利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）（5题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（解析版）

重难点02利用导函数研究函数的零点（含隐零点问题）

明考情・知方向

三年考情分析2025年考向预测

2022年，第20题第（2）问，考察隐零点的应用利用导数研究函数零点是导数应用的重点，常涉及函

数单调性，函数图象，通常转化为两个函数，根据图

象，画出图象（画图常涉及极限）

重难点题型解读

题型1判断（讨论）零点（根）个数问题

（1）直接法：令无）=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；

（2）零点存在性定理法：判断函数在区间,,以上是连续不断的曲线，且再结合函数的图

象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）可确定函数的零点个数；

1.（2023•黑龙江哈尔滨•三模）已知/Gj=eJsinx-x.

（1）若g（.二2,证明：存在唯一零点；

⑵当XW（YO,兀）时，讨论〃X）零点个数.

【答案】（1）证明见详解

⑵〃x）有2个零点

【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)利用导函数研究函数g(x)在［。，目上的单调性，进而根据零点存在性定理证明即可;

(2)分类讨论，利用导函数研究单调性，根据零点存在性定理求解即可.

【详解】(1)由题意，g(x)=2-2；"x)=27；，sin［0<x<t)

由于0<x<5，所以cosx£(0,l),贝!Je，cosx>0,又x—3vO,所以—3+%—e"cos无vO,

进而g，(x)<0,所以g(“在’(J上单调递减，

兀兀

C兀2•兀C兀22E

又g(0)=2>0,g⑶=2-，，1工2—2€一―匚。,

—e2e22e2

根据零点存在性定理可知：函数g(X)在(。，鼻上存在唯一零点.

(2)/(x)=ex-sinx-x,㈤,则/'(x)=e*6加+/85%—1,%£(一。㈤，

当时，因为/<芸，

所以/'(%)=e"•sinx+excosx-1=e%•(sinx+cos-1<血泼_〔<也「_］<0，

此时f(x)单调递减，/1T=/-sin，鼻+曰=-e二+1>。，

所以/⑺在上没有零点，

当一］<x■时，令/z(x)=e*.sinx+e*cosx-l,］-'1<xV0］，

贝!J”(x)=2e*cosx>0,

所以/'(x)在(一/今上单调递增，又/'(0)=0,

故当£<x<0时，尸(久)<0,则/⑺在［g。］上单调递减，又"0)=0,

当o<尤时，f'M>0,故/(x)在上单调递增，

因此，当时，“X)只有一个零点，即x=o,

当5<％<兀时，/zr(x)=2excosx<0,所以尸(%)在|■，兀)上单调递减,

又广(兀)=一e-l<0,=1>0,

故叫eg,1,使得尸(毛)=0,且当xe1],xj时，尸(x)>0,单调递增，

当xe(飞,兀)时，xe(飞,兀)，尸(x)<0,/(x)单调递减,

_i>e-i>0,/(兀)=_兀<0，

所以当：4x<x。时，/(x)>0,此时“X)无零点，

当》«飞,兀)时，/(力只有一个零点,

综上可知：尤武-力㈤时，〃x)有2个零点.

【点睛】方法点睛：判断函数y=f(x)零点个数的常用方法：

(1)直接法：令/(力=0,则方程实根的个数就是函数零点的个；

(2)零点存在性定理法：判断函数在区间国上是连续不断的曲线，且再结合函数的图

象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数

零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要

利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

2.(24-25高三上•湖南永州•开学考试)已知函数，/(x)=(x+l)e2-<K+l,g(x)=(%+1)%巩〜卜+1.

⑴若a=l,求〃x)的极值；

⑵当。<0时，讨论了(X)零点个数；

【答案】(1)极大值e2+l,无极小值

⑵答案见解析

【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)对求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值；

(2)对“X)求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出“X)最小值设/7(°)=：$+"+1,4<0,

再根据导数确定的正负，结合〃0)=e2+l>0,当xf-8时，即可得出零点情况；

【详解】(1)当。=1时，/(%)=(%+1卜2-*+1,贝U/'(x)=e2T—(%+1卜2-*=-胧2T,

令广(x)=0,解得x=0,

当xe(—8,0)时，Ax)>0,则f(x)在(—8,0)单调递增，

当xe(0,+8)时,尸(幻<0,则/㈤在(0,+8)单调递减,

所以/(X)有极大值/(0)=e2+l,无极小值.

