2025年中考数学一轮知识梳理难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）原卷版

难点与新考法07二次函数与线段、面积、角度问题（5大热考题型）

题型一：抛物线与动直线交点问题

题型二：抛物线与动线段交点问题

题型三：二次函数与线段问题

题型四：二次函数与面积问题

题型五：二次函数与角度问题

题型一：抛物线与动直线交点问题

将二次函数和一次函数表达式联立,得到一元二次方程,根据一元二次方程根的判别式的值与0的大小关系来

判断抛物线与直线的交点情况

b2-4ac>0↔抛物线与直线有两个交点;

b2-4ac=0↔抛物线与直线有一个交点:

b2-4ac<0↔抛物线与直线没有交点

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·河南开封·二模）已知二次函数yx2mxn的图象经过点A1,0和D5,8，与x轴的另

一个交点为B，与y轴交于点C．

(1)求二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)将二次函数yx2mxn的图象在点C，D之间的部分（包含点C，D）记为图象G．已知直线l：

3b

yxb恒过点，当直线l与图象G有两个公共点时，请直接写出b的取值范围；

2

2,3

(3)在第（2）题的条件下，b取最大值时，将直线l向下平移，交抛物线于点和点，交线段

��1,�1��2,�2

BC于点Mx3,y3，结合函数的图象，求x1x2x3的取值范围．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数y=x+3的图

1

像与函数y的图像交点的横坐标可视为方程x23x1的根．

x

1

(1)函数yxb的图像与函数y的图像有两个不同交点，求b取值范围．

x

(2)已知二次函数yx22mx1（m为常数）．

①设直线y2x1与抛物线yx22mx1有两个不同交点，求m取值范围．

②已知点A2,1、B2,1，若抛物线yx22mx1与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值

范围．

2．（2024·江苏南通·一模）已知抛物线ymx22mxn（m，n为常数，m0）与x轴交于A，B两点（点

A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，AB4．

(1)求3mn的值；

(2)如图，连接BD交AC于点E，求证：BE2DE；

(3)设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作MN∥x轴，交直线AC于点N．由线段MN

长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．

3．（2024·江苏无锡·一模）已知二次函数yax24xc的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C．一次函

数yx32的图象经过点B，C．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若二次函数yax24xc的图象与平行于x轴的直线l始终有两个交点D，E（点D在点E的左侧），P

为该抛物线上异于D，E的一点，点E，P的横坐标分别为m，m1．当m的值发生变化时，PDE的度

数是否也发生变化？若变化，请求出PDE度数的范围；若不变，请说明理由；

(3)过点A的直线交直线BC于点M，连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于ACB的2倍时，求出点

M的坐标．

4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数yx22mxm21的图象为抛物线C，一次函数ykx6kk0

的图象为直线l．

(1)求抛物线C的顶点坐标（用含m的式子表示）；

(2)若直线l与抛物线C有唯一交点，且该交点在x轴上，求k的值；

1

(3)当k时，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线与抛物线C有两个交

2

点，其中在抛物线对称轴左侧的交点记为点P，当OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．

题型二：抛物线与动线段交点问题

1.动线段在x轴上(点C在点D左侧)

交点情况无交点有一个交点有两个交点

图示

满足条件动线段CD在点A左侧或点D(或点C)在AB之间点C在点A左侧且点D在点B

在点B右侧右侧

2.动线段在直线上(点C在点D上方)

交点情况无交点有一个交点有两个交点

图示

满足条件点D在点A上方或点C点D(或点C)在AB之间点C在点A上方且点D在

在点B下方点B下方

3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧)

交点情况无交点有一个交点有两个交点

图示

满足条件点C在点A下方或点C在点点C在点A或CD经过点M点C在点B处或点C在点B

M上方处或点C在点A上方且在上方且在点M下方

点B下方

【中考母题学方法】

【典例2】（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完

美点”．抛物线yax22ax2a（a为常数且a0）与y轴交于点A．

(1)若a1，求抛物线的顶点坐标；

(2)若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3)若抛物线与直线yx交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，

求a的取值范围．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·云南文山·二模）已知抛物线yax22axc（a，c为常数，a0）经过点C0,1，顶点为D．

(1)当a1时，求该抛物线的顶点坐标；

(2)将点F0,3向左平移4个单位得到点H，连接FH，若抛物线与线段FH恰有一个公共点，结合函数图

象，求a的取值范围．

2．（2024·云南昆明·三模）平面直角坐标系中，抛物线yax23ax1与y轴交于点A．

(1)求点A的坐标及抛物线的对称轴；

(2)已知点P(0,2)、Q(a2,1)，若线段PQ与抛物线只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

