利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)(5题型+高分技法+限时提升练)-2025年天津高考数学复习专练(解析版)_第1页
利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)(5题型+高分技法+限时提升练)-2025年天津高考数学复习专练(解析版)_第2页
利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)(5题型+高分技法+限时提升练)-2025年天津高考数学复习专练(解析版)_第3页
利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)(5题型+高分技法+限时提升练)-2025年天津高考数学复习专练(解析版)_第4页
利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)(5题型+高分技法+限时提升练)-2025年天津高考数学复习专练(解析版)_第5页
已阅读5页,还剩55页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

重难点02利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)

明考情・知方向

三年考情分析2025年考向预测

2022年,第20题第(2)问,考察隐零点的应用利用导数研究函数零点是导数应用的重点,常涉及函

数单调性,函数图象,通常转化为两个函数,根据图

象,画出图象(画图常涉及极限)

重难点题型解读

题型1判断(讨论)零点(根)个数问题

(1)直接法:令无)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个;

(2)零点存在性定理法:判断函数在区间,,以上是连续不断的曲线,且再结合函数的图

象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;

1.(2023•黑龙江哈尔滨•三模)已知/Gj=eJsinx-x.

(1)若g(.二2,证明:存在唯一零点;

⑵当XW(YO,兀)时,讨论〃X)零点个数.

【答案】(1)证明见详解

⑵〃x)有2个零点

【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)利用导函数研究函数g(x)在[。,目上的单调性,进而根据零点存在性定理证明即可;

(2)分类讨论,利用导函数研究单调性,根据零点存在性定理求解即可.

【详解】(1)由题意,g(x)=2-2;"x)=27;,sin[0<x<t)

由于0<x<5,所以cosx£(0,l),贝!Je,cosx>0,又x—3vO,所以—3+%—e"cos无vO,

进而g,(x)<0,所以g(“在’(J上单调递减,

兀兀

C兀2•兀C兀22E

又g(0)=2>0,g⑶=2-,,1工2—2€一―匚。,

—e2e22e2

根据零点存在性定理可知:函数g(X)在(。,鼻上存在唯一零点.

(2)/(x)=ex-sinx-x,㈤,则/'(x)=e*6加+/85%—1,%£(一。㈤,

当时,因为/<芸,

所以/'(%)=e"•sinx+excosx-1=e%•(sinx+cos-1<血泼_〔<也「_]<0,

此时f(x)单调递减,/1T=/-sin,鼻+曰=-e二+1>。,

所以/⑺在上没有零点,

当一]<x■时,令/z(x)=e*.sinx+e*cosx-l,]-'1<xV0],

贝!J”(x)=2e*cosx>0,

所以/'(x)在(一/今上单调递增,又/'(0)=0,

故当£<x<0时,尸(久)<0,则/⑺在[g。]上单调递减,又"0)=0,

当o<尤时,f'M>0,故/(x)在上单调递增,

因此,当时,“X)只有一个零点,即x=o,

当5<%<兀时,/zr(x)=2excosx<0,所以尸(%)在|■,兀)上单调递减,

又广(兀)=一e-l<0,=1>0,

故叫eg,1,使得尸(毛)=0,且当xe1],xj时,尸(x)>0,单调递增,

当xe(飞,兀)时,xe(飞,兀),尸(x)<0,/(x)单调递减,

_i>e-i>0,/(兀)=_兀<0,

所以当:4x<x。时,/(x)>0,此时“X)无零点,

当》«飞,兀)时,/(力只有一个零点,

综上可知:尤武-力㈤时,〃x)有2个零点.

【点睛】方法点睛:判断函数y=f(x)零点个数的常用方法:

(1)直接法:令/(力=0,则方程实根的个数就是函数零点的个;

(2)零点存在性定理法:判断函数在区间国上是连续不断的曲线,且再结合函数的图

象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;

(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数

零点的个数,在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要

利用函数的单调性,确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理,有时可结合函数的图象辅助解题.

2.(24-25高三上•湖南永州•开学考试)已知函数,/(x)=(x+l)e2-<K+l,g(x)=(%+1)%巩〜卜+1.

