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文档简介
难点与解题模型14四边形中模型、角度与面积(6大热考题型)题型一:中点四边形模型题型二:十字架模型题型三:对角互补模型题型四:半角模型题型五:四边形中特殊角度问题题型六:四边形中的面积问题题型一:中点四边形模型“中点四边形”,也叫瓦里尼翁平行四边形,是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形,是四边形的内接四边形的一种特殊情况,一般有以下三种形态:(原四边形ABCD依次是:凸四边形,凹四边形,折四边形)(一)中点四边形一定是平行四边形当原四边形对角线相等时,其中点四边形为菱形当原四边形对角线垂直时,其中点四边形为矩形当原四边形对角线垂直且相等时,其中点四边形为正方形(二)中点四边形的周长等于原四边形对角线之和(三)中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一【中考母题学方法】【典例1-1】(2024·青海·中考真题)综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形,我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学兴趣小组通过作图、测量,猜想:原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1,在四边形中,E、F、G、H分别是各边的中点.求证:中点四边形EFGH是平行四边形.证明:∵E、F、G、H分别是AB、、CD、的中点,∴、分别是和的中位线,∴,(____①____)∴.同理可得:.∴中点四边形EFGH是平行四边形.结论:任意四边形的中点四边形是平行四边形.(1)请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ:原四边形的对角线相等时,中点四边形是菱形.(2)下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ,请你在探究一证明结论的基础上,写出后续的证明过程.【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形②________(3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ:原四边形对角线垂直时,中点四边形是②________.(4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ,请你在探究一证明结论的基础上,写出后续的证明过程.【归纳总结】(5)请你根据上述探究过程,补全下面的结论,并在图4中画出对应的图形.原四边形对角线关系中点四边形形状③________④________结论:原四边形对角线③________时,中点四边形是④________.【典例1-2】(2023·山西·中考真题)阅读与思考:下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.瓦里尼翁平行四边形我们知道,如图1,在四边形中,点分别是边,的中点,顺次连接,得到的四边形是平行四边形.
我查阅了许多资料,得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:证明:如图2,连接,分别交于点,过点作于点,交于点.∵分别为的中点,∴.(依据1)
∴.∵,∴.∵四边形是瓦里尼翁平行四边形,∴,即.∵,即,∴四边形是平行四边形.(依据2)∴.∵,∴.同理,…任务:(1)填空:材料中的依据1是指:_____________.依据2是指:_____________.(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形,使得四边形为矩形;(要求同时画出四边形的对角线)(3)在图1中,分别连接得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系,并证明你的结论.
【典例1-3】(2024·江苏泰州·三模)如图,点分别在菱形的各边上.【初步认识】(1)如图,若,则四边形一定是(
)A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形【变式探究】
(2)如图,若交于点,分别是上一点,,,的延长线分别交在于点,求证:四边形是矩形.【深入思考】(3)如图,若交于点,且,当满足什么条件时,可作出两个不同矩形,请直接写出你的结论.(4)在(3)的条件下,设,请探索与满足的关系式.【中考模拟即学即练】【变式1-1】(2024·贵州·模拟预测)如图1,已知四边形四条边上的中点分别为、、、、依次连接、、、、得到四边形.
(1)求证:四边形为平行四边形;(2)连接与,当与满足什么条件时,四边形是矩形?(3)如图2,若四边形是菱形,则四边形是什么图形,请说明理由.【变式1-2】(2024·陕西宝鸡·模拟预测)如图,在四边形中,已知对角线,点E,F,G,H分别为,边上的中点,连接.求证:四边形为菱形.【变式1-3】(2023·陕西宝鸡·一模)问题提出如图,在中,.若,则的值为__________.问题探究如图,在四边形中,对角线、BD相交于点,、、、分别为AB、、CD、AD的中点,连接、、、.若,求四边形EFGH的面积.问题解决如图,某市有一块五边形空地,其中米,米,米,米,现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园,使点、、、分别在边AB、、CD、上,要求请问,是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园?若存在,求四边形面积的最大值;若不存在,请说明理由.【变式1-4】(2024·宁夏银川·一模)如图1.在中,D、E分别为的中点,连接:操作1.将绕点E按顺时针方向旋转到的位置.操作2.延长到点F,使,连接.试探究与有怎样的位置关系和数量关系?(1)请结合操作1或操作2的方法所得出的结论,我们可以得到三角形中位线定理,.【结论应用】(2)如图2,四边形中,对角线相交于点O,四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接,得到四边形.
