2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型13 特殊相似三角形五大热考模型（原卷版）

难点与解题模型13特殊相似三角形五大热考模型

题型一：8字模型

题型二：A字模型

题型三：8字与A字模型综合

题型四：旋转(手拉手)模型

题型五：一线三等角模型

题型一：8字模型

8字——平行型

条件：CD∥AB,

结论：ΔPABΔPCD(上下相似);

∼

左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;

四边形ABCD为一般梯形.

条件：CD∥AB,PD=PC.

结论：ΔPABΔPCDΔPDC(上下相似)

∼∼

ΔPAD≅ΔPBC左右全等；

四边形ABCD为等腰梯形；

8字——不平行型

条件：∠CDP=∠BAP.

结论：ΔAPBΔDPC(上下相似);

∼

ΔAPDΔBPC(左右相似);

∼

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，以ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点

1

E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，

2

交CD的延长线于点H．

(1)由以上作图可知，1与2的数量关系是_______

(2)求证：CBCH

(3)若AB4，AG2GD，ABC60，求VBCH的面积．

【典例1-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在ABCD中，点M,N在AD边上，AMDN，连接CM并延

长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交的延长线于点F．求证：AEDF．小丽的思考过程如下：

𝐶

参考小丽的思考过程，完成推理．

【典例1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD，BCD的

平分线，且E、F分别在边BC，AD上．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若ADC60，DF2AF2，求GDF的面积．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边

DP1𝐶

上，点C落在点N处，MN与交于点P，折痕分别与边，交于点E，F，连接．若＝，

CP2

AE𝐶𝐴𝐶��

则的值是．

BE

【变式1-2】（2023·江苏南通·一模）正方形ABCD中，AB2，点E是对角线BD上的一动点，

DAE45.将VADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．

(1)当045时，求DBG的度数(用含的式子表示)；

DG

(2)点E在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由；

DE

(3)若BFFG，求的值．

【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴

上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x26x80的两个根OBOC．请解答下列问题：

(1)求点B的坐标；

(2)若直线yxb分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于

1OD

点N，tanMND，求的值；

3OC

(3)在（2）的条件下，在直线EF上是否存在点P（不与点E重合），使△NCE与NCP相似？若存在，请求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：A字模型

A字模型

如图一

模型一：平行A字型

ADAEDE

如图一，在ABC中，DE//BC

ABACBC

如图二

模型二：非平行A字型（也称为反A字型）

ADAEDE

如图二，在ABC中，AEDC

ABACBC

如图三

模型三：非平行A字型（也称为母子型）

ADABDB

(1)

如图三，在ABC中，ABDCABACBC

2

(2)ABADAC

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为VAOB的OA边上一点，

AC:OC1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（）

A．4B．5C．6D．7

【典例2-2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD

的面积为S1，VAOB的面积为S2．

SOCOD

（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：1

S2OAOB

（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OEOC，过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的

OE5S1

中点，OH交EF于点G，且OG2GH，若，求值．

OA6S2

【典例2-3】（母子型）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在VABC中，点D在边BC上．若

BADC，则AB2BDBC，请证明；

（2）【灵活运用】如图2，在VABC中，BAC60，点D为边BC的中点，CACD2，点E在AB上，

连接AD，DE．若AEDCAD，求BE的长；

（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB5，点E，F分别在边AD，CD上，ABC2EBF，

延长AD，BF相交于点G．若BE4，DG6，求FG的长．

【典例2-4】（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似

进行了深入研究．

（一）拓展探究

如图1，在VABC中，ACB90,CDAB，垂足为D．

（1）兴趣小组的同学得出AC2ADAB．理由如下：

ACB90AB90

∽

CDABAAABCACD

AB

ADC90②______

AC

2

AACD90ACADAB

B①______

请完成填空：①______；②______；

（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当ACEAFC时，请判断AEB

的形状，并说明理由．

（二）学以致用

（3）如图3，VABC是直角三角形，ACB90,AC2,BC26，平面内一点D，满足ADAC，连接CD

并延长至点E，且CEBCBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．

【典例2-5】（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图

【阅读理解】

任务：如图1，点D、E分别在VABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的

中点．

操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、

BC的中点．

DMAMEMAM

理由：由DE∥BC可得ADM∽ABN及△AEM∽△ACN，所以，．所以，

BNANCNAN

DMBNDMMPEMMPDMCN

．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，．所以．所

EMCNCNNPBNNPEMBN

BNCN

以，则BNCN，DMEM，即M、N分别为DE、BC的中点．

CNBN

【实践操作】

请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

∥

（1）如图3，l1l2，点E、F在直线l2上．

①作线段EF的中点；

②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得PFEF；

（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）

∥

的线段．如图4，l1l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3P3P4P1P2．点E、F在直线l2

