2025年中考数学一轮知识梳理难点04 特殊三角形的常考题型（8大热考题型）（原卷版）

难点04特殊三角形的常考题型

（8大热考题型）

题型一：等腰三角形的性质

题型二：等腰三角形的判定

题型三：等腰三角形的构造与个数问题

题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题

题型五：等边三角形的性质与判定的综合

题型六：含有30°锐角的直角三角形

题型七：斜边上的中线

题型八：勾股定理及其应用

题型一：等腰三角形的性质

【中考母题学方法】

1

【典例1】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，VABC中，ABAC，分别以B，C为圆心，大于BC长为

2

半径画弧，两弧交于点D，连接BD，CD，AD，AD与BC交于点E．

(1)求证：△ABD≌△ACD；

(2)若BD2，BDC120，求BC的长．

【变式1-1】（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其

中△OAB与ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，

OEOF．下列推断错误的是（）

A．OBODB．BOCAOB

C．OEOFD．BOCAOD180

【变式1-2】（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．

【变式1-3】（2024·山东济南·中考真题）如图，已知l1∥l2，VABC是等腰直角三角形，BAC90，顶点

A,B分别在l1,l2上，当∠170时，2．

【变式1-4】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在VABC和VADE中，ABAC，BACDAE40，

将VADE绕点A顺时针旋转一定角度，当ADBC时，BAE的度数是．

【中考模拟即学即练】

1．（2025·山东临沂·一模）如图，在同一平面内，将VABC绕点A旋转得到△ABC，使得CC∥AB，已

知ACC75，则CAB（）

A．30B．35C．40D．45

2．（2023·辽宁营口·三模）已知AOB为一锐角，如图，按下列步骤作图：

①在OA边上取一点D，以O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点C，连接CD．

②以点D为圆心，DO长为半径画弧，交OB于点E，连接DE．若CDE30，则AOB的度数为（）

A．20B．30C．40D．50

3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图是一张三角形纸片，其中ABAC10，BC12，按如下步骤折纸：

第一步：将该纸片对折，点B与点C重合，折痕为AD；

第二步：展开后，再将该纸片折叠；折痕为BE，点A的对称点A恰好落在AC上

根据以上折纸过程，可以求出折痕BE的长度为（）

A．10B．9.8C．9.7D．9.6

4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF∥AC，

且BFAE，连接CF．若AC13，BC10，则四边形EBFC的面积为．

1

5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，A40，分别以点A，点B为圆心，大于AB

2

为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN，直线MN与AC交于点D，连接，则DBC的度数

为．𝐵

6．（2024·安徽合肥·三模）如图，在VABC和VADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90，分

别连接BD，CE，延长EC交BD于F．

（1）若CBD66，则ACE；

（2）连接AF，若AF3，DF4，则EF的长为．

题型二：等腰三角形的判定

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，ADAB，ADa，AB10．以

点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分

1

别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在AEC的

2

内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为（用含a的代数式表示）．

【变式2-1】（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是VABC边AB，AC的中点，连接BE，DE．若

AEDBEC,DE2，则BE的长为

【变式2-2】（2024·四川自贡·中考真题）如图，在VABC中，DE∥BC，EDFC．

(1)求证：BDFA；

(2)若A45，DF平分BDE，请直接写出VABC的形状．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分ABC交AD于点E，CF平分BCD交

AD于点F，若BC7,EF1，则AB为（）

A．4B．3.5C．3D．2.5

2．（2024·海南三亚·二模）如图，EF是VABC的中位线，BD平分ABC交EF于点D，若AE2，DF1，

则边BC的长为（）

A．5B．6C．7D．8

3．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在AOB上，两把直尺的

接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，则OC的长度是

4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在VABC中，AD平分BAC，DE∥AC交AB于点E，若DE2，

BE2DE，则AB的长为．

5．（2024·湖南长沙·二模）如图，在VABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交

AB于M，交AC于N，若BMCN8，则线段MN的长为．

6．（2024·山西太原·二模）如图，在ABCD中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以

适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F；②分别以E，F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧

