2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型（原卷版）

难点与解题模型12特殊全等三角形五种热考模型题型一：一线三等角模型题型二：手拉手模型题型三：倍长中线模型题型四：截长补短模型题型五：半角模型题型一：一线三等角模型三步模型抽离法“一线三等角”模型是指有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等三角形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角,解题步骤如下:第一步：依据特征找模型特征1:是否存在两个三角形共顶点;特征2:是否存在一条直线上有三个等角;特征3:是否存在等线段第二步：抽离模型在题图中抽离出两个全等三角形第三步：利用性质解题利用全等三角形的性质解题常见基础模型如下:类型图示条件结论同侧一线三等角点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)△APC≌△BDP异侧一线三等扇点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)△APC≌△BDP【中考母题学方法】【典例1-1】（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．【典例1-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段BD，作交AB的延长线于点．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点，若，，求的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点，则______；(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点，使，请直接写出线段的长度．【典例1-3】（2024·辽宁·中考真题）如图，在中，，．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作，垂足为．

图1

图2

图3(1)如图1，求证：；(2)如图2，的平分线与的延长线相交于点，连接，的延长线与的延长线相交于点，猜想与的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿折叠，在变化过程中，当点落在点的位置时，连接．①求证：点是的中点；②若，求的面积．【典例1-4】（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，于点P，交于点M．①求证：点P在的平分线上；②当时，猜想与的数量关系，并证明；③作于点N，连接，当时，若，求的值．【典例1-5】（2024·重庆·中考真题）在中，，，过点作．(1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：；(2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：；(3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．【中考模拟即学即练】【变式1-1】（2024·上海宝山·一模）在直线l上放置三个正方形a，b，c，正方形a的边长为3，正方形c的边长为4，则正方形b的面积是．【变式1-2】（2024·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，，于点E，且．求证：．【变式1-3】（2024·甘肃嘉峪关·二模）矩形中，，点是边的中点，连接，过点作的垂线，与矩形的外角平分线交于点．(1)【特例证明】如图（1），当时，求证：；小明不完整的证明过程如下，请你帮他补充完整．证明：如图，在上截取，连接．，．，，，．平分，，．．∴……（只需在答题卡对应区域写出剩余证明过程）(2)【类比探究】如图（2），当时，求的值（用含k的式子表示）．【变式1-4】（2024·青海西宁·三模）类比探究题：【建立模型】（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．【应用模型】（2）如图2，点A的坐标为0,1，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．【拓展拔高】（3）如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，则y与x的函数关系是_______，最大值为______．题型二：手拉手模型三步模型抽离法第一步：依据特征找模型特征1:是否存在两个等腰三角形;特征2:是否存在两个等腰三角形的顶角相等，且共顶点第二步：抽离模型以两个等腰三角形的腰及对应顶点的连线围成的两个新三角形全等第三步：利用性质解题利用全等三角形的性质解题常见基础模型如下：图示OC在△OAB内且拉手线无交点OC在△OAB外且拉手线无交点OC在△OAB外且拉手线有交点条件在等腰ΔOAB中,OA=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,∠AOB=∠COD=a,将ΔOCD绕点0旋转一定角度后,连接AC,BD(称为“拉手线”左手拉左手,右手拉右手),若拉手线有交点,记相交于点,连接OE结论1.△AOC≌△BOD,AC=BD(即拉手线相等);2.EO平分∠AED:3.∠AEB=∠AOB=a【中考母题学方法】【典例2-1】（2024·新疆·中考真题）【探究】（）已知和都是等边三角形．①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由；②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由．【运用】（）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．【典例2-2】（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．(1)求证：；(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．【典例2-3】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：．【中考模拟即学即练】【变式2-1】（2024·浙江宁波·二模）如图与均为等腰直角三角形，，直线与直线交于点，在与绕点任意旋转的过程中，到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是（填所有正确结论的序号）．【变式2-3】（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是．【变式2-4】（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，点是正方形对角线的交点，是等腰直角三角形，，，当的顶点在线段（不与，重合）上绕点旋转的过程中，直角边交边于点，直角边交边于点．(1)如图1，当点与点重合时，求证：；(2)如图2，当（为正整数，）时，在旋转过程中，①请写出线段，之间的数量关系，并说明理由；②若，，求的长（用含，的代数式表示）．题型三：倍长中线模型倍长中线图一图二图三3、过端点向中线作垂线【中考母题学方法】【典例3-1】（山东泰安·中考真题）若和均为等腰三角形，且．（1）如图（1），点B是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是的中点，连接并延长至点F，使．求证：①，②．【典例3-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题．题眼1．普通三角形+中点2．等腰三角形+底边中点3．直角三角形+斜边中点4．两个中点大致图形辅助线名称倍长中线三线合一斜边中线中位线具体做法延长到点E，使，连接连接连接连接产生效果