上，请在图4中作出线段EF的三等分点；

【探索发现】

请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

1

（3）如图5，DE是VABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）．

3

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段，相交于点O，ADCD，AO2，AB5．求

OD

．𝐴𝐶

OC

【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知：VABC中，D为BC边上的一点．

(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB5，BD9，DC6，求DE的长；

(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使DFAA；（保留作图痕迹，不要求写作法）

1

(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若DFAA，FBC的面积等于CDAB，以FD为半径

2

作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由．

【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·一模）【知识回顾】

（1）如图1，在VABC中，AD是BC边上的中线，AB4,AC3，求AD的取值范围．

小明和小刚两名同学从不同角度进行思考，给出了两种解题思路．

①小明同学的思考过程：在VABC中，已知两边AB和AC的长度，根据条件只能直接求出BC边的取值范

围．而要想求中线AD的取值范围，只有将中线AD转化到一个三角形的两边长度是已知量的第三条边上．如

图2，可以延长AD到点E，使DEAD，连接EC，这样就构造了△ACE，将求AD的取值范围，转化为

求△ACE的边AE的取值范围；

②小刚同学的解题思路与小明基本一致，也是构造三角形，只是构造方法不同．如图3，过点C作CF∥AD

交BA延长线于点F，于是得到△ACF．进而将求AD的取值范围，转化为求CF的取值范围．

请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程．

【迁移应用】

（2）请你依照上述两名同学的解题思路或者按照自己的思路，解答下面问题．

如图4，在VABC中，D是BC边的中点，点E在AC边上，CE2AE,AB8,AC6，求DE的取值范围．

【能力提升】

（3）如图5，在正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，AB3，点G在BC边上，E为平面内一点且

BEBG1，以AE为斜边，在AE的右侧作等腰直角三角形AEF，连接，求GF的取值范围．

【变式2-4】（2023·江苏淮安·二模）我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的

一半，如何证明三角形中位线定理呢？

(1)【方法回顾】证明：三角形中位线定理．

已知：如图，在VABC中，D、E分别是AB、AC的中点．

1

求证：DE∥BC，DEBC．

2

证明三角形中位线性质定理的方法很多，但多数都需要通过添加辅助线构图去完成，下面是其中一种证法

的添加辅助线方法，阅读并完成填空：

添加辅助线，如图1，在VABC中，过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F．可证VADE≌______，

根据全等三角形对应边相等可得DEEF，然后判断出四边形BCFD是______，根据图形性质可证得

1

DE∥BC，DEBC．

2

(2)【方法迁移】如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，A90，D120，E为AD的中点，G、F

分别为AB、CD边上的点，若AG3，DF4，GEF90，求GF的长．

CG

(3)【定理应用】如图3，在VABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，KK1，

BG

AB

延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F，直接写出的值（用含K的式子表示）．

AF

【变式2-5】（母子模型）（2024·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABDE中，ABCBDE，点C在边BD

上，且AC∥DE，AB∥CE，点F在边AC上，且AFCE，连接BF,DF，DF交CE于点G．

(1)求证：BFDF；

(2)如图2，若ACECDF，求证：CECFBFDG；

BC

(3)如图3，若延长BF恰好经过点E，求的值．

CD

题型三：8字与A字模型综合

如图，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC，形象地说图①为“A”字形，图②为“8”字形，它们都是平行

线型的基本图形．

【中考母题学方法】

【典例3-1】（2023·四川雅安·中考真题）如图，在ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延

