利用导数研究切线与单调性问题（9题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（原卷版）

热点05利用导数研究切线与单调性问题

明考情・知方向

三年考情分析2025考向预测

导数的切线问题，单调性问题一直是天津高考数学的

切线：

中重点内容，从近几年的高考情况来看，高考依旧会

2022年，第20题（1）,考察求“在”型切线

涉及导数的运算及几何意义，以选择填空题或出现在

2023年，第20题（1）,考察求“在”型切线

解答题第一问的形式考察导数的意义、求曲线的切线

2024年，第20题（1）,考察求“在”型切线

方程，导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问

进行考查，试题难度属中低档。

热点题型解读

题型1"在"型切线

题型2"过”型切线

题型7已知函数在区间上存在单调区间

题型3公切线问题4

I—切线与单调性

题型8已知函数在区间上不单调

题型4切线条数问题

题型9含参问迈讨论单调性|.■

夕

题型5与切线有关的距离最小值问题7

题型1"在"型切线

sV*w*

;已知：函数/（X）的解析式.计算：函数/（X）在x=x。或者（4,/（%））处的切线方程.

;步骤：第一步：计算切点的纵坐标/（%）（方法：把X=X。代入原函数/（X）中），切点（4,/（%））.

第二步：计算切线斜率左=/（%）.

第三步：计算切线方程.切线过切点（x0,/（x。）），切线斜率左=/'（x。）。

根据直线的点斜式方程得到切线方程：J-/（x0）=f\x0Xx-x0）.

1.（2022,河南焦作•二模）函数/■（x）=（2e*-x〉cosx的图象在尤=0处的切线方程为（）

A.x-2y+l=0B.x-y+2=0

C.x+2=0D.2x-y+l=0

2.（24-25高三上•江西•阶段练习）已知函数〃x）=l-2x-sinx,则曲线y=在x=0处的切线方程为

（）

A.2x+y-l=0B.2x-y+l=0C.3%-y+l=0D.3%+y-l=0

22

3.（23-24高三上•天津滨海新•期中）函数y=lnx—-的导数为,曲线y=Inx--在x=l处的切线

xx

方程为.

2x-l]

4.（22-23高三上•天津滨海新•期中）已知函数/（同=则曲线丫=〃同在了=不处的切线方程是一

JC4

5.（2024•贵州铜仁•模拟预测）已知定义在R上的函数满足2〃x）=〃-x）+6e',则曲线y=〃尤）在

点（0,/（0））处的切线方程为.

题型2"过”型切线

00日式

已知：函数/（X）的解析式.计算：过点片（%,必）（无论该点是否在y=/（x）上）的切线方程.

步骤：第一步：设切点6（%,%）

第二步：计算切线斜率左=/'（与）；计算切线斜率左=近二21；

玉-x0

第三步：令：左=/（/）=）£比,解出/,代入左=/'（/）求斜率

—XQ

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-%=/'（%）（%-%）.

；二7五：三高三工：病攥彳高异学考试）过点（茄询和曲线防而赢数为（""）

A.1B.2C.3D.0

2.（2024•天津和平•二模）过点（0,0）作曲线y=2"（xeR）的切线，则切点的坐标为.

3.（2024•贵州•模拟预测）过点尸（1,-3）作曲线y=2/一3尤的切线，请写出切线的方程.

4.(2024•江西鹰潭•三模)已知函数/(x)=21nx+l.

(1)求曲线y=过点(0,1)的切线方程；

题型3公切线问题

已知/(X)和g(x)存在〃(“=1,2,3)条公切线问题

II

第一步：求公切线的斜率，设/(幻的切点4和/(%)),设g(x)的切点5(々，8(々))；

第二步:求公切线的斜率左=:(石)与左=g'(%2)；

ii

第三步：写出并整理切线

II

(1)1一1(%)=7'(%)0-再)整理得:y=/'(%)•X-7'(石)西+/(王)

II

(2)y—g®)=g'(X2)(x—X2)整理得：y=g'(X2>X—g'(X2)X,+g(X2)

II

ii

丁'(芝)=g'(%2)

第四步：联立已知条件，“、j、，，、，、

(菁)再+/(%)=-g(W)9+g(%2)

ii

消去事得到关于%的方程，再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；

ii

消去马得到关于再的方程再分类变量，根据题意公切线条数求交点个数；

ii

1.(24-25高三上•江苏•阶段练习)若曲线G：y=/与曲线G：y=aeX存在公切线，则。的最大值_____.

