2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型14四边形中模型、角度与面积（6大热考题型）（原卷版）

难点与解题模型14四边形中模型、角度与面积（6大热考题型）

题型一：中点四边形模型

题型二：十字架模型

题型三：对角互补模型

题型四：半角模型

题型五：四边形中特殊角度问题

题型六：四边形中的面积问题

题型一：中点四边形模型

“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边

形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：

（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）

（一）中点四边形一定是平行四边形

1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形

2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形

3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形

（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和

（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2024·青海·中考真题）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中．点．四．边．形．．数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形是平行四边形．

证明：∵E、F、G、𝐸H𝐹分别是、BC、、DA的中点，

∴EF、GH分别是VABC和�A�CD的中位�线�，

11

∴EFAC，GHAC（____①____）

22

∴EFGH．

同理可得：EHFG．

∴中点四边形是平行四边形．

𝐸𝐹

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

（1）请你补全上述过程中的证明依据①________

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

ACBD菱形

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后．续．的证明过程．

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

ACBD②________

（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．

（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后．续．的证明过程．

【归纳总结】

（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

中点四边形形状

原四边形对角线关系

③________④________

结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．

【典例1-2】（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应

任务．

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F,G,H，

得到的四边形EFGH是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里

尼翁Varingnon，Pierre1654－1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正

方形．

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2，连接AC，分别交EH,FG于点P,Q，过点D作DMAC于点M，交HG于点N．

1

∵H,G分别为AD,CD的中点，∴HG∥AC,HGAC．（依据1）

2

DNDG1

∴．∵DGGC，∴DNNMDM．

NMGC2

∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，∴HE∥GF，即HP∥GQ．

∵HG∥AC，即HG∥PQ，

1

∴四边形HPQG是平行四边形．（依据2）∴SHGMNHGDM．

HPQG2

11

∵S△ACDMHGDM，∴SS△．同理，…

ADC2HPQG2ADC

任务：

(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．

依据2是指：_____________．

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH

为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）

(3)在图1中，分别连接AC,BD得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD长度

的关系，并证明你的结论．

【典例1-3】（2024·江苏泰州·三模）如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的各边上．

【初步认识】

（1）如图1，若AEAHCFCG，则四边形EFGH一定是（）

A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形

【变式探究】

（2）如图2，若AC、BD交于点O，E、H分别是AB、AD上一点，OEOH，AEAH，EO、HO的延

长线分别交在CD、BC于点G、F，求证：四边形EFGH是矩形．

【深入思考】

（3）如图3，若AC、BD交于点O，且AO10，OD5，当AH满足什么条件时，可作出两个不同矩形EFGH，

请直接写出你的结论．

（4）在（3）的条件下，设AHx，AEy，请探索y与x满足的关系式．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·贵州·模拟预测）如图1，已知四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H、依

次连接EF、FG、GH、HE、得到四边形EFGH．

(1)求证:四边形EFGH为平行四边形；

(2)连接AC与BD，当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？

(3)如图2，若四边形ABCD是菱形，则四边形EFGH是什么图形，请说明理由．

【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，已知对角线ACBD，点E，F，G，H

分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，连接EF，FG，GH，HE．求证：四边形EFGH为菱形．

【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·一模）问题提出

如图1，在VABC中，AB12,AC9,DE∥BC．若AD4，则AE的值为__________．

问题探究

如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、相交于点O，E、F、G、H分别为、BC、、的中

点，连接EF、FG、GH、HE．若AC�14�,BD16,AOB60，求四边形�的�面积．𝐶𝐶

问题解决𝐸𝐹

如图3，某市有一块五边形空地ABCDE，其中BAEABCBCD90,AB600米，BC800米，

AE650米，DC400米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园MNGH，使点M、N、G、H

3

分别在边、BC、、AE上，要求AHCN,AMCG,tanBNM,请问，是否存在符合设计要求的

4

面积最大的𝐴四边形花�园�MNGH？若存在，求四边形MNGH面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【变式1-4】（2024·宁夏银川·一模）如图1．在VABC中，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE：

操作1．将VADE绕点E按顺时针方向旋转180到△CFE的位置．

操作2．延长DE到点F，使EFDE，连接CF．

试探究DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？

（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，

．

【结论应用】

（2）如图2，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次

连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH．

①求证：四边形EFGH为平行四边形；

②当AC与BD满足时，四边形EFGH是矩形，当AC与BD满足时，四边形EFGH是菱形.