1

3．（2024·山东菏泽·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-（a<0）与y轴交于

a

点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

(1)求点B的坐标（用含a的式子表示）．

(2)当B的纵坐标为3时，求a的值；

11

(3)已知点P,，Q2,2，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象求出a的取值范围．

2a

4．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc与直线AB相交于A，

B两点，点A的坐标为0,1，点B的坐标为3,4．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求PAB面积的最大值．

(3)点C4,m在直线AB上，将线段AC沿着y轴向上或向下平移，点A和点C的对应点分别为点A和点C，

为使平移后的线段AC与抛物线只有一个公共点，设点A的纵坐标为n，求n的取值范围．

2

5．（2024·河北·模拟预测）如图，抛物线L:yx2mx2m2，M为抛物线的顶点，点P是直线l1:yx2

上一动点，且点P的横坐标为m．

(1)求点M的坐标（用含m的式子表示）；

(2)连接PM，当线段PM与抛物线L只有一个交点时，求m的取值范围；

(3)将抛物线上横、纵坐标互为相反数的点定义为这个抛物线上的“互反点”．若点Pm,1．

①求抛物线L的解析式，并判断抛物线上是否有“互反点”，若有，求出“互反点”的坐标．若没有，请说明

理由；

2

②若点Qn,0为x轴上的动点，过Q作直线l2x轴，将抛物线L:yx2mx2m2xn的图象记为W1，

将W1沿直线l2翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“互反点”时，直接写出n的取

值范围．

题型三：二次函数与线段问题

第一步:设点坐标及坐标表示

第二步:表示线段长

第三步:根据线段长度或者数量关系列方程求解

【中考母题学方法】

【典例3】（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0，

B3,0两点，与y轴交于点C，作直线BC．

(1)求抛物线的解析式．

(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQBC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在

最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN2，若线

段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围．

【变式3-1】（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象交x轴于

A1,0，B两点，AB4，C为抛物线顶点．

(1)求b，c的值；

(2)点P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PQx轴，垂足为点Q，交AC于点M，是否存在

QM3PM？若存在，求出此时P点坐标；若不存在，请说明理由；

1

(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CNAN的最小值．

2

【变式3-2】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A1,0和点B，与y轴

交于点C0,4，其顶点为D．

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点M，使得BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点E在以点P3,0为圆心，1为半径的P上，连接AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，

连接BF．求BF的取值范围．

【变式3-3】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数yx2c的图像经过点A2,5，点，

1122

是此二次函数的图像上的两个动点．��,���,�

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PCx轴于点C，

S

,,△PDQ

交AB于点D，连接ACDQPQ．若x2x13，求证的值为定值；

S△ADC

(3)如图2，点P在第二象限，x22x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x11，过点M作MNx轴于

点N，求线段MN长度的最大值．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·山西太原·模拟预测）综合与探究

39

如图1，二次函数yx2x3的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P

44

是y轴左侧抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交y轴于点D，交抛物线

于另一点E．

(1)求点A，B，C的坐标．

(2)如图2，当点P在第二象限时，连接BC，交直线PE于点F．当PFEF时，求m的值．

(3)当点P在第三象限时，以BD为边作正方形DBMN，当点C在正方形DBMN的边上时，直接写出点D的

坐标．

2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，直线yx3与x轴、y轴分别交于点B，A，抛物线ya(x2)2k

经过点A，B，其顶点为C．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)求VABC的面积；

(3)点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PDy轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及

此时点P的坐标．

3．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2bxc与x轴交于A1,0和B3,0，

点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当VBDE为直角三角形时，求线段DE的长度；

(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得ACP45，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线ykx4与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于

点C，抛物线yx2bxc经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．

(1)求k的值及抛物线的解析式．

(2)如图①，若点D为直线AC上方抛物线上一动点，当ACD2BAC时，求D点的坐标；

(3)如图②，若F是线段OA的上一个动点，过点F作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点G、

E，连接CE．设点F的横坐标为m．

①当m为何值时，线段EG有最大值，并写出最大值为多少；

②是否存在以C，G，E为顶点的三角形与AFG相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理

由．

5．（2024·山西·模拟预测）综合与探究

21

如图，在平面直角坐标系中，抛物线yaxxc与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴

4

交于点C，连接AC．已知点B(3,0)，C(0,3)．

(1)求该抛物线的表达式及直线AC的表达式．

(2)D是直线AC上方抛物线上的一动点，过点D作DPAC于点P，求PD的最大值．

(3)在（2）的条件下，将该抛物线向左平移5个单位长度，M为点D的对应点，平移后的抛物线与y轴交

于点N，Q为平移后抛物线的对称轴上的任意一点．直接写出所有使得以QN为腰的QMN是等腰三角形

的点Q的坐标．

6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线ykx与抛物线yax2c交于A8,6，B

两点，点B的横坐标为2．

(1)求直线AB和抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，

连接PO，设点P的横坐标为m；

①若点P在x轴上方，当m为何值时，△POC是等腰三角形；

②若点P在x轴下方，设△POC的周长为p，求p关于m的函数关系式，当m为何值时，△POC的周长

最大，最大值是多少？

7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A6,0，与y轴交于点B0,6，

抛物线经过点A，B，且对称轴是直线x1．

(1)求直线l的解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作PCx轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作PMl，

