2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型13 特殊相似三角形五大热考模型（解析版）

难点与解题模型13特殊相似三角形五大热考模型

题型一：8字模型

题型二：A字模型

题型三：8字与A字模型综合

题型四：旋转(手拉手)模型

题型五：一线三等角模型

题型一：8字模型

8字——平行型

条件：CD∥AB,

结论：ΔPABΔPCD(上下相似);

∼

左右不一定相似,不一定全等，但面积相等;

四边形ABCD为一般梯形.

条件：CD∥AB,PD=PC.

结论：ΔPABΔPCDΔPDC(上下相似)

∼∼

ΔPAD≅ΔPBC左右全等；

四边形ABCD为等腰梯形；

8字——不平行型

条件：∠CDP=∠BAP.

结论：ΔAPBΔDPC(上下相似);

∼

ΔAPDΔBPC(左右相似);

∼

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2024·山东日照·中考真题）如图，以ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点

1

E，再分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，

2

交CD的延长线于点H．

(1)由以上作图可知，1与2的数量关系是_______

(2)求证：CBCH

(3)若AB4，AG2GD，ABC60，求VBCH的面积．

【答案】(1)12

(2)证明见解析

(3)93

【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，

解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．

（1）根据作图可知，BF为ABC的角平分线，即可得到答案；

（2）根据平行四边形的性质可知1H，结合12，从而推出2H，即可证明；

（3）过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M，根据平行四边形的性质ABCD4，

ABAG1

HCMABC60，，结合AG2GD，推出DHAB，从而得到CH，BC，

DHGD2

1

HMCHsinHCM，最后由SBCHM计算即可．

BCH2

【详解】（1）解：由作图可知，BF为ABC的角平分线

12

故答案为：12

（2）证明：四边形ABCD为平行四边形

AB∥CD

1H

12

2H

CBCH

（3）解：如图，过点H作BC的垂线交BC的延长线于点M

四边形ABCD为平行四边形，AB4

AB∥CD，ABCD4

HCMABC60，ABG∽DHG

ABAG

DHGD

又AG2GD

AG

2

GD

ABAG

2

DHGD

11

DHAB42

22

CHDHCD6

BCCH6

3

HMCHsinHCMCHsin60633

2

11

SBCHM63393．

BCH22

【典例1-2】（2024·宁夏·中考真题）如图，在ABCD中，点M,N在AD边上，AMDN，连接CM并延

长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交的延长线于点F．求证：AEDF．小丽的思考过程如下：