③若AC16，BD20，AOB60，求四边形EFGH的面积．

【问题解决】

（3）如图3所示，在一个四边形ABCD的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边AB和边CD的中

点，且AABC90，BC6，AD8，求小路PQ的长度．

【变式1-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、

飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识．

如图①，菱形纸片ABCD中，AB4,A60．

(1)活动一：

如图②，折叠菱形纸片ABCD，使点A落在点B处，则折痕的长为_________；菱形纸片ABCD的面积是

_________；

(2)活动二：

如图③，E,F,G,H分别是菱形纸片ABCD各边的中点，分别沿着EF,FG,GH,HE折叠并展开．猜想四边

形EFGH是什么特殊四边形，并证明你的猜想；

(3)活动三：如图④，先将菱形纸片ABCD沿AC折叠再展开，点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上且

EF∥AC，再分别沿着EF,FG,GH,HE折叠再展开，若四边形EFGH是正方形，则AE_________；

(4)活动四：如图⑤，折叠菱形纸片ABCD，使点A落在BC边的中点F处，则折痕MN的长为_________．

题型二：十字架模型

在正方形或矩形中存在两条线段相交且垂直,因其形似“十字架”,所以我们称其为“十字架”模型.

类型正方形过顶点型矩形过顶点型

图示

条件在正方形ABCD中,点E,F分别在边在矩形ABCD中,点在边AD上,CE

CD,AD上,AE⊥BF⊥BD

解题思路利用正方形的各边相等且四个角利用矩形的四个角均为直角及

均为直角,及AE⊥BF将同角的余CE⊥BD将同角的余角进行转化.

角进行转化,证明△ABF和△DAE证明△BCD和△CDE相似,进而得

全等进行求解到对应边成比例进行求解

结论△≌△BDBC

ABFDAE.BF=AEBCD~CDE,

CECD

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.

将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（）

A．210B．25C．6D．5

【典例2-2】（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段

的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：

如图，正方形ABCD中，点F、E、G分别在AB、BC、CD上，且AEFG．

(1)尺规作图：过点G作AB垂线交AB于点H．（只保留作图痕迹）

(2)证明AEFG，将下面的过程补充完整．

证明：四边形ABCD是正方形，

BC90，BCAB，

QHGAB，

GHF90，

B①

FGAE，

AFGBAE90，

BAEAEB90，

②AFG

BCGHB90，

四边形BCGH为矩形，

BCGH，

③GH．

△ABE≌△GHF（④____）

AEFG．

【典例2-3】（2024·河南·一模）综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，已知AEBF，求证：AEBF．

甲小组同学的证明思路如下：

由同角的余角相等可得ABFDAE．再由ABDA，BAFD90，证得ABF≌DAE（依据：

________），从而得AEBF．

乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知AEBF，同样可证得AEBF，证明思路如下：

由ABDA，BFAE可证得RtABF≌RtDAEHL，可得ABFDAE，再根据角的等量代换即可证

得AEBF．

完成任务：

（1）填空：上述材料中的依据是________（填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”）

【发现问题】

同学们通过交流后发现，已知AEBF可证得AEBF，已知AEBF同样可证得AEBF，为了验证这

个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．

【迁移探究】

（2）在正方形ABCD中，点E在CD上，点M，N分别在AD,BC上，连接AE,MN交于点P．甲小组同学

根据MNAE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MNAE画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知

MNAE仍能证明MNAE，乙小组同学发现已知MNAE无法证明MNAE一定成立．

①在图2中，已知MNAE，求证：MNAE；

②在图3中，若DAE，则APM的度数为多少?