长线交BA的延长线于点G，EF1，EC3，则GF的长为（）

A．4B．6C．8D．10

【典例3-2】（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交与点O，

OF5

点E在BC延长线上，OE与CD相交与点F．若ACD2OEC，，则菱形ABCD的面积

FE6

为．

【中考模拟即学即练】

【变式3-1】（2024·浙江宁波·二模）已知在等腰VABC中，ABAC，E是BC的三等分点且靠近点B，

F是AC的中点，过点C作CD∥AB交EF延长线于点D．

(1)求EF:DF的值；

(2)连接AE，若DEAB，BE2，求AE的值．

4

【变式3-2】（2023·江苏泰州·一模）如图1，在菱形ABCD中，AB5，sinABC，E为对角线AC上一

5

点，F在BC上运动，连接FE并延长交BA的延长线于点G，交AD于点H．

(1)求菱形ABCD的面积；

(2)如图2，若点E是AC的中点；

5

①当CF时，求AG的长；

3

②若AGH的面积为2，求CF的长；

AE21

(3)记m，是否存在一个m的值，使得点F在BC上运动时，为定值，若存在，请求出这个定

ECBFBG

值，并直接写出CF的长的取值范围；若不存在，请说明理由．

题型四：旋转(手拉手)模型

模型展示：

将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形，即△ABC∽△ADE.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2023·湖南常德·中考真题）如图1，在Rt△ABC中，ABC90，AB8，BC6，D是AB

上一点，且AD2，过点D作DE∥BC交AC于E，将VADE绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中

BD

的值为．

CE

【典例4-2】（2022·山东烟台·中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请

BD

直接写出的值．

CE

ABAD3

(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连

BCDE4

接BD，CE．

BD

①求的值；

CE

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

【典例4-3】（2023·四川巴中·中考真题）综合与实践．

(1)提出问题．如图1，在VABC和VADE中，BACDAE90，且ABAC，ADAE，连接BD，连

接CE交BD的延长线于点O．

①BOC的度数是___________．

②BD:CE__________．

(2)类比探究．如图2，在VABC和DEC中，BACEDC90，且ABAC，DEDC，连接AD、BE

并延长交于点O．

①AOB的度数是___________．

②AD:BE___________．

(3)问题解决．如图3，在等边VABC中，ADBC于点D，点E在线段AD上（不与A重合），以AE为边

在AD的左侧构造等边△AEF，将△AEF绕着点A在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，M为EF的中点，