⑴若a=l,求〃x)的极值;

⑵当。<0时,讨论了(X)零点个数;

【答案】(1)极大值e2+l,无极小值

⑵答案见解析

【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)对求导,根据导数的正负得出单调区间,进而得出极值;

(2)对“X)求导,根据导数的正负得出单调区间,进而得出“X)最小值设/7(°)=:$+"+1,4<0,

再根据导数确定的正负,结合〃0)=e2+l>0,当xf-8时,即可得出零点情况;

【详解】(1)当。=1时,/(%)=(%+1卜2-*+1,贝U/'(x)=e2T—(%+1卜2-*=-胧2T,

令广(x)=0,解得x=0,

当xe(—8,0)时,Ax)>0,则f(x)在(—8,0)单调递增,

当xe(0,+8)时,尸(幻<0,则/㈤在(0,+8)单调递减,

所以/(X)有极大值/(0)=e2+l,无极小值.

(2)/'(x)=e2-m_a(jc+l)e2-5(-ax-a+X),

令广(x)=0,贝=因为。<0,所以-a>0,—<0

aa

当时,/'(x)<0,则/(x)在上单调递减,

当时,f'(x)>0,贝IJ/(x)在上单调递增,

i-a(1-a\2-41,

所以——)=--+1e“+1=一$+。+1,

a\a)a

设加。)=1e1+a+l,fl<0,则h'(a)=-4e1+fl+-e1+fl=e1+a与,

aaaa

因为avO,所以“(a)<0,所以人(〃)在(-8,0)单调递减,

又因为父—D=o,

所以当a<—l时,-e1+Q+l>0,则/(x)>0,无零点;

a

当。=一1时,-e1+n+l=O,/(x)有1个零点,

a

当-l<4<0时,-e1+0+l<0,又/(0)=/+1>0,当xf-8时,/(x)有2个零点.

4/7x

3.(2023•天津河东•一模)已知函数/(冗)=依----,^(x)=ln-.

x2

⑴求函数了(尤)在点(1]⑴)处的切线方程;

⑵尸(x)=g(x)-/(x),0<a<,,x>0.

4

(i)证明厂食)+尸[:]=0;

(ii)求函数尸(无)在区间(0,,]上零点的个数证明.

[答案]⑴5ax_y_8a=0

(2)(i)证明见解析;(ii)3个,证明见解析

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)根据导数的几何意义,结合直线方程,即可得到结果;

(2)(i)直接代入计算,即可证明;

(ii)求导可得尸(力,得到其极值点,通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论,即可得到其零点个

数;

【详解】(1)/'(%)=,+今,切线斜率为八1)=5*f(l)=-3a,

x

切线方程为V+3a=5a(x-l),5ax-y-8a=0

(2)(i)Ff—=ln---+46zx—=-ln---+=-F(x),F(x)+rf—>1=0;

xx42x

14〃

(ii)Ff(x)=—a^=0即为一ox?+%—4Q=O,A=l—16a2>0

xx

解得匕匹透,侬2,>x>0,

J"X12

2a22a

当次£(o,九2)U(』,+°O)时,F\x)<o;当尤£(九2,七)时,F\x)>0,

且尸(无)在区间(0,%),(/内)上单调递减,在区间(马,药)上单调递增,

F(2)=In1—2〃+2〃=0,

*.*xxx2=4,<2(菁

产(处在区间(马,西)上单调递增,F(^)>F(2)=0,F(A2)<F(2)=0

F(-^-]=-ln2a2--+4a3

4-G(fl)=-ln2a2--+4fl3

\a)aa

一4a1_12〃J2〃+1

°⑷

令"h(a)=12。4—2a+1,h'(a)-48/—2,<a<—,***Q,<—,h\ci)<0

464

力(〃)在。<a<—上单调减,h(<d)>h\—|=------F1>0,G\d)>0

414/642

G⑷在0<a<:上单调递增,G⑷<G:=-*4+±<。

玉<焉=:<:,尸(百)尸(》)在区间(西,.)单调递减

因此F(x)在区间(国,:)上存在唯一零点马

441

由已知。<一<一=x2<2<xl<x3<—9由(2)(i)

x3%a

F(x)+rf—Ko,F(X3)=O,AKO

4

厂(%)在区间(0,9)单调递减,F(x)在区间(0,x2)上存在唯一零点一

综上所述,/(无)在区间(0,,]上存在3个零点.

