2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型14四边形中模型、角度与面积（6大热考题型）（原卷版）

难点与解题模型14四边形中模型、角度与面积（6大热考题型）题型一：中点四边形模型题型二：十字架模型题型三：对角互补模型题型四：半角模型题型五：四边形中特殊角度问题题型六：四边形中的面积问题题型一：中点四边形模型“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）（一）中点四边形一定是平行四边形当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一【中考母题学方法】【典例1-1】（2024·青海·中考真题）综合与实践顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．【探究一】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形．证明：∵E、F、G、H分别是AB、、CD、的中点，∴、分别是和的中位线，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中点四边形EFGH是平行四边形．结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．（1）请你补全上述过程中的证明依据①________【探究二】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形菱形从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【探究三】原四边形对角线关系中点四边形形状不相等、不垂直平行四边形②________（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．【归纳总结】（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．原四边形对角线关系中点四边形形状③________④________结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．【典例1-2】（2023·山西·中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边，的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接，分别交于点，过点作于点，交于点．∵分别为的中点，∴．（依据1）

∴．∵，∴．∵四边形是瓦里尼翁平行四边形，∴，即．∵，即，∴四边形是平行四边形．（依据2）∴．∵，∴．同理，…任务：(1)填空：材料中的依据1是指：_____________．依据2是指：_____________．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形及它的瓦里尼翁平行四边形，使得四边形为矩形；（要求同时画出四边形的对角线）(3)在图1中，分别连接得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线长度的关系，并证明你的结论．

【典例1-3】（2024·江苏泰州·三模）如图，点分别在菱形的各边上．【初步认识】（1）如图，若，则四边形一定是（

）A．梯形

B．矩形

C．菱形

D．正方形【变式探究】

（2）如图，若交于点，分别是上一点，，，的延长线分别交在于点，求证：四边形是矩形．【深入思考】（3）如图，若交于点，且，当满足什么条件时，可作出两个不同矩形，请直接写出你的结论．（4）在（3）的条件下，设，请探索与满足的关系式．【中考模拟即学即练】【变式1-1】（2024·贵州·模拟预测）如图1，已知四边形四条边上的中点分别为、、、、依次连接、、、、得到四边形．

(1)求证:四边形为平行四边形；(2)连接与，当与满足什么条件时，四边形是矩形？(3)如图2，若四边形是菱形，则四边形是什么图形，请说明理由．【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在四边形中，已知对角线，点E，F，G，H分别为，边上的中点，连接．求证：四边形为菱形．【变式1-3】（2023·陕西宝鸡·一模）问题提出如图，在中，．若，则的值为__________．问题探究如图，在四边形中，对角线、BD相交于点，、、、分别为AB、、CD、AD的中点，连接、、、．若，求四边形EFGH的面积．问题解决如图，某市有一块五边形空地，其中米，米，米，米，现计划在五边形空地内部修建一个四边形花园，使点、、、分别在边AB、、CD、上，要求请问，是否存在符合设计要求的面积最大的四边形花园？若存在，求四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由．【变式1-4】（2024·宁夏银川·一模）如图1．在中，D、E分别为的中点，连接：操作1．将绕点E按顺时针方向旋转到的位置．操作2．延长到点F，使，连接．试探究与有怎样的位置关系和数量关系？（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理，．【结论应用】（2）如图2，四边形中，对角线相交于点O，四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次连接，得到四边形．

①求证：四边形为平行四边形；②当与满足时，四边形是矩形，当与满足时，四边形是菱形.③若，，，求四边形的面积．【问题解决】（3）如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点P和点Q分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度．