𝐶

参考小丽的思考过程，完成推理．

【答案】见解析

【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明△AEM∽△DCM，可得

AEAMDFDNAEDF

，同理可得：，再进一步证明即可．

DCDMABANDCAB

【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形

ABCD，AB∥CD，

△AEM∽△DCM

AEAM

，

DCDM

同理可得，FDN∽ABN，

DFDN

∴

ABAN

又AMDN，

AMMNDNMN

即ANDM，

AEDF

DCAB

又ABCD，

AEDF．

【典例1-3】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是BAD，BCD的

平分线，且E、F分别在边BC，AD上．

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若ADC60，DF2AF2，求GDF的面积．

【答案】(1)见解析

2

(2)S3．

GDF3

【分析】（1）由平行四边形的性质得到BADBCD，AD∥BC，结合角平分线的条件得到DAEBCF，

由AD∥BC得到DFCBCF，DAEDFC，根据平行线的判定得到AE∥FC，根据平行四边形的

判定即可得到AECF是平行四边形；

4

（2）求得△DFC是等边三角形，得到DFDCCF2，CEAF1，证明△DFG∽△ECG，求得FG，

3

2

作GHDF于点H，在RtFGH中，求得GH3，据此求解即可．

3

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BADBCD，AD∥BC，

∵AE，CF分别是BAD、BCD的平分线，

11

∴BAEDAEBAD，BCFDCFBCD，

22

∴DAEBCF，

∵AD∥BC，

∴DFCBCF，

∴DAEDFC，

∴AE∥FC，

∴四边形AECF是平行四边形；

1

（2）解：由（1）得DFCBCF，BCFDCFBCD，

2

∴DFCDCF，

∵ADC60，

∴△DFC是等边三角形，

∴DFC60，

∵DF2AF2，

∴DFDCCF2，CEAF1，

∵AD∥BC，

∴△DFG∽△ECG，

FGDF2

∴2，

CGCE1

24

∴FGCF，

33

作GHDF于点H，

4

在RtFGH中，GFH60，FG，

3

2

∴GHFGsin603，

3

1122

∴SDFGH233．

GDF2233

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等

边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

【变式1-1】（2024·湖北·模拟预测）如图，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边

DP1𝐶

上，点C落在点N处，MN与交于点P，折痕分别与边，交于点E，F，连接．若＝，

CP2

𝐶𝐴𝐶��

AE

则的值是．

BE

12

【答案】

13

【详解】解：如图，延长MN,BC交于点Q．

∵AD∥BC，

∴△DMP∽△CQP．

MDMPDP1

∴，

QCQPCP2

∴QC2MD，QP2MP，

设DPa，MDx，则CP2a，QC2x，正方形ABCD边长为3a，

∴BQ3a2x．

由翻折和正方形的性质可得，EMPEBC90，EMEB3aAE．

∴EMBEBM．

∴EMPEMBEBCEBM，即BMPMBC，

∴MQBQ3a2x．

13a2x

∴MPMQ．

33

在Rt△DMP中，MD2DP2MP2，

2

223a2x

∴xa．

3a

12

解得：x0（舍），xa．

125

123

∴AM3aaa．

55

在Rt△AEM中，AE2AM2EM2，

3

∴AE2(a)2(3aAE)2

5

36

解得：AEa，

25

3639

∴BEEM3aaa，

2525

36

a

AE12

∴25，

39

BEa13

25

12

故答案为．

13

【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股

定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．

【变式1-2】（2023·江苏南通·一模）正方形ABCD中，AB2，点E是对角线BD上的一动点，

DAE45.将VADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．

(1)当045时，求DBG的度数(用含的式子表示)；

DG

(2)点E在运动过程中，试探究的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由；

DE

(3)若BFFG，求的值．

【答案】(1)DBG

DG

(2)2，是定值

DE

(3)30

【分析】1根据翻变换的性质可以得到ADEAFE45，DAEEAF，加上对顶角相等得到的

AOEO

AOBEOF，从而得到AOB∼EOF（AA），进而得到对应边成比例，再根据比例的性质得到，

BOFO

加上对顶角相等得到的AOEBOF证明出：AOE∼BOF(SAS)，最终得到对应角相等得出结果．

2如图2中，连接EG，EC．证明△DEG是等腰直角三角形，可得结论；

3证明EFG是等边三角形，可得结论．

【详解】（1）如图1中，设AF交BD于点O．

四边形ABCD是正方形，

ABAD，BAD90，

ABDADB45，

由翻折变换的性质可知，ADEAFE45，DAEEAF，

ABEAFE45，

AOBEOF，

AOB~EOF（AA），

AOBO

，

EOFO

AOFOEOBO，

AOEO

，

BOFO

AOEBOF，

AOE~BOF（SAS），

DBGEAFDAE．

DG

（2）2，是定值．

DE

理由：如图2中，连接EG，EC．

四边形ABCD是正方形，

DADC，ADECDE45，

DEDE，

ADE≌CDESAS，

DAEDCE，

EBGDAE，

EBGECG，

同法可证，CEGCBG，

CBGCGB90，CGBBEC，

CEGBEC90，

BEGDEG90，

EDG45，

EGDEDG45，

DG2DE，

DG

2；

DE

（3）如图2中，当BFFG时，

BEG90，

EFFBFG，

DEEFEG，

EFEGFG，

FGE60，

EBG30，

DAEEBG30．

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三

角形解决问题，属于中考压轴题．

【变式1-3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴

上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x26x80的两个根OBOC．请解答下列问题：

(1)求点B的坐标；

(2)若直线yxb分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于

1OD

点N，tanMND，求的值；

3OC

(3)在（2）的条件下，在直线EF上是否存在点P（不与点E重合），使△NCE与NCP相似？若存在，请求

出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)B(4,0)