(2)/'(x)=e2-m_a(jc+l)e2-5(-ax-a+X),

令广(x)=0,贝=因为。<0,所以-a>0,—<0

aa

当时，/'(x)<0,则/(x)在上单调递减，

当时，f'(x)>0,贝IJ/(x)在上单调递增，

i-a(1-a\2-41,

所以——)=--+1e“+1=一$+。+1,

a\a)a

设加。)=1e1+a+l,fl<0,则h'(a)=-4e1+fl+-e1+fl=e1+a与，

aaaa

因为avO,所以“(a)<0,所以人(〃)在(-8,0)单调递减，

又因为父—D=o,

所以当a<—l时，-e1+Q+l>0,则/(x)>0,无零点；

a

当。=一1时，-e1+n+l=O,/(x)有1个零点，

a

当-l<4<0时，-e1+0+l<0,又/(0)=/+1>0,当xf-8时,/(x)有2个零点.

4/7x

3.(2023•天津河东•一模)已知函数/(冗)=依----,^(x)=ln-.

x2

⑴求函数了(尤)在点(1］⑴)处的切线方程；

⑵尸(x)=g(x)-/(x),0<a<，，x>0.

4

(i)证明厂食)+尸［:］=0；

(ii)求函数尸(无)在区间(0,，］上零点的个数证明.

［答案］⑴5ax_y_8a=0

(2)(i)证明见解析；(ii)3个，证明见解析

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)根据导数的几何意义，结合直线方程，即可得到结果；

(2)(i)直接代入计算，即可证明；

(ii)求导可得尸(力，得到其极值点，通过对其单调性的研究分分不同区间进行讨论，即可得到其零点个

数；

【详解】(1)/'(%)=，+今，切线斜率为八1)=5*f(l)=-3a,

x

切线方程为V+3a=5a(x-l),5ax-y-8a=0

(2)(i)Ff—=ln---+46zx—=-ln---+=-F(x),F(x)+rf—>1=0；

xx42x

14〃

(ii)Ff(x)=—a^=0即为一ox?+%—4Q=O,A=l—16a2>0

xx

解得匕匹透，侬2,>x>0,

J"X12

2a22a

当次£(o,九2)U(』,+°O)时,F\x)<o；当尤£(九2，七)时,F\x)>0,

且尸(无)在区间(0,%)，(/内)上单调递减，在区间(马，药)上单调递增，

F(2)=In1—2〃+2〃=0,

*.*xxx2=4,<2(菁

产(处在区间(马,西)上单调递增，F(^)>F(2)=0,F(A2)<F(2)=0

F(-^-]=-ln2a2--+4a3

4-G(fl)=-ln2a2--+4fl3

\a)aa

一4a1_12〃J2〃+1

°⑷

令"h(a)=12。4—2a+1,h'(a)-48/—2,<a<—,***Q，<—,h\ci)<0

464

力(〃)在。<a<—上单调减，h(<d)>h\—|=------F1>0,G\d)>0

414/642

G⑷在0<a<：上单调递增，G⑷<G：=-*4+±<。

玉<焉=：<:，尸(百)尸(》)在区间(西，.)单调递减

因此F(x)在区间(国,：)上存在唯一零点马

441

由已知。<一<一=x2<2<xl<x3<—9由(2)(i)

x3%a

F(x)+rf—Ko,F(X3)=O,AKO

4

厂(%)在区间(0,9)单调递减，F(x)在区间(0,x2)上存在唯一零点一

综上所述，/(无)在区间(0,，］上存在3个零点.

【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的

内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.

4.(23-24高二下•天津河北•期中)已知函数=

1

-*

O1x

_.i_

⑴判断函数“X)的单调性，并求出函数“X)的极值；

(2)画出函数的大致图象；

(3)讨论方程/(x)=a(aeR)的解的个数.

【答案】(1)在(—,1)上递增，在(1,+8)上递减，极大值!；

e

(2)函数图象见解析；

(3)答案见解析.

