利用函数解决实际问题（13种题型+专项训练）-2025年中考数学一轮复习（原卷版）

第三章函数

微专题03利用函数解决实际问题

（13种题型汇总+专题训练）

【题型汇总】

【专项训练】

题型01最大利润问题

1.（2024•内蒙古呼伦贝尔•中考真题）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种

水果的进价和售价如表所示：

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

元.

⑴求a,6的值；

（2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克.实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售.求超市当天销售

完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量%（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取值

范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润.

2.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毯子活动，

需购买甲、乙两种品牌健子.已知购买甲种品牌健子10个和乙种品牌健子5个共需200元；购买甲种品牌

毯子15个和乙种品牌毯子10个共需325元.

（1）购买一个甲种品牌毯子和一个乙种品牌毯子各需要多少元？

（2）若购买甲乙两种品牌毯子共花费1000元，甲种品牌毯子数量不低于乙种品牌毯子数量的5倍且不超过乙

种品牌毯子数量的16倍，则有几种购买方案？

（3）若商家每售出一个甲种品牌毯子利润是5元，每售出一个乙种品牌毯子利润是4元，在（2）的条件下,

学校如何购买建子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

3.（2024.四川达州.中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将4、B两个品种的柑橘加

工包装成礼盒再出售.已知每件力品种柑橘礼盒比B品种柑橘礼盒的售价少20元.且出售25件4品种柑橘礼

盒和15件8品种柑橘礼盒的总价共3500元.

（1）求4B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？

（2）已知加工48两种柑橘礼盒每件的成本分别为50元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出4、B

两种柑橘礼盒共1000盒，且4品种柑橘礼盒售出的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍.总成本不超过

54050元.要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排4、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产

品展销活动中的最大收益为多少元？

4.（2024•山东青岛・中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季.为了解樱桃的

收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：

A樱桃园

B樱桃园

第X天的单价、销售量与X的关系如下表：

第尤天的利润光（元）与x的关系可以近似地用二次函数月=

单价（元/盒）销售量（盒）a/+6%+25刻画，其图象如图：

1^2---

第1天5020/\

/\

第2天4830

905\

/11

第天/11

34640495-r।।

：；：

।11।।।।।।।1।।।111A

第4天4450O1215x

第尤天IQx+lO

第X天的单价与X近似地满足一次函数关

系，已知每天的固定成本为745元.

（1）A樱桃园第x天的单价是元/盒（用含x的代数式表示）；

（2）求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式；（利润=单价x销售量-固定成本）

（3）①力与x的函数关系式是；

②求第几天两处樱桃园的利润之和（即为+%）最大，最大是多少元？

（4）这15天中，共有天B樱桃园的利润内比A樱桃园的利润yi大.

5.（2024.山东济宁.中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位:

件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.

（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；

（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多

少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

6.（2024新疆真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额为

（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为为=5x；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所

示的抛物线的一部分，其中c，J是其顶点.

（1）求出成本为关于销售量x的函数解析式；

（2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？

(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？(注：利润=销售额-成本)

题型02行程问题

7.(2024•陕西咸阳・模拟预测)已知A,8两地相距360km,甲、乙二人分别从A,8两地同时出发，相向而

行.设甲、乙二人离A地的距离为y(km),行驶时间为x(h),则y与尤的函数图象如图所示.

(1)求乙到达A地所用的时间；

(2)已知甲、乙两人早上八点同时出发，那么行驶过程中甲、乙二人何时相距90km?

8.(2024・陕西咸阳・模拟预测)周末，爱好骑行的许一一同学和爸爸从家出发，骑行去渭河运动公园锻炼.许

一一先出发，并且匀速骑行完全程，爸爸随后出发并且出发一段时间后速度提高为原来的2倍.如图所示

是许一一和爸爸骑行离家的距离s(米)与许一一骑行时间f(分)之间的函数图象，根据图象解答下列问

(2)求爸爸骑行过程中BC段对应的函数表达式，并写出自变量的取值范围.

(3)求许一一出发多长时间后爸爸追上她.

9.(2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题)甲、乙两货车分别从相距225km的A、2两地同时出发，甲货车从

A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往8地，乙货车沿同一条公路从8地驶往A地，但

乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回2地，结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、

乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)甲货车到达配货站之前的速度是km/h,乙货车的速度是km/h；

(2)求甲货车在配货站卸货后驶往8地的过程中，甲货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数解

析式；

(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.