垂足为M．求PM的最大值及此时P点的坐标．

题型四：二次函数与面积问题

一、面积问题的解题步骤

第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等

第二步：根据点坐标表示出线段长

第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形

与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。

二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法:

1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB交抛物线于点P,则sPABsOAB

sPAQAQ

2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点P,与AB交于点Q,则

sPBQBQ

3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积如图③,直线!经

过点A和BC的中点P,则

sACPsABP

【中考母题学方法】

【典例4】（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交

于点C，其中A2,0,C0,2．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面积是△CDB的面

积的2倍，求点P的坐标．

【变式4-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点，与y

轴交于点C，其中B1,0，C0,3．

(1)求抛物线的解析式．

(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC

的面积最大值；若不存在，请说明理由．

【变式4-2】（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数yax2bxca0的图象与x轴分别交于点

A1,0，B3,0，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点．

�0,−3

(1)求二次函数的表达式；

(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；

(3)设P的横坐标为m，Q的横坐标为m1，试探究：△OPQ的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最

小值，若不存在，请说明理由．

【变式4-3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-2x2+bx+c与x轴相交

于A1,0，B两点（点A在点B左侧），顶点为M2,d，连接AM．

(1)求该抛物线的函数表达式；

1

(2)如图1，若C是y轴正半轴上一点，连接AC,CM．当点C的坐标为0,时，求证：ACMBAM；

2

(3)如图2，连接BM，将ABM沿x轴折叠，折叠后点M落在第四象限的点M处，过点B的直线与线段AM

BD8

相交于点D，与y轴负半轴相交于点E．当时，3S△与2S△是否相等？请说明理由．

DE7ABDMBD

【中考模拟即学即练】

1

1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交

2

于点C，点A的坐标为1,0，点C的坐标为0,3，连接BC．

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．

2．（2024·甘肃·模拟预测）如图，抛物线yax2bxca0的图象经过A1,0，B3,0，D4,6三点．

(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标；

(2)在直线AD下方的抛物线上是否存在一点E，使△AED的面积最大，若存在，求出点E的坐标和△AED的

最大面积；

(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四

边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2024·四川乐山·模拟预测）已知二次函数yx2ax2a2（a0）与x轴交于A、B两点，与y轴交

于C，顶点为D．

(1)如图①，若VABC为直角三角形，求a的值；

SMAC

(2)如图②，设与BC交于M，在a的变化过程中，VABC与△ABD不重合部分的面积比的值是否

SMBD

为定值，若是，�求�出这个定值，若不是，说明理由；

(3)如图③，若a2，作OA的中点N，过点N在第二象限内作x轴的垂线段EN9，以NA、NE为邻边作

矩形ANEF，记矩形ANEF与ACD重叠部分的面积为S，矩形ANEF以每秒1个单位长度的速度向右运动，

当AF经过D点时，停止运动．设运动时间为t，求S与t的函数关系式，并写出相应的自变量取值范围．在

运动过程中，S是否存在最大值，若存在，直接写出这个最大值．

4．（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数yx2bxc经过A，B两点，BCx轴于点C，且点

A1,0，C4,0，ACBC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度

最大时，求点E的坐标及S△ABF；

(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使ABP成为直角三角形？若存在，求出所有

点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：yax22ax3aa0与x轴

交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．

(1)求线段AB的长；

(2)当a1时，若ACD的面积与△ABD的面积相等，求tanABD的值；

(3)延长CD交x轴于点E，当ADDE时，将ADB沿DE方向平移得到AEB．将抛物线L平移得到抛物

线L，使得点A，B都落在抛物线L上．试判断抛物线L与L是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；

若不是，请说明理由．

6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线yx2bxc与直线yx2相交于A2，0,B3,m两点，

与x轴相交于另一点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A,B重合），过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于

点E，当PE2ED时，求P点坐标；

(3)抛物线上是否存在点M使ABM的面积等于VABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若

不存在，请说明理由．

7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线yx2bxc与x轴交于点A3,0和点B，与y轴交于点

C0,3，点D在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点D在第二象限内，且ACD的面积为3时，求点D的坐标；

(3)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐

标；若不存在，请说明理由．

8．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数yax2bxc的图像经过0,3，b,c两点，其中a，b，c

为常数，且ab0．

(1)求a，c的值；

(2)若该二次函数的最小值是4，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点

S△PCE3

E，连接PC，CB，BE．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明

S△CBE8

理由．

9．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1,0)，

B(2,0)两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当点D在直线BC下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点D的横坐标为t，DE的

长为l，请写出l关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围；

S△DEF

(3)连接AD，交BC于点F，求的最大值．

S△AEF

题型五：二次函数与角度问题

1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°)

第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形

第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题

第三步：结合锐角三角函数值列方程求解

2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助

圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点.

