立体几何中垂直的证明与探究（原卷版）-2025年高考数学复习题型重难点专项突破

专题8-3立体几何中垂直的证明与探究

【题型1】垂直性质的判定

【题型2】线面垂直证明

【题型3］证明面面垂直

【题型4】已知面面垂直证其他垂直

【题型5】证明异面直线垂直

【题型6】线面垂直的存在性问题探究

【题型7】面面垂直的存在性问题探究

【题型8】异面直线垂直的存在性问题探究

【题型9】存在性问题中确定动点的轨迹与最值

【题型1】垂直性质的判定

基础知识

部分问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除

【例1】（2024•四川成都•三模）已知直线/、m、〃与平面a、/，下列命题正确的是（）

A.若/_!_〃，mLn,则/〃

B.若/_La,1///3,则a，尸

C.若/_La,/_!_根，则〃〃/a

D.若tz_l■?，a^\/3=m,/_!_“?，贝！|/_L£

【例2】（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）如图，在正方体中，。为底面的中心，P为

所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则满足的是（）

NM

[例3]（2024・广东佛山•一模）（多选）已知直线。，b与平面。，B,y,能使。，尸的充分条件是

（）

A.,01了B.ally,01y

C.a^\/3=b,：_L1，auaD.a/lb,b.Lj3,aua

【例4】设加、〃是两条不同的直线，aA是两个不同的平面，给出下列命题

①若徵_La,nila,则加_L〃.②若机_L〃，nila,则根_La.

③若m_La,alip,则根_L£.④若机_La,m上0,则。〃力.

其中正确命题的序号是（）

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③

【例5】设加、〃是两条不相同的直线，。、夕是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）

A.若？n_La,nil[3,allP,则m

B.若nila,n【0,则a_L/?

C.若根、〃是异面直线，m^a,mlIp,〃u。，nila,则a〃6.

D.若机_L〃，m^_/3,则〃〃夕

【例6】（2024.贵州遵义.二模）已知平面见£,/满足a，尸，尸，/以，7,下列结论正确的是（）

A.若直线贝I"〃?或〃/7

B.若直线///戊，贝I"与£和/相交

C.若lua,贝！|且/

D.若直线/过空间某个定点，则与必民7成等角的直线/有且仅有4条

【巩固练习1]（2024•广东惠州•一模）已知/、力是两条不同的直线，a、£是不重合的两个平面，

则下列命题中正确的是（）

A.若a〃尸，Iua,nu/3,贝!]/〃/B.若e_L尸，Zea,贝！|/J_£

C.若/〃e,al/3,贝!]/_L£D.若/_Lc,1\\/3,则a，尸

【巩固练习2】（2024.黑龙江.模拟预测）（多选）设a,。表示两条互不重合的直线，a,£表示两

个互不重合的平面，则下列命题正确的是（）.

A.a1。,blla,all/},则；_L,B.aVa,allb,aL/3,则b//2

C.a±a,b^/3,a〃夕，贝l]a//6D.alia,allb,aL/3,则b_L尸

【巩固练习3】设加，"是两条不同的直线，a,尸是两个不同的平面.则下列说法错误的是（）

A.m±n,mLa,nL（3,则a-L尸

B.若m〃n,m1a,n〃/3,则tz_L尸

C.若m〃a,n〃（3,则tz〃尸

D.若m〃n,m上a,n10,则e〃?

【巩固练习4】（2024•湖南•三模）已知机，〃是两条不重合的直线，a,夕是两个不重合的平面，下列

命题正确的是（）

A.若mlla,nllp,alip,则m//n

B.若加ue,nca,mH13,nilP,则all（3

C.若加_Lc,a_LQ，贝！|w_L£

D.若“Z-Ltz,"-L尸,m-L〃，则e-L尸

【巩固练习5】设机，"是空间两条不同的直线，。，£是空间两个不同的平面•给出下列四个命题:

①若m//a,nlI/3,a//p,则相〃〃；

②若e_L尸，m，[3,m^a,则根//a；

③若mLa,a〃°,则〃///；

④若a_L〃，a[\f3=l,ml/a,m±l,则机_L/7.