10.(2024.天津•中考真题)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km,文化广

场离家1.5km.张华从家出发，先匀速骑行了4min到画社，在画社停留了15min,之后匀速骑行了6min到

文化广场，在文化广场停留6min后，再匀速步行了20min返回家.下面图中x表示时间，y表示离家的距离.图

象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.

请根据相关信息，回答下列问题:

(1)①填表：

张华离开家的时间/min141330

张华离家的距离/km0.6

②填空：张华从文化广场返回家的速度为km/min；

③当0<%<25时，请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式；

(2)当张华离开家8min时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min直接到达了文化广场，那么从画社到文化

广场的途中(0.6<y<1.5)两人相遇时离家的距离是多少？(直接写出结果即可)

题型03阶梯计费问题

11.（2023•上海浦东新•二模）某市全面实施居民“阶梯水价”.当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点

后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：

户年用水量自来水单价污水处理单价

分档

（立方米）（元/立方米）（元/立方米）

第一阶梯0-220（含220）2.25

第二阶梯220-300（含300）41.8

第三阶梯300以上6.99

注：应缴的水费=户年用水量x（自来水单价+污水处理单价）

仔细阅读上述材料，请解答下面的问题：

（1）如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？

（2）居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量尤（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段4B）的表

达式；

（3）如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？

12.（2024•福建南平.二模）北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：（以户为单位）

阶梯采暖用气销售价格

第一阶梯0~1500m3（含1500）的部分2.677E/m3

第二阶梯1500~2500m3（含2500）的部分3.157E/m3

第三阶梯2500m3以上的部分3.637C/m3

根据表中所给的数据回答以下问题：

（1）某户用气量为1000m3,求此户需缴纳的燃气费用：

（2）设某户这个冬季用气量为xm3（0<xW2500）,缴纳燃气费用为y元，求y与x的函数表达式：

（3）已知某户该冬季缴纳燃气费用为8970元，求该户用多少立方米的燃气？

13.（2023•河北石家庄•模拟预测）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地采取表1的计

费方式已知嘉淇家7月份用电量为280度，缴纳电费为164元.

表1某地居民用电计费方式

第一档电量第二档电量第三档电量

月用电量180度（含180度），月用电量180度至300度（含300度）月用电量300度以上的部分，每

以下每度价格0.55元的部分，每度比第一档提价。元度比第一档提价0.30元

⑴求出表1中。的值;

（2）设某用户每月用电量为x度，应缴纳电费为y元，求y与x的函数关系式；

（3）嘉淇在暑期社会实践活动中随机调查了20户家庭7月份的用电量，如表2所示试通过计算求出这20户

家庭缴纳电费的中位数和众数.

表220户家庭7月份用电量统计表

用电量（度）120160200260320

户数23672

14.（2023•浙江温州•二模）某地移动公司提供的流量套餐有三种，如表所示，x表示每月上网流量（单位:

GB）,y表示每月的流量费用（单位：元），三种套餐对应的y关于久的关系如图所示：

a套餐8套餐C套餐

每月基本流量服务费（元）305080

包月流量（GB）51020

超出后每GB收费（元）10105

什（元）

150-

140-

20-

10...............................................................

~05101520253035X（GB）

（1）当%>5时，求a套餐费用以的函数表达式.

（2）当每月消耗流量在哪个范围内时，选择C套餐较为划算.

（3）小红爸妈各选一种套餐，计划2人每月流量总费用控制在150元以内（包括150元），请为他们设计一种方

案使总流量达到最并完成下表，

小红爸爸：一套餐小红妈妈：一套餐

总流量

（填4、B、C）（填4、B、C）

消耗流量_GB_GB_GB

题型04图形面积

15.（2024・湖北•中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验

田，墙长为42m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m）,与

墙平行的一边长为M单位：m）,面积为S（单位：m2）.

H-------42m--------H

墙

x实验田x

y

（1）直接写出y与无，S与x之间的函数解析式（不要求写尤的取值范围）；

（2）矩形实验田的面积S能达到750m2吗？如果能，求尤的值；如果不能，请说明理由.

（3）当尤的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？

16.（2023•江苏徐州•中考真题）如图，正方形纸片力BCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角形，得

到四边形EFGH.设4E的长为无，四边形EFGH的面积为y.