【中考母题学方法】

【典例5】（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线yx2bx3与x轴交于点A1,0和点B，

与y轴交于点C．

(1)求b的值；

(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，MABACO，求点M的横坐标；

(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，NC的

长为d．

①求d关于n的函数解析式；

②L与x轴围成的区域记为U，U与ABC内部重合的区域（不．含．边．界．）记为W．当d随n的增大而增大，

且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．

【变式5-1】（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yax2bx1（a、b为

常数，a0）．

(1)若抛物线与x轴交于A(1,0)、B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；

(2)如图，当b1时，过点C(1,a)、D(1,a22)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接MN、MD．求

证：MD平分CMN；

(3)当a1，b2时，过直线yx1(1x3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H．若GH的最大

值为4，求b的值．

【变式5-2】（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线yx2bx4经过点、B1,0，交y轴于点C0,4，

�−4,0

点P是抛物线上一动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P的坐标为2,6时，求四边形AOCP的面积；

(3)当PBA45时，求点P的坐标；

(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．

【变式5-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，

OBOC3，OA1，顶点为D

(1)求二次函数的解析式；

(2)P为直线BC上方抛物线上一点，求△PBC面积最大值及P点坐标；

1

(3)P为第四象限抛物线上一点，且tanAPC，求出点P的坐标；

2

2

【变式5-4】（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y1axbxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于

点C，OCOA，AB4，对称轴为直线l1:x1，将抛物线y1绕点O旋转180后得到新抛物线y2，抛物

线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．

(1)分别求抛物线y1和y2的表达式；

(2)如图1，点F的坐标为6,0，动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，

DN．求FMMNDN的最小值；

(3)如图2，点H的坐标为0,2，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使PEH2DHE？若存

在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线yax22axc与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），

与y轴负半轴交于点C，且OC3，直线yxb经过B，C两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，点D在抛物线上，满足CAB45BCD，求点D的坐标；

(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线ykxk3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的

TG

中点，求的值．

EF

33

2．（2024·重庆渝北·模拟预测）如图，直线yx3与x，y轴分别交于点A，B，抛物线yx2bxc

44

经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C，点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平

行线交直线AB于点D．

(1)求抛物线的表达式；

3

(2)求PDBD的最大值及此时点P的坐标；

5

32

(3)在点P运动过程中，连接PC，当PC的中点恰好落在y轴上时，连接AP，在抛物线yxbxc上

4

是否存在点Q，使得PABQPA，如果存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明

理由．

3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线yax2bxca0，函数值y和自变量x的部分对应取值如下

表所示，在m，n，p这三个实数中，有两个是正数，且没有负数：

x…32101…

y…4mn4p…

(1)求抛物线的表达式；

(2)该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，D为抛物线上一点．

①若点D在第二象限，过点D作x轴的垂线，垂足为E，设交AC于点F，当DFOE取得最大值时，

求点D的坐标；��

②是否存在点D，使得DABOCB？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

1

4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）如图，已知抛物线yx2bx6与x轴交于A、B两点，与y轴交

2

于点C，并且经过P(1，n)，Q(5，n)两点．

(1)求抛物线的解析式；

DE

(2)点D为直线AC下方抛物线上的一动点，直线BD交线段AC于点E，请求出的最大值；

BE

(3)探究：在抛物线上是否存在点M，使得MAB2OCB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明

理由．

5．（2024·湖南·模拟预测）定义：若抛物线C1沿x轴向右平移m个单位长度得到抛物线C2，那么我们称抛物

2

线C2是C1的“友好抛物线”，m称为“友好值”．如图，抛物线C1:ya(x2)6与x轴交于A8,0,B两点，

抛物线C2是C1的“友好抛物线”，“友好值”为2，抛物线C2与x轴交于A1,B1两点，与y轴交于点C，作直线B1C，

点M是抛物线C2上一动点．

(1)抛物线C2的表达式为_________；

(2)若点M在第四象限，过点M作MQx轴于点Q，交B1C于点P，当PQ2PM时，求MQ的长；

(3)是否存在点M，使得MCB115？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线yx2bxc与轴交于点

15

A(,0)、B两点，与y轴交于点C(0,)，连接BC．

24

(1)求抛物线的解析式；

(2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当△QBC的面积等于VABC面积的2倍时，求此时点Q的坐

标；

(3)如图2，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点．过点D作DEx轴于点E，连接BD，AD交

PB于点F，连接EF，EFB2FBD，探究抛物线上是否存在点M，使MBCCBOAFB180，

若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2024·广东清远·模拟预测）综合探