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文档简介

第01讲实数指数嘉及其运算

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解有理数指数塞的含义,会用幕的运算法则进行有

关计算.

①有理指数幕含义及运算

2.通过具体实例了解实数指数暴的意义.

②实数指数暴

3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,

可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.

思维导图

n次方根的定义及表示

n次方根的性质

有理数指数幕

实数指数导的运算性质

根式的性质与运算

根式与分数指数帚的互化

指数年的运算与化简

条件求值问题

03知识清单

知识点01n次方根的定义及表示

⑴定义

给定大于1的正整数〃和实数。,如果存在实数x,使得,则称为的〃次方根.

(2)表示

①0的任意正整数次方根均为—,记为——;

②正数。的偶数次方根有_____个,它们互为——数,其中正的方根称为a的n次—根,记为—,

负的方根记为—;负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当。<0且”为偶数时,标没有意义;

③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为—.而且正数的奇数次方根是一个—数,负数的

奇数次方根是一个—数.

【即学即练1】

1.若2+(0—4)。有意义,则。的取值范围是()

A.[2,+8)

B.[2,4)U(4,+°0)

C.(—8,2)U(2,+8)

D.(—8,4)U(4,+°°)

知识点02根式的定义和性质

⑴定义

当_____有意义时,称为根式,〃称为一,a称为.

(2)性质

7

②当w为奇数时,旧—;当〃为偶数时,成

【即学即练2】

2.行=()

1

A.0B.-C.1D.2

3

知识点03有理数指数幕

(1)如果加,"GN*,w>l,且那是既约分数,那么当缶有意义时,规定:加,

(2)有理数指数导的运算法则

c1sd,,(ab)s.

【即学即练3】

3.(多选)下列表达式不正确的是()

22/2\36

A-a3+•=a(a>0)B-=a

r-r_

C.=D.晤=&

a

知识点04实数指数幕的运算律

(1)a'd(a>0,r,sGR).

(2)(ay(«>0,r,sdR).

(3)(aby(a>0,b>Q,rdR).

【即学即练4】

4.x的值是()

A.3B.3电C.9D.81

04题型精讲

题型01根式的性质与运算

【典例1】下列各式正确的是()

A.O=V(-8)2B.7(3-TT)2=3-K

C.>fa"=\a\(^n>l,neN*D.丽)"=a(n>1,neN

【变式1](多选)下列说法中正确的是()

A.16的4次方根是±2B.07=3

C.病=±3D.J(x+y)2=|x+y]

【变式2】J(兀-4了+#(兀一3)3=

【变式3】已知x<0,化简:腾+底=

【变式4】求下列各根式的值:

(2)痴一6)6(其中“<6).

题型02根式与分数指数哥的互化

9。1

3

【典例2】(1)求值:x,6应)+8zx^2-

2

(2)求值:+2-X(2^2-(0.01)°5;

⑶化简:用!""

【变式D化简&-#/(”>())的结果是()

A.>JaC.-y[aD.

a

【变式2](多选)下列根式与分数指数事的互化正确的是()

A.-yf^=(-X)2

B,而2=(y>°)

【变式3】化简:而1.

【变式4](1)求值:3^±=

(2)用分数指数幕表示0)=

题型03指数幕的运算与化简

【典例3】计算:一(事]+仅0080*福

【变式11若2m=5,4"=3,则43E的偃谭()

A.0.9B.1.08c.2D.4

【变式2】已知2鹤1+4"=192,贝!!”=()

A.3B.4c.5D.6

【变式3](多选)下列运算不正确的是()

A.3a+2a3=5a4B.3a2.2a3=6a6c.(-2Q3)=4。6D.4a6+/=4〃3

【变式4】化简:(指+应广”.(有一血)2=.

2

【变式5】计算:后J+(无+球=.

题型03条件求值问题

【典例】己知一3,求下列各式的值:

4ClrCl-J

①Q+/;

1

②「+a4

【变式1】已知实数。满足4+小=:4,贝+的值为()

A.14B.16C.12D.18

22

那么,+X-等于()

【变式2】已知户+兀5=5(x>0),

A.77B.—5/7C.土币D.7

【变式3】已知a+a~1=6,贝(J_的值为---------

【变式4】已知x+x~l=3,求下列各式的值:

①£+■;

2

②f+X~;

③x2-x~2.

