人教B版高中数学必修二同步讲义：实数指数幂及其运算（学生版+解析）

第01讲实数指数嘉及其运算

01学习目标

课程标准学习目标

1.理解有理数指数塞的含义，会用幕的运算法则进行有

关计算.

①有理指数幕含义及运算

2.通过具体实例了解实数指数暴的意义.

②实数指数暴

3.通过本节的学习，体会“用有理数逼近无理数”的思想，

可利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程.

思维导图

n次方根的定义及表示

n次方根的性质

有理数指数幕

实数指数导的运算性质

根式的性质与运算

根式与分数指数帚的互化

指数年的运算与化简

条件求值问题

03知识清单

知识点01n次方根的定义及表示

⑴定义

给定大于1的正整数〃和实数。，如果存在实数x,使得,则称为的〃次方根.

(2)表示

①0的任意正整数次方根均为—，记为——；

②正数。的偶数次方根有_____个,它们互为——数，其中正的方根称为a的n次—根,记为—,

负的方根记为—；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当。＜0且”为偶数时，标没有意义；

③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为—.而且正数的奇数次方根是一个—数，负数的

奇数次方根是一个—数.

【即学即练1】

1.若2+(0—4)。有意义,则。的取值范围是()

A.[2,+8)

B.[2,4)U(4,+°0)

C.(—8,2)U(2,+8)

D.(—8,4)U(4,+°°)

知识点02根式的定义和性质

⑴定义

当_____有意义时，称为根式，〃称为一，a称为.

(2)性质

7

②当w为奇数时,旧—;当〃为偶数时，成

【即学即练2】

2.行=()

1

A.0B.-C.1D.2

3

知识点03有理数指数幕

(1)如果加，"GN*,w>l,且那是既约分数，那么当缶有意义时，规定：加,

(2)有理数指数导的运算法则

c1sd,,(ab)s.

【即学即练3】

3.(多选)下列表达式不正确的是()

22/2\36

A-a3+•=a(a>0)B-=a

r-r_

C.=D.晤=&

a

知识点04实数指数幕的运算律

(1)a'd(a>0,r,sGR).

(2)(ay(«>0,r,sdR).

(3)(aby(a>0,b>Q,rdR).

【即学即练4】

4.x的值是（）

A.3B.3电C.9D.81

04题型精讲

题型01根式的性质与运算

【典例1】下列各式正确的是（）

A.O=V（-8）2B.7（3-TT）2=3-K

C.>fa"=\a\（^n>l,neN*D.丽）"=a（n>1,neN

【变式1］（多选）下列说法中正确的是（）

A.16的4次方根是±2B.07=3

C.病=±3D.J（x+y）2=|x+y]

【变式2】J（兀-4了+#（兀一3）3=

【变式3】已知x<0,化简：腾+底=

【变式4】求下列各根式的值：

（2）痴一6）6（其中“<6）.

题型02根式与分数指数哥的互化

9。1

3

【典例2】（1）求值:x,6应）+8zx^2-

2

（2）求值:+2-X（2^2-（0.01）°5；

⑶化简:用！""

【变式D化简&-#/（”>（））的结果是（）

A.>JaC.-y[aD.

a

【变式2］（多选）下列根式与分数指数事的互化正确的是（）

A.-yf^=(-X)2

B,而2=(y>°)

【变式3】化简：而1.

【变式4］（1）求值：3^±=

（2）用分数指数幕表示0）=

题型03指数幕的运算与化简

【典例3】计算：一（事］+仅0080*福

【变式11若2m=5,4"=3,则43E的偃谭（)

A.0.9B.1.08c.2D.4

【变式2】已知2鹤1+4"=192,贝!!”=（)

A.3B.4c.5D.6

【变式3］（多选）下列运算不正确的是（)

A.3a+2a3=5a4B.3a2.2a3=6a6c.(-2Q3)=4。6D.4a6+/=4〃3

【变式4】化简：（指+应广”.（有一血）2=.

2

【变式5】计算：后J+（无+球=.

题型03条件求值问题

【典例】己知一3,求下列各式的值：

4ClrCl-J

①Q+/；

1

②「+a4

【变式1】已知实数。满足4+小=：4,贝+的值为（）

A.14B.16C.12D.18

22

那么，+X-等于（）

【变式2】已知户+兀5=5(x>0),

A.77B.—5/7C.土币D.7

【变式3】已知a+a~1=6,贝(J_的值为---------

【变式4】已知x+x~l=3,求下列各式的值：

①£+■；

2

②f+X~；

③x2-x~2.