①求证:四边形为平行四边形;②当与满足时,四边形是矩形,当与满足时,四边形是菱形.③若,,,求四边形的面积.【问题解决】(3)如图3所示,在一个四边形的草坪上修一条小路,其中点P和点Q分别为边和边的中点,且,,,求小路的长度.
【变式1-5】(2023·黑龙江齐齐哈尔·三模)折纸是一项有趣的活动,有的同学玩过折纸,可能折过小动物、飞机、小船等.在折纸过程中,不仅可以得到一些美丽的图形,而且其中还蕴含着丰富的数学知识.如图①,菱形纸片中,.
(1)活动一:如图②,折叠菱形纸片,使点落在点处,则折痕的长为_________;菱形纸片的面积是_________;(2)活动二:如图③,分别是菱形纸片各边的中点,分别沿着折叠并展开.猜想四边形是什么特殊四边形,并证明你的猜想;(3)活动三:如图④,先将菱形纸片沿折叠再展开,点分别在边上且,再分别沿着折叠再展开,若四边形是正方形,则_________;(4)活动四:如图⑤,折叠菱形纸片,使点落在边的中点处,则折痕的长为_________.题型二:十字架模型在正方形或矩形中存在两条线段相交且垂直,因其形似“十字架”,所以我们称其为“十字架”模型.类型正方形过顶点型矩形过顶点型图示条件在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,AE⊥BF在矩形ABCD中,点在边AD上,CE⊥BD解题思路利用正方形的各边相等且四个角均为直角,及AE⊥BF将同角的余角进行转化,证明△ABF和△DAE全等进行求解利用矩形的四个角均为直角及CE⊥BD将同角的余角进行转化.证明△BCD和△CDE相似,进而得到对应边成比例进行求解结论△ABF≌△DAE.BF=AE【中考母题学方法】【典例2-1】(2021·黑龙江牡丹江·中考真题)如图,正方形ABCD的边长为3,E为BC边上一点,BE=1.将正方形沿GF折叠,使点A恰好与点E重合,连接AF,EF,GE,则四边形AGEF的面积为(
)A.2 B.2 C.6 D.5【典例2-2】(2024·重庆·模拟预测)学习了正方形后,小飞同学对正方形中两条互相垂直线段,且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究.请根据他的思路完成以下作图与填空:如图,正方形中,点F、E、G分别在上,且.(1)尺规作图:过点G作垂线交于点H.(只保留作图痕迹)(2)证明,将下面的过程补充完整.证明:四边形是正方形,,,,,①,,,②,四边形为矩形,,③.(④____).【典例2-3】(2024·河南·一模)综合与实践数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,在正方形中,已知,求证:.
甲小组同学的证明思路如下:由同角的余角相等可得.再由,,证得(依据:________),从而得.乙小组的同学猜想,其他条件不变,若已知,同样可证得,证明思路如下:由,可证得,可得,再根据角的等量代换即可证得.完成任务:(1)填空:上述材料中的依据是________(填“”或“”或“”或“”)【发现问题】同学们通过交流后发现,已知可证得,已知同样可证得,为了验证这个结论是否具有一般性,又进行了如下探究.【迁移探究】(2)在正方形中,点E在上,点M,N分别在上,连接交于点P.甲小组同学根据画出图形如图2所示,乙小组同学根据画出图形如图3所示.甲小组同学发现已知仍能证明,乙小组同学发现已知无法证明一定成立.①在图2中,已知,求证:;②在图3中,若,则的度数为多少?【拓展应用】(3)如图4,在正方形中,,点E在边上,点M在边上,且,点F,N分别在直线上,若,当直线与直线所夹较小角的度数为时,请直接写出的长.【典例2-4】(2024·河南商丘·三模)(1)【操作判断】如图1,在正方形中,点分别在边上,且,则与的数量关系为;(2)【迁移探究】如图2,在矩形中,,点分别在边上,且与交于点O,试说明(1)中的结论是否发生变化,如果结论不变,请说明理由;如果变化,请写出新结论并给出证明;(3)【拓展应用】如图3,在中,,当点D为的三等分点,且时,直接写出与的数量关系.【中考模拟即学即练】【变式2-1】(2024·江苏徐州·模拟预测)某兴趣小组在数学活动中,对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究:【初探猜想】如图1,在正方形中,点,分别是、上的两点,连接,,若,试判断线段与的大小关系,并说明理由;【类比探究】如图2,在矩形中,,,点、分别是边、上一点,点、分别是边、上一点,连接,,若,则______;【知识迁移】如图3,,在四边形中,,点、分别在线段、上,且,连接,若为等边三角形,求的值;【拓展应用】如图4,在正方形中,E是的中点,F、G分别是边上的动点,且交于M,连接和,当时,则的最小值为______.【变式2-2】(2024·湖北恩施·三模)综合与探究问题背景:如图3,四边形是矩形,,点G、H、E分别是线段、、上的动点,连接,过点E作的垂线交线段于点F(只考虑F在上的情况)