【点睛】思路点睛:构造函数是基本的解题思路,因此观察题目所给的数的结构特点,以及数与数之间的

内在联系,合理构造函数,利用导数判断单调性是解题的关键.

4.(23-24高二下•天津河北•期中)已知函数=

1

-*

O1x

_.i_

⑴判断函数“X)的单调性,并求出函数“X)的极值;

(2)画出函数的大致图象;

(3)讨论方程/(x)=a(aeR)的解的个数.

【答案】(1)在(—,1)上递增,在(1,+8)上递减,极大值!;

e

(2)函数图象见解析;

(3)答案见解析.

【知识点】画出具体函数图象、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究

方程的根

【分析】(1)利用导数求出函数的单调区间,求出极值作答.

(2)由(1)分析函数的性质,作出图象作答.

(3)结合(2)中函数图象,探讨方程/(x)=a(aeR)的解的个数作答.

【详解】(1)函数=p的定义域为R,求导得《

当x<l时,八元)>0,当尤>1时,/口)<0,因此,

函数〃x)在(y,1)上单调递增,在(1,+◎上单调递减,

当x=l时,函数/(X)取得极大值,/(1)=-,无极小值.

e

(2)由(1)知,函数/(元)在(一84)上单调递增,在(L+s)上单调递减,/(%)_=-,/(0)=0,

e

当X>1时,/(尤)>0恒成立,因止匕当X>1时,随X的增大,“X)的图象在X轴的上方与X轴无限接近,

函数“X)的大致图象如图所示:

(3)令g(x)=e,-x-l,g'(x)=e*-l,当x<0时g'(x)<0,当x>0时,g'(x)>。,

函数g(x)在S,0)上单调递减,在(0,+勾)上单调递增,VxeR,g(x)2g(0)=0,即/2尤+1,有-2-x+1,

当尤<0时,e_%>-x+l,-^<-x2+x,而函数y=-无2+x在(-oo,0)上单调递增,

e

其值域为(-s,。),因此函数/(同=5在(-叫。)上无最小值,取值集合为(-8,0),

方程/(x)=。的解的个数等价于函数y=/(%)的图象与直线>=。的公共点个数,

在同一坐标系内作出直线'与函数、=/(无)的部分图象,如图,

y=flx)

观察图象知,当a>-时,方程/(x)=a的解的个数为0,

当。=上或aVO时,方程/(x)=a的解的个数为1,

当0<。<上时,方程/(x)=。的解的个数为2.

5.(23-24高二下•海南三亚•阶段练习)给定函数/'(x)=(x+l)e:

(1)判断函数f(x)的单调性,并求出/(x)的极值;

(2)画出函数f(x)的大致图象;

(3)求出方程F(x)=a(aeR)的解的个数

【答案】⑴单调递增区间为(-2,心);单调递减区间为(3,-2),极小值,”-2)=-二;

e

(2)答案见详解;(3)当时,解为。个;当。=--1或时,解为1个;当时,解

eee

为2个

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根

【分析】(1)求出导函数/'(x),再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.

(2)由函数的单调性、极值即可作出图象.

(3)利用数形结合法即可求解.

【详解】(1)由/(x)=(x+l)e,,定义域为R

f'(x)=e~x+(x+V)ex=(x+2)e”,

令(⑺>0,即x>—2,

令-(无)=0,即x=-2,

令广(“<0,即x<-2,

所以函数的单调递增区间为(-2,y);

单调递减区间为(-2),x=-2为极小值点,

所以函数的极小值为-2)=-《.

e

(2)函数/(尤)的大致图象,如图所示:

(3)方程解的个数等价于y="X)于y=。的交点个数.

由图可知当。<-二时,方程/(x)=a(“eR)的解为。个;

e

当a=-《或时,方程/(元)=。(“€夫)的解为1个;

e

当^<。<。时,方程/(x)=a(aeR)的解为2个;

e

题型2证明函数零点唯一

00&式i

(1)零点存在性定理法:判断函数在区间句上是连续不断的曲线,且〃。)/修)<0,再结合函数的图:

象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;

(2)函数的单调性

i

1.(23-24高三上•天津北辰•阶段练习)已知函数/(x)=专"+w在点处的切线与直线/:x+y=O垂

直,已知函数/?(x)=ln(x+l)-依一1,其中aV-历.