(2)2

73

(3)存在，P,

44

【分析】（1）结合OB，OC的长是方程x26x80的两个根OBOC，进行解方程，即可作答．

（2）根据平行四边形的性质，得ADBC6，再得出xM3，结合直线yxb分别交x轴、y轴、AD

于点E，F，M，且M是AD的中点，得F0,b,OFb；Eb,0,OEb；然后得出EOF，△MDF是

等腰直角三角形，得出yMOD3b，再证明△DOC∽△NKC，则OCNK:CK3b:2，再证明NEK

3b2b1

是等腰直角三角形，得N2CK,CK，再运用勾股定理列式解得EH，再结合tanMND，

223

得EH∶EN1∶4，代入数计算，即可作答．

（3）根据点P在直线EF上，使△NCE与NCP相似，第一种是△NCE∽NPC，第二种是△NCE∽NCP，

然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答．

【详解】（1）解：由x26x80，得x2x40

∴x20,或x40

∴x14，x22，

OBOC，

OB4，OC2，

∵B在x轴的负半轴，

B(4,0)；

（2）解：∵OB4，OC2，

∴BC6，

∵平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，

∴ADBC6，AD∥BC，ADOCOD90，

∵M是AD的中点，

∴MD3，

则xM3，

∵直线yxb分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，

∴令x0时，则yb；即F0,b,OFb；

∴令y0时，则xb；即Eb,0,OEb；

∵OEOFb，EOF90，

∴EOF是等腰直角三角形，

∴DFMOFEFEONEC45，

∵ADO90，

∴△MDF是等腰直角三角形，MDDF，

∴把xM3代入yxb，得y3b

即yMOD3b，

过点C作CHEN于H，过点N作NKBC于K，

DOCNKC90，DCONCK，

DOC∽NKC，

DO:OCNK:CK3b:2，

3b

NKCK，xOCCK2CK，

2N

NKC90,NEC45，

3b2

∴NEK是等腰直角三角形，EKNKCK，ENEK2NK22EK3bCK，

22

3b

∴N2CK,CK，

2

∵点N在直线yxb，

3b

∴CK2CKb，

2

42b

解得CK，

1b

242b

∴EN3b，

21b

同理证明ECH是等腰直角三角形，EHHC，

∴EH2HC2EC2，2EHEC2b，

2b

即EH，

2

1

∵tanMND，

3

CH1

∴，

HN3

∵EHHC，

EH11

∴，

EN134

∴EH∶EN1∶4，

2b242b

即∶3b∶14，

221b

2b

整理得222b23b，

1b

2b

∴22b3b，

1b

∵OEOC2，

3b

∴b2，则2，

1b

解得b1，

2b

经检验：b1是22b3b的解．

1b

∴OD3b4，

OD4

则2．

OC2

（3）解：∵b1，

∴直线yx1，

∵点P在直线EF:yx1上，且△NCE∽NPC，如图所示：

42b

由（2）得出b1，则EO1，CK1，

1b

∴E1,0，

3b

∵N2CK,CK，

2

∴N3,2，

22

则EN31222，

∵C2,0，

22

∴CN3225，

设点P的坐标为n,n1，

222

∴PN23nn32n3，

∵△NCE∽NPC，

PNCN

∴，

CNEN

CN25

即PN，

EN22

225

则2n3，

8

177

解得n,n，

1424

171373

∴1或1，

4444

如图所示：

7,317,13

即P1，P2，

4444

∵点P在直线EF上，△NCE∽NPC，

∴只能CNEPNC，ECNCPN，

17,13

显然点P2不合题意；

44

∵点P不与点E重合，且CNCN，故不存在△NCE∽NCP，

73

综上：P,．

44

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角

形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

题型二：A字模型

A字模型

如图一

模型一：平行A字型

ADAEDE

如图一，在ABC中，DE//BC

ABACBC

如图二

模型二：非平行A字型（也称为反A字型）

ADAEDE

如图二，在ABC中，AEDC

ABACBC

如图三

模型三：非平行A字型（也称为母子型）

ADABDB

(1)

如图三，在ABC中，ABDCABACBC

2

(2)ABADAC

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2022·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，C为VAOB的OA边上一点，