强化训练

一、单选题

4

1.^(2-e)+(-8)l=()

A.—6+eB.2+eC.-2—eD.6—e

2.已知〃eN+,贝V府二=/是"。>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列各式正确的是()

A-H(-3?=4B.#(x+y)4=(x+y尸

D.[二]=n2m^

C.^8=-2

\rn)

3

4.化简[而不了的结果为()

A.5B.C.-5D.-V5

5.已知尤40且“?=—2x,则有()

A.x<0B.x>0C.x>QD.x<0

4〃

6.若m-2n=1,则二=()

交1厂

A.1B.c-2D.6

2

7.已知2'=3,2,=5,则呜的值()

厂45

A.9+v5B.—C.66D.9A/5

8.已知〃>0,力>0,4"="=16,则2""的值是()

811

A.—B.-C.24D.—

3424

9.当J—x+l有意义时,化简Jr?一8%+16—,尤2—10X+25的结果是().

A.2x—7B.—2x+1C.-1D.7—2x

10.已知<2+47=7,贝!Ct—CL-.()

A.6B.±\^5C.3D.±3

二、多选题

11.下列各式正确的是()

A.丘=aB.^37=-3c.7^7=-4D.-1(-々J=a

12.下列运算正确的是()

A.aJ—I—J-Q

B-%=振

2

Q一鼻D-(

C;-aJ

7a%

13.若实数满足2,+2刑=1,则()

A.x<0且y<-lB.A+y的最大值:kj-3

C.仕[+七广的最小值为7

D.-2x+y<2

))

三、填空题

14.计算27,-0.2-.

1/7-6

15.化简:0.001F一可+165+(V2-A/3)+02=.

16.借助信息技术计算+的值,我们发现当〃=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…时11+工]的

底数越来越小,而指数越来越大,随着〃越来越大,[1+:]会无限趋近于e(e=2.71828…是自然对数的底

数).根据以上知识判断,当〃越来越大时,+会趋近于.

四、解答题

17.化简求值:

27--11

⑵(沙+-J—+2.(e-l)°-84x^2

OV7+2

18.计算.

⑴(0.0081。-

(2)V-125+36y+y(i)6_也3一兀丫.

19.已知/求下列各式的值:

ClICl-

⑴。+;

33

(2)+〃万-3.

2-2

a+Q-2

第01讲实数指数嘉及其运算

课程标准学习目标

1.理解有理数指数基的含义,会用幕的运算法则进行有

关计算.

①有理指数幕含义及运算

2.通过具体实例了解实数指数幕的意义.

②实数指数暴

3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思想,

可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过程.

02思维导图

k

n次方根的定义及表示

n次方根的性质

有理数指数幕

实数指数痔的运算性质

根式的性质与运算

根式与分数指数器的互化

指数年的运算与化简

条件求值问题

03知识清单

知识点01n次方根的定义及表示

⑴定义

给定大于1的正整数”和实数。,如果存在实数X,使得H,则x称为a的"次方根.

(2)表示

①0的任意正整数次方根均为0,记为—而=0_;

②正数a的偶数次方根有—西—个,它们互为相反一数,其中正的方根称为a的W次算术.根,

记为—而负的方根记为—二标_;负数的偶数次方根在实数范围内不存在,即当。<0且w为偶数

时,而没有意义;

③任意实数的奇数次方根都有且只有一个,记为—标—.而且正数的奇数次方根是一个—正—数,负

数的奇数次方根是一个二—数.

【即学即练1】

1.若标;+(。一4)°有意义,则。的取值范围是()

A.[2,+°0)

B.[2,4)U(4,+8)

C.(—8,2)U(2,+8)

D.(—8,4)U(4,+°0)

【答案】C

(a-2N0,

【解析】要使原式有意义,需满足<解得2Wa<4或a>4.

[a—4^0,

知识点02根式的定义和性质

⑴定义

当也有意义时,而称为根式,w称为_根指数.,°称为被开方数.

(2)性质

②当〃为奇数时,归a:当〃为偶数时,仃⑷.

【即学即练2】

2.疗=()

1

A.0B.-C.1D.2

3

【答案】A

【分析】根据指数幕运算计算即可.

【详解】行=2,.

知识点03有理数指数幕

1

m___I

⑴如果"GN*,n>l,且蓝是既约分数,那么当缶有意义时,规定:6—海d7""

(2)有理数指数累的运算法则

as+,,(asyast,(abYasbs.

【即学即练3】

3.(多选)下列表达式不正确的是()

A-凉+加=”(">0)B.[a~)=a

C.^-=£(a<0)D.疗=6

a

【答案】DD

【分析】对于AB,根据指数幕的运算性质分析判断,对于CD,根据根式的运算性质分析判断.