交于点G，作射线BG，与边AD交于点H；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交于边BC于点M．若AB5，

BH8，则点A，M之间的距离为（）

A．5B．6C．7D．8

7．（23-24九年级下·宁夏中卫·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的96网格，点A，B，C，D，E，

F均在格点上．下列结论：

①连接BD，点A与点F关于BD成轴对称；

②连接BC，BF，CF，则VBCF是等腰三角形；

③连接AF，点B，E到线段AF的距离相等．

其中，正确结论的序号是．

8．（2024·海南海口·一模）如图，在RtABC中，C90，AC4，BC3，点D是AC边上的一点，

过点D作DFAB，交BC于点F，作BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若ABE的面积是2，则点

DE

E到的距离为，的值是．

EF

��

9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在VABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE∥交CO的

延长线于点E．𝐵

(1)求证：AEBD；

(2)若ACB90，BDOCAO，AC6，求的长．

10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：AC�B�C，ADBD，ACBD．

(1)如图1，求证：ADBC；

(2)如图2，AC交BD于点E，连接CD，若DEC135，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图

中所有的等腰三角形．

题型三：等腰三角形的构造与个数问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是55的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格

点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三

角形、直�角�三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在��格点上．

【典例2】（2023·浙江宁波·中考真题）在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点

上）．

(1)在图1中先画出一个以格点P为顶点的等腰三角形PAB，再画出该三角形向右平移2个单位后的PAB．

(2)将图2中的格点VABC绕点C按顺时针方向旋转90，画出经旋转后的△ABC．

1k

【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线yx与反比例函数y(x0)的图象交于点A(a,1)，将直线OA

6x

8

向上平移个单位，与y轴交于点C，与双曲线交于点B．

3

(1)求反比例函数和直线BC的表达式；

(2)求点B的坐标；

(3)在x轴上是否存在一点P，使PAB是以PA为腰的等腰三角形，若存在，求出点P坐标；若不存在，请

说明理由．

【变式3-1】（2024·贵州毕节·一模）点A，B在直线l同侧，若点C是直线l上的点，且VABC是等腰三角

形，则这样的点C最多有（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

【变式3-2】（2023·贵州遵义·三模）四边形ABCD是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形ABE的

是（）

A．B．C．D．

【变式3-3】（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形

的点是（）

A．P1B．P2C．P3D．P4

【中考模拟即学即练】

32．（2023·浙江台州·一模）观察下列尺规作图的痕迹，不能判断VABC是等腰三角形的是（）．

A．B．C．D．

4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）如图，抛物线y=x2+4x3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），

与y轴交于点C，连接BC．

(1)直接写出抛物线与x轴的交点坐标及直线BC的解析式；

(2)点P是BC上方抛物线上一点，当S△PBCS△ABC时，求出点P的坐标（不与点A重合）；

(3)在抛物线的对称轴上存在点M，使MAC是等腰三角形，请直接写出此时点M的坐标．

题型四：等腰三角形的性质与判定的综合问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·甘肃兰州·中考真题）观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的

方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作

法如下：

①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置

记为点B，连接；

②木条的端点N�固�定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，

C不在同一条直线上）；

③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落

点记为点��D；��

④用另一根足够长的木条画线，连接，AC，则画出的DAC是直角．

𝐵

操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，BABC，请画出以点A为顶点的直

角，记作DAC；

推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：

证明：ABBCBD，

ABC与△ABD是等腰三角形．

BCABAC,BDABAD．（依据1______）

BCABDABACBADDAC．

DACBCABDA180，（依据2______）

2DAC180，

DAC90．

依据1：______；依据2：______；

拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法

可以减少误差．如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，

记作POQ，使得直角边OP（或OQ）在直线l上．（保留作图痕迹，不写作法）

【变式4-1】（2024·山西·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC，BAC120，分别以点A，C为圆心，

1

大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点E，F，连接EF交边BC于点D，连接AD．若BD8，

