2025年中考数学一轮知识梳理难点04 坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）原卷版

难点04坐标系与函数中的规律、图象、动点、面积问题（4大热考题型）题型一：坐标系中点的坐标规律问题题型二：实际生活中函数图象问题题型三：动点的函数图象问题题型四：平面直角坐标系中的面积问题题型一：坐标系中点的坐标规律问题11.解决与点坐标变化有关的规律问题一般方法：1)若点的坐标在坐标轴上或象限内循环(周期)变化时，先求出第一个循环周期内相关点的坐标，然后找出所求点经过循环后位于第一个循环周期内的哪个位置，从而求出坐标；2)点的坐标是成倍递推变化时，先求出前几个点的坐标，然后归纳出后一个点坐标与前一个点坐标之间存在的规律．2.解决与点坐标变化有关的规律问题的注意事项：1）求什么找什么的规律；2）变化规律最好用算式而不是得数表示；3）找算式中数字与序号间的变化规律；4）找坐标的变化规律，分两步进行：先找位置规律再找数字规律（点的坐标题型首先用这一条）.【中考母题学方法】【典例1】（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(

)

A． B． C． D．【变式1-1】（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是．

【变式1-2】难点同时分析周期变化和递增变化的规律（2023·湖南怀化·中考真题）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为，点的坐标为．

【变式1-3】难点结合函数,利用函数解析式求点坐标1.（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，，均在反比例函数的图象上，则点的横坐标为，点的横坐标为．2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示，已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点……，依次进行下去，则点的坐标为．

【变式1-4】难点结合三角形，利用相似三角形求面积（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为．

【中考模拟即学即练】1．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形……按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有一系列格点，其中，且，是整数．记，如，即，，即，，即，，以此类推．则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点1,0作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（2024·河南新乡·模拟预测）直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的小正方形的格点上，关于轴的对称图形为，与组成一个基本图形，不断复制与平移这个基本图形，得到如图所示的图形．若是这组图形中的一个三角形，当时，点的横坐标是（

）A． B． C． D．5．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角的斜边，且在x轴的正半轴上，点落在第一象限内．将绕原点O逆时针旋转，得到，再将绕原点O逆时针旋转，又得到；依此规律继续旋转，得到，则点的坐标为（

）A． B． C． D．6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发以1个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2023秒蚂蚁所在点的坐标为．7．（2024·山东东营·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一边长为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，，照此规律作下去，则的坐标是；的坐标是．8．（2024·河北秦皇岛·一模）如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第1次相遇地点的坐标为，则第2024次相遇地点的坐标为．

9.（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为．10．（2024·山东聊城·三模）如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为．11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是．题型二：实际生活中函数图象问题读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分析如下:读取图象中的关键信息,包含坐标轴、起点、最高点、拐点、水平线等,并作出正确的结论判断.具体分析如下:关键信息函数意义坐标轴弄清楚横轴与纵轴所表示的函数变量拐点图象上的拐点既是前一段函数的终点,又是后一段函数的起点,反映函数图象在这一时刻开始发生变化水平线函数值随自变量的变化而保持不变【中考母题学方法】【典例2】（2024·江苏常州·中考真题）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（

）A．第所用的时间最长B．第的平均速度最大C．第和第的平均速度相同D．前的平均速度大于最后的平均速度【变式2-1】难点分析两个函数图象1.（2024·江苏南通·中考真题）甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程s（单位：）与甲的前进时间t（单位：h）之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（

）

A．甲比乙晚出发1h B．乙全程共用2hC．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·山东潍坊·中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年诺贝尔生理学或医学奖．某科研小组用石油醚做溶剂进行提取青蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分别研究提取时间和提取温度对青蒿素提取率的影响，其结果如图所示：由图可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（

）A． B． C． D．【中考模拟即学即练】1．（2024·贵州·模拟预测）2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京开幕，政府工作报告中一个新关键词“人工智能”引发热议，随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为、，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（

