人教A版高一数学讲义：等式性质与不等式性质（七大题型）

2.1等式性质与不等式性质

目录

【思维导图】...................................................................2

【知识点梳理】.................................................................2

【典型例题】...................................................................4

题型一：用不等式（组）表示不等关系.............................................4

型:作商法比较两数（式）的大小8

题型四：利用不等式的性质判断命题真假..........................................10

题型五：利用不等式的性质证明不等式............................................13

题型六：利用不等式的性质比较大小..............................................15

题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围18

【题型归纳目录】

题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

题型二：作差法比较两数（式）的大小

题型归纳4

题型三：作商法比较两数（式）的大小

题型五：利用不等式的性质证明不等式

题型四：利用不等式的性质判断命题真假

【思维导图】

【知识点梳理】

知识点一、符号法则与比较大小

实数的符号：

任意xeR,则x>0（x为正数）、x=0或尤<0（x为负数）三种情况有且只有一种成立.

两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：

①两个同号实数相加，和的符号不变

符号语言：4>0力>0=>々+/?>0；

av0,Z?v0=>a+Z?v0

②两个同号实数相乘，积是正数

符号语言：a>0,b>0^>ab>0；

a<O,b<0=>ab>0

③两个异号实数相乘，积是负数

符号语言：tz>0,Z?<0=>«Z?<0

④任何实数的平方为非负数，。的平方为0

符号语言：无£尺=>/>0,X=0<^>X2=0.

比较两个实数大小的法则：

对任意两个实数〃、b

①Q-Z?>Ooa>b；

②Q-bvOoa<b；

③。—8=0oa=b.

对于任意实数。、b,a>b,a=b,a<b三种关系有且只有一种成立.

知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明

不等式与解不等式的主要依据.

知识点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

(1)对称性：a>b<^b<a

(2)传递性：a>b,b>c^>a>c

(3)可力口性：a>boa+c>b+c(cER)

c>0=>ac>be

(4)可乘性：a>b,<c=0=>ac=be

c<0=>tzc<Z?c

运算性质有：

(1)可加法则：a>b,c>d=>a-^-ob-\-d.

(2)可乘法贝U：a>b>O,c>d>O^a-c>b-d>Q

(3)可乘方性：a>b>O,neN*nan>b”

知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

知识点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式〃、b,可以作差后比较人与。的关系，进一步比较〃与人的大小.

①Q-b>Ooa>b；

②。一人vOoavb；

③a-b=Uoa=b.

作商法：

任意两个值为正的代数式a、b,可以作商a+8后比较3与1的关系，进一步比较a与b的大小.

b

①@>l=a>6；

b

②g<loa<6；

b

=1u>a—b.

b

中间量法：

若。>b且b>c,则a>c（实质是不等式的传递性）.一般选择。或1为中间量.

【典型例题】

题型一：用不等式（组）表示不等关系

【典例11]（2024・高一•全国•课后作业）下面能表示2与b的和是非正数”的不等式为（）

A.a+b<0B.a+b>0

C.a+b<0D.a+b>0

【答案】C

【解析】因为非正数小于等于0,则能表示“。与b的和是非正数”的不等式为a+640.

故选：C.

【典例12]（2024•高一.广东深圳•阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车

载重量30吨，8型货车载重量24吨，设派出A型货车x辆，3型货车V辆，则运输方案应满足的关系式

是（）

A.5x+4y<100B.5x+4y>100

C.5x+4y>100D.5尤+4yW100

【答案】B

【解析】由已知可得，30x+24y>600,

所以有5x+4yN100.

故选：B.

【方法技巧与总结】

将不等关系表示成不等式（组）的思路

（1）读懂题意，找准不等式所联系的量.

（2）用适当的不等号连接.

（3）多个不等关系用不等式组表示.

【变式1。（2024•高二.陕西渭南.期末）某体育器材公司投资一项新产品，先投资本金。（a>0）元，得

b

到的利润为b（b>0）元，收益率为一（％）,假设在该投资的基础上，此公司再追加投资x（尤>0）元，

得到的利润也增加了X元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（）

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

【答案】C

【解析】若使得该项投资的总收益率是增加的，则也三>2,尤>0）,

a+xa

得a>6.