其中正确命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【题型2】线面垂直证明

基础知识

解决思路：通过线面垂直的判定定理证明直线/与平面a垂直时，关键是在平面a内找到两条与直

线/垂直的相交直线，并证明.

步骤

第一步：证明直线,与平面a内两条相交直线都垂直.

第二步：通过线面垂直的判定定理证明直线,与平面a垂直.

第三步：通过线面垂直的性质证明直线,与平面夕内的直线7”垂直.

【例1】如图，在四棱锥P—ABCD中，上4J_平面ABC。，底部ABC。为菱形，E为C。的中点.

求证：2。_1平面外（?；

【例2】如图，4B是圆的直径，平面R1C，面ACB,S.AP1AC.

求证：3C_L平面PAC；

【例3】（2024・四川乐山.三模）如图，平行六面体ABO-ABCQi中，底面A3C0是边长为2的菱

形，且/a4D=60。，A4,=",/41AB=幺池,期与平面A3CD所成的角为45。,AC与80交于O.

证明：A。，平面ABCD；

【巩固练习11（2023•北京・高考真题）如图，在三棱锥尸-ABC中，尸平面ABC,

PA=AB=BC=1,PC=y[3.

⑴求证：3cl平面RLB；

（2）求二面角A—PC—3的大小.

【巩固练习2]（2024・高三•湖北武汉•开学考试）如图，在三棱锥尸-ABC中,

PA=BC=2区PC=AB=6,PB=屈,ZABC=90",。为AC上的动点.

若AD=6，求证：PDJ■平面ABC;

【巩固练习3]

【题型3】证明面面垂直

基础知识

面面垂直的主要证明方法是利用线面垂直图面面垂直.

证明时，先从现有的直线中寻找其中一个平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助

线来解决.

文字语言图形语言符号语言

面面垂直判定一^个平面过另一b-La]

，=>aJ_夕

个平面的垂线，则bu队

这两个平面垂直

【例1】(2020•全国•高考真题)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AABC是底面的内

接正三角形，P为。。上一点，ZAPC=90°.

(1)证明：平面E4B_L平面B4C；

【例2】（2023•全国甲卷•高考真题）如图，在三棱柱ABC-A4G中，，平面ABC,NACB=90。.

（1）证明：平面ACC[A]_L平面B4GC

【例3】如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A2CD为正方形，底面ABC。，PA=AB=2,E为

线段尸2的中点，尸为线段8C上的动点，证明：平面AEFL平面BBC

【例4】（24-25高三上•广东肇庆•阶段练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CO为菱形,

^DAB=60°,△BID是边长为2的等边三角形，PB=娓.

证明：平面上4£＞，平面ABCD

【巩固练习1]（2022•全国乙卷・高考真题）如图，四面体ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E为AC的中点.

⑴证明：平面5ED_L平面ACD；

【巩固练习2】(2021•全国新H卷•高考真题)在四棱锥Q-ABC。中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=y/5,QC=3.

Q

(1)证明：平面QADJ■平面ABCD；

【巩固练习3】(2024•广东广州・模拟预测)如图，四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是平行四边形,

△PAD是正三角形，ZBAD=60°,PB=AB=2AD=4.

(1)证明：平面R4D_L平面ABC。;

【题型4】已知面面垂直证其他垂直

基础知识

文字语言图形语言符号语言

面面垂直性质两个平面垂直，则一a工P

ac(3=a

个平面内垂直于交，=Z?J_a

bu0

线的直线与另一个

b-La

平面垂直

【例1】（2021•全国新I卷・高考真题）如图，在三棱锥A-3CD中，平面ABD_L平面BCD,AB=AD,

。为8。的中点.（1）证明：CM1CD；

【例2】（2024•广东佛山•一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面上平面ABCD,AB//CD,

ZADC=90°,PA±PB,PA=PB.

（1）求证：平面上4D_L平面P3C；

【例3】如图，在三棱台A8C-A£G.中，AB±BC,BBl±AC,平面，平面ABC.

求证：8耳，平面ABC；

【巩固练习1X2024•广东•二模）如图，三棱柱ABC-A4G的底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,

侧面ACGA是菱形，ZA,AC=60°,AC=2,平面ABC，平面.

