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文档简介
重难点02利用导函数研究函数的零点(含隐零点问题)
明考情・知方向
三年考情分析2025年考向预测
2022年,第20题第(2)问,考察隐零点的应用利用导数研究函数零点是导数应用的重点,常涉及函
数单调性,函数图象,通常转化为两个函数,根据图
象,画出图象(画图常涉及极限)
重难点题型解读
题型1判断(讨论)零点(根)个数问题
(1)直接法:令无)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个;
(2)零点存在性定理法:判断函数在区间,,以上是连续不断的曲线,且再结合函数的图
象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;
1.(2023•黑龙江哈尔滨•三模)已知/Gj=eJsinx-x.
(1)若g(.二2,证明:存在唯一零点;
⑵当XW(YO,兀)时,讨论〃X)零点个数.
【答案】(1)证明见详解
⑵〃x)有2个零点
【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点
【分析】(1)利用导函数研究函数g(x)在[。,目上的单调性,进而根据零点存在性定理证明即可;
(2)分类讨论,利用导函数研究单调性,根据零点存在性定理求解即可.
【详解】(1)由题意,g(x)=2-2;"x)=27;,sin[0<x<t)
由于0<x<5,所以cosx£(0,l),贝!Je,cosx>0,又x—3vO,所以—3+%—e"cos无vO,
进而g,(x)<0,所以g(“在’(J上单调递减,
兀兀
C兀2•兀C兀22E
又g(0)=2>0,g⑶=2-,,1工2—2€一―匚。,
—e2e22e2
根据零点存在性定理可知:函数g(X)在(。,鼻上存在唯一零点.
(2)/(x)=ex-sinx-x,㈤,则/'(x)=e*6加+/85%—1,%£(一。㈤,
当时,因为/<芸,
所以/'(%)=e"•sinx+excosx-1=e%•(sinx+cos-1<血泼_〔<也「_]<0,
此时f(x)单调递减,/1T=/-sin,鼻+曰=-e二+1>。,
所以/⑺在上没有零点,
当一]<x■时,令/z(x)=e*.sinx+e*cosx-l,]-'1<xV0],
贝!J”(x)=2e*cosx>0,
所以/'(x)在(一/今上单调递增,又/'(0)=0,
故当£<x<0时,尸(久)<0,则/⑺在[g。]上单调递减,又"0)=0,
当o<尤时,f'M>0,故/(x)在上单调递增,
因此,当时,“X)只有一个零点,即x=o,
当5<%<兀时,/zr(x)=2excosx<0,所以尸(%)在|■,兀)上单调递减,
又广(兀)=一e-l<0,=1>0,
故叫eg,1,使得尸(毛)=0,且当xe1],xj时,尸(x)>0,单调递增,
当xe(飞,兀)时,xe(飞,兀),尸(x)<0,/(x)单调递减,
_i>e-i>0,/(兀)=_兀<0,
所以当:4x<x。时,/(x)>0,此时“X)无零点,
当》«飞,兀)时,/(力只有一个零点,
综上可知:尤武-力㈤时,〃x)有2个零点.
【点睛】方法点睛:判断函数y=f(x)零点个数的常用方法:
(1)直接法:令/(力=0,则方程实根的个数就是函数零点的个;
(2)零点存在性定理法:判断函数在区间国上是连续不断的曲线,且再结合函数的图
象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;
(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数
零点的个数,在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要
利用函数的单调性,确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理,有时可结合函数的图象辅助解题.
2.(24-25高三上•湖南永州•开学考试)已知函数,/(x)=(x+l)e2-<K+l,g(x)=(%+1)%巩〜卜+1.
⑴若a=l,求〃x)的极值;
⑵当。<0时,讨论了(X)零点个数;
【答案】(1)极大值e2+l,无极小值
⑵答案见解析
【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】(1)对求导,根据导数的正负得出单调区间,进而得出极值;
(2)对“X)求导,根据导数的正负得出单调区间,进而得出“X)最小值设/7(°)=:$+"+1,4<0,
再根据导数确定的正负,结合〃0)=e2+l>0,当xf-8时,即可得出零点情况;
【详解】(1)当。=1时,/(%)=(%+1卜2-*+1,贝U/'(x)=e2T—(%+1卜2-*=-胧2T,
令广(x)=0,解得x=0,
当xe(—8,0)时,Ax)>0,则f(x)在(—8,0)单调递增,
当xe(0,+8)时,尸(幻<0,则/㈤在(0,+8)单调递减,
所以/(X)有极大值/(0)=e2+l,无极小值.