故选：C

【变式12］（2024•高一•全国•课后作业）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资

每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工V人，则请工人满足的关系式是（）

A.5x+4y<200B.5%+4y>200

C.5%+4j=200D.5x+4y<200

【答案】D

【解析】依题意，请工人满足的关系式是50元+40yV2000,

即5x+4yV200.

故选：D

【变式13］（2024・高一.河北邢台•阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，

人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑

到安全区，导火索的长度无（单位：厘米）应满足的不等式为（）

xxXX

A.4x—<150B.4x—>150C.4x—<150D.4x—>150

0.50.50.50.5

【答案】B

【解析】由题意知导火索的长度x（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为六秒,

人在此时间内跑的路程为,x或］米，由题意可得4x%2150.

\u.JJUQ

故选：B.

题型二：作差法比较两数（式）的大小

【典例21］（2024.高一.全国.随堂练习）若x<y<0,设M=（/+力（彳_了），N=（d-y2）（x+y）,则

M,N的大小关系是.

【答案】M>N

【解析】因为+N=（x2-y2）（x+y）,

则M-N=（x2+y2）（x_y）_（x2-y2）（x+y）=_2^（x-y）,

且％<y<0,贝lj-2xy<0,x-j<0,

可得M-N=-2孙（x-y）>0,即M>N.

故答案为：M>N.

【典例22］（2024.高一.上海.随堂练习）比较大小：x2+4y24^-1.

【答案】>

【解析】因为％2+49一4孙+1=（%一2））2+1>。，

所以％?+4y2>4xy-l.

故答案为：>.

【方法技巧与总结】

作差法比较大小的步骤

两个实数（或代数式）的大小.

作差可以根据它们的差的符号进行判断

（1）进行因式分解转化为多个因式相乘］

变形

（2）通过配方转化为几个非负实数之和）

判号注意题目本身提供的字母的取值范围］

定论根据符号判断大小

【变式21］（2024・高一・上海•随堂练习）已知0<a<l,0</?<1,记"=劭，N=a+b—l,则M与N

的大小关系是.

【答案】M>N

【解析】因为Af—N="—a—=1乂。一1),且0va<l,0<Z?<1?

所以M—N>0=M>N.

故答案为：M>N.

【变式22］（2024•高一・上海•假期作业）（1）（若+五『____6+2A/6;（2）10可（通

1

⑶回2----------后一5(4)(a+3)(〃+5)(a+2)(i—4),a>0；

(5)(x2+1)____%4+x2+1(x*0)

【答案】<<<>>

【解析】(1)因为(括+四了-6-2亚=5+2#-6-2#=-1<0,

所以(6+&y<6+26；

(2)H>3(73-A/2)2-(A/6-1)2=5-2V6-7+2>/6=-2<0,

⑶因为号TUT（百;京+2］百广百+2-（四+国=2—探<0,

所以八1

V6-V5

(4)(Q+3)(tz+5)—(a+2)(a—4)=1Oci+23,

因为a>0,所以10a+23>0,

则(a+3)(a+5)>(a+2)(a-4)(a〉0)；

(5)+1)2—x4—x2—1=x2,

因为xwO,所以％2>o,

则(%2+l『〉/+%2+](%w0).

故答案为：(1)<;(2)<;(3)<;(4)>;(5)>.

haA_i_rr；

【变式23](2024・高一•上海•课后作业)设a>b>0,m>0,n>0,贝！Jp=—,q=:r二-------

aba+m

S=产的大小顺序是______.

b+n

【答案】P<r<s<q

【解析】方法一：特殊值法取a=4,b=2,m=3,n=l,

则夕=g，q=2,r=4,5=-|,则P<〃<s<q.