强化训练

一、单选题

4

1.^(2-e)+(-8)l=()

A.—6+eB.2+eC.-2—eD.6—e

2.已知〃eN+,贝V府二=/是"。>0"的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列各式正确的是（)

A-H(-3?=4B.#(x+y)4=(x+y尸

D.［二］=n2m^

C.^8=-2

\rn)

3

4.化简［而不了的结果为（）

A.5B.C.-5D.-V5

5.已知尤40且“？=—2x，则有（)

A.x<0B.x>0C.x>QD.x<0

4〃

6.若m-2n=1,则二=()

交1厂

A.1B.c-2D.6

2

7.已知2'=3,2,=5,则呜的值（）

厂45

A.9+v5B.—C.66D.9A/5

8.已知〃>0,力>0,4"="=16,则2""的值是（）

811

A.—B.-C.24D.—

3424

9.当J—x+l有意义时,化简Jr?一8%+16—，尤2—10X+25的结果是（）.

A.2x—7B.—2x+1C.-1D.7—2x

10.已知<2+47=7,贝！Ct—CL-.（）

A.6B.±\^5C.3D.±3

二、多选题

11.下列各式正确的是（）

A.丘=aB.^37=-3c.7^7=-4D.-1（-々J=a

12.下列运算正确的是（）

A.aJ—I—J-Q

B-%=振

2

Q一鼻D-（

C；-aJ

7a%

13.若实数满足2，+2刑=1，则（）

A.x<0且y<-lB.A+y的最大值:kj-3

C.仕［+七广的最小值为7

D.-2x+y<2

））

三、填空题

14.计算27,-0.2-.

1/7-6

15.化简：0.001F一可+165+（V2-A/3）+02=.

16.借助信息技术计算+的值，我们发现当〃=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…时11+工］的

底数越来越小，而指数越来越大，随着〃越来越大，［1+：］会无限趋近于e（e=2.71828…是自然对数的底

数）.根据以上知识判断，当〃越来越大时，+会趋近于.

四、解答题

17.化简求值:

27--11

⑵(沙+-J—+2.(e-l)°-84x^2

OV7+2

18.计算.

⑴(0.0081。-

(2)V-125+36y+y(i)6_也3一兀丫.

19.已知/求下列各式的值：

ClICl-

⑴。+；

33

(2)+〃万-3.

2-2

a+Q-2

第01讲实数指数嘉及其运算

课程标准学习目标

1.理解有理数指数基的含义，会用幕的运算法则进行有

关计算.

①有理指数幕含义及运算

2.通过具体实例了解实数指数幕的意义.

②实数指数暴

3.通过本节的学习，体会“用有理数逼近无理数”的思想，

可利用计算器或计算机实际操作，感受“逼近”的过程.

02思维导图

k

n次方根的定义及表示

n次方根的性质

有理数指数幕

实数指数痔的运算性质

根式的性质与运算

根式与分数指数器的互化

指数年的运算与化简

条件求值问题

03知识清单

知识点01n次方根的定义及表示

⑴定义

给定大于1的正整数”和实数。，如果存在实数X,使得H,则x称为a的"次方根.

(2)表示

①0的任意正整数次方根均为0,记为—而=0_；

②正数a的偶数次方根有—西—个，它们互为相反一数,其中正的方根称为a的W次算术.根,

记为—而负的方根记为—二标_；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当。＜0且w为偶数

时，而没有意义；

③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为—标—.而且正数的奇数次方根是一个—正—数，负

数的奇数次方根是一个二—数.

【即学即练1】

1.若标;+(。一4)°有意义，则。的取值范围是()

A.[2,+°0)

B.[2,4)U(4,+8)

C.(—8,2)U(2,+8)

D.(—8,4)U(4,+°0)

【答案】C

(a-2N0，

【解析】要使原式有意义，需满足<解得2Wa<4或a>4.

[a—4^0，

知识点02根式的定义和性质

⑴定义

当也有意义时，而称为根式,w称为_根指数.，°称为被开方数.

(2)性质

②当〃为奇数时，归a:当〃为偶数时，仃⑷.

【即学即练2】

2.疗=()

1

A.0B.-C.1D.2

3

【答案】A

【分析】根据指数幕运算计算即可.

【详解】行=2,.

知识点03有理数指数幕

1

m___I

⑴如果"GN*,n>l,且蓝是既约分数，那么当缶有意义时，规定：6—海d7""

(2)有理数指数累的运算法则

as+,,(asyast,(abYasbs.