(2)/'(x)=e2-m_a(jc+l)e2-5(-ax-a+X),
令广(x)=0,贝=因为。<0,所以-a>0,—<0
aa
当时,/'(x)<0,则/(x)在上单调递减,
当时,f'(x)>0,贝IJ/(x)在上单调递增,
i-a(1-a\2-41,
所以——)=--+1e“+1=一$+。+1,
a\a)a
设加。)=1e1+a+l,fl<0,则h'(a)=-4e1+fl+-e1+fl=e1+a与,
aaaa
因为avO,所以“(a)<0,所以人(〃)在(-8,0)单调递减,
又因为父—D=o,
所以当a<—l时,-e1+Q+l>0,则/(x)>0,无零点;
a
当。=一1时,-e1+n+l=O,/(x)有1个零点,
a
当-l<4<0时,-e1+0+l<0,又/(0)=/+1>0,当xf-8时,/(x)有2个零点.
4/7x
3.(2023•天津河东•一模)已知函数/(冗)=依----,^(x)=ln-.
x2
⑴求函数了(尤)在点(1]⑴)处的切线方程;
⑵尸(x)=g(x)-/(x),0<a<,,x>0.
4
(i)证明厂食)+尸[:]=0;
(ii)求函数尸(无)在区间(0,,]上零点的个数证明.
[答案]⑴5ax_y_8a=0
(2)(i)证明见解析;(ii)3个,证明见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点
【分析】(1)根据导数的几何意义,结合直线方程,即可得到结果;
(2)(i)直接代入计算,即可证明;
(ii)求导可得尸(力,得到其极值点,通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论,即可得到其零点个
数;
【详解】(1)/'(%)=,+今,切线斜率为八1)=5*f(l)=-3a,
x
切线方程为V+3a=5a(x-l),5ax-y-8a=0
(2)(i)Ff—=ln---+46zx—=-ln---+=-F(x),F(x)+rf—>1=0;
xx42x
14〃
(ii)Ff(x)=—a^=0即为一ox?+%—4Q=O,A=l—16a2>0
xx
解得匕匹透,侬2,>x>0,
J"X12
2a22a
当次£(o,九2)U(』,+°O)时,F\x)<o;当尤£(九2,七)时,F\x)>0,
且尸(无)在区间(0,%),(/内)上单调递减,在区间(马,药)上单调递增,
F(2)=In1—2〃+2〃=0,
*.*xxx2=4,<2(菁
产(处在区间(马,西)上单调递增,F(^)>F(2)=0,F(A2)<F(2)=0
F(-^-]=-ln2a2--+4a3
4-G(fl)=-ln2a2--+4fl3
\a)aa
一4a1_12〃J2〃+1
°⑷
令"h(a)=12。4—2a+1,h'(a)-48/—2,<a<—,***Q,<—,h\ci)<0
464
力(〃)在。<a<—上单调减,h(<d)>h\—|=------F1>0,G\d)>0
414/642
G⑷在0<a<:上单调递增,G⑷<G:=-*4+±<。
玉<焉=:<:,尸(百)尸(》)在区间(西,.)单调递减
因此F(x)在区间(国,:)上存在唯一零点马
441
由已知。<一<一=x2<2<xl<x3<—9由(2)(i)
x3%a
F(x)+rf—Ko,F(X3)=O,AKO
4
厂(%)在区间(0,9)单调递减,F(x)在区间(0,x2)上存在唯一零点一
综上所述,/(无)在区间(0,,]上存在3个零点.
【点睛】思路点睛:构造函数是基本的解题思路,因此观察题目所给的数的结构特点,以及数与数之间的
内在联系,合理构造函数,利用导数判断单调性是解题的关键.
4.(23-24高二下•天津河北•期中)已知函数=
1
-*
O1x
_.i_
⑴判断函数“X)的单调性,并求出函数“X)的极值;
(2)画出函数的大致图象;
(3)讨论方程/(x)=a(aeR)的解的个数.