(1)①如图1,当点G运动到A点,点E运动到B点时,若,,,则的值为______(直接写答案)②如图2,当点G不与A点重合,点E运动到B点时,若,试求的值.问题探究:(2)如图3,当G不与A重合,E不与B重合时,用含m的式子表示的值.问题拓展:(3)如图4,将背景问题中的矩形改成已知“在四边形中,,,,,则的值为______.(直接写答案)【变式2-3】(2023·广东深圳·模拟预测)【探究证明】(1)如图1,矩形ABCD中,EF⊥GH,EF分别交AB、CD于点E、F,GH分别交AD、BC于点G、H,求证:;【模型应用】(2)如图3,四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=AD=10,BC=CD=5,AM⊥DN,点M、N分别在边BC、AB上,求的值.【变式拓展】(3)如图3,平行四边形,,,直线与平行四边形相交,将平行四边形沿直线l折叠,当其中有一组对角顶点重合时,请直接写出折痕的长度.题型三:对角互补模型模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型【中考母题学方法】【典例3-1】(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,某兴趣小组拟做以下探究.在中,,D是边上一点,且(n为正整数),E是边上的动点,过点D作的垂线交直线于点F.
【初步感知】(1)如图1,当时,兴趣小组探究得出结论:,请写出证明过程.【深入探究】(2)①如图2,当,且点F在线段上时,试探究线段之间的数量关系,请写出结论并证明;②请通过类比、归纳、猜想,探究出线段之间数量关系的一般结论(直接写出结论,不必证明)【拓展运用】(3)如图3,连接,设的中点为M.若,求点E从点A运动到点C的过程中,点M运动的路径长(用含n的代数式表示).【典例3-2】(2024·四川成都·二模)如图,在矩形中,(n为正整数),点E是边上一动点,P为中点,连接,将射线绕点P按逆时针方向旋转,与矩形的边交于点F.【尝试初探】(1)在点E的运动过程中,当点F在边上时,试探究线段,之间的数量关系,请写出结论并证明;【深入探究】(2)若,在点E的运动过程中,当点F在边上时,求的最小值;【拓展运用】(3)若,设的中点为M,求点E从点B运动到点C的过程中,点M运动的路程(用含n的代数式表示).【典例3-3】(2024·河南·一模)已知,点是的角平分线上的任意一点,现有一个直角绕点旋转,两直角边,分别与直线,相交于点,点.(1)如图1,若,猜想线段,,之间的数量关系,并说明理由.(2)如图2,若点在射线上,且与不垂直,则(1)中的数量关系是否仍成立?如成立,请说明理由;如不成立,请写出线段,,之间的数量关系,并加以证明.(3)如图3,若点在射线的反向延长线上,且,,请直接写出线段的长度.【典例3-4】(2024广东中考一模)如图,已知,在的角平分线上有一点,将一个角的顶点与点重合,它的两条边分别与射线相交于点.(1)如图1,当绕点旋转到与垂直时,请猜想与的数量关系,并说明理由;(2)当绕点旋转到与不垂直时,到达图2的位置,(1)中的结论是否成立?并说明理由;(3)如图3,当绕点旋转到点位于的反向延长线上时,求线段与之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明.【典例3-5】(2024·江苏淮安·一模)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式,我们做以下探究.在中,,,是边上一点,且(为正整数),、分别是边和边上的点,连接,且.【初步感知】()如图,当时,兴趣小组探究得出结论:,请写出证明过程.【深入探究】()如图,当,试探究线段,,之间的数量关系,请写出结论并证明;请通过类比、归纳、猜想,探究出线段,,之间数量关系的一般结论(直接写出结论,不必证明).【拓展运用】()如图,点为靠近的四等分点,连接,设的中点为,若,求点从点运动到点的过程中,请直接写出点运动的路径长.【中考模拟即学即练】【变式3-1】(2024·江苏·校考一模)如图,已知四边形的对角互补,且,,.过顶点C作于E,则的值为(
