立体几何的轨迹问题（学生版）-2024年高考数学一轮复习突破卷

专题突破卷21立体几何的轨迹问题

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已知平行求轨迹

,已知垂直求轨迹

立

轨

体

迹

几已知定长求轨迹

向

何

圈

的'已知定角求轨迹

\翻折过程求轨迹

二S型突破

1.已知平行求轨迹

1.在棱长为1的正方体Z3CD-4片G2中，E在棱上且满足2石=切，点厂是侧面上的动点,

且。///面AEC,则动点F在侧面ABB.A,上的轨迹长度为.

2.如图，在正三棱柱A8C-44。中，AB=AAX,D,E分别为44-/C的中点.若侧面MgC的中心

为0,"为侧面MGC内的一个动点，0/勿//平面区0£,且M的轨迹长度为3TL则三棱柱48C-48cl

的表面积为.

A

3.如图，在三棱柱NBC—4与。中，M为Afi的中点N为侧面8CG耳上的一点，且M7V7/平面/台。，若

C.AB1=6D.B1C=6

4.如图，正方体/3C。-44GA的棱长为2,£是棱。，的中点，平面48E截正方体/3C。-4用GA所

得截面图形的周长为，若尸是侧面CDQG上的动点，且满足用尸〃平面4台£,则点尸的轨迹长度为.

5.如图，正方体/BCD-44aA的棱长为1,点E是线段。。的中点，点〃是正方形所在平面内

一动点，若2"〃平面4BE,则M点轨迹在正方形耳3CG内的长度为.

6.如图所示，在棱长为2的正方体4BCO-4月中，E,F,G分别为所在棱的中点，P为平面BCC4内

（包括边界）一动点，且2尸〃平面EFG,则P点的轨迹长度为

2.已知垂直求轨迹

7.如图，正方体力及⑦-4片GA的棱长为2,点M是棱4G的中点，点尸是正方体表面上的动点.若

DM1QP,则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹的长度为（）

BC

A.V2+75B.272+75

C.V2+2V5D.2V2+2V5

8.（多选）如图，已知直四棱柱48。-斯G/7的底面是边长为2的正方形，CG=TM,点M为CG的中点,

点尸为底面EFG〃上的动点，则（）

TT

A.当机=2时，存在唯一的点尸满足=5

B.当加=2时，存在点尸满足尸/+尸〃=4

C.当机=冥1时，满足力M的点尸的轨迹长度为逆

33

D.当加=2叵时，满足，尸，4/的点P轨迹长度为皿况

33

9.（多选）如图，正方体/BCD-44c.的棱长为3,动点M在侧面内运动（含边界），且

町，儿仁，则（）

A.点M的轨迹长度为3也B.点M的轨迹长度为2G

C.AM+BM的最小值为3、+2屈D.AM+BM的最小值为30十台&

2

10.如图，圆锥的轴截面”3是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点尸在圆锥底

面内（包括圆周）.若则点尸形成的轨迹长度为，点S与尸距离的最小值是

II.如图，在矩形Z8CD中，AB=42AD=4,E,F,G,H分别为4B,BC,CD,的中点，AC

与2。交于点。，现将△/£〃，ABEF,△CFG,ADGH分别沿EH,EF,FG,把这个矩形折成一

个空间图形，使A与。重合，B与C重合，重合后的点分别记为M,N,。为MN的中点，则多面体肱VMG”

的体积为；若点尸是该多面体表面上的动点，满足尸。，。可时，点尸的轨迹长度为

12.（多选）正方体ABCD-4用GA的棱长为3,点。是正方体表面上的一个动点，点P在棱阳上，且尸G=1,

则下列结论正确的有（）

,—4

A.若。在侧面内，且保持尸。=屈，则点。的运动轨迹长度为§兀

B.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2M

C.若PQ1B],则点。的轨迹长度为9a

D.当。在，点时，三棱锥片-3P的外接球表面积为丁

3.已知定长求轨迹

13.已知正方体/BCO-HB'C'D'的棱长为1,点尸在该正方体的表面上运动，且/M=&则点P

的轨迹长度是.

14.在棱长为1的正方体/BCD-N4G。中，点。为侧面83CC内一动点（含边界），若D©=%则点

Q的轨迹长度为.

15.（多选）己知正方体/BCD-44GA的棱长为2,M为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）

A.若"为线段4C上任一点，则AM与4G所成角的范围为弓，与

B.若V在正方形。CCQ内部，S.\MB\=y[6,则点M轨迹的长度为日兀

C.若M为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为既

D.若三棱锥M-8OG的体积为不/九0。=9恒成立，点M的轨迹为椭圆或部分椭圆

36

16.已知正方体ABCD-4且的棱长为3,动点尸在△鸡C内，满足2P=9，则点尸的轨迹长度为.

17.几何中常用国表示£的测度，当£为曲线、平面图形和空间几何体时，阳分别表示其长度、面积和体积.

A/BC是边长为4的正三角形，P为“8C内部的动点（含边界），在空间中，到点尸的距离为1的点的轨

迹为乙，则图等于（）

A.8^/3B.——卜也C.671+85/3D.——I-8^/3

18.（多选）如图，在棱长为2的正方体/BCD-44GA中，点分别是棱和的中点，点厂在

正方形Z8CD内运动，则下列选项正确的是（）

A.直线MC与直线AN是异面直线

B.与面48a）所成角小于30。

C.点M与点G到面ACD,的距离相等

D.若点尸到点4的距离为孥,则动点尸的轨迹长度为竿.