【答案】(1)在(—,1)上递增,在(1,+8)上递减,极大值!;
e
(2)函数图象见解析;
(3)答案见解析.
【知识点】画出具体函数图象、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究
方程的根
【分析】(1)利用导数求出函数的单调区间,求出极值作答.
(2)由(1)分析函数的性质,作出图象作答.
(3)结合(2)中函数图象,探讨方程/(x)=a(aeR)的解的个数作答.
【详解】(1)函数=p的定义域为R,求导得《
当x<l时,八元)>0,当尤>1时,/口)<0,因此,
函数〃x)在(y,1)上单调递增,在(1,+◎上单调递减,
当x=l时,函数/(X)取得极大值,/(1)=-,无极小值.
e
(2)由(1)知,函数/(元)在(一84)上单调递增,在(L+s)上单调递减,/(%)_=-,/(0)=0,
e
当X>1时,/(尤)>0恒成立,因止匕当X>1时,随X的增大,“X)的图象在X轴的上方与X轴无限接近,
函数“X)的大致图象如图所示:
(3)令g(x)=e,-x-l,g'(x)=e*-l,当x<0时g'(x)<0,当x>0时,g'(x)>。,
函数g(x)在S,0)上单调递减,在(0,+勾)上单调递增,VxeR,g(x)2g(0)=0,即/2尤+1,有-2-x+1,
当尤<0时,e_%>-x+l,-^<-x2+x,而函数y=-无2+x在(-oo,0)上单调递增,
e
其值域为(-s,。),因此函数/(同=5在(-叫。)上无最小值,取值集合为(-8,0),
方程/(x)=。的解的个数等价于函数y=/(%)的图象与直线>=。的公共点个数,
在同一坐标系内作出直线'与函数、=/(无)的部分图象,如图,
y=flx)
观察图象知,当a>-时,方程/(x)=a的解的个数为0,
当。=上或aVO时,方程/(x)=a的解的个数为1,
当0<。<上时,方程/(x)=。的解的个数为2.
5.(23-24高二下•海南三亚•阶段练习)给定函数/'(x)=(x+l)e:
(1)判断函数f(x)的单调性,并求出/(x)的极值;
(2)画出函数f(x)的大致图象;
(3)求出方程F(x)=a(aeR)的解的个数
【答案】⑴单调递增区间为(-2,心);单调递减区间为(3,-2),极小值,”-2)=-二;
e
(2)答案见详解;(3)当时,解为。个;当。=--1或时,解为1个;当时,解
eee
为2个
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根
【分析】(1)求出导函数/'(x),再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.
(2)由函数的单调性、极值即可作出图象.
(3)利用数形结合法即可求解.
【详解】(1)由/(x)=(x+l)e,,定义域为R
f'(x)=e~x+(x+V)ex=(x+2)e”,
令(⑺>0,即x>—2,
令-(无)=0,即x=-2,
令广(“<0,即x<-2,
所以函数的单调递增区间为(-2,y);
单调递减区间为(-2),x=-2为极小值点,
所以函数的极小值为-2)=-《.
e
(2)函数/(尤)的大致图象,如图所示:
(3)方程解的个数等价于y="X)于y=。的交点个数.
由图可知当。<-二时,方程/(x)=a(“eR)的解为。个;
e
当a=-《或时,方程/(元)=。(“€夫)的解为1个;
e
当^<。<。时,方程/(x)=a(aeR)的解为2个;
e
题型2证明函数零点唯一
00&式i
(1)零点存在性定理法:判断函数在区间句上是连续不断的曲线,且〃。)/修)<0,再结合函数的图:
象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数;
(2)函数的单调性
i
1.(23-24高三上•天津北辰•阶段练习)已知函数/(x)=专"+w在点处的切线与直线/:x+y=O垂
直,已知函数/?(x)=ln(x+l)-依一1,其中aV-历.
⑴设函数g(x)=4(x)-x2,求函数g(x)的单调性.
⑵证明:人(“有唯一零点.
【答案】⑴函数g(尤)在(―⑼和(0,+8)上均单调递增.
(2)证明见解析
【知识点】求曲线切线的斜率(倾斜角)、利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数证明不等式、
利用导数研究函数的零点
【分析】(1)利用导数,求函数g(x)的单调性.