【知识点】画出具体函数图象、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究

方程的根

【分析】(1)利用导数求出函数的单调区间，求出极值作答.

(2)由(1)分析函数的性质，作出图象作答.

(3)结合(2)中函数图象，探讨方程/(x)=a(aeR)的解的个数作答.

【详解】(1)函数=p的定义域为R,求导得《

当x<l时，八元)>0,当尤>1时，/口)<0,因此，

函数〃x)在(y,1)上单调递增，在(1,+◎上单调递减，

当x=l时，函数/(X)取得极大值，/(1)=-,无极小值.

e

(2)由(1)知，函数/(元)在(一84)上单调递增，在(L+s)上单调递减，/(%)_=-,/(0)=0,

e

当X>1时，/(尤)>0恒成立，因止匕当X>1时，随X的增大，“X)的图象在X轴的上方与X轴无限接近,

函数“X)的大致图象如图所示：

(3)令g(x)=e，-x-l,g'(x)=e*-l,当x<0时g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>。，

函数g(x)在S,0)上单调递减,在(0,+勾)上单调递增,VxeR,g(x)2g(0)=0,即/2尤+1,有-2-x+1,

当尤<0时，e_%>-x+l,-^<-x2+x,而函数y=-无2+x在(-oo,0)上单调递增，

e

其值域为(-s,。)，因此函数/(同=5在(-叫。)上无最小值，取值集合为(-8,0),

方程/(x)=。的解的个数等价于函数y=/(%)的图象与直线>=。的公共点个数，

在同一坐标系内作出直线'与函数、=/(无)的部分图象，如图，

y=flx)

观察图象知，当a>-时，方程/(x)=a的解的个数为0,

当。=上或aVO时，方程/(x)=a的解的个数为1,

当0<。<上时，方程/(x)=。的解的个数为2.

5.(23-24高二下•海南三亚•阶段练习)给定函数/'(x)=(x+l)e:

(1)判断函数f(x)的单调性，并求出/(x)的极值；

(2)画出函数f(x)的大致图象；

(3)求出方程F(x)=a(aeR)的解的个数

【答案】⑴单调递增区间为(-2,心)；单调递减区间为(3,-2),极小值,”-2)=-二；

e

(2)答案见详解；(3)当时，解为。个；当。=--1或时，解为1个；当时，解

eee

为2个

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根

【分析】(1)求出导函数/'(x),再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.

(2)由函数的单调性、极值即可作出图象.

(3)利用数形结合法即可求解.

【详解】(1)由/(x)=(x+l)e，，定义域为R

f'(x)=e~x+(x+V)ex=(x+2)e”,

令(⑺>0,即x>—2,

令-(无)=0,即x=-2,

令广(“<0,即x<-2,

所以函数的单调递增区间为(-2,y)；

单调递减区间为(-2),x=-2为极小值点,

所以函数的极小值为-2)=-《.

e

(2)函数/(尤)的大致图象，如图所示：

(3)方程解的个数等价于y="X)于y=。的交点个数.

由图可知当。<-二时，方程/(x)=a(“eR)的解为。个;

e

当a=-《或时，方程/(元)=。(“€夫)的解为1个；

e

当^<。<。时，方程/(x)=a(aeR)的解为2个；

e

题型2证明函数零点唯一

00&式i

(1)零点存在性定理法：判断函数在区间句上是连续不断的曲线，且〃。)/修)<0,再结合函数的图:

象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；

(2)函数的单调性

i

1.(23-24高三上•天津北辰•阶段练习)已知函数/(x)=专"+w在点处的切线与直线/:x+y=O垂

直，已知函数/?(x)=ln(x+l)-依一1,其中aV-历.

⑴设函数g(x)=4(x)-x2,求函数g(x)的单调性.

⑵证明：人(“有唯一零点.

【答案】⑴函数g(尤)在(―⑼和(0,+8)上均单调递增.

(2)证明见解析

【知识点】求曲线切线的斜率(倾斜角)、利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数证明不等式、

利用导数研究函数的零点

【分析】(1)利用导数，求函数g(x)的单调性.