5252J

【详解】对于A,京+后§=Q(Q>0),所以A正确,

对于B,(4)3=々2x3=〃6,所以B正确,

____________3

对于C,叵=正1f=与上=_口(4<0),故C错误;

aa~\a)

对于D,"=洞,故D错误.

D.

知识点04实数指数幕的运算律

C1)arasar+s(a>0,r,sGR).

(2)(a/yars(a>0,r,sGR).

⑶(abYarbr(a>0,b>0,r©R).

【即学即练4】

【答案】C

【解析】X

Y=>

04题型精讲

题型01根式的性质与运算

【典例1】下列各式正确的是()

A.O=^/(-8)2B.7(3-TT)2=3-K

C.y[a"=>1,MeN")D.(折)"=>1,"eN*)

【答案】A

【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.

【详解】就后=一2,代二媪=版=行=2,故A错误;

J(3—Ji)?=|3—TI|=7T—3,故B错误;

回〃>l,〃eN*,国当〃为奇数时,6=a;当〃为偶数时,府=同,故C错误;

(布>=。(">1,女?4*)不成立,故D正确.

【变式1](多选)下列说法中正确的是()

A.16的4次方根是±2B.^=27=3

C.y/si=±3D.J(x+y)~=|x+y|

【答案】AD

【分析】利用根式的定义即可求解.

【详解】对于A,16的4次方根有两个,为士1,故A正确;

对于B,负数的3次方根是一个负数,盯27=「T=-3,故B错误;

对于C,我1=W=|3|=3,故C错误;

对于D,J(x+yj是非负数,所以=|彳+>|,故D正确.

D.

【变式2】痴一4)2+乱(兀-3)3=.

【答案】1

【分析】由根式的运算性质求解即可.

【详解】J(兀-4)2+3(兀-3)3=|兀_4|+兀-3=4—兀+兀_3=1.

故答案为:1

【变式3]己知尤<0,化简:疗+犷=.

【答案】0

【分析】根据根式运算法则计算出结果.

【详解】因为尤<o,所以"+#7=%+国=%-1=0.

故答案为:。

【变式4】求下列各根式的值:

(2)加一6)6(其中“<6).

【答案】⑴T

(2)b-a

【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得;

【详解】⑴而护=-4

(2)^(a-b)6=\a-b\=b-a(其中a<8).

题型02根式与分数指数塞的互化

【典例2]⑴求值:0

(2)求值:5+2-2X(2;2_(0.01产

(3)化简:

【答案】(1)2;(2)9(3)y

13b

【分析】将根式化为分数指数幕,根据分数指数累的运算法则进行计算;

【详解】⑴卜3[9个6可+8:x谆^|L||Jxl+/x2L

1

27+516

3015

2!丫-

52

-s/a乐田•京

(3)(4°叫庐a.

班.^2庐-I24-2g一1

田.庐a3b3

【变式1】化简G•标(稣0)的结果是()

A.l[aB.C.—yfaD.yfa

'a

【答案】C

【分析】根据根式与分数指数基之间的关系,结合指数基运算求解.

【详解】因为。>0,

___12127___

所以\[a.____=Q,♦>

【变式2](多选)下列根式与分数指数新的互化正确的是()

A.-y/~X—(-X)2

___1

B.后=y3(y>0)

C.X4=2]1I(x>°)

3

1_

4;2(%>0)

D.=X

【答案】CCD

【分析】运用分数指数幕与根式转化公式,结合指数幕性质求解即可.

【详解】A项错误,-《=—户(了W0),而(-x)5=V0);

B项正确,y/=y“y>o);

C项正确,

D项正确,

CD.

【变式3】化简:而丸.

【答案】1

【分析】根据指数幕的运算法则计算即可.

【详解】解:由题意可知。>0,

5_

所以V?T—T-a万•/26=*=].

故答案为:1

【变式4](1)求值:

(2)用分数指数幕表示心a>0)=

【答案】

【分析】根据〃次方根及分数指数幕运算即可.

题型03指数塞的运算与化简

22

【典例3】计算:+(0.008px—.

【答案】I

【分析】根据分数指数幕的运算法则计算即可得解.

2

[详解]原式=(',_[彳)5(IOOOV2

+=

25

一3」=口+25-=上+2」

25932599

【变式11若29=5,4"=3,则43"-"的值是()

A.0.9B.1.08C.2D.4

【答案】C

【分析】根据题意结合指数幕运算求解.

33

【详解】因为2"=5,4"=3,所以尹=1.08.