2.(2024•山东潍坊•模拟预测)已知/(x)=e-l(e为自然对数的底数)，g(x)=lnx+l,请写出与

g(x)的一条公切线的方程.

3.(24-25高三上广东深圳•期末)若曲线y=e'+元与曲线y=V+依+1在点(0,1)处有相同的切线，贝I]

4.(2024•山东威海•一模)已知函数f(x)=ln(分)一f+依(<7片。).

⑴讨论“X）的单调性；

出令8（尤）=〃尤）+尤2-依+3，〃（尤）=恁，（“>0）.若曲线丫=8（%）与'=/7（尤）存在公切线，求实数。的取值范

围.

5.（24-25高三上■山东烟台■期中）已知函数/（x）="Ina,g（x）=aln（x-l）,a>l.

（1）证明：当a=e时，曲线y=/（尤）与y=g（x）有且只有两条公切线；

题型4切线条数问题

00e图

已知/（X）,过点（。力）,可作曲线的“（〃=1,2,3）条切线问题

第一步：设切点6（%，%）

第二步：计算切线斜率左=/U）；

第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：y-%=/'（Xo）（x-/）.

第四步：将（。/）代入切线方程，得：6-%=7'（%）（。-/）,整理成关于X。得分方程；

第五步：题意已知能作几条切线，关于飞的方程就有几个实数解；

五高三不足紊百嬴遍而宜17踵6汴遍篆:二屋:茄鹰者亩5赢家;而翥嬴■研瓶.

可能为（）

A.-2B.-3C.-4D.-5

2.（24-25高三上•山东日照,阶段练习）若过点（。,1）可以作曲线y=lnx的两条切线，则。的取值范围为（）

A.（0,e）B.（-oo,l）C.（0,e2）D.（0,1）

3.（2024•福建泉州•模拟预测）若曲线y=,与＞=*.«彳0）恰有两条公切线，贝ijf的取值范围为（）

A.B.C.（f0）ug,+c»]D.

4.（2024・安徽・模拟预测）若直线x=l上一点P可以作曲线龙=lny的两条切线，则点P纵坐标的取值范围

为.

题型5与切线有关的距离最小值问题

（1）平移直线与曲线相切；

（2）利用两条平行线间距离最短求解

17#（24-25高二二Z亩覆港宿力已盆1耳见»是J获;U?王的一JE,JP（x,y）^i^2x^y-4=0

的距离的最小值为（）

A百R2^5D

55Y-i

2.（2023•四川成都,二模）已知产是曲线y=-sinx（xe[0,7i]）上的动点，点Q在直线x-2y-6=0上运

动，则当|尸0取最小值时，点尸的横坐标为（）

71712兀5兀

A.-B.一C.—D.—

4236

3.（24-25高三上•上海闵行•期中）已知。，beR,则（e〃-of+（e"-的最小值为.

4.（22-23高二下•浙江金华•阶段练习）已知6=+3m”,4=0+2,则（a-cP+S-df的最小值为.

题型6已知函数在区间上单调

①已知/（%）在区间。上单调递增oX/xG。，/'（X）»0恒成立.

②已知/（九）在区间£>上单调递减CsD,/'（x）W0恒成立.

注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.

1.（2024•全国•模拟预测）若对任意的％e（w,”），且可<马，地1三21g<2,则实数加的取值范

2.（2024•云南大理•模拟预测）若函数〃“=加+3%-1在（0,+e）为增函数，则实数。的取值范围为（）

A.B.C.[1,+co）D.（1,+co）

3.（2024•山东泰安•模拟预测）已知函数/（xhe—alnx在区间（1,2）上单调递增，则”的最大值（）

A.e2B.e_1C.eD.2e2

4.（2024・全国•模拟预测）函数"x）=x2—2x+〃?lnr在定义域内单调递增，则实数加的取值范围为.

5.（2024・陕西安康・模拟预测）已知函数/（%）=111%+办+$版,\/%,/6（0,+8）,%/工2，都有"^_^^>1，

则。的取值范围为.