【拓展应用】

（3）如图4，在正方形ABCD中，AB3，点E在边AB上，点M在边AD上，且AEAM1，点F，N

分别在直线CD，BC上，若EFMN，当直线EF与直线MN所夹较小角的度数为30时，请直接写出CF的

长．

【典例2-4】（2024·河南商丘·三模）（1）【操作判断】

如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且EFGH，则EF与GH的

数量关系为；

（2）【迁移探究】

如图2，在矩形ABCD中，AB3，BC5，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且

EFGH，EF与GH交于点O，试说明（1）中的结论是否发生变化，如果结论不变，请说明理由；如果变

化，请写出新结论并给出证明；

（3）【拓展应用】

如图3，在RtABC中，BAC90，ABAC，当点D为AC的三等分点，且AEBD时，直接写出AE与

BD的数量关系．

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了

如下探究：

【初探猜想】如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，若DECF，

试判断线段DE与CF的大小关系，并说明理由；

【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AD6，CD3，点E、F分别是边AD、BC上一点，点G、H

EF

分别是边AB、CD上一点，连接EF，GH，若EFGH，则______；

GH

【知识迁移】如图3，，在四边形ABCD中，DAB90，点E、F分别在线段AB、AD上，且CEBF，

CE

连接AC，若VABC为等边三角形，求的值；

BF

【拓展应用】如图4，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F、G分别是边AB、CD上的动点，且FGAE

交AE于M，连接EF和AG，当AB2时，则EFAG的最小值为______．

【变式2-2】（2024·湖北恩施·三模）综合与探究

问题背景：如图3，四边形ABCD是矩形，ABmBC，点G、H、E分别是线段AD、BC、AB上的动点，

连接GH，过点E作GH的垂线交线段CD于点F（只考虑F在CD上的情况）

AH

（1）①如图1，当点G运动到A点，点E运动到B点时，若AB6，BH2，m2，则的值为______

BF

（直接写答案）

GH

②如图2，当点G不与A点重合，点E运动到B点时，若m2，试求的值．

BF

问题探究：

GH

（2）如图3，当G不与A重合，E不与B重合时，用含m的式子表示的值．

EF

问题拓展：

9

（3）如图4，将背景问题中的矩形改成已知“在四边形GBCF中，C90，BG2BC，sinGBC，

10

GH

GHBF，则的值为______．（直接写答案）

BF

【变式2-3】（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】

（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，

EFAD

求证：；

GHAB

【模型应用】

（2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、

DN

AB上，求的值．

AM

【变式拓展】

（3）如图3，平行四边形ABCD，AB2，AD6,BAD60，直线l与平行四边形相交，将平行四边形

沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．

题型三：对角互补模型

模型1:全等形一-90°对角互补模型

模型2:全等形--120°对角互补模型

模型3:全等形一一任意角对角互补模型

模型4:相似形一-90°对角互补模型

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以

下探究．

AD1

在Rt△ABC中，C90,ACBC，D是AB边上一点，且（n为正整数），E是AC边上的动点，

BDn

过点D作DE的垂线交直线BC于点F．

2

【初步感知】(1)如图1，当n1时，兴趣小组探究得出结论：AEBFAB，请写出证明过程．

2

【深入探究】(2)①如图2，当n2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，

请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直

接写出结论，不必证明）

【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB22，求点E从点A运动到点C的过程中，

点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．

【典例3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在矩形ABCD中，ADnAB（n为正整数），点E是BC边上一

动点，P为BD中点，连接PE，将射线PE绕点P按逆时针方向旋转90，与矩形的边交于点F．

【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在CD边上时，试探究线段PE，PF之间的数量关系，请

写出结论并证明；

EF

【深入探究】（2）若n2，在点E的运动过程中，当点F在BC边上时，求的最小值；

BC

【拓展运用】（3）若AB2，设EF的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用

含n的代数式表示）．

【典例3-3】（2024·河南·一模）已知AOB90，点C是AOB的角平分线OP上的任意一点，现有一个

直角MCN绕点C旋转，两直角边CM，CN分别与直线OA，OB相交于点D，点E.