)A. B.9 C.6 D.7.2【变式3-2】(2024·安徽六安·三模)在数学探究活动中,某同学进行了如下操作:如图,在直角三角形纸片
内剪取一个直角,点,,分别在,,边上.请完成如下探究:(1)当为的中点时,若,
(2)当,、时,的长为
【变式3-3】(2024·陕西·一模)问题提出(1)如图1,将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交边DC于点E,线段PB和线段PE相等吗?请证明;问题探究(2)如图2,移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;问题解决(3)继续移动三角板,使三角板的直角顶点P在对角线AC上,一条直角边经过点B,另一条直角边交DC的延长线于点E,(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.【变式3-4】(2024·吉林长春·一模)【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容.我们已经知道角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴.如图所示,是的平分线,P是上任一点,作,,垂足分别为点D和点E.将沿对折,我们发现与完全重合.由此即有:角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等.已知:如图所示,是的平分线,点P是上的任意一点,,,垂足分别为点D和点E.求证:.分析:图中有两个直角三角形和,只要证明这两个三角形全等,便可证得.(1)请根据教材中的分析,结合图①,写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程.【定理应用】(2)如图②,已知是的平分线,点P是上的任意一点,点D、E分别在边上,连结,.若,,则的长为______.(3)如图③,在平行四边形中,,平分交于点E,连结,将绕点E旋转,当点C的对应点F落在边上时,若,则四边形的面积为______.【变式3-5】(2024·北京·一模)在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,点D是BC边的中点,作射线DE,与边AB交于点E,射线DE绕点D顺时针旋转120°,与直线AC交于点F.(1)依题意将图1补全;(2)小华通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有DE=DF.小华把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:由点D是BC边的中点,通过构造一边的平行线,利用全等三角形,可证DE=DF;想法2:利用等边三角形的对称性,作点E关于线段AD的对称点P,由∠BAC与∠EDF互补,可得∠AED与∠AFD互补,由等角对等边,可证DE=DF;想法3:由等腰三角形三线合一,可得AD是∠BAC的角平分线,由角平分线定理,构造点D到AB,AC的高,利用全等三角形,可证DE=DF…….请你参考上面的想法,帮助小华证明DE=DF(选一种方法即可);(3)在点E运动的过程中,直接写出BE,CF,AB之间的数量关系.题型四:半角模型“半角”模型是从正方形的一个顶点出发,引出两条形成45°角的射线,这两条射线与正方形的两边相交,从而形成一个特殊的几何图形,如图①,四边形ABCD为正方形,点EF分别在边BC、CD上,∠EAF=45°解决此类问题的方法是通过旋转构造全等三角形,具体操作如下:第一步:如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD与AB重合,点F落在点G处;第二步:由旋转可知∠ABG=∠D=90°,∠BAG=∠DAF,AG=AF,可得到G、B、E三点共线∠GAE=∠EAF=45°;第三步:得到结论:①∠GAF=90°;②ΔAGE≌ΔAFE;③EF=BE+DF.【中考母题学方法】【典例4-1】(2024·四川乐山·中考真题)在一堂平面几何专题复习课上,刘老师先引导学生解决了以下问题:【问题情境】如图1,在中,,,点D、E在边上,且,,,求的长.解:如图2,将绕点A逆时针旋转得到,连接.