⑴设函数g(x)=4(x)-x2,求函数g(x)的单调性.

⑵证明:人(“有唯一零点.

【答案】⑴函数g(尤)在(―⑼和(0,+8)上均单调递增.

(2)证明见解析

【知识点】求曲线切线的斜率(倾斜角)、利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数证明不等式、

利用导数研究函数的零点

【分析】(1)利用导数,求函数g(x)的单调性.

(2)通过函数的单调性和零点存在定理,证明砍x)有唯一零点;

【详解】(1)函数/⑺二三,〃,有尸(x)=e*(x;)+%

[f(l]=Q-m+n=e-lfm=lx_i

根据题意,有=i,解得(=0,因此〃x)=P

进而g(x)=e,-x2-l(xw0),其导函数glx)=e,-2x,

当X<0时,显然有g'(x)>0,因此g(x)在(F,0)上为增函数.

当x>0时,因为令0(x)=eW-ex,//(x)=e*-e,

所以当x<l时p(x)<0,当尤>1时p(x)>0,

函数。(x)=e*-ex在上为减函数,在(1,+8)上为增函数,所以⑴=0,

当xe(0,+oo)时,ex>ex>lx,有g'(x)=e*-2x>0.

因此函数g(x)在(-°°,。)和(。,+8)上均单调递增.

(2)函数/?(尤)=ln(x+l)-依-1定义域为(-1,+8),导函数"(尤)=^^-4,

Q1

因为〃V-木,所以〃(%)=士—。>0,于是函数M%)在定义域(-1,+a))上单调递增,

又网0)=_1<0,_^/z(e+l)=ln(e+2)-dz(e+l)-l>ln(e+2)-l>0,

因此函数M%)有唯一零点.

2.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数/(x)=-a\nx+(la+l)x-x2.

(1)若。=3,求/(x)在(L/⑴)处的切线方程.

⑵讨论了(X)的单调性.

⑶求证:若4>0,/(元)有且仅有一个零点.

【答案】⑴x+2y-3=0;

(2)答案见解析;

⑶证明见解析.

【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用、求在曲

线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】(1)把代入,利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)根据给定条件,按aWO,0<a<|,a=|,分类,利用导数求出单调区间.

(3)利用(2)的结论,结合零点存在性定理推理证明即可.

【详解】(1)当。=彳时,f(.x)=——\nx+2x—x2,求导得/'(x)=—^—2x+2,则/«)=—彳,而/1⑴=1,

222x2

所以函数/(X)的图象在(1,/⑴)处的切线方程为V-1=1(尤-1),即x+2y-3=0.

(2)函数/(%)=-〃1口%+(2。+1)%-兀2的定义域为(0,+8),

求导得f'M=--+(2a+1)-2x=-(2X~1)(X-Q),

XX

①当时,由/''(x)>。,得xe(0,;),由/'(x)<0,得xe(;,+8),

则函数/(X)在(0,1)上单调递增,在g,+8)上单调递减;

②当。<。<5时,由/'(元)>。,得xc(a,5),由/''(x)<0,得尤e(0,a)U(5,+°°),

则函数/(X)在3;)上单调递增,在(。,〃),((+8)上单调递减;

③当”=g时,/(x)<0,函数人>)在(0,+8)上单调递减;

④当。时,由八无)>0,得尤€(;,"),由/'(x)<o,得xe(0,;)U(a,+(»),

则函数f(x)在(;,公上单调递增,在(0,g),(“,”)上单调递减,

所以当aWO时,函数f(x)的递增区间为(0,;),递减区间为(;,+8);

当0<。<;时,函数的递增区间为(a,g),递减区间为(0,。),§,+8);

当时,函数/(无)的递减区间为(0,+8);

当时,函数了。)的递增区间为(;,幻,递减区间为(0.;),(。,转).