（1）如图1，若CDOA，猜想线段OD，OE，OC之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图2，若点D在射线OA上，且CD与OA不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说

明理由；如不成立，请写出线段OD，OE，OC之间的数量关系，并加以证明.

（3）如图3，若点D在射线OA的反向延长线上，且OD2，OE8，请直接写出线段CE的长度.

【典例3-4】（2024广东中考一模）如图，已知AOB60，在AOB的角平分线OM上有一点C，将一

个120角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.

（1）如图1，当DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时，请猜想ODOE与OC的数量关系，并说明理由；

（2）当DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；

（3）如图3，当DCE绕点C旋转到点D位于OA的反向延长线上时，求线段OD,OE与OC之间又有怎样

的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

【典例3-5】（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．

AD1

在Rt△ABC中，C90，ACBC，D是AB边上一点，且(n为正整数），E、F分别是边AC和

BDn

边BC上的点，连接DE、DF，且EDF90．

2

【初步感知】（1）如图1，当n1时，兴趣小组探究得出结论：AEBFAB，请写出证明过程．

2

【深入探究】（2）①如图2，当n2，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必

证明）．

【拓展运用】（3）如图3，点D为靠近B的四等分点，连接EF，设EF的中点为M，若AB42，求点E

从点A运动到点C的过程中，请直接写出点M运动的路径长．

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形ABCD的对角互补，且BACDAC，AB15，

AE

AD12．过顶点C作CEAB于E，则的值为（）

BE

A．73B．9C．6D．7．2

【变式3-2】（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

ABCC90内剪取一个直角DEFEDF90，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上．请

完成如下探究：（1）当D为AB的中点时，若A60，DEF

（2）当AC3，BC4、DE2DF时，AD的长为

【变式3-3】（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角

线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；

问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直

角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角

边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

【变式3-4】（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，OC是AOB的平分线，P

是OC上任一点，作PDOA，PEOB，垂足分别为点D和点E．将AOB沿OC对折，我们发现PD与

PE完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．

已知：如图所示，OC是AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为

点D和点E．

求证：PDPE．

分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO，只要证明这两个三角形全等，便可证得PDPE．

（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

【定理应用】（2）如图②，已知OC是AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，点D、E分别在边OA、OB

上，连结PD、PE，AOBDPE180．若AOB60，ODOE53，则OP的长为______．

（3）如图③，在平行四边形ABCD中，ABC60，BE平分ABC交AD于点E，连结CE，将CE绕点

E旋转，当点C的对应点F落在边AB上时，若BFBC123，则四边形BCEF的面积为______．

【变式3-5】（2024·北京·一模）在ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边

AB交于点E，射线DE绕点D顺时△针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华

通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通

过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED

与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC

的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；

（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

题型四：半角模型

“半角”模型是从正方形的一个顶点出发,引出两条形成45°角的射线,这两条射线与正方形的两边相交,从

而形成一个特殊的几何图形,如图①,四边形ABCD为正方形,点EF分别在边BC、CD上,∠EAF=45°解决此类

问题的方法是通过旋转构造全等三角形,具体操作如下:

第一步:如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD与AB重合,点F落在点G处;

第二步:由旋转可知∠ABG=∠D=90°,∠BAG=∠DAF,AG=AF,可得到G、B、E三点共线∠GAE=∠EAF=45°；

第三步:得到结论:①∠GAF=90°;②ΔAGE≌ΔAFE;③EF=BE+DF.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：