【即学即练3】

3.(多选)下列表达式不正确的是()

A-凉+加=”(">0)B.[a~)=a

C.^-=£(a<0)D.疗=6

a

【答案】DD

【分析】对于AB,根据指数幕的运算性质分析判断，对于CD,根据根式的运算性质分析判断.

5252J

【详解】对于A,京+后§=Q(Q>0),所以A正确，

对于B,(4)3=々2x3=〃6,所以B正确，

____________3

对于C,叵=正1f=与上=_口(4<0)，故C错误；

aa~\a)

对于D,"=洞，故D错误.

D.

知识点04实数指数幕的运算律

C1)arasar+s(a>0,r,sGR).

(2)(a/yars(a>0,r,sGR).

⑶(abYarbr(a>0,b>0,r©R).

【即学即练4】

【答案】C

【解析】X

Y=>

04题型精讲

题型01根式的性质与运算

【典例1】下列各式正确的是()

A.O=^/(-8)2B.7(3-TT)2=3-K

C.y［a"=>1,MeN"）D.（折）"=>1,"eN*）

【答案】A

【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.

【详解】就后=一2,代二媪=版=行=2,故A错误；

J（3—Ji）?=|3—TI|=7T—3,故B错误；

回〃>l,〃eN*,国当〃为奇数时，6=a；当〃为偶数时，府=同，故C错误;

（布>=。（">1,女?4*）不成立，故D正确.

【变式1］（多选）下列说法中正确的是（）

A.16的4次方根是±2B.^=27=3

C.y/si=±3D.J（x+y）~=|x+y|

【答案】AD

【分析】利用根式的定义即可求解.

【详解】对于A,16的4次方根有两个，为士1,故A正确；

对于B,负数的3次方根是一个负数，盯27=「T=-3,故B错误；

对于C,我1=W=|3|=3，故C错误；

对于D,J（x+yj是非负数,所以=|彳+>|,故D正确.

D.

【变式2】痴一4）2+乱（兀-3）3=.

【答案】1

【分析】由根式的运算性质求解即可.

【详解】J（兀-4）2+3（兀-3）3=|兀_4|+兀-3=4—兀+兀_3=1.

故答案为：1

【变式3］己知尤<0,化简：疗+犷=.

【答案】0

【分析】根据根式运算法则计算出结果.

【详解】因为尤<o,所以"+#7=%+国=%-1=0.

故答案为：。

【变式4】求下列各根式的值：

(2)加一6)6(其中“<6).

【答案】⑴T

(2)b-a

【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得;

【详解】⑴而护=-4

(2)^(a-b)6=\a-b\=b-a(其中a<8).

题型02根式与分数指数塞的互化

【典例2]⑴求值：0

(2)求值:5+2-2X(2；2_(0.01产

(3)化简:

【答案】(1)2；(2)9(3)y

13b

【分析】将根式化为分数指数幕，根据分数指数累的运算法则进行计算；

【详解】⑴卜3[9个6可+8：x谆^|L||Jxl+/x2L

1

27+516

3015

2!丫-

52

-s/a乐田•京

(3)(4°叫庐a.

班.^2庐-I24-2g一1

田.庐a3b3

【变式1】化简G•标(稣0)的结果是()

A.l[aB.C.—yfaD.yfa

'a

【答案】C

【分析】根据根式与分数指数基之间的关系，结合指数基运算求解.

【详解】因为。>0,

___12127___

所以\[a.____=Q，♦>

【变式2]（多选）下列根式与分数指数新的互化正确的是（）

A.-y/~X—(-X)2

___1

B.后=y3(y>0)

C.X4=2]1I(x>°)

3

1_

4;2(%>0)

D.=X

【答案】CCD

【分析】运用分数指数幕与根式转化公式，结合指数幕性质求解即可.

【详解】A项错误，-《=—户（了W0），而（-x）5=V0）；

B项正确，y/=y“y>o）；

C项正确,

D项正确,

CD.

【变式3】化简：而丸.

【答案】1

【分析】根据指数幕的运算法则计算即可.

【详解】解:由题意可知。>0,

5_

所以V?T—T-a万•/26=*=].

故答案为：1

【变式4］（1）求值:

（2）用分数指数幕表示心a>0)=

【答案】

【分析】根据〃次方根及分数指数幕运算即可.

题型03指数塞的运算与化简

22

【典例3】计算:+(0.008px—.

【答案】I

【分析】根据分数指数幕的运算法则计算即可得解.

2

［详解］原式=（',_［彳）5(IOOOV2

+=

25

一3」=口+25-=上+2」

25932599

【变式11若29=5,4"=3，则43"-"的值是（）

A.0.9B.1.08C.2D.4

【答案】C

【分析】根据题意结合指数幕运算求解.