（1）求y关于x的函数表达式；

（2）当4E取何值时，四边形EFGH的面积为10?

（3）四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

17.（2023•黑龙江大庆•中考真题）某建筑物的窗户如图所示，上半部分AABC是等腰三角形，AB=AC,

AF:BF=3:4,点G、H、F分别是边4B、AC.BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE||〃||MN||CD,

制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设=x米，BE=y米.

A

(1)求y与％之间的函数关系式，并求出自变量支的取值范围；

(2)当x为多少时，窗户透过的光线最多(窗户的面积最大)，并计算窗户的最大面积.

题型05拱桥类问题

18.(2024•河南信阳•一模)信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”

美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千

湖之市”.其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线BC相距4米，

桥孔宽6米.

(1)若以起拱点8为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标.

(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题.额定

载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形EFGH(如图2),当船宽FG为3米时.①求吃水线上船高EF

约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围.

19.(2024•宁夏银川.二模)如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点

M,N之间的距离为20米，A,8两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C,。为桥面钢丝

的固定点，C,。两点相距90米且CM=DN,已知tan乙4CD=2.

4

（1）以M为坐标原点，MN所在直线为无轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系，求抛物线的函数

表达式；

（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形,海报顶边的两个顶点恰好在钢拱圈上的A,B两点，

求海报底边与桥面的距离.

20.（2024・陕西・中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索力与缆索均均呈抛物线型，

桥塔4。与桥塔8c均垂直于桥面，如图所示，以。为原点，以直线尸F'为x轴，以桥塔4。所在直线为y轴，

建立平面直角坐标系.

m

已知:缆索L所在抛物线与缆索G所在抛物线关于y轴对称，桥塔力。与桥塔BC之间的距离。C=100m,4。=

BC=17m,缆索A1的最低点「至1J"’的距离P。=2m（桥塔的粗细忽略不计）

⑴求缆索k所在抛物线的函数表达式；

（2）点E在缆索么2上，EF1FF',且EF=2.6m,FO<OD,求F。的长.

21.（2024・广东•模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为

材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件.如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该

桥的桥拱呈抛物线形.在正常水位时测得桥拱处水面宽度。8为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米.

素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，己知货船的宽DE为16米，露出水面的高DG为7米.四

边形DEFG为矩形，OD=BE.现以点。为原点，以。B所在直线为无轴建立如图（2）所示的平面直角坐标

系，将桥拱抽象为一条抛物线.

（1）求此抛物线的解析式.

⑵这艘货船能否安全过桥？

（3）受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？

22.（2024湖南.模拟预测）某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚.如

图，大棚跨度AB=8m,拱高CD=2m.

同学们讨论出两种设计方案：

方案一，设计成圆弧型，如图1,已知圆心。，过点。作。C14B于点。交圆弧于点C.连接。儿

方案二，设计成抛物线型，如图2,以所在直线为x轴，线段4B的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标

系.

(1)求方案一中圆的半径；

(2)求方案二中抛物线的函数表达式；

(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即ZE=BF=1m.在大棚内需搭建2m高的

植物攀爬竿，即GM=HN=2m,GM14B于点P,HN148于点。，与。C交于点K.请问哪种设计的

种植宽度(MN)要大些？(不考虑种植间距等其他问题，且四边形GMNH是矩形)

题型06投球问题

23.(2024•甘肃兰州.中考真题)在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某

型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学

们进一步展开研究.如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火

箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面。力的竖直高度y(m)与离发射点。的水平距

离x(m)的几组关系数据如下：

水平距离工(加)0341015202227

竖直高度火山)03.244.168987.043.24

图1图2

(1)根据上表，请确定抛物线的表达式；

(2)请计算当水火箭飞行至离发射点。的水平距离为5m时，水火箭距离地面的竖直高度.

24.(2024•河南・中考真题)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度以m)满足关系式九=-5产+为3其中

t(s)是物体运动的时间，%(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向

上发射小球.

(1)小球被发射后s时离地面的高度最大(用含火的式子表示).

(2)若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度.

(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时

间为3s.”已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由.

25.(2024.江西・中考真题)如图，一小球从斜坡。点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数y=

a/+bx(a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y

(米)的变化规律如下表：

012m4567

157

。%68n

T2

(l)@m=,n=

②小球的落点是A,求点A的坐标.