(2)通过函数的单调性和零点存在定理，证明砍x)有唯一零点;

【详解】(1)函数/⑺二三，〃，有尸(x)=e*(x；)+%

[f（l]=Q-m+n=e-lfm=lx_i

根据题意,有=i，解得（=0,因此〃x）=P

进而g(x)=e，-x2-l(xw0),其导函数glx)=e,-2x,

当X<0时，显然有g'(x)>0,因此g(x)在(F,0)上为增函数.

当x>0时，因为令0(x)=eW-ex,//(x)=e*-e,

所以当x<l时p(x)<0,当尤>1时p(x)>0,

函数。(x)=e*-ex在上为减函数，在(1,+8)上为增函数，所以⑴=0,

当xe(0,+oo)时，ex>ex>lx,有g'(x)=e*-2x>0.

因此函数g(x)在(-°°,。)和(。,+8)上均单调递增.

(2)函数/?(尤)=ln(x+l)-依-1定义域为(-1,+8),导函数"(尤)=^^-4,

Q1

因为〃V-木，所以〃(%)=士—。>0,于是函数M%)在定义域(-1,+a))上单调递增,

又网0)=_1<0,_^/z(e+l)=ln(e+2)-dz(e+l)-l>ln(e+2)-l>0,

因此函数M%)有唯一零点.

2.(2024•江西新余•模拟预测)已知函数/(x)=-a\nx+(la+l)x-x2.

(1)若。=3,求/(x)在(L/⑴)处的切线方程.

⑵讨论了(X)的单调性.

⑶求证：若4>0,/(元)有且仅有一个零点.

【答案】⑴x+2y-3=0；

(2)答案见解析；

⑶证明见解析.

【知识点】利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间、零点存在性定理的应用、求在曲

线上一点处的切线方程(斜率)

【分析】(1)把代入，利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)根据给定条件，按aWO,0<a<|,a=|,分类，利用导数求出单调区间.

(3)利用(2)的结论，结合零点存在性定理推理证明即可.

【详解】(1)当。=彳时，f(.x)=——\nx+2x—x2,求导得/'(x)=—^—2x+2,则/«)=—彳，而/1⑴=1,

222x2

所以函数/(X)的图象在(1,/⑴)处的切线方程为V-1=1(尤-1),即x+2y-3=0.

(2)函数/(%)=-〃1口%+(2。+1)%-兀2的定义域为(0,+8),

求导得f'M=--+(2a+1)-2x=-(2X~1)(X-Q),

XX

①当时，由/''(x)>。，得xe(0,；),由/'(x)<0,得xe(；,+8),

则函数/(X)在(0,1)上单调递增，在g,+8)上单调递减；

②当。<。<5时，由/'(元)>。，得xc(a，5),由/''(x)<0,得尤e(0,a)U(5，+°°),

则函数/(X)在3；)上单调递增，在(。,〃)，((+8)上单调递减；

③当”=g时，/(x)<0,函数人>)在(0,+8)上单调递减；

④当。时，由八无)>0,得尤€(；,"),由/'(x)<o,得xe(0,；)U(a,+(»),

则函数f(x)在(；,公上单调递增，在(0,g),(“，”)上单调递减，

所以当aWO时，函数f(x)的递增区间为(0,；),递减区间为(；,+8)；

当0<。<；时，函数的递增区间为(a,g),递减区间为(0,。)，§,+8)；

当时，函数/(无)的递减区间为(0,+8)；

当时，函数了。)的递增区间为(；,幻，递减区间为(0.；),(。，转).

(3)①当a=g时，函数/(x)在(0,+8)上单调递减，而/⑴=1>0,/(e)=-1+2e-e2<0,

因此存在唯一%e(l,e)使/(%)=0,则f(x)有且仅有一个零点；

②当0<。<；时，函数/(x)在x=a处取得极小值y(a)=a(-lna+a+l),

令g(x)=-lnx+尤+1,求导得g[x)=-工+1,当xe(0,l)时，g'(x)<0,当xe(l,+oo)时，g'(x)>0,

X

函数g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)在(1,+8)上单调递增，g(%)>g(l)=2>0,gp/(a)>0,

/(；)>/(a)>0,当x-+8时，-ainjvf-s,Qa+Dx-df-oo,贝！|/(无)->-<»,

因此存在唯一国e(1,+8)使/(三)=0,则/(X)有且仅有一个零点；

③当a>1■时，函数f(x)在尤=g处取得极小值/(g)=a(ln2+l)+；>0,f(a)>/(1)>0,

同理存在唯一尤2©(。，+◎使/(%)=0,则/(%)有且仅有一个零点，

所以/(x)有且仅有一个零点.