①②(1)请在①，②中任选择一个填空：你选择的是_______，产生效果是_______．（产生效果写一个或两个）(2)如图①，在三角形中，是的一条中线，，求的长．(3)如图②，在中，，点是边上两个不同的动点，以为边在内部（包括边界）作等边三角形，点，F分别是的中点，当的周长取最大值时，求线段的长．【典例3-3】（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．下面是小明的部分证明过程：证明：延长至点，使，连接，∵点是的中点，∴．∵，，∴，∴，，∴，．请你补全余下的证明过程．【问题拓展】（3）如图⑤，在和中，，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是．【中考模拟即学即练】【变式3-1】（2023·黑龙江大庆·三模）如图，四边形中，°，为边BD上一点，连接，，为的中点，延长BM交DE的延长线于点，交BM于点，连接交CE于点．

(1)求证；(2)若，，求证：四边形为矩形．【变式3-2】（2024·山西·模拟预测）综合与实践【问题情境】如图1，在中，，点D，E分别在边AB，上，，连接DE，CD，，为CD的中点，连接．【数学思考】（1）线段与的数量关系，说明理由．【猜想证明】（2）若把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，猜想（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．【深入探究】（3）若把绕点A逆时针方向旋转到图3的位置，若是的中点，连接AN，若，直接写出CD的长．【变式3-3】（2024·重庆綦江·二模）在等边中，为边上一点，于．(1)如图1，若，，求的值；(2)如图2，线段的垂直平分线交于，点为的中点，连接，，，求证：；(3)如图3，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为边上点右边一动点，连接BM、，当取得最小值时，直接写出的值．题型四：截长补短法“截长补短法”是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种靠略，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题.截长或补短后，如果出现的全等三角形或特殊三角形能推动证明，那么辅助线是成功的，否则，就应该换一个截长或补短的方式，甚至换一种解题思路.方法截长法补短法条件在△ABC中AD平分∠BAC,∠C=2∠B,求证：AB=AC+CD图示方法在AB上截取AE=AC,连接DE延长AC到点E，使CD=CE,连接DE结论△DEB是等腰三角形△CDE是等腰三角形【中考母题学方法】【典例4-1】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．（1）当点D在线段上时，如图①，求证：；分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：推理证明：写出图①的证明过程：探究问题：（2）当点D在线段的延长线上时，如图②：当点D在线段的延长线上时，如图③，请判断并直接写出线段，，之间的数量关系；拓展思考：（3）在（1）（2）的条件下，若，，则______．【典例4-2】如图，△ABC和△BDC是等腰三角形，且AB=AC，BD=CD，∠BAC=80°，∠BDC=100°，以D为顶点作一个50°角，角的两边分别交边AB，AC于点E、F，连接EF，点E、F分别在AB、CA延长线上，则BE、EF、FC之间存在什么样的关系？并说明理由．【中考模拟即学即练】【变式4-1】课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【变式4-2】如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于．

（1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．【变式4-3】如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F．（1）求△CDE的面积；（2）证明：DF+CF＝EF．【变式4-4】在△ABC中，BE，CD为△ABC的角平分线，BE，CD交于点F．（1）求证：∠BFC=90°+1（2）已知∠A=60°．①如图1，若BD=4，BC=6.5，求CE的长；②如图2，若BF=AC，求∠AEB的大小．题型五：半角模型半角模型等边三角形含半角已知：△ABC是等边三角形，D为△ABC外一点，∠BDC＝120°，BD＝CD，点E，F分别在AB，AC上，∠EDF＝60°．结论1：EF＝BE＋CF，∠DEB＝∠DEF，∠DFC＝∠DFE．正方形含半角已知：四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°．结论2：EF＝BE＋DF，∠AEB＝∠AEF，∠AFD＝∠AFE．等腰直角三角形含半角已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，∠DAE＝45°．结论3：DE2＝BD2＋CE2．【中考母题学方法】【典例5-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．

（1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．【典例5-2】（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．

由旋转的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，

∴___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．

【拓展应用】如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．

【典例5-3】（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．(