【问题情境】

如图1，在VABC中，BAC90，ABAC，点D、E在边BC上，且∠DAE45，BD3，CE4，

求DE的长．

解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90得到△ACD，连接ED．

由旋转的特征得BADCAD，BACD，ADAD，BDCD．

∵BAC90，∠DAE45，

∴BADEAC45．

∵BADCAD，

∴CADEAC45，即EAD45．

∴DAEDAE．

在DAE和DAE中，

ADAD，DAEDAE，AEAE，

∴___①___．

∴DEDE．

又∵ECDECAACDECAB90，

∴在Rt△ECD中，___②___．

∵CDBD3，CE4，

∴DEDE___③___．

【问题解决】

上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．

刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以

不变应万变．

【知识迁移】

如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的

一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】

如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EAFCEF45．探究BE、EF、DF的数

量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】

如图5，在VABC中，ABC90，AB4，BC3，点D、E在边AC上，且DBE45．设ADx，

CEy，求y与x的函数关系式．

【典例4-2】（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，ABAD，BD180，

点E，F分别在BC，CD上，若BAD2EAF，则EFBEDF．

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CDCB100m，

D60，ABC120，BCD150，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM100m，

BN5031m，若在M，N之间修一条直路，则路线MN的长比路线MAN的长少

m（结果取整数，参考数据：31.7）．

【典例4-3】（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E

不与点B，C重合），且EAF45．

(1)当BEDF时，求证：AEAF；

(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；

(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GHAE．若DFa，

CHb，请用含a，b的代数式表示EF的长．

【典例4-4】（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓

展探究．

AD

如图，在ABCD中，AN为BC边上的高，m，点M在AD边上，且BABM，点E是线段AM上

AN

任意一点，连接BE，将ABE沿BE翻折得FBE．

(1)问题解决：

AM

如图①，当BAD60，将ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则______；

AN

(2)问题探究：

如图②，当BAD45，将ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求ABE的度数，并求出此时m的最小

值；

(3)拓展延伸：

当BAD30，将ABE沿BE翻折后，若EFAD，且AEMD，根据题意在备用图中画出图形，并求

出m的值．

【典例4-5】（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝

120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝

180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的

证明过程．

(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC

之间的数量关系，并说明理由．

(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝6，AC与BD相交于点O．若四

边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．

【中考模拟即学即练】

【变式4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形ABCD中ABAD，BAD120，

BADC90，E、F分别是BC，CD上的点，且EAF60，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量

关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明ABE≌ADG，

再证明AEF≌AGF，可得出BE，EF，FD之间的数量关系．

实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且ABAD，

BD180，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测

1

量得EAFBAD，BE10米，DF15米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离

2

EF．

【变式4-2】（2023·吉林长春·二模）【问题呈现】如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，

EAF45，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．小聪同学延长CD至点G，使DGBE，连接AG，

可证△ABE≌△ADG，进而得到AEF≌AGF，从而得出BE、EF、FD之间的数量关系为______.(不需

要证明)．

【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD90，ABAD，BD180，点E、F分别在边BC、

CD上，请回答当EAF与BAD满足什么关系时，仍有【问题呈现】中BE、EF、FD之间的数量关系，

并给出证明．

【探究应用】如图③，在四边形ABCD中，ABAD60，B=60，ADC120，∠BAD150，点E、

F分别在线段BC、CD上，且AEAD，DF30330，直接写出线段EF的长．

【变式4-3】（2024·广东深圳·一模）综合与探究

【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．

【初步探究】

（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在VABC与VADE中，

ABAC，ADAE，BACDAE．求证：BDCE．

【类比探究】

（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是CD，BC上的点，且DE1．连接AE，AF，

EF，若EAF45，请直接写出BF的长．

【深入探究】

（3）如图3，D，P是等边VABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且APD120，MPC60．试

猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．

【拓展应用】

（4）如图4，在四边形ABCD中，ABC60，ADC90，ADCD，AB23，BD62，请直接

写出BC的长．

【变式4-4】（2024·四川达州·模拟预测）[初步探究]