2

则ACD的周长为．

【变式4-2】（2024·广东广州·中考真题）如图，在VABC中，A90，ABAC6，D为边BC的中点，

点E，F分别在边AB，AC上，AECF，则四边形AEDF的面积为（）

A．18B．92C．9D．62

【变式4-3】（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，ABDF，

ACDE，BCEF．

(1)求证：GEC是等腰三角形；

(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．

【变式4-4】（2024·四川·中考真题）如图，在四边形ABCD中，A90，连接BD，过点C作CEAB，

垂足为E，CE交BD于点F，1ABC．

(1)求证：23；

(2)若445．

①请判断线段BC，BD的数量关系，并证明你的结论；

②若BC13，AD5，求EF的长．

【中考模拟即学即练】

1

1．（2024·湖北宜昌·一模）如图，分别以点B和点C为圆心，大于BC为半径作弧，两弧相交于A、M两

2

点；作直线AM；连接AB、AC；

(1)VABC是什么三角形？说明理由；

(2)在VABC中，CE是ACB平分线，BF是ABC平分线．求证：BFCE．

2．（2025·江苏·一模）某段河流的两岸是平行的，某数学老师带领甲，乙两个数学兴趣小组，在不用涉水过

河的情况下，去测得河的宽度，结果都获得了准确的答案．

组

方案

别

①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②沿河岸直

甲行15m处有一棵树C，继续前行15m到达点D处；③从点D处沿河岸垂直的

组DE方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的点E处时（即点A、C、E在

同一直线上），停止行走；④测得DE的长为10m．

①在河岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，即AB垂直河岸；②从点B出

乙

发，沿着与直线AB成50角的BC方向前进到C处，在C处测得C25，

组

③量出BC的长，它就是河宽（即点A、B之间的距离）

问题解决

（1）根据甲组的方案，

①河的宽度是m；

②请说明他们做法的正确性（需写出必要的过程）

（2）根据乙组的方案，请写出在判断过程中，他们都用到了哪些数学几何知识？（至少2条）

3．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在VABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作

ADAB交BE的延长线于点D，CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且

ACFCBG．求证：

(1)AFCG；

(2)CF2DE．

4．（2024·云南昆明·一模）如图，在等腰直角ABC中，ABC90，点D在AC上，将ABD绕顶点B沿

顺时针方向旋转得到CBE．

90°

(1)求DCE的度数；

(2)若AD5，CD35，求的长．

5．（2024·广东湛江·模拟预测�）�如图，把一个含有30角的直角三角尺ACB绕着30角的顶点B顺时针旋转，

使得点A与CB延长线上的点E重合，其中点C的对应点为点D，连接CD．

(1)△CBD是_____三角形，DCB的度数是_____

(2)若BC4，求△CBD的面积．

6．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC8，点E是边AD上的动点，连接CE，

以CE为边作矩形CEFG(点D、G在CE的同侧)，且CE2EF，连接BF．

(1)如图1，当点E在AD的中点时，点B、E、F在同一直线上，求BF的长；

(2)如图2，当BCE30时，求证：线段BF被CE平分．

7．（2025·贵州·模拟预测）小红在学习了等腰三角形相关性质后，对等腰直角三角形的性质进一步探究．在

等腰直角VABC中，BAC90，ABAC，点E是直线AB上一点，点D是直线BC上一点，ECED．

(1)【问题解决】当EC平分ACB时，则DEB；

(2)【问题探究】当点E是线段AB上任意一点时，探究线段BD与AE的数量关系，并说明理由；

(3)【拓展延伸】当ABAC4，AE6时，求CD的长长．

题型五：等边三角形的性质与判定的综合

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BDCE，

BE与AD交于点F．求证：ADBE．

【变式5-1】（2024·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当EBC是等边三角形时，AEB

为（）

A．30B．45C．60D．120

【变式5-2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直

线l，m上，若ABE21，则ACD的度数是（）

A．45B．39C．29D．21

【变式5-3】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△DCE，则AEC的度数是．

【变式5-4】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，点C在线段AD上，ABAD，BD，BCDE．