题型7已知函数在区间上存在单调区间

①已知”村在区间。上存在单调增区间of\x）>0,有解

②己知/（%）在区间D上存在单调减区间o令/'（X）<。，有解

1.（2024高三•全国・专题练习）已知函数〃x）=（2x~+ox+l）e"'।（a>0）在-于-]存在单调递减区间,

则。的取值范围是（）

A.（0,1）54,M）B.（1,4）C.（0,2）U（3收）D.（2,3）

2.（23-24高二下•重庆巴南•期中）已知函数g（x）=gx2-3alnx-4x在（0,+巧上存在单调递减区间，则实

数。的取值范围为（）

A.~,-胃B.C.卜孑+oo]D.18,；

3.（23-24高二下•广东东莞,阶段练习）若函数〃尤）=（x-l）e'-6在区间[1,3]上存在单调递增区间，则实

数。的取值范围为.

4.（23-24高二下•四川凉山•期中）己知函数/（"=--5》+4111%在（4,5）上存在递减区间，则实数a的取

值范围为.

题型8已知函数在区间上不单调

已知函数/（X）在区间。上不单调6。，使得/（%）=0（X。是变号零点）

1.（23-24高二下・江苏苏州•阶段练习）已知函数/。）=-炉+苫+6在（a,a+l）上不单调，则实数。的取值

范围是•

2

2.（23-24高二下•上海松江・期末）函数）=%3+化一1）%+化+5.-1在（0,3）上不单调，则实数左的取值范

围是■

3.（2023•宁夏银川三模）若函数/（x）=]-lnx在区间,沉+；）上不单调，则实数加的取值范围为.

4.（2023•云南昆明•一模）若函数/（x）=2x+〃cosx在定义域R上不单调，则正整数〃的最小值是.

题型9含参问题讨论单调性

第一步：求y=/（x）的定义域

第二步：求r（x）（导函数中有分母通分）

第三步：确定导函数有效部分，记为g（x）

对于y=/(x)进行求导得到了'(X),对r(x)初步处理(如通分)，提出/''(%)的恒正部分，将该部分:

I

i

省略，留下的部分则为了'(X)的有效部分(如：/'(x)="(X-广+2),则记g(x)=犬—以+2为f'M

的有效部分).接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定了'(%)的正负.

i

第四步：确定导函数有效部分g(x)的类型：

I

①g(x)为一次型(或可化为一次型)②g(x)为二次型(或可化为二次型)

i

第五步：通过分析导函数有效部分，讨论y=/(x)的单调性

I

2?

1.(2024•天津河西•三模)已知函数/(X)=—2aIn%——,g(x)=ax—(2〃+l)ln犬——,其中acR.

xx

⑴若/'(2)=0,求实数a的值

(2)当。＞0时，求函数g(x)的单调区间；

2.(2022•天津宝垠•二模)已知函数/(x)=/ln无,g(x)=[x+g>f+a(aeR).

①求/(x)的最小值；

(2)若加＞0,讨论〃无)在区间(私内)上的单调性;

3.(2022•天津河西•一模)已知函数/(x)=alnx-x2+3x+3a.

(1)当a=2时，求“X)的极值.

⑵讨论〃x)的单调性；

4.(2024・天津・二模)已知/(x)=x+orlnx(aeR),

(1)当4=2时，求“X)在点(e,〃e))处的切线方程；

(2)讨论“X)的单调性；

5.(2023•山西•模拟预测)设函数/(x)=(x+l)e*+制尤+2)~,meR.

(1)讨论f(x)的单调性；

限时提升练

(建议用时：60分钟)

一、单选题

1.(2023•湖北•模拟预测)已知相>0,”>0,直线;^=工苫+加+1与曲线、=1111一〃+2相切，则工+工的最小

emn

值是()

A.16B.12C.8D.4

2.（2024•辽宁•模拟预测）若至少存在一条直线与曲线〃力=2犬+3和g（x）=3-出《（衅0）均相切，则/的

取值范围是（）

A.[Te,0）B.[2e,+oo）

C.（-4e,O）U（O,-H»）D.[^4e,0）U（0,+oo）

3.（2024•四川内江•模拟预测）若过点（〃"）（机>0）可以作两条直线与曲线y=相切，则下列选项正确

的是（）

A.2n<InmB.2n>]nm

C.2m>]nn>0D.2m<Inn<0

4.（2024・湖南邵阳•三模）已知曲线y=g尤