3.(2024•江苏•模拟预测)已知函数“xhalnx+r+S在无=1处的切线经过原点.

(1)判断函数“X)的单调性;

(2)求证：函数，(元)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

【答案】(l)〃x)在(0,+“)上单调递增

(2)证明见解析

【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、已知切线(斜率)求参数、

利用导数研究方程的根

【分析】(1)先根据题意求出参数。的值，然后求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解；

(2)由题意构造函数g(x)=21nx+x2+3-5x(x>0),利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理即

可得解.

【详解】⑴因为/(l)=alnl+l+3=4,所以切点为(1,4).

因为-(%)=2+2无，所以/'(1)=。+2,

所以切线方程为y-4=(0+2)(尤-1).

因为切线经过原点，所以0-4=(4+2)(0—1),所以a=2.

7

由定义域为(0,+8),故;(x)=[+2x>0,

所以/(元)在(0,+8)上单调递增.

(2)设g(x)=〃x)-5x=21nx+x2+3-5x(x>0),

贝ijg'⑺=2/-5x+2=(21)(7

XX

因为当时，g[x)>0,g(x)单调递增，

当时，g[x)<0,g(x)单调递减，

1e

且3-81n2_m怎

ggj=21ng+g]+3-j=-21n2+|=一\U

44

因为g[[<。，且当时，g(x)单调递减，所以g⑵<g出<0

所以当x«0,2)时，g(x)<0,

所以函数g(x)在x«0,2)时没有零点，

所以当无40,2)时，函数的图象与直线y=5x没有交点.

当xe(2,+8)时，g,(x)>0,g(x)单调递增,

又因为g(5)=21n5+3>0,且函数g(x)的图象是不间断的，

所以当xe(2,+8)时，函数g(x)有且只有一个零点，

函数/(元)的图象与直线y=5x有且只有一个交点.

综上所述，函数/(%)的图象与直线>=5x有且只有一个交点.

4.(2024・广西贺州.一模)已知函数/(x)=x+lnx+g,aeR.

(1)若讨论的单调性；

2

⑵若关于x的方程/(%)=-有且只有一个解，求a的取值范围.

e

【答案】⑴当-;<。40时，函数/(X)在(0,+◎上是增函数；

当。>0时，函数/(x)在(0,士手生)上是减函数,

在(-1+^2^；+00)上是增函数.

⑵{a|aV0或。=义+2}

【知识点】利用导数研究方程的根、含参分类讨论求函数的单调区间、用导数判断或证明已知函数的单调

性

【分析】(1)先求导，再根据导函数的正负得出函数/'(x)的单调区间；

4Y4Y

(2)关于x的方程。=-2/-2xlnx+”有且只有一个解，令g(x)=-2/-2xlnx+竺，求出g(x)的单调

ee

区间，即可求解.

【详解】(1)对函数/(无)=x+lnx+二,aeR求导可得：

因为a>-[，贝l|A=4+8a>0,

2

,f2x2+2x—。>0

所以由广(工)〉0可得八，

[x>0

1[a>Q

----<Q«0____

解得，2一或彳一1+J1+2a，

[x>0卜>---

所以当-；<公0时，函数/(x)在(0,+8)上是增函数；

当。>0时，函数〃元)在(0,土互比)上是减函数，在(上叵立,+00)上是增函数.

22

(2)因为关于x的方程/(x)=2有且只有一个解，即x+lnx+==2,

e2xe

tilEP--2x2-2xlnx=a,令g(x)=-2x2-2xlnx+—,

ee

4

则g'(%)=—4%—2—21nx+—是减函数，

e

因为g'd)=o,所以函数g(x)在(o,3上是增函数，在d,+8)上是减函数，

eee

1?2

又因为当x-0时，g(x)->0；g(-)=—+-；当时，g(x)f-oo；

eee

所以实数。的取值范围为Bla<0或。=2+马.

