洞,故D错误.
D.
知识点04实数指数幕的运算律
C1)arasar+s(a>0,r,sGR).
(2)(a/yars(a>0,r,sGR).
⑶(abYarbr(a>0,b>0,r©R).
【即学即练4】
【答案】C
【解析】X
Y=>
04题型精讲
题型01根式的性质与运算
【典例1】下列各式正确的是()
A.O=^/(-8)2B.7(3-TT)2=3-K
C.y[a"=>1,MeN")D.(折)"=>1,"eN*)
【答案】A
【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.
【详解】就后=一2,代二媪=版=行=2,故A错误;
J(3—Ji)?=|3—TI|=7T—3,故B错误;
回〃>l,〃eN*,国当〃为奇数时,6=a;当〃为偶数时,府=同,故C错误;
(布>=。(">1,女?4*)不成立,故D正确.
【变式1](多选)下列说法中正确的是()
A.16的4次方根是±2B.^=27=3
C.y/si=±3D.J(x+y)~=|x+y|
【答案】AD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】对于A,16的4次方根有两个,为士1,故A正确;
对于B,负数的3次方根是一个负数,盯27=「T=-3,故B错误;
对于C,我1=W=|3|=3,故C错误;
对于D,J(x+yj是非负数,所以=|彳+>|,故D正确.
D.
【变式2】痴一4)2+乱(兀-3)3=.
【答案】1
【分析】由根式的运算性质求解即可.
【详解】J(兀-4)2+3(兀-3)3=|兀_4|+兀-3=4—兀+兀_3=1.
故答案为:1
【变式3]己知尤<0,化简:疗+犷=.
【答案】0
【分析】根据根式运算法则计算出结果.
【详解】因为尤<o,所以"+#7=%+国=%-1=0.
故答案为:。
【变式4】求下列各根式的值:
(2)加一6)6(其中“<6).
【答案】⑴T
(2)b-a
【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得;
【详解】⑴而护=-4
(2)^(a-b)6=\a-b\=b-a(其中a<8).
题型02根式与分数指数塞的互化
【典例2]⑴求值:0
(2)求值:5+2-2X(2;2_(0.01产
(3)化简:
【答案】(1)2;(2)9(3)y
13b
【分析】将根式化为分数指数幕,根据分数指数累的运算法则进行计算;
【详解】⑴卜3[9个6可+8:x谆^|L||Jxl+/x2L
1
27+516
3015
2!丫-
52
-s/a乐田•京
(3)(4°叫庐a.
班.^2庐-I24-2g一1
田.庐a3b3
【变式1】化简G•标(稣0)的结果是()
A.l[aB.C.—yfaD.yfa
'a
【答案】C
【分析】根据根式与分数指数基之间的关系,结合指数基运算求解.
【详解】因为。>0,
___12127___
所以\[a.____=Q,♦>
【变式2](多选)下列根式与分数指数新的互化正确的是()
A.-y/~X—(-X)2
___1
B.后=y3(y>0)
C.X4=2]1I(x>°)
3
1_
4;2(%>0)
D.=X
【答案】CCD
【分析】运用分数指数幕与根式转化公式,结合指数幕性质求解即可.
【详解】A项错误,-《=—户(了W0),而(-x)5=V0);
B项正确,y/=y“y>o);
C项正确,
D项正确,
CD.
【变式3】化简:而丸.
【答案】1
【分析】根据指数幕的运算法则计算即可.
【详解】解:由题意可知。>0,
5_
所以V?T—T-a万•/26=*=].
故答案为:1
【变式4](1)求值:
(2)用分数指数幕表示心a>0)=
【答案】
【分析】根据〃次方根及分数指数幕运算即可.
题型03指数塞的运算与化简
22
【典例3】计算:+(0.008px—.
【答案】I
【分析】根据分数指数幕的运算法则计算即可得解.
2
[详解]原式=(',_[彳)5(IOOOV2
+=
25
一3」=口+25-=上+2」
25932599
【变式11若29=5,4"=3,则43"-"的值是()
A.0.9B.1.08C.2D.4
【答案】C
【分析】根据题意结合指数幕运算求解.
33
【详解】因为2"=5,4"=3,所以尹=1.08.