4.已知定角求轨迹

19.如图，正方体/BCD-44GA的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线8P与下底面

ABCD所成角为60。的点尸的轨迹长度为（）

C.V3

20.如图，点尸是棱长为2的正方体/8CD-44CQ1表面上的一个动点，直线力尸与平面28。所成的角为

C.2也D.3亚+兀

21.已知正方体/BCD-的棱长为2,M为棱4G的中点，N为底面正方形/BCD上一动点，且直

7T

线儿W与底面ABCD所成的角为§,则动点N的轨迹的长度为.

-JT

22.已知4民CP是半径为2的球面上的四点，且==二面角0―8。-/的大小为二,

4

则点尸形成的轨迹长度为

23.已知正方体4GA的棱长为2,E为CD的中点，且点P在四边形8CC4内部及其边界上运

动，（1）若总是保持EP〃平面AD。4,则动点尸的轨迹长度为；（2）若总是保持HP与N2的夹角为

30°,则动点尸的轨迹长度为.

24.如图，已知正三棱台“8C-4耳G的上、下底面边长分别为4和6,侧棱长为2,点尸在侧面8CC4内

运动（包含边界），且4尸与平面8CG4所成角的正切值为c，则所有满足条件的动点尸形成的轨迹长度

y/llt2?t

D.

T

5.翻折过程求轨迹

25.如图，在长方形ABCD中，AB=J§,BC=1,E为线段DC上一动点，现将'AED沿AE折起，使点D

在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为一

26.在矩形/BCD中，AB=^3,AD=1,点£在CD上，现将△/££）沿/£折起，使面面N3C,

当石从。运动到C,求点。在面4BC上的射影K的轨迹长度为（）

A亚B.孚„兀

A.------D.-

23

27.如图所示，在平行四边形/BCD中，E为AB中点,DE1AB,DC=8,DE=6.沿着将折

起，使A到达点H的位置，且平面平面3CDE.若点P为AHDE内的动点，且满足/£尸8=尸C,

28.如图，已知菱形Z8CD中，48=2,NR4D=120°,E为边的中点，将沿4E翻折成

（点四位于平面Z8CD上方），连接耳C和片。，尸为4。的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是

①平面ABiEL平面片£。②/瓦与CF的夹角为定值三

③三棱锥4-体积最大值为迈④点尸的轨迹的长度为g

32

A.①②B.①②③C.①②④D.②③④

29.在矩形48a）中，£是的中点,AD=\,AB=2,将沿。£折起得到,设/'C的中点为

M,若将AHDE绕。E旋转90。，则在此过程中动点M形成的轨迹长度为.

"限时训炼

[-I

1.如图，正方体/BCD-4片的棱长为2,点E是线段的中点，点〃是正方形48CG所在平面内

一动点，若。〃//平面4瓦？，则M点轨迹在正方形为BCG内的长度为.

2.已知面积为2g的菱形/BCD如图①所示，其中/C=2,E是线段的中点.现将△D4C沿NC折起,

使得点。到达点S的位置.

S

图①图②

2兀

⑴若二面角S-AC-B的平面角大小为y,求三棱锥S-ABC的体积；

jr27r

(2)若二面角S-4C-5的平面角y,y，点尸在三棱锥的表面运动，且始终保持跖工/C,求点尸的

轨迹长度的取值范围.

3.如图，在正方体48CD-4片G4中，48=2,E为棱。口的中点，尸是正方内部(含边界)

的一个动点，且男尸〃平面43E,

(1)求动点尸的轨迹长度

(2)求平面A.BE与平面48CD夹角的正切值

4.如图，在四棱锥P-A8GD中，APC。为正三角形，底面为正方形，且边长均为1.平面PCD，平面

ABCD,M为底面内一动点.当4W=尸M时，M点在底面内的轨迹长度为.

5.如图，在长方形48CD中，AB=2,BC=4,£为8c的中点，将△A4E沿4E向上翻折到△尸/E的位

置，连接尸C,PD,在翻折的过程中，以下结论错误的是（）

A.四棱锥尸-/EC。体积的最大值为2血

B.尸。的中点厂的轨迹长度为叵

2

C.EP,CD与平面P/D所成的角相等

D.三棱锥尸-NED外接球的表面积有最小值16兀

6.如图，在直三棱柱NBC-NEG中，BC=Cq=3,AC=4,AC1BC,动点P在△/向。1内（包括边

界上），且始终满足8尸，/4,则动点P的轨迹长度是.

7.已知四棱柱/3CD-4用GA的底面/BCD为正方形，侧棱与底面垂直，点P是侧棱。。上的点，且

。「=2尸4，叫=3,/3=1.若点。在侧面8。6耳（包括其边界）上运动，且总保持则动点。的

轨迹长度为（）

AD

BiCi

A.6B.V2C.迈D.旦

32

8.己知正方体/BCD-44aA的棱长为4,点尸在该正方体的表面上运动，且以=4近，则点尸的轨迹

长度是,

9.（多选）如图，正方体Z5C。-44GA的棱长为2,E是">1的中点，尸是侧面44QQ内的一个动点（含

边界），且加〃平面4°£，则下列结论正确的是（）

A.平面ACE截正方体44GA所得截面的面积为彳9

B.动点尸的轨迹长度为行

C.台月+月，的最小值为3也

D族与平面叱所成角的正弦值的最大值为半

10.（多选）已知图所示的正方体/2CO-42/G2的外接球表面积为12兀，点P在正方体的对角面

内（包括边界），则下列说法正确的是（）

A.若4尸〃平面小CQ,则尸的轨迹长度为几

B.若平面4。。，则P的轨迹长度为2百

C.若点P到平面AiBQQi的距离与到点B的距离相等，则P的轨迹是椭圆的一段

D.PN+PN/的最4、值为26

11.正方体/BCD-44GA的棱长为3,点、E,尸分别在线段和线段上，且。E=2ED,

/尸=2"|,点M是正方形所在平面内一动