(2)通过函数的单调性和零点存在定理,证明砍x)有唯一零点;
【详解】(1)函数/⑺二三,〃,有尸(x)=e*(x;)+%
[f(l]=Q-m+n=e-lfm=lx_i
根据题意,有=i,解得(=0,因此〃x)=P
进而g(x)=e,-x2-l(xw0),其导函数glx)=e,-2x,
当X<0时,显然有g'(x)>0,因此g(x)在(F,0)上为增函数.
当x>0时,因为令0(x)=eW-ex,//(x)=e*-e,
所以当x<l时p(x)<0,当尤>1时p(x)>0,
函数。(x)=e*-ex在上为减函数,在(1,+8)上为增函数,所以⑴=0,
当xe(0,+oo)时,ex>ex>lx,有g'(x)=e*-2x>0.
因此函数g(x)在(-°°,。)和(。,+8)上均单调递增.
(2)函数/?(尤)=ln(x+l)-依-1定义域为(-1,+8),导函数"(尤)=^^-4,
Q1
因为〃V-木,所以〃(%)=士—。>0,于是函数M%)在定义域(-1,+a))上单调递增,
又网0)=_1<0,_^/z(e+l)=ln(e+2)-dz(e+l)-l>ln(e+2)-l>0,
因此函数M%)有唯一零点.
2.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数/(x)=-a\nx+(la+l)x-x2.
(1)若。=3,求/(x)在(L/⑴)处的切线方程.
⑵讨论了(X)的单调性.
⑶求证:若4>0,/(元)有且仅有一个零点.
【答案】⑴x+2y-3=0;
(2)答案见解析;
⑶证明见解析.
【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用、求在曲
线上一点处的切线方程(斜率)
【分析】(1)把代入,利用导数的几何意义求出切线方程.
(2)根据给定条件,按aWO,0<a<|,a=|,分类,利用导数求出单调区间.
(3)利用(2)的结论,结合零点存在性定理推理证明即可.
【详解】(1)当。=彳时,f(.x)=——\nx+2x—x2,求导得/'(x)=—^—2x+2,则/«)=—彳,而/1⑴=1,
222x2
所以函数/(X)的图象在(1,/⑴)处的切线方程为V-1=1(尤-1),即x+2y-3=0.
(2)函数/(%)=-〃1口%+(2。+1)%-兀2的定义域为(0,+8),
求导得f'M=--+(2a+1)-2x=-(2X~1)(X-Q),
XX
①当时,由/''(x)>。,得xe(0,;),由/'(x)<0,得xe(;,+8),
则函数/(X)在(0,1)上单调递增,在g,+8)上单调递减;
②当。<。<5时,由/'(元)>。,得xc(a,5),由/''(x)<0,得尤e(0,a)U(5,+°°),
则函数/(X)在3;)上单调递增,在(。,〃),((+8)上单调递减;
③当”=g时,/(x)<0,函数人>)在(0,+8)上单调递减;
④当。时,由八无)>0,得尤€(;,"),由/'(x)<o,得xe(0,;)U(a,+(»),
则函数f(x)在(;,公上单调递增,在(0,g),(“,”)上单调递减,
所以当aWO时,函数f(x)的递增区间为(0,;),递减区间为(;,+8);
当0<。<;时,函数的递增区间为(a,g),递减区间为(0,。),§,+8);
当时,函数/(无)的递减区间为(0,+8);
当时,函数了。)的递增区间为(;,幻,递减区间为(0.;),(。,转).
(3)①当a=g时,函数/(x)在(0,+8)上单调递减,而/⑴=1>0,/(e)=-1+2e-e2<0,
因此存在唯一%e(l,e)使/(%)=0,则f(x)有且仅有一个零点;
②当0<。<;时,函数/(x)在x=a处取得极小值y(a)=a(-lna+a+l),
令g(x)=-lnx+尤+1,求导得g[x)=-工+1,当xe(0,l)时,g'(x)<0,当xe(l,+oo)时,g'(x)>0,
X
函数g(x)在(0,1)上单调递减,g(x)在(1,+8)上单调递增,g(%)>g(l)=2>0,gp/(a)>0,
/(;)>/(a)>0,当x-+8时,-ainjvf-s,Qa+Dx-df-oo,贝!|/(无)->-<»,
因此存在唯一国e(1,+8)使/(三)=0,则/(X)有且仅有一个零点;
③当a>1■时,函数f(x)在尤=g处取得极小值/(g)=a(ln2+l)+;>0,f(a)>/(1)>0,
同理存在唯一尤2©(。,+◎使/(%)=0,则/(%)有且仅有一个零点,
所以/(x)有且仅有一个零点.