33

【详解】因为2"=5,4"=3,所以尹=1.08.

42叶

【变式2】已知22"〃+4"=192,则〃=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】利用募的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得22"=26,即可求出叫

【详解】因为223+4"=192,

所以22"+1+4"=22n+1+22"=22"（2+1）=3X22Z'=192,

所以3x2?"=192=3x64=3x26,

贝ij22n=26,即2〃=6,则〃=3.

【变式3］（多选）下列运算不正确的是（）

A.3a+2“3=5a4B.3o2-2a3=6a6C.（—2。，=4<76D.4f76-i-a2-4a3

【答案】ABD

【分析】借助指数嘉的运算逐项计算即可得.

【详解】对A：3a和2a3不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A错误；

对B：3〃-2a3=6a23=6a5，故B错误；

对C：（-2a。=4a3x2=4a6,故C正确；

对D：4a6-i-a2=4a6-2=4a4,故D错误.

BD.

【变式4】化简：（G+亚广\（/-百广二.

【答案】1

【分析】运用指数嘉性质，结合平方差公式可解.

【详解】原式=［（6+0）-（后-0）-=严=1.

故答案为：1.

2

【变式5】计算："（无+球=.

【答案】-看22

【分析】根据指数塞的运即可求解.

2

【详解】亚3—一+（兀+1）°=-3-2一二一经

*I99

故答案为：-年22

题型03条件求值问题

【典例4】已知Cl求ICl下—J列各式的值：

①〃+；

②3/

【答案】①7；②0

【分析】利用平方关系求解.

/£_1V

【详解】①因为「+〃一5=3，所以二+。5=9,即。+。7+2=9,所以Q+〃T=7;

\7

（1_1VI_11111

②因为a4+a4=a2+a2+2=3+2=5,又因为公+厂>（）,所以>+户=石.

\7

【变式1]已知实数。满足/=4,贝1]/+成2的值为（）

A.14B.16C.12D.18

【答案】A

【分析】由,+1『=/+°-2+2分小，变形代值即可.

【详解】因为（。+。7）2=/+。-2+2。“7,

所以/+尸=[a+cT1^-2a-a~'=16-2=14.

22ii

【变式2】已知#+”=5（x>0），那么W+”等于（）

A.币B.一币C.土SD.7

【答案】A

【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得.

、、1_12_2

【详解】由（田+”）2=1+£3+2=54-2=7>

因x>0,故3+户>0,

即得，£+■="

【变式3]已知°+人=6,贝1“4的值为________.

CvL4-C4-L41

【答案】1或-3

【分析】根据题意，先求”一。5即可得解.

/_L」Y

【详解】根据题意，=〃+〃一1-2=6-2=4,

所以%-/；=±2，

贝或一3.

故答案为：1或-3.

【变式4］己知X+%T=3,求下列各式的值：

①/+”;

②f+工-2；

③_工-2.

【答案】①6；②7；③±3/

/j___L、2

【详解】①因为％+%T=3,所以/+”=x+x-1+2=5,

又/+”>0，所以必+”=6.

②因为％+%一1=3，所以(％+%T)=%2+/+2=9,所以％2+尤-2=7.

③因为％2一%-2=(工+%-1)(%_%-1),且卜一%-1)2=%2+%一2_2=7—2=5,

所以％—X1=±5/5，所以f-X2—+3A/5.

05强化训练

一、单选题

L^（2-e）4+（-8）t=（）

A.-6+eB.2+eC.—2—eD.6-e

【答案】C

【分析】根据指数运算，可得答案.

【详解】因为e>2,所以y（2-e）4=e-2,（-8）1=8^==22=4>

所以y(2-e『+(-8户=e+2.

2.已知〃eN+,贝折'=/'是"a>0"的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幕的运算化简即可判断.

【详解】由题意V7="=Ha<o，〃eN+,即=心0，

而“a20"是"a>0"的必要而不充分条件，所以"g"=/是"a>0"的必要而不充分条件.

3.下列各式正确的是（）

A-=gB.,（彳+»=（x+y户

D.［二］=〃2加3

C.O=-2

【答案】D

【分析】根据指数幕的计算公式及根式与分数指数幕的互化计算即可.

【详解】对于A,汨故A错误;

对于B,,（彳+y）4=（x+y尸,故B错误;

对于C,舛=-2,故C正确；

对于D,故D错误.

4.化简［而不了的结果为（）

A.5B.75C.-5D.-75

【答案】A

【分析】根据指数嘉的运算性质进行求解即可.