【巩固练习2】（2024・陕西西安•三模）在四棱锥P-A8CD中，平面皿）_L平面ABC。，AB//CD,

AB±BC,DC=BC=2,AB=4.

P

证明：BDLAP.

【巩固练习3】（2024•高三・河南•开学考试）如图，在三棱锥尸-ABC中，。为AC的中点，平面PO3L

平面ABC,△ABC是等腰直角三角形，ABLBC,AC=PA=EPB=6

证明：PA=PC；

【题型5】证明异面直线垂直

基础知识

【方法技巧】异面直线的垂直证明如果能建系就优先考虑建系，建系法思路简单且计算量小，而几

何法如果不熟练就容易卡壳

三线合一（有等腰三角形就必用）

共面n«勾股定理（题目中线段数据多）

Yi先看两直线位置关系,

其他（初中平面几何学习的其他垂直证明方法）

、异面=>考虑用线面垂直推导异面垂直n找重垂线=>在重垂线对应平面内找垂直

【例1】（2023•全国新H卷•高考真题）如图，三棱锥A—3CD中，DA=DB=DC,BD1CD,

ZADB=ZADC=60°，E为BC的中点.（1）证明：BCLDA-,

【分析】根据题意易证平面ADE,从而证得BC_LZM；

【详解】连接AE,DE,因为E为中点，DB=DC,所以。EL3c①，

因为==ZADB=ZADC=6ff，所以AACE>与△ABD均为等边三角形,

：.AC^AB,从而AE_L8C②，由①②，AE^DE^E,AE,£>Eu平面ADE,

所以，平面ADE,而ADu平面ADE,所以3c_LD4.

【例2】（杭州二模）在三棱锥S-ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，

Z5AB=ZSC5=ZABC=90°.求证：ACVSB

【例31（2021・全国甲卷・高考真题）已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面为正方形，AB=BC=2,

E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱A片上的点.BF1A,B,

(1)证明：BFLDE-,

【巩固练习11（2024•全国新H卷・高考真题）如图，平面四边形A2CD中，AB=8,CD=3,AD=5y[3,

___2__.__,i__,

ZADC=90°,/BAD=30°,点E,尸满足=AF=^AB,将沿跖翻折至！尸,

使得PC=4g.⑴证明：£F±PD；

【巩固练习2】（2022•全国甲卷・高考真题）在四棱锥P-ABCD中，尸£）_1_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

P

⑴证明：BD±PA；

【巩固练习3】（2022•浙江•高考真题）如图，已知ABCD和CDE尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角P—OC—3的平面角为60。.设N分

别为AE,8C的中点.

（1）证明：FNLAD；

【巩固练习4】（2021•浙江•高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,

ZABC=120°,AB=1,BC=4,PA=y/15,M,N分别为BC,尸C的中点，PD±DC,PM±MD.

（1）证明：AB±PM；

【巩固练习5】（2024•广东深圳•模拟预测）如图，PA.PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC.

(1)证明：PAA.BC-,

【巩固练习6】（2020•浙江•高考真题）如图，三棱台4BCTE尸中，平面ACED，平面ABC,

ZACB=ZACD^45°,DC=2BC.

(I)证明：EFLDB-,

【题型6】线面垂直的存在性问题探究

基础知识

对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、

性质进行推理论证.

【例1】在正三棱柱ABC-A4G中，48=^44,=2,点〃为A片的中点.。是棱8月上一点，且

平面8GM,则筹=.

【例2】如图，在三棱锥尸—ABC中，平面P4c，平面A8C,PA±AC,PA=AB=BC=1,PC=^3,

点加为AC的中点.

R

A

(1)求证：平面尸3C_L平面E4B；

(2)线段PC上是否存在点N,使得PC,平面2MN?若存在，求差的值；若不存在，请说明理由.

【例3】如图，已知三棱柱ABC-A9C'的侧棱垂直于底面，AB=AC,NA4c=90。，点M,N分

别为A3和B'C'的中点.

⑴证明：MN〃平面A4'C'C；

⑵设AB=XA4',当丸为何值时，C7VL平面A'脑V?试证明你的结论.