42叶

【变式2】已知22"〃+4"=192,则〃=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】利用募的运算,将已知等式进行变形,根据等式的性质可得22"=26,即可求出叫

【详解】因为223+4"=192,

所以22"+1+4"=22n+1+22"=22"(2+1)=3X22Z'=192,

所以3x2?"=192=3x64=3x26,

贝ij22n=26,即2〃=6,则〃=3.

【变式3](多选)下列运算不正确的是()

A.3a+2“3=5a4B.3o2-2a3=6a6C.(—2。,=4<76D.4f76-i-a2-4a3

【答案】ABD

【分析】借助指数嘉的运算逐项计算即可得.

【详解】对A:3a和2a3不是同类项,不能合并,故本选项不符合题意,故A错误;

对B:3〃-2a3=6a23=6a5,故B错误;

对C:(-2a。=4a3x2=4a6,故C正确;

对D:4a6-i-a2=4a6-2=4a4,故D错误.

BD.

【变式4】化简:(G+亚广\(/-百广二.

【答案】1

【分析】运用指数嘉性质,结合平方差公式可解.

【详解】原式=[(6+0)-(后-0)-=严=1.

故答案为:1.

2

【变式5】计算:"(无+球=.

【答案】-看22

【分析】根据指数塞的运即可求解.

2

【详解】亚3—一+(兀+1)°=-3-2一二一经

*I99

故答案为:-年22

题型03条件求值问题

【典例4】已知Cl求ICl下—J列各式的值:

①〃+;

②3/

【答案】①7;②0

【分析】利用平方关系求解.

/£_1V

【详解】①因为「+〃一5=3,所以二+。5=9,即。+。7+2=9,所以Q+〃T=7;

\7

(1_1VI_11111

②因为a4+a4=a2+a2+2=3+2=5,又因为公+厂>(),所以>+户=石.

\7

【变式1]已知实数。满足/=4,贝1]/+成2的值为()

A.14B.16C.12D.18

【答案】A

【分析】由,+1『=/+°-2+2分小,变形代值即可.

【详解】因为(。+。7)2=/+。-2+2。“7,

所以/+尸=[a+cT1^-2a-a~'=16-2=14.

22ii

【变式2】已知#+”=5(x>0),那么W+”等于()

A.币B.一币C.土SD.7

【答案】A

【分析】将所求式取平方,求出其值,再判断其值为正即可求得.

、、1_12_2

【详解】由(田+”)2=1+£3+2=54-2=7>

因x>0,故3+户>0,

即得,£+■="

【变式3]已知°+人=6,贝1“4的值为________.

CvL4-C4-L41

【答案】1或-3

【分析】根据题意,先求”一。5即可得解.

/_L」Y

【详解】根据题意,=〃+〃一1-2=6-2=4,

所以%-/;=±2,

贝或一3.

故答案为:1或-3.

【变式4]己知X+%T=3,求下列各式的值:

①/+”;

②f+工-2;

③_工-2.

【答案】①6;②7;③±3/

/j___L、2

【详解】①因为%+%T=3,所以/+”=x+x-1+2=5,

又/+”>0,所以必+”=6.

②因为%+%一1=3,所以(%+%T)=%2+/+2=9,所以%2+尤-2=7.

③因为%2一%-2=(工+%-1)(%_%-1),且卜一%-1)2=%2+%一2_2=7—2=5,

所以%—X1=±5/5,所以f-X2—+3A/5.

05强化训练

一、单选题

L^(2-e)4+(-8)t=()

A.-6+eB.2+eC.—2—eD.6-e

【答案】C

【分析】根据指数运算,可得答案.

【详解】因为e>2,所以y(2-e)4=e-2,(-8)1=8^==22=4>

所以y(2-e『+(-8户=e+2.

2.已知〃eN+,贝折'=/'是"a>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幕的运算化简即可判断.

【详解】由题意V7="=Ha<o,〃eN+,即=心0,

而“a20"是"a>0"的必要而不充分条件,所以"g"=/是"a>0"的必要而不充分条件.

3.下列各式正确的是()

A-=gB.,(彳+»=(x+y户

D.[二]=〃2加3

C.O=-2

【答案】D

【分析】根据指数幕的计算公式及根式与分数指数幕的互化计算即可.

【详解】对于A,汨故A错误;

对于B,,(彳+y)4=(x+y尸,故B错误;

对于C,舛=-2,故C正确;

对于D,故D错误.

4.化简[而不了的结果为()

A.5B.75C.-5D.-75

【答案】A

【分析】根据指数嘉的运算性质进行求解即可.