【变式1-5】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识．如图①，菱形纸片中，．

(1)活动一：如图②，折叠菱形纸片，使点落在点处，则折痕的长为_________；菱形纸片的面积是_________；(2)活动二：如图③，分别是菱形纸片各边的中点，分别沿着折叠并展开．猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想；(3)活动三：如图④，先将菱形纸片沿折叠再展开，点分别在边上且，再分别沿着折叠再展开，若四边形是正方形，则_________；(4)活动四：如图⑤，折叠菱形纸片，使点落在边的中点处，则折痕的长为_________．题型二：十字架模型在正方形或矩形中存在两条线段相交且垂直,因其形似“十字架”,所以我们称其为“十字架”模型.类型正方形过顶点型矩形过顶点型图示条件在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,AE⊥BF在矩形ABCD中,点在边AD上,CE⊥BD解题思路利用正方形的各边相等且四个角均为直角,及AE⊥BF将同角的余角进行转化,证明△ABF和△DAE全等进行求解利用矩形的四个角均为直角及CE⊥BD将同角的余角进行转化.证明△BCD和△CDE相似,进而得到对应边成比例进行求解结论△ABF≌△DAE.BF=AE【中考母题学方法】【典例2-1】（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（

）A．2 B．2 C．6 D．5【典例2-2】（2024·重庆·模拟预测）学习了正方形后，小飞同学对正方形中两条互相垂直线段，且两条线段的端点分别在正方形两组对边上的数量关系进行探究．请根据他的思路完成以下作图与填空：如图，正方形中，点F、E、G分别在上，且．(1)尺规作图：过点G作垂线交于点H．（只保留作图痕迹）(2)证明，将下面的过程补充完整．证明：四边形是正方形，，，，，①，，，②，四边形为矩形，，③．（④____）．【典例2-3】（2024·河南·一模）综合与实践数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．

甲小组同学的证明思路如下：由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得．乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下：由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）【发现问题】同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．【迁移探究】（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．①在图2中，已知，求证：；②在图3中，若，则的度数为多少?【拓展应用】（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．【典例2-4】（2024·河南商丘·三模）（1）【操作判断】如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则与的数量关系为；（2）【迁移探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且与交于点O，试说明（1）中的结论是否发生变化，如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明；（3）【拓展应用】如图3，在中，，当点D为的三等分点，且时，直接写出与的数量关系．【中考模拟即学即练】【变式2-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由；【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______；【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值；【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______．【变式2-2】（2024·湖北恩施·三模）综合与探究问题背景：如图3，四边形是矩形，，点G、H、E分别是线段、、上的动点，连接，过点E作的垂线交线段于点F（只考虑F在上的情况）

（1）①如图1，当点G运动到A点，点E运动到B点时，若，，，则的值为______（直接写答案）②如图2，当点G不与A点重合，点E运动到B点时，若，试求的值．问题探究：（2）如图3，当G不与A重合，E不与B重合时，用含m的式子表示的值．问题拓展：（3）如图4，将背景问题中的矩形改成已知“在四边形中，，，，，则的值为______．（直接写答案）【变式2-3】（2023·广东深圳·模拟预测）【探究证明】（1）如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB、CD于点E、F，GH分别交AD、BC于点G、H，求证：；【模型应用】（2）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求的值．【变式拓展】（3）如图3，平行四边形，，，直线与平行四边形相交，将平行四边形沿直线l折叠，当其中有一组对角顶点重合时，请直接写出折痕的长度．题型三：对角互补模型模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型【中考母题学方法】【典例3-1】（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在中，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，过点D作的垂线交直线于点F．

【初步感知】(1)如图1，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当，且点F在线段上时，试探究线段之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）【拓展运用】(3)如图3，连接，设的中点为M．若，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．【典例3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在矩形中，（n为正整数），点E是边上一动点，P为中点，连接，将射线绕点P按逆时针方向旋转，与矩形的边交于点F．【尝试初探】（1）在点E的运动过程中，当点F在边上时，试探究线段，之间的数量关系，请写出结论并证明；【深入探究】（2）若，在点E的运动过程中，当点F在边上时，求的最小值；【拓展运用】（3）若，设的中点为M，求点E从点B运动到点C的过程中，点M运动的路程（用含n的代数式表示）．【典例3-3】（2024·河南·一模）已知，点是的角平分线上的任意一点，现有一个直角绕点旋转，两直角边，分别与直线，相交于点，点.（1）如图1，若，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由.（2）如图2，若点在射线上，且与不垂直，则（1）中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段，，之间的数量关系，并加以证明.（3）如图3，若点在射线的反向延长线上，且，，请直接写出线段的长度.【典例3-4】（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点.（1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由；（2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.【典例3-5】（2024·江苏淮安·一模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，我们做以下探究．在中，，，是边上一点，且(为正整数），、分别是边和边上的点，连接，且．【初步感知】（）如图，当时，兴趣小组探究得出结论：，请写出证明过程．【深入探究】（）如图，当，试探究线段，，之间的数量关系，请写出结论并证明；请通过类比、归纳、猜想，探究出线段，，之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不必证明）．【拓展运用】（）如图，点为靠近的四等分点，连接，设的中点为，若，求点从点运动到点的过程中，请直接写出点运动的路径长．【中考模拟即学即练】【变式3-1】（2024·江苏·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（