42叶
【变式2】已知22"〃+4"=192,则〃=()
A.3B.4C.5D.6
【答案】A
【分析】利用募的运算,将已知等式进行变形,根据等式的性质可得22"=26,即可求出叫
【详解】因为223+4"=192,
所以22"+1+4"=22n+1+22"=22"(2+1)=3X22Z'=192,
所以3x2?"=192=3x64=3x26,
贝ij22n=26,即2〃=6,则〃=3.
【变式3](多选)下列运算不正确的是()
A.3a+2“3=5a4B.3o2-2a3=6a6C.(—2。,=4<76D.4f76-i-a2-4a3
【答案】ABD
【分析】借助指数嘉的运算逐项计算即可得.
【详解】对A:3a和2a3不是同类项,不能合并,故本选项不符合题意,故A错误;
对B:3〃-2a3=6a23=6a5,故B错误;
对C:(-2a。=4a3x2=4a6,故C正确;
对D:4a6-i-a2=4a6-2=4a4,故D错误.
BD.
【变式4】化简:(G+亚广\(/-百广二.
【答案】1
【分析】运用指数嘉性质,结合平方差公式可解.
【详解】原式=[(6+0)-(后-0)-=严=1.
故答案为:1.
2
【变式5】计算:"(无+球=.
【答案】-看22
【分析】根据指数塞的运即可求解.
2
【详解】亚3—一+(兀+1)°=-3-2一二一经
*I99
故答案为:-年22
题型03条件求值问题
【典例4】已知Cl求ICl下—J列各式的值:
①〃+;
②3/
【答案】①7;②0
【分析】利用平方关系求解.
/£_1V
【详解】①因为「+〃一5=3,所以二+。5=9,即。+。7+2=9,所以Q+〃T=7;
\7
(1_1VI_11111
②因为a4+a4=a2+a2+2=3+2=5,又因为公+厂>(),所以>+户=石.
\7
【变式1]已知实数。满足/=4,贝1]/+成2的值为()
A.14B.16C.12D.18
【答案】A
【分析】由,+1『=/+°-2+2分小,变形代值即可.
【详解】因为(。+。7)2=/+。-2+2。“7,
所以/+尸=[a+cT1^-2a-a~'=16-2=14.
22ii
【变式2】已知#+”=5(x>0),那么W+”等于()
A.币B.一币C.土SD.7
【答案】A
【分析】将所求式取平方,求出其值,再判断其值为正即可求得.
、、1_12_2
【详解】由(田+”)2=1+£3+2=54-2=7>
因x>0,故3+户>0,
即得,£+■="
【变式3]已知°+人=6,贝1“4的值为________.
CvL4-C4-L41
【答案】1或-3
【分析】根据题意,先求”一。5即可得解.
/_L」Y
【详解】根据题意,=〃+〃一1-2=6-2=4,
所以%-/;=±2,
贝或一3.
故答案为:1或-3.
【变式4]己知X+%T=3,求下列各式的值:
①/+”;
②f+工-2;
③_工-2.
【答案】①6;②7;③±3/
/j___L、2
【详解】①因为%+%T=3,所以/+”=x+x-1+2=5,
又/+”>0,所以必+”=6.
②因为%+%一1=3,所以(%+%T)=%2+/+2=9,所以%2+尤-2=7.
③因为%2一%-2=(工+%-1)(%_%-1),且卜一%-1)2=%2+%一2_2=7—2=5,
所以%—X1=±5/5,所以f-X2—+3A/5.
05强化训练
一、单选题
L^(2-e)4+(-8)t=()
A.-6+eB.2+eC.—2—eD.6-e
【答案】C
【分析】根据指数运算,可得答案.
【详解】因为e>2,所以y(2-e)4=e-2,(-8)1=8^==22=4>
所以y(2-e『+(-8户=e+2.
2.已知〃eN+,贝折'=/'是"a>0"的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幕的运算化简即可判断.
【详解】由题意V7="=Ha<o,〃eN+,即=心0,
而“a20"是"a>0"的必要而不充分条件,所以"g"=/是"a>0"的必要而不充分条件.
3.下列各式正确的是()
A-=gB.,(彳+»=(x+y户
D.[二]=〃2加3
C.O=-2
【答案】D
【分析】根据指数幕的计算公式及根式与分数指数幕的互化计算即可.
【详解】对于A,汨故A错误;
对于B,,(彳+y)4=(x+y尸,故B错误;
对于C,舛=-2,故C正确;
对于D,故D错误.
4.化简[而不了的结果为()
A.5B.75C.-5D.-75
【答案】A
【分析】根据指数嘉的运算性质进行求解即可.