方法二：作差法

因为a>b>0,m>0,H>0,所以〃一av0,a+m>。，

，bb+mab+bm—ab—am"a)"、。,

所以PT=一

aa+ma(a+m)a^a+m)

所以〃

因为a>Z?>0,m>0,n>0,

所以a+根>Z?+根>0,a+n>b+n>Q,

Lnb+ma+n

所以-------<l1，-——>1,所以

a+mb+n

或,_b+ma+n_[b-a)[b+a+m+n)

s<0,所以r<s

a+mb+n(Q+M)(Z?+〃)

a+na（b-a）n

，7=西一『即『所以s<q.

所以"<r<s<q.

故答案为：p<r<s<q

【变式24］（2024.高一.上海.课堂例题）设x是实数，比较（尤+1乂/-》+1）与（*-1乂*2+彳+1）的值的大小.

【角星析】(x-l)(x2+X+1)=X3-1,(X+l)(x2-X+1)=X3+1,

因为三+1一（丁一1）=2>0,所以丁+1>尤3_],

即（％+1）（%2-X+l）>（X-1）（X2+X+1）.

【变式25]（2024・高一・上海•课堂例题）已知是实数，

⑴求证：4+"+kNO,并指出等号成立的条件；

（2）求证:如果那么标>户.

【解析】（1）因为"+加/=",+》22

当且仅当彳2,即。=〃=0时，等号成立；

b=0

（2）因为则4一/?>0,又42+他+〃2>0（等号不成立），

所以一匕3=（Q—匕）（〃2+ab+/）>0,故/>

题型三：作商法比较两数（式）的大小

【典例31]（2024.高一.江苏.假期作业）已知。之1,试比较〃=而1-后和N=6-的大小.

【解析】（方法1）因为6^1,所以河=而1—&>0,N=&—V^T>0.

以MJQ+1—y[u.+Ja-1

N-Ja—1Ja+1+

因为Ja+1+4a>y/a+[a-1〉0,所以二<1,即Af<N；

N

（方法2）所以G>O,N=G—V^T>o,

=

3^—~/---=Ja+1+—=-T=/=+Ja-1,

MJ〃+1—y/ClNyjd—A/ci—1

所以—>—>0,所以M<N.

MN

【典例32]（2024•高一•黑龙江鹤岗•期末）设。>人>0,比较，Z上与了的大小

a2+b2a+b

【解析】\*a>b>0^a+b>09a-b>0,

a』（a+b）（"6）a-b0

"a2+b2~a2+b2'a+b

./+/=（a+b）2=.,lab

2222

"a-b~a+b~a+b'

a+b

〃2一/72Cl—I）

.••---/--+---/-->--〃---+--丁-

【方法技巧与总结】

作商法:

任意两个值为正的代数式。、b,可以作商a+b后比较乌与1的关系，进一步比较a与b的大小.

b

b

@—<\<=>a<b；

b

@—=loa=b.

b

【变式31］（2024•高一•全国•课后作业）右a”>0，求证：相法>（"F

【解析】证明：

•••—>1,且。一6>0.

b

a-b

aabb

工作商得:a+b>1

(ab)2

a+b

aabb>(话)k

a+b+c

【变式32］（2024・高一•上海•专题练习）已知a>b>c>0,比较aabbcc与(abc)~的大小

a-ba-cb-c

aabhcca—ba—cb—cb—ac-b

333333

【解析】a+b+c=axbxcXX

(abc)~^

a-bb-c

a[伫”0

>1同理>1，>b

.丁L3

aabbcc

从而一a+b+c>1

a+b+c

即aabbcc>{abc)~~

【变式33］（2024・高一.贵州六盘水•期中）从下列三组式子中选择一组比较大小:

①设=«-斤斤,"=比较M,N的大小;

②设M=(x+3)(x+4),N=(x+2)(x+5),比较M,N的大小;

a2-b2

③设a>b>O,M=,N=—,比较M,N的大小.

a1+b2a+b

注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分.