3.(2024•江苏•模拟预测)已知函数“xhalnx+r+S在无=1处的切线经过原点.
(1)判断函数“X)的单调性;
(2)求证:函数,(元)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.
【答案】(l)〃x)在(0,+“)上单调递增
(2)证明见解析
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、已知切线(斜率)求参数、
利用导数研究方程的根
【分析】(1)先根据题意求出参数。的值,然后求导,结合导数符号与函数单调性的关系即可得解;
(2)由题意构造函数g(x)=21nx+x2+3-5x(x>0),利用导数判断函数单调性,结合零点存在定理即
可得解.
【详解】⑴因为/(l)=alnl+l+3=4,所以切点为(1,4).
因为-(%)=2+2无,所以/'(1)=。+2,
所以切线方程为y-4=(0+2)(尤-1).
因为切线经过原点,所以0-4=(4+2)(0—1),所以a=2.
7
由定义域为(0,+8),故;(x)=[+2x>0,
所以/(元)在(0,+8)上单调递增.
(2)设g(x)=〃x)-5x=21nx+x2+3-5x(x>0),
贝ijg'⑺=2/-5x+2=(21)(7
XX
因为当时,g[x)>0,g(x)单调递增,
当时,g[x)<0,g(x)单调递减,
1e
且3-81n2_m怎
ggj=21ng+g]+3-j=-21n2+|=一\U
44
因为g[[<。,且当时,g(x)单调递减,所以g⑵<g出<0
所以当x«0,2)时,g(x)<0,
所以函数g(x)在x«0,2)时没有零点,
所以当无40,2)时,函数的图象与直线y=5x没有交点.
当xe(2,+8)时,g,(x)>0,g(x)单调递增,
又因为g(5)=21n5+3>0,且函数g(x)的图象是不间断的,
所以当xe(2,+8)时,函数g(x)有且只有一个零点,
函数/(元)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.
综上所述,函数/(%)的图象与直线>=5x有且只有一个交点.
4.(2024・广西贺州.一模)已知函数/(x)=x+lnx+g,aeR.
(1)若讨论的单调性;
2
⑵若关于x的方程/(%)=-有且只有一个解,求a的取值范围.
e
【答案】⑴当-;<。40时,函数/(X)在(0,+◎上是增函数;
当。>0时,函数/(x)在(0,士手生)上是减函数,
在(-1+^2^;+00)上是增函数.
⑵{a|aV0或。=义+2}
【知识点】利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调
性
【分析】(1)先求导,再根据导函数的正负得出函数/'(x)的单调区间;
4Y4Y
(2)关于x的方程。=-2/-2xlnx+”有且只有一个解,令g(x)=-2/-2xlnx+竺,求出g(x)的单调
ee
区间,即可求解.
【详解】(1)对函数/(无)=x+lnx+二,aeR求导可得:
因为a>-[,贝l|A=4+8a>0,
2
,f2x2+2x—。>0
所以由广(工)〉0可得八,
[x>0
1[a>Q
----<Q«0____
解得,2一或彳一1+J1+2a,
[x>0卜>---
所以当-;<公0时,函数/(x)在(0,+8)上是增函数;
当。>0时,函数〃元)在(0,土互比)上是减函数,在(上叵立,+00)上是增函数.
22
(2)因为关于x的方程/(x)=2有且只有一个解,即x+lnx+==2,
e2xe
tilEP--2x2-2xlnx=a,令g(x)=-2x2-2xlnx+—,
ee
4
则g'(%)=—4%—2—21nx+—是减函数,
e
因为g'd)=o,所以函数g(x)在(o,3上是增函数,在d,+8)上是减函数,
eee
1?2
又因为当x-0时,g(x)->0;g(-)=—+-;当时,g(x)f-oo;
eee
所以实数。的取值范围为Bla<0或。=2+马.