(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间/(秒)满足关系丫=-5/+区.

①小球飞行的最大高度为米;

②求v的值.

26.(2023・河南•中考真题)小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进

行技术分析，下面是他对击球线路的分析.

如图，在平面直角坐标系中，点A,C在x轴上，球网与y轴的水平距离。4=3m,CA=2m,击球点尸

在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离式(m)近似满足一次函数关系y=-0.4%+2.8；

若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离式(m)近似满足二次函数关系y=a(x-l)2+3.2.

(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断

应选择哪种击球方式.

27.(2023•河北•中考真题)嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1机长.嘉嘉在点2(6,1)处将沙包(看成点)抛出，并运动

路线为抛物线C1:y=a(久-3/+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路

c+1的一部分.

(1)写出G的最高点坐标，并求a,c的值;

(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的〃

的整数值.

28.(2023•浙江温州・中考真题)一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈

抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以。

为原点建立如图所示直角坐标系.

Q（m）

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素).

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少

米射门，才能让足球经过点。正上方2.25m处？

题型07喷水问题

29.(2023•甘肃兰州•中考真题)一名运动员在10m高的跳台进行跳水，身体(看成一点)在空中的运动轨

迹是一条抛物线，运动员离水面。8的高度y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运

动员离起跳点A的水平距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3m时离水面的距离为7m.

跳

台

支

柱

(1)求y关于％的函数表达式；

(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离0B的长.

30.(2023・安徽•一模)某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央。处垂直于地面安装一个高为

1.25米的花形柱子CM,安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径

落下，且在过04的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距。4的水平

距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米.

(1)以点。为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到。4水平距离为x米，水流喷出的高度为y米,

求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此

时他离花形柱子。4的距离为1米，求d的取值范围；

(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面8、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45。角，如图3所示，

光线交汇点尸在花形柱子。力的正上方，其中光线BP所在的直线解析式为y=-乂+4,求光线与抛物线水流

之间的最小垂直距离.

31.(2024・湖北武汉•模拟预测)某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置02,水流在各个方向上

沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置04的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改

变水柱的形状.为了美观，在半径为3.2米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉.设水流离池底的高

度为y(单位：米)，距喷水装置。力的水平距离为x(单位：米).如图所示，以喷水装置。4所在直线为y轴，

以池底水平线为无轴建立平面直角坐标系.如表是喷水口4最低时水流高度y和水平距离x之间的几组数据：

%/米00.511.522.53

%/米1.51.87521.8751.50.8750

(1)根据上述数据，水流喷出的最大高度为米，并求出y关于x的函数关系式，不要求写出自变量的范

围；

(2)为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口a升高的最小值；

(3)喷泉口4升高的最大值为1.92米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使喷出

的水流不至于落在花卉外？

题型08一次函数与反比例函数综合

32.(2024.宁夏银川.三模)某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，

如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(°C)与时间x(h)之间的函数关系，其中线

段48、BC表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.

请根据图中信息解答下列问题:

(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少。C；

(2)若大棚内的温度低于12久时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？

33.(2024•江苏南京•一模)某公司成功研制出一种产品，经市场调研，年销售量M万件)与销售单价M元)

之间的关系如图所示，其中曲线2B为反比例函数图像的一部分，BC为一次函数图像的一部分.

(2)已知每年该产品的研发费用为40万元，该产品成本价为4元/件，设销售产品年利润为0(万元)，当销售

单价为多少元时，年利润最大?最大年利润是多少?(说明：年利润=年销售利润-研发费用)

34.(2024.安徽・模拟预测)人工智能(AI)饮水机在接通电源后开始自动加热，加热过程中，水温y(。。与通

电的时间尤(min)成一次函数关系，水温每分钟上升20。口加热到lOCTC时，饮水机自动停止加热.在水温开

始下降时，水温y(°C)与通电的时间x(min)成反比例函数关系.当水温降至室温时，饮水机再次自动加热,

重复上述过程.设某天水温和室温均为20汽，接通电源后，水温y(?C)与通电时间x(min)之间的关系如图

所示.