【解析】@M>N

11

M=\[x-y/x-1=-j=,,N—A/X+1->Jx-―/--,

{x+{x—1Jx+l+Jx

因为Jx+1+Vx>y/x+y]x-l>0,

11

所以

JR+1+>Jxy[x+y/x~l

即Jx+1—yfx<yfx—,x/x—1;

②M>N

M-?/=(X+3)(X+4)-(X+2)(X+5)=(X2+7X+12)-(X2+7X+10)=2>0,

③M>N

22

a-ba-b_（〃+勾（〃一⑻一年十/）（々/?）

方法一（作差法）M-N=

Q2+/Q+Z?

(〃2+/?2)(〃+b)

(a-Z?)[(a+/?)2-(a2+i2)]_2ab(a-b)

^a2+Z?2j(d!+Z?)(Q2+02)(Q+b)

因为a>Z?>0,所以。+力>0,。一6>0,2〃/7>0,〃2+/?2>。,

2ab^a-b)

>0

所以(。2+b2)(〃+5)

r-r-Ia2—b?a—b

所以HF——7>----•

a+ba+b

2_A20―6

方法二（作商法）因为。>少>0,所以a一二>0,j>0,2ab>0,

a+ba+b

♦一一

M_i_A2(a+b)2a2+b2+lab.lab

2Na-ba2+b2a2+b2a2+b2>1,

a+b

a2-b2a-b

所以

a2+b2a+b

题型四：利用不等式的性质判断命题真假

【典例41］（2024•高一・湖北•期中）若在〃£R,且|相|<〃，则下列结论一定成立的是（

A.m2>n2B.—<-C.m<nD.m<-n

mn

【答案】C

【解析】对于A,若加=0,〃=1,则|根|<九，但m2>1、1<1（因为!无意义）、m<-〃不成立，故

mnm

ABD错误；

由"加巨机易得C项正确.

故选：C.

【典例42］（2024•高一・山西朔州•阶段练习）如果avbvO,c<0,那么下列不等式正确的是（）

A.yj—a<yj—bB.—<—

ab

_11—cc

C.--z-D.—〉一

abab

【答案】C

【解析】如果avhvO,c<Q,

对于A,-a>-&>0,>4-b，故A错误；

对于B,--T=^>0,即故B错误；

ababab

对于C,，■一±==^<。，即二<』，故C正确；

ababab

对于D,£，「em<o,即£<：,故D错误.

ababab

故选：c.

【方法技巧与总结】

运用不等式的性质判断真假的技巧

（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质.

（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足

题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.

【变式41］（2024.高二.云南昭通•阶段练习）已知且awO,b^O,则下列不等式成立的是（）

A.a2>b~B.—b>—aC.—>—D.cr>b

ab

【答案】B

【解析】对A,取。=1力=-1,则满足a>b,但/=〃，故A错误；

对B,根据不等式性质故B正确；

对C,取。=-1,6=-2,则工<:，故C错误；

ab

对D,取a=0.2,6=0.1,则°2<6,故D错误.

故选：B.

【变式42】（2024•高一•上海・单元测试）若a<0,b>0,则下列不等式中正确的是（）

11

A.—<-B.y[^a<\[bC.a2Vb2D.同〉网

ab

【答案】A

b>Q,贝世<0<2，故A正确;

【解析】对A：由〃<0,

ab

对B：取。=~4,b=l,则有yf—a=2>y/b=1,故B错误；

对C：取a=T，b=l,则有片=16>。2=1,故C错误;

对D：取a=,b=4,则有时=1〈回=4,故D错误.

故选:

【变式43］（2024.高一.全国.课后作业）下列说法中，错误的是（)

A.若a2>b?,ab>0,贝U—<—B.右—y<—z-,贝Ua<Z?

abcc

C.^b>a>0,m>0,贝|---->—D.若a>Z?,c<d,则a—c>b—d

b+mb

【答案】A

【解析】对于A,取。=-3力=-2,则l>：,故A错误；

ab

对于B,由，>0,得a<b,故B正确；

cc

a+maab+bm-ab-amm(b—a)

*°，b+mbb(b+m)Z?(Z?+m)?