题型3数形结合法讨论零点(根)的个数
数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题,画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点1
的个数,在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用
函数的单调性,确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理,有时可结合函数的图象辅助解题.
I
1.(2024高三・全国・专题练习)设函数f(x)=〃lnx+L,.
x
⑴若函数g(x)=/(x)-X在定义域上单调递减,求〃的取值范围;
(2)当。>0时,讨论函数/(x)="Inx零点的个数.
【答案]⑴y,2]
(2)答案见解析
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点
【分析】(1)由条件可知g'(x)=2-3-lv。在(0,+8)上恒成立,参变分离后,转化为求函数的最值,
XX
即可求实数〃的取值范围;
—11
(2)/W=O,参变分离后,。=-1一,利用导数判断函数的性质和图象,转化为丁=,和丁=-下一的
xinxxlnx
交点个数.
【详解】(1)由题意,函数g(%)的定义城为(。,+8).
g(x)在(0,+8)上单调递减,.=g\x)=---^-1<0在(0,+8)上恒成立,
XX
即当XW(0,+oO),QWx+,恒成立,6!<|x+—j.
%\-^7min
•.•当尤€(0,+8),工+!22,当且仅当x=l时取等号,
X
.,.当%=]时,Ix+—|=2,:.a<2,
<"min
・•・。的取值范围为(-8,2].
(2)显然x=l不是/(%)的零点,f(x)=0^>a\nx+-=0^>a=一一.
xxlnx
1-,,,/、1+lnx
令A/?(%)=------,冗>0且xwl,贝!J/z(x)=^
xlnx(xlnx)
r
由h(x)>0^>xef—+(x)),h<x)<0=>xGf0,—
/z(x)在10,—上单调递减,在E,1,(i,+s)上单调递增,
1
・,.在(0,1)上时,"(x)有极小值小=e;在(L+8)上时,h(x)<0.
e
ave时,/(%)零点个数为0;
时,/。)零点个数为2.
2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(x)=(x-2)e*-依+alnx(aeR).
⑴当a=-l时,求函数“无)的单调区间;
⑵当a<e时,讨论〃x)的零点个数.
【答案】(1)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,—)
(2)答案见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及
性质
【分析】(1)首先求函数的导数,并化简为/'(x)=(x-l)(e,+g),根据函数的定义域,结合导数与函数
单调性的关系,即可求解;
(2)根据〃x)=0,参变分离得a=(x-2)e"x>o),再构造函数g(x)=".声,利用导数分析函数的
单调性,最值,以及趋向,即可分析出函数的图象,转化为分析、=。与丫=9(£)的交点个数问题.
【详解】⑴当。=一1时,f(x)=(x-2)ex+x-1nx,则r(x)="-1)卜+£|,当xe(0,+8)时,/+g>
0恒成立,
所以当久6(0,1)时,y'(x)<0J(x)单调递减;当xe(l,+8)时,f(x)>0,/㈤单调递增,即/(x)的单调
递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8).
(2)由题意,函数〃x)=(x-2)e"-ov+dnx=(x-2)ex-ti(x-lnx),x>0.
1
设m(x)=x-lnx,x>0,贝=l——=-x-—-1,
当汽G(0,1)时,加(1)<0,a(%)单调递减;
当%e(1,+8)时,加(%)>0,加(%)单调递增,
又加⑴=1,所以m(x"l.
令/(%)=。,可得(x—2)eX—6Zx+alnx=。,
(x-2)ex(x>0),令g⑺=°;)e
所以。=
x-lnxx-lwc
ex(x-l)(21
可得g'(x)=
(x-lnx)IXJ
^/i(x)=x-lnx+--l,贝=l一▲--1=尤一:-2=(x2?+1)(.〉0),
%XXXX
可得0<x<2时,”(%)〈。,九⑺单调递减;%>2时,”(x)>0,/z(x)单调递增,
所以以%).=入(2)=2—1112>0,即了>0时,h(%)>0恒成立,
故0<%<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;%>)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(X)min=41)=—e.