(3)①当a=g时,函数/(x)在(0,+8)上单调递减,而/⑴=1>0,/(e)=-1+2e-e2<0,

因此存在唯一%e(l,e)使/(%)=0,则f(x)有且仅有一个零点;

②当0<。<;时,函数/(x)在x=a处取得极小值y(a)=a(-lna+a+l),

令g(x)=-lnx+尤+1,求导得g[x)=-工+1,当xe(0,l)时,g'(x)<0,当xe(l,+oo)时,g'(x)>0,

X

函数g(x)在(0,1)上单调递减,g(x)在(1,+8)上单调递增,g(%)>g(l)=2>0,gp/(a)>0,

/(;)>/(a)>0,当x-+8时,-ainjvf-s,Qa+Dx-df-oo,贝!|/(无)->-<»,

因此存在唯一国e(1,+8)使/(三)=0,则/(X)有且仅有一个零点;

③当a>1■时,函数f(x)在尤=g处取得极小值/(g)=a(ln2+l)+;>0,f(a)>/(1)>0,

同理存在唯一尤2©(。,+◎使/(%)=0,则/(%)有且仅有一个零点,

所以/(x)有且仅有一个零点.

3.(2024•江苏•模拟预测)已知函数“xhalnx+r+S在无=1处的切线经过原点.

(1)判断函数“X)的单调性;

(2)求证:函数,(元)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

【答案】(l)〃x)在(0,+“)上单调递增

(2)证明见解析

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、已知切线(斜率)求参数、

利用导数研究方程的根

【分析】(1)先根据题意求出参数。的值,然后求导,结合导数符号与函数单调性的关系即可得解;

(2)由题意构造函数g(x)=21nx+x2+3-5x(x>0),利用导数判断函数单调性,结合零点存在定理即

可得解.

【详解】⑴因为/(l)=alnl+l+3=4,所以切点为(1,4).

因为-(%)=2+2无,所以/'(1)=。+2,

所以切线方程为y-4=(0+2)(尤-1).

因为切线经过原点,所以0-4=(4+2)(0—1),所以a=2.

7

由定义域为(0,+8),故;(x)=[+2x>0,

所以/(元)在(0,+8)上单调递增.

(2)设g(x)=〃x)-5x=21nx+x2+3-5x(x>0),

贝ijg'⑺=2/-5x+2=(21)(7

XX

因为当时,g[x)>0,g(x)单调递增,

当时,g[x)<0,g(x)单调递减,

1e

且3-81n2_m怎

ggj=21ng+g]+3-j=-21n2+|=一\U

44

因为g[[<。,且当时,g(x)单调递减,所以g⑵<g出<0

所以当x«0,2)时,g(x)<0,

所以函数g(x)在x«0,2)时没有零点,

所以当无40,2)时,函数的图象与直线y=5x没有交点.

当xe(2,+8)时,g,(x)>0,g(x)单调递增,

又因为g(5)=21n5+3>0,且函数g(x)的图象是不间断的,

所以当xe(2,+8)时,函数g(x)有且只有一个零点,

函数/(元)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

综上所述,函数/(%)的图象与直线>=5x有且只有一个交点.

4.(2024・广西贺州.一模)已知函数/(x)=x+lnx+g,aeR.

(1)若讨论的单调性;

2

⑵若关于x的方程/(%)=-有且只有一个解,求a的取值范围.

e

【答案】⑴当-;<。40时,函数/(X)在(0,+◎上是增函数;

当。>0时,函数/(x)在(0,士手生)上是减函数,

在(-1+^2^;+00)上是增函数.

⑵{a|aV0或。=义+2}

【知识点】利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调

【分析】(1)先求导,再根据导函数的正负得出函数/'(x)的单调区间;

4Y4Y

(2)关于x的方程。=-2/-2xlnx+”有且只有一个解,令g(x)=-2/-2xlnx+竺,求出g(x)的单调

ee

区间,即可求解.

【详解】(1)对函数/(无)=x+lnx+二,aeR求导可得:

因为a>-[,贝l|A=4+8a>0,

2

,f2x2+2x—。>0

所以由广(工)〉0可得八,

[x>0

1[a>Q

----<Q«0____

解得,2一或彳一1+J1+2a,

[x>0卜>---

所以当-;<公0时,函数/(x)在(0,+8)上是增函数;

当。>0时,函数〃元)在(0,土互比)上是减函数,在(上叵立,+00)上是增函数.

22

(2)因为关于x的方程/(x)=2有且只有一个解,即x+lnx+==2,

e2xe

tilEP--2x2-2xlnx=a,令g(x)=-2x2-2xlnx+—,

ee

4

则g'(%)=—4%—2—21nx+—是减函数,

e

因为g'd)=o,所以函数g(x)在(o,3上是增函数,在d,+8)上是减函数,

eee

1?2

又因为当x-0时,g(x)->0;g(-)=—+-;当时,g(x)f-oo;

eee

所以实数。的取值范围为Bla<0或。=2+马.