5.已知XW0且在彳=—2x，则有（）

A.x<0B.x>0C.x>0D.尤（0

【答案】A

【分析】根据根式运算性质，得到2闵=-2x,即可求解.

【详解】因为“？=2w，可得2忖=—2x,

又因为尤wO，解得尤<0.

4"

6.若m―2〃=1,则I—=()

独"

A.1B.—C.-D.J2

22

【答案】D

【分析】利用根式与分数指数累的互化与运算法则即可得解.

【详解】因为，"一2"=1,贝!]272=一1,

7.已知2'=3,2,=5,则2?吗的值（）

A.9+A/5B.—C.6行D.9>/5

【答案】A

【分析】根据指数的运算性质即可求得.

【详解】因为2*=3,2〉=5,所以2?呜=22^25=（2"）-（2斤=3?x53=9后

8.已知。>0,6>0,4"=匕2=16,则2"。的值是（）

81

A.-B.-C.24

34

【答案】C

【分析】根据指数基的运算求出“、6的值，再代入计算可得.

【详解】因为。>0,6>0,4"="=16,16=24=42,

所以a=2,6=4,

所以2所"=2?-4=2..

4

9.当J-x+1有意乂时,化荷—8%+16——10%+25的结果是()•

A.2%—7B.—2x+1C.—1D.7—2%

【答案】D

【分析】根据根式有意义求得x的范围，化简所求根式即可.

【详解】因为有意义，所以-X+120,则xWl,

贝1J尤2-8彳+16-Jf-10x+25=J(X-4)2-J(尤-5.

=4—x—(5-x)=-1,

10.己知a+a-=7,则/_0」=（）

A.75B.上后C.3D.±3

【答案】C

【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.

/2」Y11

【详解】由22=〃+〃一可得〃”一+、斤

a-a1-2=5,L-v5_vv——J

二、多选题

11.下列各式正确的是（）

A.4^=aB.^37=-3c.=YD.~^af=a

【答案】CD

【分析】利用根式的运算直接求解.

【详解】当〃为偶数时，而=问=[故A,C选项中的式子不正确；

[-a,a<0,

当九为奇数时，47=。，

贝!J#（-3）3=-3,-yl（-a）5=-（-a）=a,

故B,D选项中的式子正确.

D.

【答案】CD

【分析】直接根据指数幕的运算法则依次计算即可.

【详解】对选项A：

对选项B：，扁=

aa-

~/=-----------r=〃'

对选项C：(i+lV,错误;

a3

\7

1

对选项D：=a\正确;

D

13.若实数羽y满足中+2>1=1,则J()

A.x<0且yv—1B.x+y的最大值为-3

gj+g1的最小值为7

【答案】ABD

【分析】对于AD,利用指数函数的性质即可判断；对于BC,利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可

判断

【详解】由2工+2m=1，可得2阳=1一2，>0,2工=1一2川>。，所以x<0且y<—1,故A正确;

由2*+29=122户即=2万=，可得收即一2,所以x+y4-3,

当且仅当了=>+1=-1,即x=-l,y=-2时，等号不成立，所以x+y的最大值为一3,故B正确;

2222222・2、

伍+2*)=5+H->--5---+--2=9

2y

当且仅当x=y=-iog?3时，等号不成立，

所以[3]+[3]"的最小值为9,故C错误；

因为2'=1-2阳，贝IJ2句=2（1-2川）=2-4-2"

所以+[；1-2心=2>+27=2-32<2,故D正确.

BD.

三、填空题

14.计算27'_0.2J.

【答案】19678

【分析】根据指数基的运算，即可求得答案.

【详解】273-0.27=19683—5=19678,

故答案为：19678

i/7A-6

15.化简：0.00[3-[w[+16z+(V2-A/3)+0?=.

【答案】125

【分析】根据指数基的运算法则，直接计算即可得出结果.

【详解】0.0017一w+16^+(V2-A/3)+()2=10003-1+Q4尸+23.35+0

=10-1+23+22-33+0=9+8+108=125.

故答案为：125

16.借助信息技术计算(l+L：(〃eN*)的值，我们发现当a=1,2,3,10,100,1000,10000,100000,…时11+工］的

底数越来越小，而指数越来越大，随着〃越来越大，"+会无限趋近于e(e=2.71828…是自然对数的底

数).根据以上知识判断，当”越来越大时，+会趋近于.

【答案】e4

n

(平

【分析】由“+

结合题意可得，当〃越来越大时，1+1会无限趋近于e,

n

I2)

£

E会无限趋近于o,即可得解.

2

n

[¥

【详解】