AC:OC1:2，过C作CD∥OB交AB于点D，C、D两点纵坐标分别为1、3，则B点的纵坐标为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

ACCDAC1

【分析】根据CD∥OB得出，根据AC:OC1:2，得出，根据C、D两点纵坐标分别为

AOOBAO3

1、3，得出OB6，即可得出答案．

【详解】解：∵CD∥OB，

ACCD

∴，

AOOB

∵AC:OC1:2，

AC1

∴，

AO3

∵C、D两点纵坐标分别为1、3，

∴CD312，

21

∴，

OB3

解得：OB6，

∴B点的纵坐标为6，故C正确．

故答案为：6．

ACCD1

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平面直角坐标系中点的坐标，根据题意得出，是解

AOOB3

题的关键．

【典例2-2】（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD

的面积为S1，VAOB的面积为S2．

SOCOD

（1）问题解决：如图①，若AB//CD，求证：1

S2OAOB

（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请

说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OEOC，过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的

OE5S1

中点，OH交EF于点G，且OG2GH，若，求值．

OA6S2

25

【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）

54

【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出

DEODsin∠DOE，BFOBsin∠BOF，然后根据三角形面积公式求解即可；

（2）同（1）求解即可；

（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得到

OFOE5

OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到==，设OEOC5m，OFOD5n，则OA6m，OM6n，

OMOA6

315n3n

证明△OGF∽△OHN，推出ONOF，BNMNONOM，则OBONBN9n，由（2）

222

结论求解即可．

【详解】解：（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，

∴DEODsin∠DOE，BFOBsin∠BOF，

11

∴S△=S=OCDE=OCODsin∠DOE，

OCD122

11

S△=S=OABFOAOBsin∠BOF，

AOB222

∵∠DOE=∠BOF，

∴sinDOEsinBOF；

1

∠

SOCODsinDOEOCOD

∴1=2=；

1

S2OAOBsin∠BOFOAOB

2

（2）（1）中的结论成立，理由如下：

如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，

∴DEODsin∠DOE，BFOBsin∠BOF，

11

∴S△=S=OCDE=OCODsin∠DOE，

OCD122

11

S△=S=OABFOAOBsin∠BOF，

AOB222

∵∠DOE=∠BOF，

∴sinDOEsinBOF；

1

∠

SOCODsinDOEOCOD

∴1=2=；

1

S2OAOBsin∠BOFOAOB

2

（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，

∵EF∥CD，

∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，

又∵OE=OC，

∴△OEF≌△OCD（AAS），

∴OD=OF，

∵EF∥AM，

∴△OEF∽△OAM，

OFOE5

∴==，

OMOA6

设OEOC5m，OFOD5n，则OA6m，OM6n，

∵H是AB的中点，N是BM的中点，

∴HN是△ABM的中位线，

∴HN∥AM∥EF，

∴△OGF∽△OHN，

OGOF

∴，

OHON

∵OG=2GH，

2

∴OGOH，

3

OGOF2

∴=，

OHON3

315n3n

∴ONOF，BNMNONOM，

222

∴OBONBN9n，

SOCOD5m5n25

由（2）可知1==．

S2OAOB6m9n54

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中

位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．

【典例2-3】（母子型）（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在VABC中，点D在边BC上．若