又当x.0时,g(x)-0;当%一+8时,g(x)f+8,函数g(x)的图象,如图所示,
结合图象可得,
当a<-e时,无零点;当。=-6或0<ave时,一个零点;
当-evavO时,两个零点.
3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数=©竺-blnx+1.
(1)当6=1时,若/(x)Wl恒成立,求实数a的值.
⑵当a=l时,讨论“X)的零点个数.
【答案】⑴。=1
(2)答案见解析
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的
零点、根据极值点求参数
【分析】(1)根据不等式恒成立可得元=1是“X)的一个极大值点,得出a=l,再证明。=1时,
V1在(0,+8)上恒成立即可;
(2)易知f(%)=----b\nx+1=0,显然InxwO,可得6=—i----,构造函数=—I----,xe(0,1)
XXllLXXllLX
并求出单调性可得结论.
【详解】(1)当6=1时,/(x)=--lwv+1,
则/⑴=1,且函数“X)在其定义域(0,+8)内连续.
又⑴恒成立,可得》=1是“%)的一个极大值点,所以r(i)=o.
a-a\r\x-x
又/''(》)=
所以/'(1)=a-alnl-l=0,贝!]〃=].
下面证明当4=1时,/(%)41在(0,+8)上恒成立.
,y―心、lux1\1-lux-x
由a=l,可知/(x)==_lnx+l,f(x)=————
令g(x)=1-1nx-1,
易得g(x)在(0,+8)上单调递减,又g(l)=O,
所以当久6(0,1)时,/X%)>0;当%€(1,+8)时,yz(x)<0.
所以外可在(0,1)上单调递增,在(L+8)上单调递减.
所以〃=
所以“X)W1在(0,+8)上恒成立,
故。=1.
(2)当〃=1时,/(%)=----Mnx+1.
x
令/(尤)=:--Mru+l=0.又InxwO,所以6=』+’.
xxInx
令MX)=-+-,xe(0,l)u(l,+oo),
x\nx
贝4(x)=$-TY<0,
xMinx)
所以/i(%)在(0,1),(L+8)上单调递减.
当0<%<1时,XfO,+8;x.l,力⑴.―8,
当%>1时,x.l,尤f+8,/z(x)->0,
函数Mx)=—+「图象如下图所示:
y=h(x)
所以当时,直线y=6与函数%(久)的图象只有一个交点;
当6>0时,直线y=b与函数h(x)的图象有两个交点.
故当6Vo时,“X)有1个零点;当匕>0时,“X)有2个零点.
4.(24-25高三上•北京•期中)已知函数/(x)=J
⑴求函数y=/(x)的图象在点尸(IJ(D)处的切线/的方程;
(2)当x>0时,求证:/(x)>x;
(3)讨论函数y=/(x)-6x(8eR且为常数)零点的个数.
【答案】⑴y=e
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点
【分析】(1)求广(%),计算函数图象在P(1,7(D)处的切线斜率,利用点斜式求切线方程.
(2)当尤>0时,/。)>》等价于Q一/>0,构造函数,通过分析单调性可证不等式成立.
(3)函数零点个数问题转化为图象交点个数问题,数形结合可得结果.
【详解】(1)由题意得,/(D=e,「(x)=e'(x「D,Hl)=0,
切线/的方程为:y=e.
(2)当尤>0时,要证/(x)>x,只需证e*-x2>0,
令g(x)=e*-/(x〉。),贝!|g'(尤)=e*-2x,
令6(x)=g'(x)=e*-2x,贝!]/?'(x)=e*-2,
由〃'(无)>0得,%>In2,由〃'(无)<0得,0<<In2,
〃(x)在(0,In2)为减函数,在(In2,-H»)上为增函数,
h{x}>h(Jn2)=eln2-21n2=2(l-ln2)>0,
g(x)在(0,+oo)上为增函数,
g(%)>g(0)=e°-0=l>0,
ex-x2>0,BPf{x}>x.
(3)由/(无)一阮=0得,b鸟.
X
令o(x)==,贝Ud(x)=e"32),
由夕'0)〉0得了>2或%<0,由夕'(%)<0得0<%<2,
・・・9(x)在(-*0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,在(2,+8)上为增函数,
当元一—00时,夕(%)—0,当X-0时,/(%)—内,当xf+8,0(%)f+oo.