100-J

A

20t--^_________,

()\4ax/min

(1)求。的值；

(2)求加热一次，水温不低于40。(2的时间有多长？

题型09新考法：新考法问题

35.(2024・广东广州•中考真题)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小

组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一

个函数关系，部分数据如下表：

脚长工(cm)232425262728

身高y(cm)156163170177184191

⑴在图1中描出表中数据对应的点(居y)；

(2)根据表中数据，从丫=。久+b(a40)和y=g(k40)中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚

长的函数关系，并求出这个函数的解析式(不要求写出久的取值范围)；

(3)如图2,某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm,请根据(2)中求出的函数解析式，估计这个人

的身高.

36.(2024•吉林・中考真题)综合与实践

某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第

二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请

你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题.

【背景调查】

图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其樟卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.樟眼的设计

很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定棒眼的位置，

如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.

图①图②

【收集数据】

小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为无，凳面的宽度为ymm,记

录如下:

以对称轴为基准向两边各取相同的长度x/mm16.519.823.126.429.7

凳面的宽度y/mm115.5132148.5165181.5

【分析数据】

如图③，小组根据表中x,y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.

Ay/mm

200-

180--

160-・

140-*

120-•

loo-•

80-

60-

40-

20-

-------------1-------11_>

0204060x/mm

图③

【建立模型】

请你帮助小组解决下列问题：

(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函

数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由.

(2)当凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？

37.（2023•浙江台州•中考真题）【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一

根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔lOmin观

察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间〃min010203040

水面高度/z/cm（观察值）302928.12725.8

任务1分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量.

【建立模型】

小组讨论发现：“t=0,h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数

近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系.

任务2利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度〃与流水时间f的函数解析式.

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，

减少偏差.通过查阅资料后知道：，为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对

应//的观察值之差的平方和，记为W；VV越小，偏差越小.

任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的W值.

（2）请确定经过（0,30）的一次函数解析式，使得w的值最小.

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.

任务4请你简要写出时间刻度的设计方案.

38.（2023・山东济南・中考真题）综合与实践

如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块4BCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木

栏围住，木栏总长为am.

D

BC

【问题提出】

小组同学提出这样一个问题：若a=10,能否围出矩形地块？

【问题探究】

小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：

设4B为xm,BC为ym.由矩形地块面积为8m2,得至Ijxy=8,满足条件的(x,y)可看成是反比例函数y='的

图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m,得到2x+y=10,满足条件的(居y)可看成一次函数丫=

-2%+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的ay)就可以看成两个函数图象交点的坐标.

如图2,反比例函数y=*乂>0)的图象与直线小y=—2久+10的交点坐标为(1,8)和,因此，木

栏总长为10m时,能围出矩形地块，分别为:AB=lm,BC=8m；或力B=m,BC—m.

(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空.

【类比探究】

(2)若a=6,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.

【问题延伸】

当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=-2x+a.发现直线y=-2x+a可以看成是直线y=-2x通

过平移得到的，在平移过程中，当过点(2,4)时，直线丫=-2%+。与反比例函数丫=((>>0)的图象有唯一

交点.

(3)请在图2中画出直线y=-2%+a过点(2,4)时的图象，并求出a的值.

【拓展应用】

小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=-2%+a与y=5图象在第一象限内交点的

存在问题

（4）若要围出满足条件的矩形地块，且48和BC的长均不小于1m,请直接写出a的取值范围.

39.（2023・广西・中考真题）【综合与实践】

有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.

小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务.

【知识背景】如图，称重物时，移动秤坨可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（Mo+m）-=M-（a+y）.

其中秤盘质量小。克，重物质量机克，秤坨质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为/厘米，秤纽与零刻线的水

平距离为a厘米，秤蛇与零刻线的水平距离为y厘米.

零

末

刻

刻

秤蛇

线

线

重

物

【方案设计】

目标：设计简易杆秤.设定nio=lO,M=50,最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为

50厘米.

任务一：确定/和a的值.

（1）当秤盘不放重物，秤坨在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,。的方程；

（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤蛇从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,a的方程；

⑶根据（1）和（2）所列方程，求出/和a的值.

任务二：确定刻线的位置.

（4）根据任务一，求y关于机的函数解析式；

（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.

40.（2024•山西•模拟预测）项目式学习

项目主题：合理设计智慧泉源

项目背景：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，方便出行.

图1图2

如图1,一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如

何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带.围绕这个问题，该小组开

展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习.

任务一测量建模

建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，喷

水口”离地面竖直高度h为1.2米.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2米,高出喷水口0.4米.