BADC，则AB2BDBC，请证明；

（2）【灵活运用】如图2，在VABC中，BAC60，点D为边BC的中点，CACD2，点E在AB上，

连接AD，DE．若AEDCAD，求BE的长；

（3）【拓展延伸】如图3，在菱形ABCD中，AB5，点E，F分别在边AD，CD上，ABC2EBF，

延长AD，BF相交于点G．若BE4，DG6，求FG的长．

131245

【答案】（1）见解析；（2）BE；（3）FG

311

ABBD

【分析】（1）证明△ABD∽△CBA，得出，即可证明结论；

BCAB

3

（2）过点C作CFAB于点F，过点D作DGAB于点G，解直角三角形得出CFACsin6023，

2

1DGBGBD113

AFACcos6021，证明△BDG∽△BCF，得出，求出DGCF，根

2CFBFBC222

2

据勾股定理得出222313，得出，证明∽，

BGBDDG2ABAFBF113BEDBAD

22

BEBD131

得出，求出BE；

BDAB3

DEBE

（3）连接BD，证明BED∽GEB，得出，求出DE2，证明ABE为直角三角形，得出AEB90，

BEEG

FG6

根据勾股定理求出BGBE2EG2428245，证明DFG∽CFB，得出，求出结果

45FG5

即可．

【详解】解：（1）∵BADC，ABDCBA，

∴△ABD∽△CBA，

ABBD

∴，

BCAB

∴AB2BDBC；

（2）过点C作CFAB于点F，过点D作DGAB于点G，如图所示：

则AFCAGD90，

∴DF∥DG，

∵BAC60，

31

∴CFACsin6023，AFACcos6021，

22

∵D为BC的中点，

1

∴BDCDBC2，

2

∵DF∥DG，

∴△BDG∽△BCF，

DGBGBD1

∴，

CFBFBC2

13

∴DGCF，

22

2

∴222313，

BGBDDG2

22

∴BF2BG13，

∴ABAFBF113，

∵ACCD，

∴CADCDA，

∵AEDCAD，

∴AEDCDA，

∴AEDBEDADCADB180，

∴BEDADB，

∵DBEABD，

∴BED∽BAD，

BEBD

∴，

BDAB

BE2

即，

2113

131

解得：BE；

3

（3）连接BD，如图所示：

∵四边形ABCD为菱形，

1

∴ABDCBDABC，ADABBC5，AD∥BC，

2

∵ABC2EBF，

∴ABDCBDEBF，

∴EBFDBFCBDDBF，

即DBECBF，

∵AD∥BC，

∴CBFG，

∴DBEG，

∵DEBBEG，

∴BED∽GEB，

DEBE

∴，

BEEG

∵DG6，

∴EGDE6，

DE4

∴，

4DE6

解得：DE2，负值舍去，

∴EG268，

∴AEADDE3，

∵AE2BE2324252AB2，

∴ABE为直角三角形，AEB90，

∴BEG1809090，

∴在Rt△BEG中根据勾股定理得：

BGBE2EG2428245，

∴BFBGFG45FG，

∵AD∥BC，

∴DFG∽CFB，

FGDG

∴，

BFBC

FG6

即，

45FG5

245

解得：FG．

11

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，

平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．

【典例2-4】（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似

进行了深入研究．

（一）拓展探究

如图1，在VABC中，ACB90,CDAB，垂足为D．

（1）兴趣小组的同学得出AC2ADAB．理由如下：

∽

ACB90AB90AAABCACD

AB

CDAB②______

AC

ADC90AC2ADAB

AACD90

B①______

请完成填空：①______；②______；

（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当ACEAFC时，请判断AEB

的形状，并说明理由．

（二）学以致用

（3）如图3，VABC是直角三角形，ACB90,AC2,BC26，平面内一点D，满足ADAC，连接CD

并延长至点E，且CEBCBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长．

AC

【答案】（1）①ACD；②；（2）AEB是直角三角形，证明见解析；（3）215

AD

【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；

ACAE

（2）证明ACF∽AEC，得出，证明AFD∽ABE，得出ADFAEB90，即可得出答案；

AFAC

CECB2

（3）证明△CEB∽△CBD，得出，求出CDCECB22624，以点A为圆心，2为半径

CBCD

∽

作A，则C,D都在A上，延长CA到E0，使CE06，交A于D0，连接E0E，证明ECE0D0CD，

得出CDD0CE0E90，说明点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，过点B作BEE0E，垂足为