由6>a>0,m>0,得誓二4>。，所以故C正确；

b[b+m)b+mb

对于D,由cvd,得一c>-d,又a>b,所以故D正确.

故选：A.

【变式44］（2024•高一•北京•期末）已知bed<0>abed>0,则下列选项可能成立的是（

A.a<0、b>0、c<0、d>0B.。〉0、bvO、c>0、d<0

C.a<0、b<0>c>0、d>QD.a>0>b>。、c<0,d<0

【答案】C

【解析】因为bed<0、abed>0,故avO,排除BD；

因为〃>b,所以b<0,ab>0,

又abed>0,所以cd>0,

故A错误，C正确.

故选：C

题型五：利用不等式的性质证明不等式

ha

【典例51］（2024•高一•上海•课堂例题）（1）已知a>b>0,c<d<Q,求证：----<-----

a-cb-d

（2）已知—加NO,bd>0,求证：<C+f.

ba

【角军析】证明：（1）因为cvdvO,所以一c>—d>0.

又Q>6>0.所以Q—d>0,所以0<--—<---

a-cb-d

又因为0<b<〃，

（2）因为切>0,要证学4号，只需证明d（a+b）vMc+d）,

ba

展开得ad+bd4be+bd,

即〃（be,bc—ad>0

因为从一〃NO成立，

所以如c+d

一丁成立.

【典例52］（2024•高一・上海•课堂例题）已知实数〃、b、c满足a+b+c=0,且求证：〃>0且

c<0.

【解析】由于实数。、b、。满足a+b+c=0,且

所以3a=〃+a+Q>a+Z?+c=0,即〃>0,

3C=C+C+CVQ+Z?+C=0,BPc<0,

综上，。>0且evO

【方法技巧与总结】

对利用不等式的性质证明不等式的说明

（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数有ab>O=>a>b；ab=O=>a=b；ab<O^a<b.这

是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础.

（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结

论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系.

（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用.

nh

【变式51］（2024・高一・上海•课堂例题）（1）已知。>。>人>0,求证：——>——；

c-ac-b

（2）已知。>匕，e>f,c>0,求证：f-ac<e-bc,

【解析】（1）由匕，得一av—b,贝!Jc—avc—b,

又c>a,贝!Jc-a>0,0<c-a<c-b,

111

不等式两边同乘乙丁乙公,得——>一彳>0,

（c-a）［c-D）c_ac-b

Z7h

而a>5>0,所以---->----.

c-ac-b

（2）由c>0,得ac>bc,即—ac<—be,

又/<e，所以f—ac<e—6c.

【变式52］（2024•高一•上海•假期作业）（1）已知a>b>0,c>d>0,求证：ac>bd\

（2）已知a>人>0,求证：an>bn,其中〃为正整数.

一［a>b［c>d

【解析】（1）\nac>be,<=bc>bd,由不等式的传递性，得

（2）将（1）结论中的，换成。，d换成b,就得到"，廿〉。

结合再次利用（1）的结论，可得/，尸〉。，反复运用（1）的结论，最终就得到优〉

【变式53］（2024・高一・上海•假期作业）已知羽ywR,证明：若x+y>2,贝晨>1或y>l.

【角毕析】彳战设％41且丁<1,则x+y<2,与已知x+y>2矛盾，

所以假设不成立，故工>1或y>L

7*

【变式54］（2024・高三・全国・专题练习）已知为正实数.求证：—+—>«+/?.

ba

rATJ■w、〒口口nzid///i\以+及一Mb—Clb?（Cl—Z?）—Z?2（6Z—Z?）（6Z—Z7）2（Cl+Z?）

【解析】证明：因为一+---（a+b）=----------------=-----------------=------------，

baababab

又因为a>0,6>0,所以（":（"+/NO,当且仅当a=人时等号成立，

ab

在aa2b1i

ba

【变式55］（2024•高一・河北保定•阶段练习）设a,。,CER,4+6+C=0,abc=l.