由旋转的特征得,,,.∵,,∴.∵,∴,即.∴.在和中,,,,∴___①___.∴.又∵,∴在中,___②___.∵,,
∴___③___.【问题解决】上述问题情境中,“①”处应填:______;“②”处应填:______;“③”处应填:______.刘老师进一步谈到:图形的变化强调从运动变化的观点来研究,只要我们抓住了变化中的不变量,就能以不变应万变.【知识迁移】如图3,在正方形中,点E、F分别在边上,满足的周长等于正方形的周长的一半,连结,分别与对角线交于M、N两点.探究的数量关系并证明.
【拓展应用】如图4,在矩形中,点E、F分别在边上,且.探究的数量关系:______(直接写出结论,不必证明).
【问题再探】如图5,在中,,,,点D、E在边上,且.设,,求y与x的函数关系式.
【典例4-2】(2022·湖北十堰·中考真题)【阅读材料】如图①,四边形中,,,点,分别在,上,若,则.【解决问题】如图②,在某公园的同一水平面上,四条道路围成四边形.已知,,,,道路,上分别有景点,,且,,若在,之间修一条直路,则路线的长比路线的长少(结果取整数,参考数据:).【典例4-3】(2022·贵州黔西·中考真题)如图1,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD边上的点(点E不与点B,C重合),且.(1)当时,求证:;(2)猜想BE,EF,DF三条线段之间存在的数量关系,并证明你的结论;(3)如图2,连接AC,G是CB延长线上一点,,垂足为K,交AC于点H且.若,,请用含a,b的代数式表示EF的长.【典例4-4】(2022·贵州贵阳·中考真题)小红根据学习轴对称的经验,对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.如图,在中,为边上的高,,点在边上,且,点是线段上任意一点,连接,将沿翻折得.(1)问题解决:如图①,当,将沿翻折后,使点与点重合,则______;(2)问题探究:如图②,当,将沿翻折后,使,求的度数,并求出此时的最小值;(3)拓展延伸:当,将沿翻折后,若,且,根据题意在备用图中画出图形,并求出的值.【典例4-5】(2022·辽宁朝阳·中考真题)【思维探究】如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=120°,AB=AD,连接AC.求证:BC+CD=AC.
(1)小明的思路是:延长CD到点E,使DE=BC,连接AE.根据∠BAD+∠BCD=180°,推得∠B+∠ADC=180°,从而得到∠B=∠ADE,然后证明ADE≌ABC,从而可证BC+CD=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.(2)【思维延伸】如图2,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,连接AC,猜想BC,CD,AC之间的数量关系,并说明理由.(3)【思维拓展】在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD=,AC与BD相交于点O.若四边形ABCD中有一个内角是75°,请直接写出线段OD的长.【中考模拟即学即练】【变式4-1】(2024·江苏苏州·模拟预测)问题情境:如图1,在四边形中,,,E、F分别是,上的点,且,探究图中线段,,之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长到点G,使DG=,连接,先证明,再证明,可得出,,之间的数量关系.实际应用:如图2,在新修的小区中,有块四边形绿化,四周修有步行小径,且,,在小径,上各修一凉亭E,F,在凉亭E与F之间有一池塘,不能直接到达,经测量得,米,米,试在小王同学研究的基础上,求两凉亭之间的距离.【变式4-2】(2023·吉林长春·二模)【问题呈现】如图①,点、分别在正方形的边、上,,试判断、、之间的数量关系.小聪同学延长至点,使,连接,可证,进而得到,从而得出、、之间的数量关系为______不需要证明.【类比引申】如图②,四边形中,,,,点、分别在边、上,请回答当与满足什么关系时,仍有【问题呈现】中、、之间的数量关系,并给出证明.【探究应用】如图③,在四边形中,,,,,点、分别在线段、上,且,,直接写出线段的长.【变式4-3】(2024·广东深圳·一模)综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题(以下图片框内).【初步探究】(1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系,并把特殊角度一般化.如图1,在与中,,,.求证:.