）A．客人距离厨房门口； B．慧慧比聪聪晚出发；C．聪聪的速度为； D．从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为；2．（2024·湖北黄冈·模拟预测）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同，若设每月的销售量为y件，售价为x元/件.(1)当售价在40—50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元?(2)当售价在50—70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示，求y与x的关系式；(3)小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m(m为整数)元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大.题型三：动点的函数图象问题类型一动点与函数图象判断的解题策略类型一动点与函数图象判断的解题策略方法一：趋势判断法.根据几何图形的构造特点，对动点运动进行分段，并判断每段对应函数图象的增减变化趋势；方法二：解析式计算法.根据题意求出每段的函数解析式，结合解析式对应的函数图象进行判断；方法三：定点求值法.结合几何图形特点，在点运动的拐点、垂直点、特殊点处求出函数值，对选项进行排除；方法四：范围排除法.根据动点的运动过程，求出两个变量的变化范围，对选项进行排除．类型二动点与函数图象计算的解题策略一看图：注意函数图象横纵坐标分别表示的量与取值范围，以及图象的拐点、最值点等；二看形：观察题目所给几何图形的特点，运用几何性质分析动点整体运动情况；三结合：几何动点与函数图象相结合，求出图形中相关线段的长度或图形面积的值；四计算：结合已知，列出等式，计算未知量，常用勾股定理、面积相等和相似等方法进行计算求解．【中考母题学方法】【典例3】（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（

）A． B．C． D．【变式3-1】根据函数图象判断点的运动轨迹1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（）A．2 B．3 C． D．2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（

）A． B． C． D．【变式3-2】根据点的运动轨迹画出函数图象（2023·重庆·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线方向运动，点F沿折线方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．

(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【中考模拟即学即练】1．（2024·湖南长沙·模拟预测）RobotMaster机甲大师挑战赛鼓励学生自主研发制作多种机器人参与团队竞技，其某场对抗赛的轨道可简化成下图，其中和均为半圆，点，，，依次在同一直线上，且．现有比赛双方的机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动进行射击比赛，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与关系的图象大致是（

）A． B．C． D．2．（2024·湖北·模拟预测）如图，等边的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，当点回到点时运动停止．设运动时间为（秒），，则关于的函数的图象大致为（

）A． B．C． D．3．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长为（）A． B． C． D．4．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（

）A．2 B． C．4 D．5．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图矩形中，，点为边上的三等分点，动点从点出发，沿折线方向运动，到点停止运动．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为．(1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出时的取值范围．6．（2024·北京延庆·模拟预测）如图，已知，点D是边上一点，且，点P是线段上的动点，过点P作的垂线，垂足为E，连接，设．通过分析发现可以用函数来刻画y与x之向的关系，请将以下过程补充完整：(1)选点、画图、测量，得到x与y的几组数值，数据如下：0123456

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）；(2)自变量x的取值范围是_______；(3)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象：(4)结合函数图象解决问题：当时，的长约为________（结果精确到）．7．（2024·重庆开州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别为与边的中点，动点P从点B出发，沿折线运动，到达点D后停止运动．连接，设点P的运动路程为x，的面积为y．(1)直接写出y与x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)在直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，当函数y满足时，写出x的取值范围（误差不超过0.2）．题型四：平面直角坐标系中的面积问题类型1一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S=12AB⋅ℎ,其中AB是S△S△S△S△类型2三边都不在坐标轴上或不平行于坐标轴的三角形面积的计算分割法SS补形法SSSS【中考母题学方法】【典例4】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是O0,0，，，，则四边形的面积为（

）A．14 B．11 C．10 D．9【变式4-1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为．

【变式4-2】（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．【变式4-3】（2024·四川眉山·二模）阅读材料，完成下列问题：因为，所以……①，当且仅当时取等号．若、均为正数，根据①式：，得：……②

即……③（②式、③式中、均为正数，当且仅当时等号成立．）我们常常用这两个不等式来解决一些最大（小）值问题．其中我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数．(1)若，，求、的算术平均数和几何平均数；(2)若，当为何值时代数式有最小值，并求出此时的最小值；(3)已知，，点为双曲线（）上的任意一点，过作轴于点，轴于点，求四边形面积的最小值和此时点的坐标．【变式4-4】列方程解决面积的存在性问题（2024·安徽宣城·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．(1)求二次函数的表达式．(2)是二次函数的图象位于轴上方的两动点，且两点关于对称轴对称，点在点的左侧．过点作轴的垂线，分别交轴于点，当的值最大时，求点的坐标．(3)在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在点，使的面积等于矩形的面积的？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-5】难点动点问题（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（），的面积为S．(1)求点A的坐标；(2)求S与t的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．【中考模拟即学即练】1.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；(2)连接，，求四边形的面积．2．（2024·山西运城·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．(1)设点A的坐标为则点的坐标为；(2)①求反比例函数的表达式；②求经过C，D两点的直线所对应的