题型3数形结合法讨论零点(根)的个数

数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点1

的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用

函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

I

1.(2024高三・全国・专题练习)设函数f(x)=〃lnx+L,.

x

⑴若函数g(x)=/(x)-X在定义域上单调递减，求〃的取值范围；

(2)当。>0时，讨论函数/(x)="Inx零点的个数.

【答案]⑴y,2]

(2)答案见解析

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)由条件可知g'(x)=2-3-lv。在(0,+8)上恒成立，参变分离后，转化为求函数的最值，

XX

即可求实数〃的取值范围；

—11

(2)/W=O,参变分离后,。=-1一，利用导数判断函数的性质和图象，转化为丁=，和丁=-下一的

xinxxlnx

交点个数.

【详解】(1)由题意，函数g(%)的定义城为(。,+8).

g(x)在(0,+8)上单调递减，.=g\x)=---^-1<0在(0,+8)上恒成立，

XX

即当XW(0,+oO),QWx+,恒成立，6!<|x+—j.

%\-^7min

•.•当尤€(0,+8),工+!22,当且仅当x=l时取等号，

X

.,.当％=]时，Ix+—|=2,:.a<2,

<"min

・•・。的取值范围为(-8,2].

(2)显然x=l不是/(%)的零点，f(x)=0^>a\nx+-=0^>a=一一.

xxlnx

1-,,,/、1+lnx

令A/?(%)=------，冗>0且xwl,贝！J/z(x)=^

xlnx(xlnx)

r

由h(x)>0^>xef—+(x)),h<x)<0=>xGf0,—

/z(x)在10,—上单调递减，在E，1,(i,+s)上单调递增,

1

・,.在(0,1)上时，"(x)有极小值小=e；在(L+8)上时，h(x)<0.

e

ave时，/(%)零点个数为0；

时，/。)零点个数为2.

2.(2024高三・全国・专题练习)已知函数/(x)=(x-2)e*-依+alnx(aeR).

⑴当a=-l时，求函数“无)的单调区间；

⑵当a<e时，讨论〃x)的零点个数.

【答案】(1)单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,—)

(2)答案见解析

【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及

性质

【分析】(1)首先求函数的导数，并化简为/'(x)=(x-l)(e，+g),根据函数的定义域，结合导数与函数

单调性的关系，即可求解；

(2)根据〃x)=0,参变分离得a=(x-2)e"x>o),再构造函数g(x)=".声,利用导数分析函数的

单调性，最值，以及趋向，即可分析出函数的图象，转化为分析、=。与丫=9(£)的交点个数问题.

【详解】⑴当。=一1时，f(x)=(x-2)ex+x-1nx,则r(x)="-1)卜+£|,当xe(0,+8)时，/+g>

0恒成立，

所以当久6(0,1)时，y'(x)<0J(x)单调递减;当xe(l,+8)时,f(x)>0,/㈤单调递增,即/(x)的单调

递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+8).

(2)由题意，函数〃x)=(x-2)e"-ov+dnx=(x-2)ex-ti(x-lnx),x>0.

1

设m(x)=x-lnx,x>0,贝=l——=-x-—-1,

当汽G(0,1)时，加(1)<0,a(%)单调递减；

当%e(1,+8)时,加(%)>0,加(%)单调递增,

又加⑴=1,所以m(x"l.

令/(%)=。，可得(x—2)eX—6Zx+alnx=。，

(x-2)ex(x>0),令g⑺=°；)e

所以。=

x-lnxx-lwc

ex(x-l)(21

可得g'(x)=

(x-lnx)IXJ

^/i(x)=x-lnx+--l,贝=l一▲--1=尤一：-2=(x2?+1)(.〉0),

%XXXX

可得0<x<2时，”(%)〈。，九⑺单调递减;%>2时，”(x)>0,/z(x)单调递增，

所以以%).=入(2)=2—1112>0,即了>0时，h(%)>0恒成立，

故0<%<1时，g'(x)<0,g(x)单调递减；%>)时,g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(X)min=41)=—e.

又当x.0时，g(x)-0；当%一+8时，g(x)f+8,函数g(x)的图象，如图所示,

结合图象可得，

当a<-e时，无零点；当。=-6或0<ave时，一个零点；

当-evavO时，两个零点.