题型3数形结合法讨论零点(根)的个数

数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点1

的个数,在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用

函数的单调性,确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理,有时可结合函数的图象辅助解题.

I

1.(2024高三・全国・专题练习)设函数f(x)=〃lnx+L,.

x

⑴若函数g(x)=/(x)-X在定义域上单调递减,求〃的取值范围;

(2)当。>0时,讨论函数/(x)="Inx零点的个数.

【答案]⑴y,2]

(2)答案见解析

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)由条件可知g'(x)=2-3-lv。在(0,+8)上恒成立,参变分离后,转化为求函数的最值,

XX

即可求实数〃的取值范围;

—11

(2)/W=O,参变分离后,。=-1一,利用导数判断函数的性质和图象,转化为丁=,和丁=-下一的

xinxxlnx

交点个数.

【详解】(1)由题意,函数g(%)的定义城为(。,+8).

g(x)在(0,+8)上单调递减,.=g\x)=---^-1<0在(0,+8)上恒成立,

XX

即当XW(0,+oO),QWx+,恒成立,6!<|x+—j.

%\-^7min

•.•当尤€(0,+8),工+!22,当且仅当x=l时取等号,

X

.,.当%=]时,Ix+—|=2,:.a<2,

<"min

・•・。的取值范围为(-8,2].

(2)显然x=l不是/(%)的零点,f(x)=0^>a\nx+-=0^>a=一一.

xxlnx

1-,,,/、1+lnx

令A/?(%)=------,冗>0且xwl,贝!J/z(x)=^

xlnx(xlnx)

r

由h(x)>0^>xef—+(x)),h<x)<0=>xGf0,—

/z(x)在10,—上单调递减,在E,1,(i,+s)上单调递增,

1

・,.在(0,1)上时,"(x)有极小值小=e;在(L+8)上时,h(x)<0.

e

ave时,/(%)零点个数为0;

时,/。)零点个数为2.

2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(x)=(x-2)e*-依+alnx(aeR).

⑴当a=-l时,求函数“无)的单调区间;

⑵当a<e时,讨论〃x)的零点个数.

【答案】(1)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,—)

(2)答案见解析

【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及

性质

【分析】(1)首先求函数的导数,并化简为/'(x)=(x-l)(e,+g),根据函数的定义域,结合导数与函数

单调性的关系,即可求解;

(2)根据〃x)=0,参变分离得a=(x-2)e"x>o),再构造函数g(x)=".声,利用导数分析函数的

单调性,最值,以及趋向,即可分析出函数的图象,转化为分析、=。与丫=9(£)的交点个数问题.

【详解】⑴当。=一1时,f(x)=(x-2)ex+x-1nx,则r(x)="-1)卜+£|,当xe(0,+8)时,/+g>

0恒成立,

所以当久6(0,1)时,y'(x)<0J(x)单调递减;当xe(l,+8)时,f(x)>0,/㈤单调递增,即/(x)的单调

递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8).

(2)由题意,函数〃x)=(x-2)e"-ov+dnx=(x-2)ex-ti(x-lnx),x>0.

1

设m(x)=x-lnx,x>0,贝=l——=-x-—-1,

当汽G(0,1)时,加(1)<0,a(%)单调递减;

当%e(1,+8)时,加(%)>0,加(%)单调递增,

又加⑴=1,所以m(x"l.

令/(%)=。,可得(x—2)eX—6Zx+alnx=。,

(x-2)ex(x>0),令g⑺=°;)e

所以。=

x-lnxx-lwc

ex(x-l)(21

可得g'(x)=

(x-lnx)IXJ

^/i(x)=x-lnx+--l,贝=l一▲--1=尤一:-2=(x2?+1)(.〉0),

%XXXX

可得0<x<2时,”(%)〈。,九⑺单调递减;%>2时,”(x)>0,/z(x)单调递增,

所以以%).=入(2)=2—1112>0,即了>0时,h(%)>0恒成立,

故0<%<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;%>)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

所以g(X)min=41)=—e.