（1）求上边缘抛物线的函数解析式；

任务二推理分析

小组成员通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，即下边

缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG,其水平宽度DE=1.8米,

竖直高度EF=1.1米，洒水车到绿化带的距离。。为1米.

（2）求下边缘抛物线与无轴交点8的坐标；

（3）若d=2.2米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由.

41.（2024・湖北武汉•模拟预测）现安装一台可360。旋转灌溉的喷水器以灌溉某花田.如图1,其中点P为原

装喷头的喷水口，点N处是喷头与支架的接口，喷水口的高度可以通过连杆用N进行调整（点P到地面的距

离最大可达2米），已知点P、N、〃在同一直线上.喷水口喷出的水柱最外层的形状可近似看作是抛物线

的一部分，且通过上下高度调整后，喷出的水柱形状仍与原来相同.（接头处的间隙忽略不计）如图2,在

初始高度下，测得喷水口点尸到水平地面的距离为1米，喷射距离为10米，并发现喷头在旋转过程中，喷

出的水柱外端恰好碰到距离连杆MN所在直线5米处一片树叶的最低处，并测得该树叶的最低处距离水平地

面2米.现将原来的花田改造成一块由6块全等的等边三角形与1个正六边形组成的多边形花田（如图3）,

已知48=若411.同时,这款喷水器还有一款“S”型号的喷头可供更换（如图4）,并且QN=PM已知RtAPiRQ

的边QR=i^cm,P±R=25cm,其中QR与地面平行，P]R与地面垂直.更换喷头后，喷出的水柱形状仍与

原来相同.

(1)在图2中建立合适的直角坐标系，求喷出水柱最外层抛物线的函数表达式；

(2)若使用原装喷头的喷水器，要求通过360。旋转后，洒水区域能覆盖整块多边形花田，那么喷水口尸至少

需要升高多少米？

(3)园艺师计划分别在BD,DF,FH,HJ,L],BL的中点处种植一棵高为3.2米的树.通过计算，判断种植后

是否会影响任务2中的灌溉要求.若有影响，利用计算分析，设计出通过调节喷水器的高度、更换喷头等

方式，能够达到多边形花田灌溉要求的方案.

题型10新考法：新情景问题

42.(2024・四川南充・中考真题)2024年“五一”假期期间，阖中古城景区某特产店销售A,8两类特产.A类

特产进价50元/件，8类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件8类特产需132元，购买3件A

类特产和5件B类特产需540元.

(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？

(2)4类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件

(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写

出自变量元的取值范围.

(3)在(2)的条件下，由于8类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两

类特产的总利润为w元，求w与尤的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大

利润是多少元？(利润=售价一进价)

43.(2024.广东潮州.一模)“买新能源车到底划不划算？”是消费者关心的话题，某校数学小组对市场上配置

相近的某款燃油车和某款新能源车做对比调查，发现：总费用(以使用6年为例)=购车费用-预计6年后

的车价+购置税+保养费用+保险费用+油费或电费.具体数据如题21表所示：

车型购车费用购置税年均保养费用年均保险费用预计6年后的车价

某款燃油车17万元17000元1000元4000元69000元

某款新能源车20万元0元500元5000元49000元

此外，每公里燃油车的油费比新能源车的电费多0.6元.当油费和电费均为100元时，新能源车的行驶路程

是燃油车的4倍.

(1)燃油车每公里油费与新能源车每公里电费分别是多少元？

(2)设平均每年的行驶路程为a公里，使用燃油车6年的总费用为也元，使用新能源车6年的总费用为也元，

分别写出也和吻关于a的表达式，并说明怎样选择更划算.

44.(2024•山东潍坊・中考真题)2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计划在商

场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本P(万元)与隔热层厚度x(cm)满足函数表达式：P=10%.预计该

商场每年的能源消耗费用7(万元)与隔热层厚度久(cm)满足函数表达式：T=21」+2『4),其中0

9.设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为y(万元).

(1)若y=148万元，求该商场建造的隔热层厚度；

(2)已知该商场未来8年的相关规划费用为t(万元)，且t=y+x2,当172<t<192时，求隔热层厚度x(cm)

的取值范围.

45.(2024.河南漠河.一模)某二手车管理站，用一种一氧化碳CCO)检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气

中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气

敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高.已知气敏电阻R(。)的阻值随着尾