・・・%=2时,9(4)取极小值夕(2)=J,
4
・・・当人£(-8,0]时,直线y=6与9(x)的图象没有交点,函数无零点,
(2>)
当be0,丁e时,直线y=6与9(%)的图象有1个交点,函数有1个零点,
2
当匕=土e时,直线y=b与。(X)的图象有2个交点,函数有2个零点,
4
2
<e、
当力£—,+00时,直线y=b与°(尤)的图象有3个交点,函数有3个零点.
I47
综上得,当6€(-叫0]时,函数无零点;当be]。,[卜,函数有1个零点;
当6时,函数有2个零点;当be]7,+“时,函数有3个零点.
【点睛】思路点睛:本题考查函数综合问题,具体思路如下:
(1)当尤>0时,要证/Xx)>x,可等价变形为e*-尤2>0,构造函数,通过二次求导可分析函数的单调性,
求函数的最小值,即可证明结论.
(2)要求函数y=/(x)-区"eR且为常数)零点的个数,分离参数得6=身,问题转化为直线y=b与
9(x)=乌的图象交点个数问题,通过求导分析单调性数形结合可得结果.
X
5.(24-25高三上•湖北•阶段练习)已知函数〃x)=(x-2产,
⑴求函数〃x)的单调区间和极值;
(2)讨论关于x方程/(x)=a的解的个数.
【答案】(1)单调递增区间为(L+8),单调递减区间为(-叫1);有极小值-e,无极大值
(2)答案见解析
【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根
【分析】(1)利用导数求函数的单调性,进而得极值;
(2)将方程解的个数转化为函数y=/(乃的图象与直线y=。的交点个数,结合函/(x)数性质与趋势分析,
作出函数图象,数形结合可得图象交点的个数.
【详解】(1)函数的定义域为R,/'(x)=(x-l)e'
令/'(x)=0,解得x=l
当x<1时,/㈤<0,7(x)在(-,1)上单调递减;
当x>l时,/。)>1,/(同在(1,+8)上单调递增;
所以当尤=1时,/(X)有极小值,且极小值为/(l)=-e.
综上所述,/(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(-双1);
f(x)有极小值,极小值为-e,无极大值.
(2)令〃x)=0,解得x=2;
当尤<2时,/(x)<0;当x>2时,/(x)>0.
当X--00时,〃x)=—^.0,当xf+oo时,/(x)f+oo,
结合(1)中分析可得,/(%)的大致图象如图所示,
方程=a的解的个数为函数y=/(%)的图象与直线的交点个数.
由⑴可得当x=l时,“X)有最小值/(l)=-e;
由图可得,当“<-e时,方程/(x)=a无解;
当。=-0或。》0时,方程/(x)=a有1个解;
当—e<a<。时,方程=a有两个解.
题型4根据零点(根)介数求参数范围
转化法
y=f(x)
(i)将方程转化为,
[y=k
(2)画图
(3)根据图象求参数范围
1.(2024•天津・模拟预测)已知函数/G(MG+Z)
⑴求曲线y=/(x)在x=-l处的切线方程;
⑵求证:er>x+l;
(3)函数/?(x)=〃x)-a(x+2)有且只有两个零点,求a的取值范围.
【答案】⑴y=x+l;
(2)证明见详解;
⑶q
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】(1)利用导数求斜率,利用解析式求切点纵坐标,然后可得切线方程;
(2)构造函数g(尤)=e'r-l,利用导数求最小值即可得证;
(3)构造函数将问题转化为函数加(x)的图象与直线y=。有两个交点,利用导数
研究函数单调性,然后作出函数加(x)的图象,根据图象即可求解.
【详解】(1)因为尸(x)=—1二,
兀+2
所以曲线y=f(x)在尸-1处的切线斜率为(二=1,
又/(T)=ln(-l+2)=0,所以切线方程为y=x+l.
(2)t己g(x)=e,-x-l,贝I]g[x)=e,一l,
当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)在(-8,0)上单调递减;
当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,+8)上单调递增.
所以当x=0时,8(可取得最小值8(0)=6°-1=0,
所以g(x)=e,一x-120,gpe%>%+l.
(3)/z(x)=/(x)-a(x+2)=ln(x+2)-a(x+2),;t>-2,
由题知,ln
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