又当x.0时,g(x)-0;当%一+8时,g(x)f+8,函数g(x)的图象,如图所示,

结合图象可得,

当a<-e时,无零点;当。=-6或0<ave时,一个零点;

当-evavO时,两个零点.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数=©竺-blnx+1.

(1)当6=1时,若/(x)Wl恒成立,求实数a的值.

⑵当a=l时,讨论“X)的零点个数.

【答案】⑴。=1

(2)答案见解析

【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的

零点、根据极值点求参数

【分析】(1)根据不等式恒成立可得元=1是“X)的一个极大值点,得出a=l,再证明。=1时,

V1在(0,+8)上恒成立即可;

(2)易知f(%)=----b\nx+1=0,显然InxwO,可得6=—i----,构造函数=—I----,xe(0,1)

XXllLXXllLX

并求出单调性可得结论.

【详解】(1)当6=1时,/(x)=--lwv+1,

则/⑴=1,且函数“X)在其定义域(0,+8)内连续.

又⑴恒成立,可得》=1是“%)的一个极大值点,所以r(i)=o.

a-a\r\x-x

又/''(》)=

所以/'(1)=a-alnl-l=0,贝!]〃=].

下面证明当4=1时,/(%)41在(0,+8)上恒成立.

,y―心、lux1\1-lux-x

由a=l,可知/(x)==_lnx+l,f(x)=————

令g(x)=1-1nx-1,

易得g(x)在(0,+8)上单调递减,又g(l)=O,

所以当久6(0,1)时,/X%)>0;当%€(1,+8)时,yz(x)<0.

所以外可在(0,1)上单调递增,在(L+8)上单调递减.

所以〃=

所以“X)W1在(0,+8)上恒成立,

故。=1.

(2)当〃=1时,/(%)=----Mnx+1.

x

令/(尤)=:--Mru+l=0.又InxwO,所以6=』+’.

xxInx

令MX)=-+-,xe(0,l)u(l,+oo),

x\nx

贝4(x)=$-TY<0,

xMinx)

所以/i(%)在(0,1),(L+8)上单调递减.

当0<%<1时,XfO,+8;x.l,力⑴.―8,

当%>1时,x.l,尤f+8,/z(x)->0,

函数Mx)=—+「图象如下图所示:

y=h(x)

所以当时,直线y=6与函数%(久)的图象只有一个交点;

当6>0时,直线y=b与函数h(x)的图象有两个交点.

故当6Vo时,“X)有1个零点;当匕>0时,“X)有2个零点.

4.(24-25高三上•北京•期中)已知函数/(x)=J

⑴求函数y=/(x)的图象在点尸(IJ(D)处的切线/的方程;

(2)当x>0时,求证:/(x)>x;

(3)讨论函数y=/(x)-6x(8eR且为常数)零点的个数.

【答案】⑴y=e

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)求广(%),计算函数图象在P(1,7(D)处的切线斜率,利用点斜式求切线方程.

(2)当尤>0时,/。)>》等价于Q一/>0,构造函数,通过分析单调性可证不等式成立.

(3)函数零点个数问题转化为图象交点个数问题,数形结合可得结果.

【详解】(1)由题意得,/(D=e,「(x)=e'(x「D,Hl)=0,

切线/的方程为:y=e.

(2)当尤>0时,要证/(x)>x,只需证e*-x2>0,

令g(x)=e*-/(x〉。),贝!|g'(尤)=e*-2x,

令6(x)=g'(x)=e*-2x,贝!]/?'(x)=e*-2,

由〃'(无)>0得,%>In2,由〃'(无)<0得,0<<In2,

〃(x)在(0,In2)为减函数,在(In2,-H»)上为增函数,

h{x}>h(Jn2)=eln2-21n2=2(l-ln2)>0,

g(x)在(0,+oo)上为增函数,

g(%)>g(0)=e°-0=l>0,

ex-x2>0,BPf{x}>x.

(3)由/(无)一阮=0得,b鸟.

X

令o(x)==,贝Ud(x)=e"32),

由夕'0)〉0得了>2或%<0,由夕'(%)<0得0<%<2,

・・・9(x)在(-*0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,在(2,+8)上为增函数,

当元一—00时,夕(%)—0,当X-0时,/(%)—内,当xf+8,0(%)f+oo.