3.(2024高三•全国•专题练习)已知函数=©竺-blnx+1.

(1)当6=1时，若/(x)Wl恒成立，求实数a的值.

⑵当a=l时,讨论“X)的零点个数.

【答案】⑴。=1

(2)答案见解析

【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的

零点、根据极值点求参数

【分析】(1)根据不等式恒成立可得元=1是“X)的一个极大值点，得出a=l,再证明。=1时，

V1在(0,+8)上恒成立即可；

(2)易知f(%)=----b\nx+1=0,显然InxwO,可得6=—i----,构造函数=—I----,xe(0,1)

XXllLXXllLX

并求出单调性可得结论.

【详解】(1)当6=1时，/(x)=--lwv+1,

则/⑴=1，且函数“X)在其定义域(0,+8)内连续.

又⑴恒成立，可得》=1是“%)的一个极大值点，所以r(i)=o.

a-a\r\x-x

又/''(》)=

所以/'(1)=a-alnl-l=0,贝!]〃=].

下面证明当4=1时，/(%)41在(0,+8)上恒成立.

,y―心、lux1\1-lux-x

由a=l,可知/(x)==_lnx+l,f(x)=————

令g(x)=1-1nx-1，

易得g(x)在(0,+8)上单调递减，又g(l)=O,

所以当久6(0,1)时，/X%)>0；当％€(1,+8)时，yz(x)<0.

所以外可在(0,1)上单调递增，在(L+8)上单调递减.

所以〃=

所以“X)W1在(0,+8)上恒成立，

故。=1.

(2)当〃=1时，/(%)=----Mnx+1.

x

令/(尤)=：--Mru+l=0.又InxwO,所以6=』+’.

xxInx

令MX)=-+-,xe(0,l)u(l,+oo),

x\nx

贝4(x)=$-TY<0,

xMinx)

所以/i(%)在(0,1),(L+8)上单调递减.

当0<%<1时，XfO,+8;x.l,力⑴.―8,

当%>1时，x.l,尤f+8,/z(x)->0,

函数Mx)=—+「图象如下图所示:

y=h(x)

所以当时，直线y=6与函数％(久)的图象只有一个交点;

当6>0时，直线y=b与函数h(x)的图象有两个交点.

故当6Vo时，“X)有1个零点；当匕>0时，“X)有2个零点.

4.(24-25高三上•北京•期中)已知函数/(x)=J

⑴求函数y=/(x)的图象在点尸(IJ(D)处的切线/的方程；

(2)当x>0时,求证：/(x)>x；

(3)讨论函数y=/(x)-6x(8eR且为常数)零点的个数.

【答案】⑴y=e

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点

【分析】(1)求广(%),计算函数图象在P(1,7(D)处的切线斜率，利用点斜式求切线方程.

(2)当尤>0时，/。)>》等价于Q一/>0,构造函数，通过分析单调性可证不等式成立.

(3)函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果.

【详解】(1)由题意得，/(D=e,「(x)=e'(x「D,Hl)=0,

切线/的方程为：y=e.

(2)当尤>0时，要证/(x)>x,只需证e*-x2>0,

令g(x)=e*-/(x〉。)，贝！|g'(尤)=e*-2x,

令6(x)=g'(x)=e*-2x,贝!]/?'(x)=e*-2,

由〃'(无)>0得，%>In2,由〃'(无)<0得，0<<In2,

〃(x)在(0,In2)为减函数，在(In2,-H»)上为增函数，

h{x}>h(Jn2)=eln2-21n2=2(l-ln2)>0,

g(x)在(0,+oo)上为增函数,

g(%)>g(0)=e°-0=l>0,

ex-x2>0,BPf{x}>x.

(3)由/(无)一阮=0得,b鸟.

X

令o(x)==,贝Ud(x)=e"32)，

由夕'0)〉0得了>2或%<0,由夕'(％)<0得0<%<2,

・・・9(x)在(-*0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数，

当元一—00时，夕(％)—0,当X-0时，/(%)—内，当xf+8,0(%)f+oo.