）A． B．9 C．6 D．7．2【变式3-2】（2024·安徽六安·三模）在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如图，在直角三角形纸片

内剪取一个直角，点，，分别在，，边上．请完成如下探究：（1）当为的中点时，若，

（2）当，、时，的长为

【变式3-3】（2024·陕西·一模）问题提出(1)如图1，将直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E，线段PB和线段PE相等吗？请证明；问题探究(2)如图2，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；问题解决(3)继续移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【变式3-4】（2024·吉林长春·一模）【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴．如图所示，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E．将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有：角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等．已知：如图所示，是的平分线，点P是上的任意一点，，，垂足分别为点D和点E．求证：．分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证得．（1）请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．【定理应用】（2）如图②，已知是的平分线，点P是上的任意一点，点D、E分别在边上，连结，．若，，则的长为______．（3）如图③，在平行四边形中，，平分交于点E，连结，将绕点E旋转，当点C的对应点F落在边上时，若，则四边形的面积为______．【变式3-5】（2024·北京·一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．题型四：半角模型“半角”模型是从正方形的一个顶点出发,引出两条形成45°角的射线,这两条射线与正方形的两边相交,从而形成一个特殊的几何图形,如图①,四边形ABCD为正方形,点EF分别在边BC、CD上,∠EAF=45°解决此类问题的方法是通过旋转构造全等三角形,具体操作如下:第一步:如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,使AD与AB重合,点F落在点G处;第二步:由旋转可知∠ABG=∠D=90°,∠BAG=∠DAF,AG=AF,可得到G、B、E三点共线∠GAE=∠EAF=45°；第三步:得到结论:①∠GAF=90°;②ΔAGE≌ΔAFE;③EF=BE+DF.【中考母题学方法】【典例4-1】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【典例4-2】（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少（结果取整数，参考数据：）．【典例4-3】（2022·贵州黔西·中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且．(1)当时，求证：；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，，垂足为K，交AC于点H且．若，，请用含a，b的代数式表示EF的长．【典例4-4】（2022·贵州贵阳·中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，为边上的高，，点在边上，且，点是线段上任意一点，连接，将沿翻折得．(1)问题解决：如图①，当，将沿翻折后，使点与点重合，则______；(2)问题探究：如图②，当，将沿翻折后，使，求的度数，并求出此时的最小值；(3)拓展延伸：当，将沿翻折后，若，且，根据题意在备用图中画出图形，并求出的值．【典例4-5】（2022·辽宁朝阳·中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，连接AC．求证：BC+CD＝AC．

(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE＝BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，从而得到∠B＝∠ADE，然后证明ADE≌ABC，从而可证BC+CD＝AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．【中考模拟即学即练】【变式4-1】（2024·江苏苏州·模拟预测）问题情境：如图1，在四边形中，，，E、F分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使DG＝，连接，先证明，再证明，可得出，，之间的数量关系．实际应用：如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化，四周修有步行小径，且，，在小径，上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，米，米，试在小王同学研究的基础上，求两凉亭之间的距离．【变式4-2】（2023·吉林长春·二模）【问题呈现】如图①，点、分别在正方形的边、上，，试判断、、之间的数量关系．小聪同学延长至点，使，连接，可证，进而得到，从而得出、、之间的数量关系为______不需要证明．【类比引申】如图②，四边形中，，，，点、分别在边、上，请回答当与满足什么关系时，仍有【问题呈现】中、、之间的数量关系，并给出证明．【探究应用】如图③，在四边形中，，，，，点、分别在线段、上，且，，直接写出线段的长．【变式4-3】（2024·广东深圳·一模）综合与探究【问题背景】北师大版数学八年级下册P89第12题（以下图片框内）．【初步探究】（1）我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，，，．求证：．【类比探究】（2）如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．【深入探究】（3）如图3，D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．【拓展应用】（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．【变式4-4】（2024·四川达州·模拟预测）[初步探究]（1）如图1，在与中，，，，易得．请你写出证明过程．[解题反思]以上我们可以把图形的旋转与图形全等联系起来，并可以把特殊角度一般化．[类比探究]（2）如图2，在边长为3的正方形中，E，F分别是，上的点，且．连接，，，若，请直接写出的长．[深入探究]（3）如图3，D，P是等边外两点，连接并取的中点M，且，．试猜想与的数量关系，并证明你的结论．[拓展应用]（4）如图4，在四边形中，，，，，，请直接写出的长．【变式4-5】（2023·河南·模拟预测）问题背景如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的点，且，连接，探究之间的数量关系．(1)探究发现