5.已知XW0且在彳=—2x,则有()

A.x<0B.x>0C.x>0D.尤(0

【答案】A

【分析】根据根式运算性质,得到2闵=-2x,即可求解.

【详解】因为“?=2w,可得2忖=—2x,

又因为尤wO,解得尤<0.

4"

6.若m―2〃=1,则I—=()

独"

A.1B.—C.-D.J2

22

【答案】D

【分析】利用根式与分数指数累的互化与运算法则即可得解.

【详解】因为,"一2"=1,贝!]272=一1,

7.已知2'=3,2,=5,则2?吗的值()

A.9+A/5B.—C.6行D.9>/5

【答案】A

【分析】根据指数的运算性质即可求得.

【详解】因为2*=3,2〉=5,所以2?呜=22^25=(2")-(2斤=3?x53=9后

8.已知。>0,6>0,4"=匕2=16,则2"。的值是()

81

A.-B.-C.24

34

【答案】C

【分析】根据指数基的运算求出“、6的值,再代入计算可得.

【详解】因为。>0,6>0,4"="=16,16=24=42,

所以a=2,6=4,

所以2所"=2?-4=2..

4

9.当J-x+1有意乂时,化荷—8%+16——10%+25的结果是()•

A.2%—7B.—2x+1C.—1D.7—2%

【答案】D

【分析】根据根式有意义求得x的范围,化简所求根式即可.

【详解】因为有意义,所以-X+120,则xWl,

贝1J尤2-8彳+16-Jf-10x+25=J(X-4)2-J(尤-5.

=4—x—(5-x)=-1,

10.己知a+a-=7,则/_0」=()

A.75B.上后C.3D.±3

【答案】C

【分析】根据式子结构,对所求式子平方后即可求解.

/2」Y11

【详解】由22=〃+〃一可得〃”一+、斤

a-a1-2=5,L-v5_vv——J

二、多选题

11.下列各式正确的是()

A.4^=aB.^37=-3c.=YD.~^af=a

【答案】CD

【分析】利用根式的运算直接求解.

【详解】当〃为偶数时,而=问=[故A,C选项中的式子不正确;

[-a,a<0,

当九为奇数时,47=。,

贝!J#(-3)3=-3,-yl(-a)5=-(-a)=a,

故B,D选项中的式子正确.

D.

【答案】CD

【分析】直接根据指数幕的运算法则依次计算即可.

【详解】对选项A:

对选项B:,扁=

aa-

~/=-----------r=〃'

对选项C:(i+lV,错误;

a3

\7

1

对选项D:=a\正确;

D

13.若实数羽y满足中+2>1=1,则J()

A.x<0且yv—1B.x+y的最大值为-3

gj+g1的最小值为7

【答案】ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断;对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可

判断

【详解】由2工+2m=1,可得2阳=1一2,>0,2工=1一2川>。,所以x<0且y<—1,故A正确;

由2*+29=122户即=2万=,可得收即一2,所以x+y4-3,

当且仅当了=>+1=-1,即x=-l,y=-2时,等号不成立,所以x+y的最大值为一3,故B正确;

2222222・2、

伍+2*)=5+H->--5---+--2=9

2y

当且仅当x=y=-iog?3时,等号不成立,

所以[3]+[3]"的最小值为9,故C错误;

因为2'=1-2阳,贝IJ2句=2(1-2川)=2-4-2"

所以+[;1-2心=2>+27=2-32<2,故D正确.

BD.

三、填空题

14.计算27'_0.2J.

【答案】19678

【分析】根据指数基的运算,即可求得答案.

【详解】273-0.27=19683—5=19678,

故答案为:19678

i/7A-6

15.化简:0.00[3-[w[+16z+(V2-A/3)+0?=.

【答案】125

【分析】根据指数基的运算法则,直接计算即可得出结果.

【详解】0.0017一w+16^+(V2-A/3)+()2=10003-1+Q4尸+23.35+0

=10-1+23+22-33+0=9+8+108=125.

故答案为:125

16.借助信息技术计算(l+L:(〃eN*)的值,我们发现当a=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…时11+工]的

底数越来越小,而指数越来越大,随着〃越来越大,"+会无限趋近于e(e=2.71828…是自然对数的底

数).根据以上知识判断,当”越来越大时,+会趋近于.

【答案】e4

n

(平

【分析】由“+

结合题意可得,当〃越来越大时,1+1会无限趋近于e,

n

I2)

£

E会无限趋近于o,即可得解.

2

n

【详解】

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