(1)求证：△ABC≌△ADE；

(2)若BAC60，求ACE的度数．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点P是等边VABC内一点，若将BPC绕点B按逆时针方向旋转一个

角度后得到△BPA，连接PP，若BP2，则PP的长度为（）

A．1B．2C．2D．3

2．（2024·湖南·模拟预测）动点P在等边VABC的边AC上，AB4，连接PB，ADPB于D，以AD为

一边作等边VADE，ED的延长线交BC于F，当EF取最大值时，PB的长为（）

71

A．2B．C．23D．2

42

3．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知：如图，等边三角形△OAB的边长为23，边OA在x轴正半轴上，

现将等边三角形△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转60，则第2023次旋转结束后，等边三角形中心的坐

标为．

k

4．（2023·四川达州·模拟预测）如图，VABC是等边三角形，边AB在y轴上，反比例函数yx0的图

x

象经过点C，若AB8，A0,6，则k的值为．

5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA2，将等边

△OAB绕原点顺时针旋转105至△OAB的位置，则点B的坐标为．

6．（2024·湖北·模拟预测）如图，在ABC中，ABAC，将ABC绕点A逆时针旋转，得到ADE，BC，

相交于O，ACE60．

��

(1)判断ABD的形状；

(2)求COD的度数．

7．（2024·浙江宁波·模拟预测）在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接CD，

交AP于点E，连接BE．

(1)依题意补全如图；

(2)若PAB20，求ACE；

(3)若0PAB60，用等式表示线段DE，EC，CA之间的数量关系并证明．

8．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连

接BE．

(1)填空：AEB的度数为______；②线段AD，BE之间的数量关系为______；

(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，ACBDCE90，点A，D，E在同一直线上，CM

为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理

由；

(3)如图3，在△ACB中，ACB90，ACBC6，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段CP绕点

C顺时针旋转90，得到线段CD，连DA，DB，PB，则BD是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不

需要说明理由．

题型六：含有30°锐角的直角三角形

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·海南·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，ABC120，边AB在数轴上，将AC绕

点A顺时针旋转，点C落在数轴上的点E处，若点E表示的数是3，则点A表示的数是（）

A．1B．13C．0D．323

【变式6-1】（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在VABC中，C90，B30，以A为圆心，任意

1

长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于

2

点P，连接AP并延长交BC于点D，若BD4，则CD的长为（）

A．4B．3C．2D．1

【变式6-2】（2024·新疆·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90,A30,AB8．若点D在直线AB上

（不与点A，B重合），且BCD30，则AD的长为．

【变式6-3】（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为6,0，将ABO

绕着点B顺时针旋转，得到△DBC，则点C的坐标是（）

60°

A．33,3B．3,33C．6,3D．3,6

【变式6-4】（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形ABCD为正方形，VADE为等边三角形，EFAB于

点F，若AD4，则EF．

【变式6-5】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC10m，B30，

则中柱（D为底边中点）的长为m．

𝐵

【变式6-6】（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，B=60，BC3，将VABC

绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长

为.