・・・%=2时，9(4)取极小值夕(2)=J,

4

・・・当人£(-8,0］时，直线y=6与9(x)的图象没有交点，函数无零点，

(2>)

当be0,丁e时，直线y=6与9(%)的图象有1个交点，函数有1个零点，

2

当匕=土e时，直线y=b与。(X)的图象有2个交点，函数有2个零点，

4

2

<e、

当力£—,+00时，直线y=b与°(尤)的图象有3个交点，函数有3个零点.

I47

综上得，当6€(-叫0］时，函数无零点；当be］。,［卜，函数有1个零点；

当6时，函数有2个零点；当be］7,+“时，函数有3个零点.

【点睛】思路点睛：本题考查函数综合问题，具体思路如下：

(1)当尤>0时，要证/Xx)>x,可等价变形为e*-尤2>0,构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性,

求函数的最小值，即可证明结论.

(2)要求函数y=/(x)-区"eR且为常数)零点的个数，分离参数得6=身，问题转化为直线y=b与

9(x)=乌的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果.

X

5.(24-25高三上•湖北•阶段练习)已知函数〃x)=(x-2产，

⑴求函数〃x)的单调区间和极值;

(2)讨论关于x方程/(x)=a的解的个数.

【答案】(1)单调递增区间为(L+8),单调递减区间为(-叫1)；有极小值-e,无极大值

(2)答案见解析

【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根

【分析】(1)利用导数求函数的单调性，进而得极值；

(2)将方程解的个数转化为函数y=/(乃的图象与直线y=。的交点个数，结合函/(x)数性质与趋势分析,

作出函数图象，数形结合可得图象交点的个数.

【详解】(1)函数的定义域为R,/'(x)=(x-l)e'

令/'(x)=0,解得x=l

当x<1时，/㈤<0,7(x)在(-，1)上单调递减;

当x>l时，/。)>1,/(同在(1,+8)上单调递增；

所以当尤=1时，/(X)有极小值，且极小值为/(l)=-e.

综上所述，/(x)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(-双1)；

f(x)有极小值，极小值为-e,无极大值.

(2)令〃x)=0,解得x=2；

当尤<2时，/(x)<0；当x>2时，/(x)>0.

当X--00时，〃x)=—^.0,当xf+oo时，/(x)f+oo,

结合(1)中分析可得，/(%)的大致图象如图所示，

方程=a的解的个数为函数y=/(%)的图象与直线的交点个数.

由⑴可得当x=l时，“X)有最小值/(l)=-e；

由图可得，当“<-e时，方程/(x)=a无解；

当。=-0或。》0时，方程/(x)=a有1个解；

当—e<a<。时，方程=a有两个解.

题型4根据零点(根)介数求参数范围

转化法

y=f(x)

(i)将方程转化为,

[y=k

(2)画图

(3)根据图象求参数范围

1.(2024•天津・模拟预测)已知函数/G(MG+Z)

⑴求曲线y=/(x)在x=-l处的切线方程；

⑵求证：er>x+l；

(3)函数/?(x)=〃x)-a(x+2)有且只有两个零点，求a的取值范围.

【答案】⑴y=x+l；

(2)证明见详解；

⑶q

【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式

【分析】(1)利用导数求斜率，利用解析式求切点纵坐标，然后可得切线方程；

(2)构造函数g(尤)=e'r-l,利用导数求最小值即可得证；

(3)构造函数将问题转化为函数加(x)的图象与直线y=。有两个交点，利用导数

研究函数单调性，然后作出函数加(x)的图象，根据图象即可求解.

【详解】(1)因为尸(x)=—1二，

兀+2

所以曲线y=f(x)在尸-1处的切线斜率为(二=1,

又/(T)=ln(-l+2)=0,所以切线方程为y=x+l.

(2)t己g(x)=e，-x-l,贝I]g[x)=e，一l,

当x<0时，g'(x)<0,函数g(x)在(-8,0)上单调递减；

当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,+8)上单调递增.

所以当x=0时，8(可取得最小值8(0)=6°-1=0,

所以g(x)=e，一x-120,gpe%>%+l.

(3)/z(x)=/(x)-a(x+2)=ln(x+2)-a(x+2),;t>-2,

由题知，ln