N为BE的中点．

①试说明MND为等腰三角形．

②求MND的度数．

【典例4-4】（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固

定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE

中，ABAD3，BCDE4，ABCADE90．

【初步感知】

BD

（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．

CE

【深入探究】

（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在VABC的中线BM的延长线上时，延长ED交

AC于点F，求CF的长．

【拓展延伸】

（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有

直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．

【中考模拟即学即练】

【变式4-1】（2022·广西钦州·模拟预测）【问题发现】VABC和VADE可以绕点A旋转且均为等边三角形，

班长在探究发现，当点B，D，E在同一条直线上如图1所示，则有：①BDCE；②BEC60．他的

理由如下：

∵△ACB和VADE均为等边三角形，

∴ABAC，ADAE，BACDAE60，ADEAED60，

∴BACDACDAEDAC，即BADCAE，

ABAC

在△ABD和△ACE中，BADCAE，

ADAE

∴△ABD≌△ACESAS，

∴BDCE，BDA=CEA，

∵点B，D，E在同一直线上，

∴ADB18060120，

∴AEC120，

∴BECAECAED1206060，

综上，可得BEC60；BDCE．

(1【)类比探究】VABC和VADE可以绕点A旋转且均为等腰直角三角形，其中ACBAED90，ACBC，

AEDE．当点B，D，E在同一条直线上如图2所示，请你类比以上（1）【问题发现】先判断线段BD，

CE之间的数量关系及BEC的度数，然后写出你的理由．

(2)【拓展应用】如图3，VABC和VADE可以绕点A旋转且均为直角三角形，其中ACBAED90，

A30，AB5，AE3．现将VADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE的长是多少？（直

接写出答案）

【变式4-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学

活动，下面是同学们进行相关问题的研究．

【观察猜想】如图①，△ACB和△EDB均为等边三角形，当点E、D分别在AB、CB边上，易证：AECD，

ABC60．

【实践发现】如图②，将图①中的△EDB绕着点B逆时针旋转，连接AE、CD，线段AE与线段CD的数

量关系为，直线AE与直线CD相交，所夹锐角为°；

【类比探究】△ACB和△EDB均为直角三角形，ACBEDB90．

（1）观察感知：如图③，当ABC=45且点E、D分别在AB、CB边上，易证：AE2CD；

（2）问题呈现：如图④，将图③中的△EDB绕着点B逆时针旋转，连接AE、CD．直线AE与直线CD交

于点M．线段AE与线段CD的数量关系为，AMC°；

（3）探究证明：如图⑤，当ABCEBD30时，线段AE与线段CD的数量关系是什么？请说明理由，

此时，AMC°；

（4）拓展应用：在（3）的条件下，若BC18，BD12，将△EDB绕点B逆时针旋转一周，在整个旋转

过程中，当点A、E、D三点共线时，请直接写出点C到直线AE的距离．

【变式4-3】（2022·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践

“手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理

等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用．

某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究：

如图①，已知VABC和VADE均是等腰直角三角形，BACDAE90，且ABAC，ADAE，易证：

BDCE，BDCE．

深入探究：

（1）如图②，将图①中VABC绕点A逆时针旋转090，连接BD、CE，并延长CE分别与AB、

BD相交于点G、F，求证：BDCE，BDCE．

解决问题：

（2）如图③，将图①中VABC绕点A逆时针旋转90，使AE与AB重合，其他条件不变，若AB6，AD3，

则CE_______，DF_______．

拓展应用：

（3）如图④，将图①中VABC绕点A逆时针旋转90180，连接BD、CE，若AB42，BE3，

ABE=45，则BD______，AD______．（提示：求AD时，可过点E作EHAB于点H）

【变式4-4】（2024·陕西西安·模拟预测）【计算与推理】

（1）如图1，ABCF，AC与DF交于点E，E为DF的中点，AB10，CF6，则BD的长为_______；

（2）数学课上张老师拿了一块大三角板ABC和一块小三角板EDC，其中CBACDE90o，按如图2

所示位置放置，使两个三角板的60角的顶点C重合．连接BD、AE，当CDE绕点C顺时针旋转时，试判

断BD，AE的值是否变化？如果不变，请求出BD，AE的值，如果变化，请说明是如何变化并加以证明：

【操作与探究】

（3）现有一块足够大的木板，为参加学校科技节比赛，小明想在这块木板上裁出一个等边三角形（△CEF）

部件做模型，他的操作如下：

第一步：用两块大小不一的含60角的直角三角板ABC和ADE按如图3所示位置放置，其中

ACBAED90，含有60角的顶点A重合，分别延长DE、BC交于点P，连接BD，得到△BDP；

第二步：取BD的中点F，分别连接EF、CF，CE，得到△CEF．

请问，按上述操作，裁得的△CEF部件是否符合要求？请说明理由．

题型五：一线三等角模型

模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称

为“一线三等角”型相似．

【中考母题学方法】

【典例5-1】（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，

ADE60，若BD4DC，DE2.4，则AD的长为（）

A．1.8B．2.4C．3D．3.2

【典例5-2】（2023·黑龙江·统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下

操作：

第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；

第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．

根据以上的操作，若AB8，AD12，则线段BM的长是（）

A．3B．5C．2D．1

【典例5-3】（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻

折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．

(1)求证：△EDP∽△PCH．(2)若P为CD中点，且AB2,BC3，求GH长．

(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．

【中考模拟即学即练】

【变式5-1】（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在VABC中，ABC，将边AC绕点C顺

时针旋转得到线段CE，在射线BC上取点D，使得CDE，线段BC与DE的数量关系是______；

1

（2）类比探究：如图2，若90，作ACE90，且CEAC，其他条件不变，写出变化后线段BC

2

与DE的数量关系，并给出证明；

（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE2，把线段CE逆时针旋

转90得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．

【变式5-2】（2024·广东佛山·模拟预测）综合探究

如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，□ABCD的顶点B、C在x轴上，A在y轴上，OAOC2OB4，

直线yxt(2t4)分别与x轴、y轴、线段AD、直线AB交于点E、F、P、Q．

(1)当t1时，求证：APDP．

(2)探究线段AP、PQ之间的数量关系，并说明理由．

(3)在x轴上是否存在点M，使得PMQ90，且以点M、P、Q为顶点的三角形与VAOB相似，若存在，

请求出此时t的值以及点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式5-3】（1）问题

如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPCAB90时，求证：ADBCAPBP．

（2）探究

若将90角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．

（3）应用

如图3，在VABC中，AB22，B45，以点A为直角顶点作等腰RtADE．点D在BC上，点