⑴证明：ab+bc+ca<0；

（2）若证明〃3>户.

【解析】（1）证明:,・•（a+b+c）2=〃2+62+/+2必+2〃。+2）。=0,

ab+be+ca=-］（Q2+b2+1?2）.

a,b,。不同时为0,则［2+〃+°2>0，...〃/?+/7。+。。=一3（。2+。2+。2）<0；

（2）—匕3=（〃—人+〃〃+人2）.

,・,〃+〃/?+/=（a+go）+-^Z?2>0,取等号的条件为a=Z?=O,

而〃>八.,.等号无法取得，即/+4匕+从=［Q+gb）+_|。2〉0,

a>bi(X'-力=(a-+Z?2)>0,.,.>Z?3.

【变式56］（2024・高一・安徽•阶段练习）（1）a=x3+y\b=x2y+xy2,其中心y均为正实数，比较〃，b

的大小；

（2）证明：已知a>b>c,且。+/?+。=0,求证：>•

c-ab-a

【解析】（1）因为〃=%3+,3*=%2〉+孙2,

作差得〃一人=九3+/3一（%2,+盯2）=%2（兀一,）+,2

=（无一封廿一丁卜^+以彳一才，

因为尤>0,J>o,所以x+y>0,（x-y）2>o,

所以。一/？之0,即

（2）因为a>Z?>c,且a+b+c=0,。>0,c<0,

所以cv/?va=>c-avZ?-avO,

所以（…）（j）>『正证询>0

]

斯^以一(c—〃)>一(b—a)>0=>—(c—>一(/?一〃)•(

^c-a)(b-a)c-a)[b-a)'

所以‘7>，>。，

a—ba—c

11八aa

所以；——<—<o=>-——<----

b-ac—ab-ac—a

,,aa

故——>--

c-ab-a

题型六：利用不等式的性质比较大小

【典例6。（多选题）（2024.高一.广西.开学考试）已知a>b>0,b>c,则下列不等式一定成立的是（）

.bac°i

A.<7TB.ac1>be1

ab

C.----<----D.tz+c>b~c

a-cb-c

【答案】AC

【解析】对于A,由。>八0,得a?〉/〉。，所以3>与>0,所以与<刍，则A正确；

baab

对于B,当c=0时，aerobe1,则B错误；

对于C,由4>〃,Z?>C,得Q—c>〃一C>。，所以----<----,贝！JC正确；

a-cb-c

对于D,当a=2,b=l,c=-2时，a+c=0,b-c=3,止匕时a+cvb-c,则D错误.

故选：AC

【典例62】（多选题）（2024・高一・河南郑州•阶段练习）若。>1,—1V（V0,C£R,则（）

12

A.—>bB.a>b2C.a+c>b+cD.ac>bc

a

【答案】BC

【解析】A选项，不妨令a=10,b=~,此时工<加，A错误；

2a

B选项，因为。>1,一1v〃v0,所以a>l>02,B正确.

C选项，由不等式的性质得a+c>Z?+c,C正确.

D选项，当cvO时，ac<be,D错误.

故选：BC

【方法技巧与总结】

注意点：

①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；

②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导,

更不能随意构造性质与法则

【变式61］（多选题）（2024.高一.福建福州•期中）下列说法中，正确的是（）

abri

A.若〃2>82,ab>0,则一<不B.右二>=，贝！

abcc

C.右b>,m>0,贝！J------->—D.若〃>匕，c<d,则a-c>Z?-d

b+mb

【答案】BCD

【解析】对于A,若。=-21=-1,贝让=二>；=一1,故A错误;

a2b

ab

对于B,可知c2>。,不等式两侧同乘以，2,…故B正确;

对于C,利用作差法知霭(b—a^m

b(b+m)

由b>a>0,m>0,知(b-a)机>0力(〃+根)>。，

a+ma(b-a)m

即>。，故C正确;

b+mbb[b+m)

对于D,由c<d知a>b,—c>—d,由不等式同向可加性的性质知D正确.