5.已知XW0且在彳=—2x,则有()
A.x<0B.x>0C.x>0D.尤(0
【答案】A
【分析】根据根式运算性质,得到2闵=-2x,即可求解.
【详解】因为“?=2w,可得2忖=—2x,
又因为尤wO,解得尤<0.
4"
6.若m―2〃=1,则I—=()
独"
A.1B.—C.-D.J2
22
【答案】D
【分析】利用根式与分数指数累的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为,"一2"=1,贝!]272=一1,
7.已知2'=3,2,=5,则2?吗的值()
A.9+A/5B.—C.6行D.9>/5
【答案】A
【分析】根据指数的运算性质即可求得.
【详解】因为2*=3,2〉=5,所以2?呜=22^25=(2")-(2斤=3?x53=9后
8.已知。>0,6>0,4"=匕2=16,则2"。的值是()
81
A.-B.-C.24
34
【答案】C
【分析】根据指数基的运算求出“、6的值,再代入计算可得.
【详解】因为。>0,6>0,4"="=16,16=24=42,
所以a=2,6=4,
所以2所"=2?-4=2..
4
9.当J-x+1有意乂时,化荷—8%+16——10%+25的结果是()•
A.2%—7B.—2x+1C.—1D.7—2%
【答案】D
【分析】根据根式有意义求得x的范围,化简所求根式即可.
【详解】因为有意义,所以-X+120,则xWl,
贝1J尤2-8彳+16-Jf-10x+25=J(X-4)2-J(尤-5.
=4—x—(5-x)=-1,
10.己知a+a-=7,则/_0」=()
A.75B.上后C.3D.±3
【答案】C
【分析】根据式子结构,对所求式子平方后即可求解.
/2」Y11
【详解】由22=〃+〃一可得〃”一+、斤
a-a1-2=5,L-v5_vv——J
二、多选题
11.下列各式正确的是()
A.4^=aB.^37=-3c.=YD.~^af=a
【答案】CD
【分析】利用根式的运算直接求解.
【详解】当〃为偶数时,而=问=[故A,C选项中的式子不正确;
[-a,a<0,
当九为奇数时,47=。,
贝!J#(-3)3=-3,-yl(-a)5=-(-a)=a,
故B,D选项中的式子正确.
D.
【答案】CD
【分析】直接根据指数幕的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A:
对选项B:,扁=
aa-
~/=-----------r=〃'
对选项C:(i+lV,错误;
a3
\7
1
对选项D:=a\正确;
D
13.若实数羽y满足中+2>1=1,则J()
A.x<0且yv—1B.x+y的最大值为-3
gj+g1的最小值为7
【答案】ABD
【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断;对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可
判断
【详解】由2工+2m=1,可得2阳=1一2,>0,2工=1一2川>。,所以x<0且y<—1,故A正确;
由2*+29=122户即=2万=,可得收即一2,所以x+y4-3,
当且仅当了=>+1=-1,即x=-l,y=-2时,等号不成立,所以x+y的最大值为一3,故B正确;
2222222・2、
伍+2*)=5+H->--5---+--2=9
2y
当且仅当x=y=-iog?3时,等号不成立,
所以[3]+[3]"的最小值为9,故C错误;
因为2'=1-2阳,贝IJ2句=2(1-2川)=2-4-2"
所以+[;1-2心=2>+27=2-32<2,故D正确.
BD.
三、填空题
14.计算27'_0.2J.
【答案】19678
【分析】根据指数基的运算,即可求得答案.
【详解】273-0.27=19683—5=19678,
故答案为:19678
i/7A-6
15.化简:0.00[3-[w[+16z+(V2-A/3)+0?=.
【答案】125
【分析】根据指数基的运算法则,直接计算即可得出结果.
【详解】0.0017一w+16^+(V2-A/3)+()2=10003-1+Q4尸+23.35+0
=10-1+23+22-33+0=9+8+108=125.
故答案为:125
16.借助信息技术计算(l+L:(〃eN*)的值,我们发现当a=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…时11+工]的
底数越来越小,而指数越来越大,随着〃越来越大,"+会无限趋近于e(e=2.71828…是自然对数的底
数).根据以上知识判断,当”越来越大时,+会趋近于.
【答案】e4
n
(平
【分析】由“+
结合题意可得,当〃越来越大时,1+1会无限趋近于e,
n
I2)
£
E会无限趋近于o,即可得解.
2
n
[¥
【详解】
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