E，连接CE，根据垂线段最短，得出当点E在点E处时，BE最小，根据勾股定理求出结果即可．

【详解】解：（1）ACB90，

AB90，

CDAB，

ADC90，

AACD90，

BACD，

AA，

ABC∽ACD，

ABAC

，

ACAD

AC2ADAB；

（2）AEB是直角三角形；理由如下：

ACEAFC,CAEFAC

△ACF∽△AEC，

ACAE

，

AFAC

AC2AFAE，

由（1）得AC2ADAB，

AFAEADAB，

AFAD

，

ABAE

FADBAE，

△AFD∽△ABE，

ADFAEB90，

AEB是直角三角形．

（3）CEBCBD,ECBBCD，

△CEB∽△CBD，

CECB

，

CBCD

2

CDCECB22624，

如图，以点A为圆心，2为半径作A，则C,D都在A上，延长CA到E0，使CE06，交A于D0，连接

E0E，

则CD04，

∵CD0为A的直径，

∴CDD090，

CD0CE024CDCE，

CDCD

∴0，

CECE0

ECE0D0CD，

△ECE0∽△D0CD，

CDD0CE0E90，

点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，

过点B作BEE0E，垂足为E，连接CE，

∵垂线段最短，

∴当点E在点E处时，BE最小，

即BE的最小值为BE的长，

∵CE0EE0CBBEE090，

∴四边形CE0EB是矩形，

∴BECE06，

2

在△中根据勾股定理得：2，

RtCE0ECE266215

即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为215．

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段

最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．

【典例2-5】（2024·江苏镇江·中考真题）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图

【阅读理解】

任务：如图1，点D、E分别在VABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的

中点．

操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、

BC的中点．

DMAMEMAM

理由：由DE∥BC可得ADM∽ABN及△AEM∽△ACN，所以，．所以，

BNANCNAN

DMBNDMMPEMMPDMCN

．同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，．所以．所

EMCNCNNPBNNPEMBN

BNCN

以，则BNCN，DMEM，即M、N分别为DE、BC的中点．

CNBN

【实践操作】

请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

∥

（1）如图3，l1l2，点E、F在直线l2上．

①作线段EF的中点；

②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点Ｆ的右侧作一点P，使得PFEF；

（2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…k倍（k为正整数）

∥

的线段．如图4，l1l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3P3P4P1P2．点E、F在直线l2

上，请在图4中作出线段EF的三等分点；

【探索发现】

请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

1

（3）如图5，DE是VABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）．

3

【答案】（1）①见解析，②见解析；

（2）见解析；

（3）见解析

【分析】实践操作（1）①根据[阅读理解]部分的作法：在l1上方任取一点A，得到△AEF，AE与交l1于点

B，AF交l1于点C，连接CE，BF交于点O，作射线AO交l1，l2分别于N，M，点M即为所求点；

②作射线FN交AE于点G，作射线GC交l2于点P，点P即为所求；

（2）根据上述作法，有两种作法；

[探索发现]如作法一，根据相似可知，连接CD，BE交于点O，则DO:OC1:2，即点O是CD的三等分点

之一，由此可以得出过点O作BC的平行线；同理可得点M是CP的三等分点之一，则OMBC，即点Q为

所求作点．

【详解】解：[实践操作]

（1）①如图，

点M即为所求作的点；

②如图，

点P即为所求作的点；

（2）如图，

作法一、

作法二、

点N，M即为所求作的点；

[探索发现]（3）如图，

作法一、

作法二、

作法三、

作法四、

作法五、

点Q即为所求的点．

【点睛】本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解[阅读理解]部分

中M，N为中点是解题关键．

【中考模拟即学即练】

【变式2-1】（2024·四川乐山·模拟预测）如图，已知线段，相交于点O，ADCD，AO2，AB5．求

OD

．𝐴𝐶

OC

OD2

【答案】

OC3

【分析】本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质．首先根据平行线的性质可证DC，

根据对顶角相等可得AODBOC，所以可证AOD∽BOC，再根据相似三角形对应边成比例可求结果．

【详解】解：如下图所示，

ADCB，

DC，

又AODBOC，

AOD∽BOC，

ODOA

，

OCOB

AO2，AB5，

OBABOA3，

ODOA2

．

OCOB3

【变式2-2】（2024·江苏南京·模拟预测）已知：VABC中，D为BC边上的一点．

(1)如图①，过点D作DE∥AB交AC边于点E，若AB5，BD9，DC6，求DE的长；

(2)在图（2），用无刻度的直尺和圆规在AC边上作点F，使DFAA；（保留作图痕迹，不要求写作法）

1

(3)如图③，点F在AC边上，连接BF、DF，若DFAA，FBC的面积等于CDAB，以FD为半径

2

作F，试判断直线BC与F的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)2

(2)见解析

(3)相切；理由见解析

【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行线的性