（1）如图1，在VABC与VADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，易得BDCE．请你写出证

明过程．

[解题反思]

以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．

[类比探究]

（2）如图2，在边长为3的正方形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且DE1．连接AE，AF，

EF，若EAF45，请直接写出BF的长．

[深入探究]

（3）如图3，D，P是等边VABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且APD120，MPC60．试

猜想PA与PD的数量关系，并证明你的结论．

[拓展应用]

（4）如图4，在四边形ABCD中，ABC60，ADC90，ADCD，AB23，BD62，请直接

写出BC的长．

【变式4-5】（2023·河南·模拟预测）问题背景如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的点，

且EAF45，连接EF，探究BE，EF，DF之间的数量关系．

(1)探究发现李雷同学的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90至ABG的位置，然后再证明

△AEF≌△AEG，从而得到BE，EF，DF之间的数量关系为：______；

(2)拓展延伸如图2，在四边形ABCD中，ABAD，BAD120，BADC90，点E，F分别是BC，CD

边上的点，且EAF60，连接EF，则（1）中结论是否仍然成立？并说明理由；

(3)归纳应用如图3，等边三角形ABC的边长为4，点D，E在直线BC上（点D在点E的左侧），且DAE30，

当BD1时，请直接写出线段CE的长．

题型五：四边形中特殊角度问题

类型图示条件结论

含60°角的四边形ABCD为菱形,对1.ABD=∠CBD=30°;

菱形角线AC与BD交于点O，2.△ABC和△ACD均为等边三角形；

∠°

ABC=603.AB:AC:BD1:1:3

13

4.SACBDBC2

菱形ABCD22

对角线夹角四边形ABCD为矩形,对1.∠ABO=2∠CB0=60°

为60°的矩角线AC与BD交于点2.△AOB和ACOD均为等边三角形；

形O，∠AOB=60°3.AB:BC1:3

32

4.S矩形ABBCAC

ABCD4

【中考母题学方法】

【典例5-1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形ABCD中，DAB40，连接AC，以点A为圆心，

AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则AEC的度数是．

【典例5-2】（2023·江西·中考真题）如图，在ABCD中，B60，BC2AB，将绕点A逆时针旋转角

（0360）得到AP，连接PC，PD．当△PCD为直角三角形时，旋转角𝐴的度数为．

【典例5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）矩形ABCD的对角线AC，相交于点O，点F在矩形ABCD

边上，连接OF．若ADB38，BOF30，则AOF．��

【考模拟即学即练】

【变式5-1】（2024·四川凉山·二模）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OEBD，交于

点E，连接BE．若ABE20，则AOE的度数是（）𝐶

A．10B．15C．20D．

【变式5-2】（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线30A°C上一点，PEAB，PFBC，

垂足分别为E，F，连接EF．若BEF，则CDP一定等于（）

A．90B．2C．1803D．45

【变式5-3】（2024·天津·三模）已知四边形ABCD内接于O，AB为O的直径，AB10，连接AC．

(1)如图①，若D为弧AC的中点，求ADC124，求CAB和CAD的大小：

(2)如图②，若AD4，C为弧BD的中点，过点C作O的切线与弦AD的延长线相交于点E，求CE的长．

【变式5-4】（2024·广西南宁·三模）综合与实践

【问题情境】四边形ABCD是边长为5的菱形，AC与BD相交于点O，将△BCD绕点B按顺时针方向旋转

得到△BEF，点C，D旋转后的对应点分别为E，F，旋转角为0180α．

【观察思考】

（1）如图1，当点F第一次落在对角线AC上时，求OB与BF的数量关系以及α的度数．

【探究证明】

（2）如图2，当180，且EF∥BD时，EF与AD交于点G．试判断四边形BDGF的形状，并说明理由．

【拓展延伸】

3

（3）如图3，连接CE，在旋转过程中，当EF与菱形ABCD的一边平