【中考模拟即学即练】

1．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，ACB90，B=60，求作ACB的三等分线．

阅读以下作图步骤：

1

（1）分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，作直线DE交AB于点F，

2

交AC于点H，画射线CF；

（2）以点C为圆心，适当的长为半径画弧，交BC于点M，交CF于点N；

1

（3）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在BCF的内部交于点G，画射线CG，则

2

射线CF,CG即为所求．

下列说法不正确的是（）

1

A．AFCFB．FHCHC．CGABD．VBCF为等边三角形

2

2．（2024·河北·模拟预测）如图，在RtABC，BAC90，AD是BC边上的高，以点B为圆心，适当长为

1

半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，

2

作射线BP交AC于点E，交AD于点F，下列说法不一定正确的是（）

A．ABECBEB．2ABECAD

C．BF2DFD．AFAE

3．（2024·贵州黔东南·二模）如图，VABC中，B=60，BA3，BC5，点E在BA的延长线上，点D在

BC边上，且EDEC．若AE4，则BD的边长为（）

A．2.5B．3.5C．2D．31

1

3．（2023·辽宁锦州·三模）如图，Rt△ABC中，ACB90，A30，分别以点A，C为圆心，大于AC

2

长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，CF与AB交于

点G，若AB4，则CG的长为．

5．（2024·湖北·模拟预测）问题背景如图（1），在VABC与VADE中，ABAC，ADAE，

BACDAE．求证：BDCE．

类比探究如图（2），D，P是等边VABC外两点，连接BD并取BD的中点M，且APD120，MPC60，

试猜想PA与PD的数量关系，并证明你的猜想．

拓展应用如图（3），在四边形ABCD中，ABC60，ADC90，ADCD，AB23，BD42，

直接写出BC的长．

题型七：斜边上的中线

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AB25，AC2，分别以

1

点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点D，

2

E，连接CD，AE．��

(1)求的长；

(2)求��ACE的周长．

【变式7-1】（2024·青海·中考真题）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BDC60，AC6，则BC

的长是（）

A．3B．6C．3D．33

【变式7-2】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在VABC中，D是AC的中点，CEAB，BD与CE交于点

O，且BECD．下列说法错误的是（）

A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E

B．BDC3ABD

C．当E为AB中点时，VABC是等边三角形

S△BOC3

D．当E为AB中点时，

S△AEC4

连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：

【变式7-3】（2024·四川广元·中考真题）如图，将VABC绕点A顺时针旋转90得到VADE，点B，C的对

应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD3，BC1，则AD的长为（）

A．5B．10C．2D．22

【中考模拟即学即练】

1．（2024·甘肃陇南·三模）如图，在VABC中，AC8，点D在BC上，且ABAD，点E和点F分别是AC

和BD的中点，则EF的长是（）

A．3B．4C．5D．6

2．（2024·陕西·模拟预测）如图，在VABC中，ABAC，AE是VABC的高线，BD是VABC的中线，连

接ED．若BC6，AE4．则DE为（）

A．4B．2．5C．3D．7

3．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，VABC，ACB90，点D为斜边AB的中点，CD1，则AB．

4．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形ABC中，ABAC,BD、CE分别是边AC、AB上的中线，且BDCE，

那么tanABC．

5．（2024·浙江宁波·二模）如图，在VABC中，ACB90，AC6，BC8，D是AB的中点，点E，F

分别在边AC，BC上，AE1，将VADE，VBDF分别沿DE，DF翻折使得A与A重合，B与B重合，

若AE∥BF，则BF．

6．（2025·广西柳州·一模）如图，在VABC中，BCAC10，AB16，CD为AB边的高，点A在x轴上，

点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之

沿y轴下滑，并带动VABC在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动．连接OC，线段OC

的长随t的变化而变化，当OC最大时，t．

题型八：勾股定理及其应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，ACB90，AC6，BC4，D是边AC

的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE．

【典例2】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿边EF折叠，使点D在边BC中点M处．若

AB4，BC6，则CF．

【典例3】（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片ABCD中，AB6，BC8，点E、F分别在边AD、BC

上，将纸片ABCD沿EF折叠，使点D的对应点D¢在边BC上，点C的对应点为C，则DE的最小值

为，CF的最大值为．

【变式8-1】（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙

田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何?”问题

大意：如图，在VABC中，AB13里，BC14里，AC15里，则VABC的面积是（）

A．80平方里B．82平方里C．84平方里D．86平方里

【变式8-2】（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，C90，以点B为圆心，适当长为半径作弧，

1

分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在ABC的内部

2

相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF3，AF5，则BF的长为．

【变式8-3】（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为yx，点A1的

坐标为(2,0)，以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O

为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半

径画弧，交直线l于点B3，过点B3作直线l的垂线交x轴于点A4；……按照这样的规律进行下去，点A2024的

横坐标是．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·广东深圳·一模）如图，矩形ABCD中，AB4，BC3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到

矩形ABCD，当点C，B，C三点共线时，AB交DC于点E，则DE的长度是（）

725725

A．