・・・%=2时,9(4)取极小值夕(2)=J,

4

・・・当人£(-8,0]时,直线y=6与9(x)的图象没有交点,函数无零点,

(2>)

当be0,丁e时,直线y=6与9(%)的图象有1个交点,函数有1个零点,

2

当匕=土e时,直线y=b与。(X)的图象有2个交点,函数有2个零点,

4

2

<e、

当力£—,+00时,直线y=b与°(尤)的图象有3个交点,函数有3个零点.

I47

综上得,当6€(-叫0]时,函数无零点;当be]。,[卜,函数有1个零点;

当6时,函数有2个零点;当be]7,+“时,函数有3个零点.

【点睛】思路点睛:本题考查函数综合问题,具体思路如下:

(1)当尤>0时,要证/Xx)>x,可等价变形为e*-尤2>0,构造函数,通过二次求导可分析函数的单调性,

求函数的最小值,即可证明结论.

(2)要求函数y=/(x)-区"eR且为常数)零点的个数,分离参数得6=身,问题转化为直线y=b与

9(x)=乌的图象交点个数问题,通过求导分析单调性数形结合可得结果.

X

5.(24-25高三上•湖北•阶段练习)已知函数〃x)=(x-2产,

⑴求函数〃x)的单调区间和极值;

(2)讨论关于x方程/(x)=a的解的个数.

【答案】(1)单调递增区间为(L+8),单调递减区间为(-叫1);有极小值-e,无极大值

(2)答案见解析

【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根

【分析】(1)利用导数求函数的单调性,进而得极值;

(2)将方程解的个数转化为函数y=/(乃的图象与直线y=。的交点个数,结合函/(x)数性质与趋势分析,

作出函数图象,数形结合可得图象交点的个数.

【详解】(1)函数的定义域为R,/'(x)=(x-l)e'

令/'(x)=0,解得x=l

当x<1时,/㈤<0,7(x)在(-,1)上单调递减;

当x>l时,/。)>1,/(同在(1,+8)上单调递增;

所以当尤=1时,/(X)有极小值,且极小值为/(l)=-e.

综上所述,/(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(-双1);

f(x)有极小值,极小值为-e,无极大值.

(2)令〃x)=0,解得x=2;

当尤<2时,/(x)<0;当x>2时,/(x)>0.

当X--00时,〃x)=—^.0,当xf+oo时,/(x)f+oo,

结合(1)中分析可得,/(%)的大致图象如图所示,

方程=a的解的个数为函数y=/(%)的图象与直线的交点个数.

由⑴可得当x=l时,“X)有最小值/(l)=-e;

由图可得,当“<-e时,方程/(x)=a无解;

当。=-0或。》0时,方程/(x)=a有1个解;

当—e<a<。时,方程=a有两个解.

题型4根据零点(根)介数求参数范围

转化法

y=f(x)

(i)将方程转化为,

[y=k

(2)画图

(3)根据图象求参数范围

1.(2024•天津・模拟预测)已知函数/G(MG+Z)

⑴求曲线y=/(x)在x=-l处的切线方程;

⑵求证:er>x+l;

(3)函数/?(x)=〃x)-a(x+2)有且只有两个零点,求a的取值范围.

【答案】⑴y=x+l;

(2)证明见详解;

⑶q

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式

【分析】(1)利用导数求斜率,利用解析式求切点纵坐标,然后可得切线方程;

(2)构造函数g(尤)=e'r-l,利用导数求最小值即可得证;

(3)构造函数将问题转化为函数加(x)的图象与直线y=。有两个交点,利用导数

研究函数单调性,然后作出函数加(x)的图象,根据图象即可求解.

【详解】(1)因为尸(x)=—1二,

兀+2

所以曲线y=f(x)在尸-1处的切线斜率为(二=1,

又/(T)=ln(-l+2)=0,所以切线方程为y=x+l.

(2)t己g(x)=e,-x-l,贝I]g[x)=e,一l,

当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)在(-8,0)上单调递减;

当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,+8)上单调递增.

所以当x=0时,8(可取得最小值8(0)=6°-1=0,

所以g(x)=e,一x-120,gpe%>%+l.

(3)/z(x)=/(x)-a(x+2)=ln(x+2)-a(x+2),;t>-2,

由题知,ln

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论