故选：BCD

【变式62］（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知a>/7>0>。，则下列结论中正确的有（）

A.ac>bcB.a+c>b+cC.ac<beD.a-c<b-c

【答案】BC

【解析】因为。＞b＞O＞c,所以故A项错误，C项正确;

a+c＞b+c,则B项正确；

a-c＞b-c,则D项错误，

故选：BC

【变式63］（多选题）（2024.高一.江苏常州•期中）在下列四个命题中，正确的是（）

A.若ac?＞be1,则a

b+c〉a+d

B.若。>b>0,c<d<0,|b|〉|c|,

(a-c)2(b—d)2

919

C.已知一l<a+Z?K4,2Ka—b<3,贝！J—«3a-2。W—

22

D.为互不相等的正数，且^+廿二？》小贝!Jac+/>aZ?+be

【答案】ACD

【解析】对于A,^ac2>bc\知。2〉0，由不等式的性质可得，a>b,因此A正确;

,,入，—,b+c11a+d33

对于B,Aa=4,b=3,c=—2,d=—\,贝|------=—=—,---------=——,

JJ7—6236(b-d)24216

显然/+，因此B错误；

(a-c)(b-d)

对于C,由3a-26=4+6)+“-6),X--<-(a+Z?)<2,5<-(a-Z?)<—,

o15ioo19

则=4—(a+6)+士(a-6)4彳，即一43。-2。<上，因此C正确；

222222

对于D,由a/,c为互不相等的正数，贝iJ/+62>2",又a2+济=2bc,；.2bc>2ab,

即c>。，:.c(^a+b)>a(^a+b),BPac+bc>a2+ab>ac+2bc>a1+ab+bc

又4+廿=2儿，

ac+a2,+b2>a2+ab+beBPac+b2>ab+be>因止匕D正确；

故选：ACD.

【变式64］（多选题）（2024•高一•全国•课后作业）给出下列命题，其中正确的命题是（）

A.若ac">be",则a>b

B.若a>例，则/>尸

C.若a>b,则a?>/

D.若时>6,则a2>b2

【答案】ABC

【解析】对于A,若这4＞儿4,贝l|cW0,否则这4=尻4=0,矛盾，所以04＞0，所以。＞＞，故A正确;

对于B,若。＞例20,贝矶（“+网）＞0,即/＞从，故B正确;

2

又寸于C,a>bf则/—尸=（〃—"（/++62）=（〃—人）［〃+/力］+—Z?,

因为［a+；“+［k=0当且仅当a=b=O,所以（a+g“十^^二。显然不可能（因为">方）,

所以［+?：+#>（）,所以/一心5叫+，>0,即心凡故c正确；

对于D,若时=0>b=T,贝卜2=（）<1="，故D错误.

故选：ABC.

题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围

【典例71］（2024•高三.江苏连云港•阶段练习）已知-Ka+bWl,l<a-2b<3,则a+38的范围

是.

【答案】~<a+3b<l

【解析】设。+3/?=/?i（a+b）+〃（a—2Z2）=（m+〃）Q+（m-2〃W，其中加、〃cR,

.5

c1m二一

则\m+。n-l公，解得3「，所以，a+3b=^5/a+b、）--2（/a-2b、）,

\m-2n=3233

in=——

［3

55592

因为一l<a-2b<3,贝!J—§W§（Q+b）-2<--［a-2b）<--,

由不等式的基本性质可得-日■4：6+6）-：（“一26）41,BP-y<a+3fe<l.

故答案为：-?Wa+36WL

【典例72］（2024•高一.全国•课后作业）若l<a<3,~4<b<2,那么“一|目的范围是（）

A.~3<a~\b\<iB.~3<a~\b\<5

C.—3<〃一|/?|<3D.i<a—|Z?|<4

【答案】C

【解析】•••一4<。<2,.-.0<|Z?|<4,.'.-4<-|/?|<0.

又■■■—3<a~\b\<3.

故选：C.

【方法技巧与总结】

利用不等式的性质求取值范围的策略

建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范

围.“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来

直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然