李雷同学的方法是将绕点A顺时针旋转至的位置，然后再证明，从而得到之间的数量关系为：______；(2)拓展延伸

如图2，在四边形中，，，点E，F分别是边上的点，且，连接，则（1）中结论是否仍然成立？并说明理由；(3)归纳应用

如图3，等边三角形的边长为4，点D，E在直线上（点D在点E的左侧），且，当时，请直接写出线段的长．题型五：四边形中特殊角度问题类型图示条件结论含60°角的菱形四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD交于点O，∠ABC=60°ABD=∠CBD=30°;△ABC和△ACD均为等边三角形；对角线夹角为60°的矩形四边形ABCD为矩形,对角线AC与BD交于点O，∠AOB=60°∠ABO=2∠CB0=60°△AOB和ACOD均为等边三角形；【中考母题学方法】【典例5-1】（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是．

【典例5-2】（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将AB绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为．

【典例5-3】（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）矩形的对角线，BD相交于点，点在矩形边上，连接．若，，则．【考模拟即学即练】【变式5-1】（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交AD于点，连接．若，则的度数是（

）A． B． C． D．30°【变式5-2】（2024·重庆铜梁·一模）如图，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为，，连接．若，则一定等于（

）A． B． C． D．【变式5-3】（2024·天津·三模）已知四边形内接于，为的直径，，连接．(1)如图①，若D为弧的中点，求，求和的大小：(2)如图②，若，C为弧的中点，过点作的切线与弦的延长线相交于点E，求的长．【变式5-4】（2024·广西南宁·三模）综合与实践【问题情境】四边形是边长为5的菱形，与相交于点O，将绕点B按顺时针方向旋转得到，点C，D旋转后的对应点分别为E，F，旋转角为α．【观察思考】（1）如图1，当点F第一次落在对角线上时，求与的数量关系以及α的度数．【探究证明】（2）如图2，当，且时，与交于点G．试判断四边形的形状，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，连接，在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请直接写出线段的长．【变式5-5】（2024·上海·模拟预测）已知菱形的边长为1，，等边两边分别交、于E，F．(1)如图1，若点、分别是边、的中点，求证：菱形对角线、的交点即为等边的外心；(2)如图2，当E，F分别是边、的中点时，过等边的外心点O的一直线交边于M，边于G，边的延长线于N，求：的值；(3)如图3，若点E，F始终在边，上移动，等边外心为P，求：的度数．【变式5-6】（2024·贵州贵阳·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了特殊的平行四边形后，结合图形旋转的知识探索相应的数学问题．如图①，E是正方形边上一点（E点不与B，C重合），连接，将绕点E顺时针旋转到，使，连接CF．(1)【问题探究】在AB上截取，连接，此时，则等于度；(2)【拓展延伸】当正方形变为菱形时，若°，其余条件不变，如图②，请写出与的数量关系，并说明理由；(3)【联系应用】在（2）的条件下，当时，若，求CF的长．【变式5-7】（2024·安徽·模拟预测）如图，在菱形中，为边的中点，连接交延长线于点，平分交于点，连接．(1)如图1，求的大小；(2)如图1，证明：点为线段的三等分点；(3)如图2，连