【巩固练习1】在底面是菱形的四棱锥S-ABCD中，已知AB=AS=«,85=4,过D作侧面

的垂线，垂足。恰为棱BS的中点.

在棱AD上是否存在一点E,使得平面S3C,若存在求DE的长；若不存在，说明理由.

【巩固练习2】(23-24高三上•广东惠州•阶段练习)如图，在五面体ABCDE中，AD_L平面ABC,

ADHBE,AD=2BE,AB=BC.

D

(1)问：在线段CO上是否存在点P,使得尸平面AC。?若存在，请指出点尸的位置，并证明；若

不存在，请说明理由.

【巩固练习3】如图，直三棱柱A3C-A用G，E,尸分别是2C,AA的中点,

⑴求证：AE〃平面37C；

(2)若AB=AC,BC=BBt,在棱CQ上是否存在点尸，使8(，平面总.如果存在，求出点尸的位

置，如果不存在，请说明理由.

【巩固练习4】如图，正三棱柱A3C-A4G中，48=；招=2,点M为A区的中点.

⑴证明：平面平面A41AB

⑵在棱B片上是否存在点Q‘使得平面若存在’求出国的值；若不存在’请说明理

由.

【巩固练习5】如图1,在RtAABC中，ZC=90,D,E分别为AC,AB的中点.将VADE沿DE折起到

△AQE的位置(4与C不重合)，连ACAB,如图2.

(1)求证：平面AQEJL平面4。。；

(2)若平面A.DE与平面A.CB交于过A的直线m,求证DE//m；

(3)线段AB上是否存在点。，使得AC，平面。EQ,若存在，指出。点位置并证明；若不存在，说

明理由.

【题型7】面面垂直的存在性问题探究

基础知识

对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、

性质进行推理论证.

【例1】如图，多面体A5CDE尸是由一个正四棱锥A-3cDE与一个三棱锥产-ADE拼接而成，正

四棱锥A-BCDE的所有棱长均为3&，且AF//CD.

(1)在棱DE上找一点G,使得平面ABC,平面AFG,并给出证明;

[例2](2024•黑龙江•二模)如图，在直角梯形ABCDAB//CD,ZABC=90°,AB=3DC=3BC,

DELAB千E,沿。E将VADE折起，使得点A到点P位置，NPEB=90°,N是棱8C上的动点(与

点、B,C不重合).

(D判断在棱尸8上是否存在一点使平面平面PBC,若存在，求一；若不存在，说明

理由;

【例3】(23-24•湖南长沙•开学考试)如图，在四棱锥0-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面QA。

是正三角形，侧面QADJ■底面ABC。，M是。。的中点.

⑴求证：4加_1平面。8；

BN

(2)在棱8。上是否存在点N使平面ACVL平面ACM成立？如果存在，求出质;如果不存在，说

明理由.

【巩固练习1]

【巩固练习2】如图，三棱柱ABC-A4cl的底面是等腰直角三角形，ZACB=90S侧面ACGA是

菱形，ZAlAC=60°,AC=4,平面ABC,平面ACGA.

(1)证明：AC±ABt-

(2)求点G到平面AB耳A的距离；

(3)线段Ag是否存在一点。，使得平面平面A8与片，如果存在找出。点的位置，不存在请

说明理由.

【巩固练习3】如图1,在边长为2的菱形ABCD中，NBAOMGOO,OE，AB于点E,将VADE沿DE

折起到△ADE的位置，使如图2.

图1图2

(1)求证：4石，平面BCDE；

(2)求二面角5-AD-8的余弦值;

BP

(3)在线段8。上是否存在点P,使平面4砂，平面ABP?若存在，求出的值；若不存在，说明

DU

理由

【题型8】异面直线垂直的存在性问题探究

基础知识

通过构造一个和直线垂直的平面来得到N的轨迹或位置

【例1】如图，四棱锥尸-ABCD的底面是边长为2的菱形，且Z4BC=60。，侧面BIB是正三角形,

M是尸。上一动点，N是8的中点.

(1)若PC〃平面求证：M是PO的中点；

⑵若平面平面A3CD,求线段尸C的长；

(3)是否存在点M、使得