【类比探究】(2)如图2,在边长为3的正方形中,点E,F分别是,上的点,且.连接,,,若,请直接写出的长.【深入探究】(3)如图3,D,P是等边外两点,连接并取的中点M,且,.试猜想与的数量关系,并证明你的结论.【拓展应用】(4)如图4,在四边形中,,,,,,请直接写出的长.【变式4-4】(2024·四川达州·模拟预测)[初步探究](1)如图1,在与中,,,,易得.请你写出证明过程.[解题反思]以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来,并可以把特殊角度一般化.[类比探究](2)如图2,在边长为3的正方形中,E,F分别是,上的点,且.连接,,,若,请直接写出的长.[深入探究](3)如图3,D,P是等边外两点,连接并取的中点M,且,.试猜想与的数量关系,并证明你的结论.[拓展应用](4)如图4,在四边形中,,,,,,请直接写出的长.【变式4-5】(2023·河南·模拟预测)问题背景如图1,在正方形中,点E,F分别是边上的点,且,连接,探究之间的数量关系.(1)探究发现
李雷同学的方法是将绕点A顺时针旋转至的位置,然后再证明,从而得到之间的数量关系为:______;(2)拓展延伸
如图2,在四边形中,,,点E,F分别是边上的点,且,连接,则(1)中结论是否仍然成立?并说明理由;(3)归纳应用
如图3,等边三角形的边长为4,点D,E在直线上(点D在点E的左侧),且,当时,请直接写出线段的长.题型五:四边形中特殊角度问题类型图示条件结论含60°角的菱形四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD交于点O,∠ABC=60°ABD=∠CBD=30°;△ABC和△ACD均为等边三角形;对角线夹角为60°的矩形四边形ABCD为矩形,对角线AC与BD交于点O,∠AOB=60°∠ABO=2∠CB0=60°△AOB和ACOD均为等边三角形;【中考母题学方法】【典例5-1】(2023·浙江绍兴·中考真题)如图,在菱形中,,连接,以点为圆心,长为半径作弧,交直线于点,连接,则的度数是.
【典例5-2】(2023·江西·中考真题)如图,在中,,将AB绕点逆时针旋转角()得到,连接,.当为直角三角形时,旋转角的度数为.
【典例5-3】(2023·黑龙江哈尔滨·中考真题)矩形的对角线,BD相交于点,点在矩形边上,连接.若,,则.【考模拟即学即练】【变式5-1】(2024·四川凉山·二模)如图,矩形的对角线相交于点,过点作,交AD于点,连接.若,则的度数是(
)A. B. C. D.30°【变式5-2】(2024·重庆铜梁·一模)如图,在正方形中,点是对角线上一点,,,垂足分别为,,连接.若,则一定等于(
)A. B. C. D.【变式5-3】(2024·天津·三模)已知四边形内接于,为的直径,,连接.(1)如图①,若D为弧的中点,求,求和的大小:(2)如图②,若,C为弧的中点,过点作的切线与弦的延长线相交于点E,求的长.【变式5-4】(2024·广西南宁·三模)综合与实践【问题情境】四边形是边长为5的菱形,与相交于点O,将绕点B按顺时针方向旋转得到,点C,D旋转后的对应点分别为E,F,旋转角为α.【观察思考】(1)如图1,当点F第一次落在对角线上时,求与的数量关系以及α的度数.【探究证明】(2)如图2,当,且时,与交于点G.试判断四边形的形状,并说明理由.【拓展延伸】(3)如图3,连接,在旋转过程中,当与菱形的一边平行时,且,请直接写出线段的长.【变式5-5】(2024·上海·模拟预测)已知菱形的边长为1,,等边两边分别交、于E,F.(1)如图1,若点、分别是边、的中点,求证:菱形对角线、的交点即为等边的外心;(2)如图2,当E,F分别是边、的中点时,过等边的外心点O的一直线交边于M,边于G,边的延长线于N,求:的值;(3)如图3,若点E,F始终在边,上移动,等边外心为P,求:的度数.【变式5-6】(2024·贵州贵阳·一模)某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后,结合图形旋转的知识探索相应的数学问题.如图①,E是正方形边上一点(E点不与B,C重合),连接,将绕点E顺时针旋转到,使,连接CF.(1)【问题探究】在AB上截取,连接,此时,则等于度;(2)【拓展延伸】当正方形变为菱形时,若°,其余条件不变,如图②,请写出与的数量关系,并说明理由;(3)【联系应用】在(2)的条件下,当时,若,求CF的长.【变式5-7】(2024·安徽·模拟预测)如图,在菱形中,为边的中点,连接交延长线于点,平分交于点,连接.(1)如图1,求的大小;(2)如图1,证明:点为线段的三等分点;(3)如图2,连
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