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文档简介
难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题题型一:方程法求角度问题题型二:分类讨论法求角度问题题型三:A字模型题型四:8字模型题型五:飞镖(燕尾)模型题型六:三角形折叠模型题型七:双角平分线模型题型一:方程法求角度问题方程法的解题步骤第一步:找出题中的已知角,常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等第二步:根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系,考虑设一个角为未知数第三步:用所设角度表示出其他角度第四步:通过列方程求解【中考母题学方法】【典例1】(2023·河南信阳·二模)【阅读理解】如图,小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板,将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转,旋转时间为秒,当边与边重合时停止转动.
【解决问题】(1)在旋转过程中,请填出、之间的数量关系______;(2)当运动时间为秒时,图中有角平分线吗?找出并说明理由;(3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时,则称射线是的“优线”,请直接写出所有满足条件的值.【中考模拟即学即练】【变式1-1】(23-24陕西西安)新定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图1,若射线在的内部,且,则是的内半角,根据以上信息,解决下面的问题:(1)如图1,,若是的内半角,则______,______.(2)如图2,已知,将绕点按顺时针方向旋转一个角度至.若是的内半角,求的值.(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置,使边与边重合,边与边重合,如图4,将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周,旋转时间为秒,当射线构成内半角时,请求出的值.【变式1-2】(23-24湖南长沙)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角与这个角互余,那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角,如图1,若射线在的内部,且,则是的内余角.根据以上信息,解决下面的问题:(1)如图1,,若是的内余角,则______;(2)如图2.已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到.同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到.若是的内余角,求的值;(3)把一块含有角的三角板按图方式放置,使边与边重合,边与边重合,如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转,旋转时间为秒,在旋转一周的时间内,当射线构成内余角时,请求出的值.【变式1-3】(23-24河南焦作)一副三角板按如图1所示放置,边,在直线上,.如图2,将三角板绕点O顺时针旋转到,转速为每秒钟转动,当旋转一周回到射线上时停止转动,设转动时间为秒.(1)当与重合时,直接写出的值;(2)①当正好平分时,在图1中画出此时的位置,并求出t的值;②在旋转过程中,作的角平分线,当时.直接写出t的值.题型二:分类讨论法求角度问题常考分类讨论的情形1.若题中出现角度大小,但不明确角度边的位置,需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解:2.若题中出现射线旋转,并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线,需分别讨论哪条射线是角平分线的情况;3.若题中出现射线三等分角,但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论.【中考母题学方法】【典例2】(22-23浙江)【问题提出】已知与有共同的始边,且满足,若,求的度数.【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形,运用分类讨论的数学思想,解决问题.在图①中,当射线在的内部时,由题意易得;在图②中,当射线在的外部时,由题意易得.
【问题应用】请仿照这种方法,解决下面两个问题(1)如图③,已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为,2,1,请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数;若数轴上存在点E,它到点C的距离恰好是线段的长,求线段的长.(2)如果两个角的差的绝对值等于,就称这两个角互为垂角,例如:,则和互为垂角(本题中所有角都是指大于且小于的角).①若,求的垂角;②如果一个角的垂角等于这个角的补角的,求这个角的度数.【中考模拟即学即练】【变式2-1】(24-25·江苏无锡)定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图①所示,若,则是的内半角.(1)如图①所示,已知,,是的内半角,则________.(2)如图②,已知,将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至,当旋转的角度为何值时,是的内半角?(3)已知,把一块含有角的三角板如图③叠放,将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转,如图④,问:在旋转一周的过程中,且射线始终在的外部,射线能否构成内半角?若能,请直接写出旋转的时间;若不能,请说明理由.【变式2-2】(23-24·广东广州)(1)如图,线段,C为的中点,点P从点A出发,以的速度沿线段向右运动,到点B停止;点Q从点B出发,以的速度沿线段向左运动,到点A停止.若P,Q两点同时出发,当其中一点停止运动时,另一点也随之停止.设点P的运动时间为x()s.(ⅰ)________cm.(ⅱ)是否存在某一时刻,使得C,P,Q这三点中,有一点恰为另外两点所连线段的中点?若存在,求出所有满足条件的x的值;若不存在,请说明理由.(2)一副三角板按左图中的方式拼接在一起,其中边、与直线上,,.(ⅰ)________度.(ⅱ)如图,三角板固定不动,将三角板绕点O按顺时针方向旋转角(即),在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方.①当平分,,其中的两边组成的角时,________.②在旋转过程中,是否存在某一时刻满足?若存在,求此时的角;若不存在,请说明理由.【变式2-3】(24-25陕西西安)探究与实践将一副三角板按如图方式拼接在一起,已知,,按如图1所示摆放,将、边重合在直线上,、边在直线的两侧:【问题发现】(1)保持三角板不动,将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置,则①__________;②__________.【问题探究】(2)若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转,三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转,旋转到射线上时都停止运动,设旋转t分钟,计算(用含t的代数式表示).【问题解决】(3)保持三角板不动,将三角板绕点O逆时针方向旋转,若射线平分,射线平分,求的大小.题型三:A字模型模型结论:.【中考母题学方法】【典例3】(2024·贵州·模拟预测)教材回顾我们知道,直角三角形的两个锐角互余,你能对直角三角形的这一性质进行证明吗?性质证明(1)为了证明该性质,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.已知:在直角三角形中,求证:性质运用(2)如图2,在中,,点,分别在,上,且,,,求证:.拓展提升(3)如图3,在中,,,,分别为,的中点.,分别在,上,且,,与相交于,与相交于求证:点是的中点【中考模拟即学即练】【变式3-1】如图,中,,直线交于点D,交于点E,则(
).A. B. C. D.【变式3-2】如图所示,的两边上各有一点,连接,求证.【变式3-3】如图1,直线与的边,分别相交于点,(都不与点重合).
(1)若,①求的度数;②如图2,直线与边,相交得到和,直接写出的度数.(2)如图3,,分别平分和,写出和的数量关系,并说明理由;(3)如图4,在四边形中,点,分别是线段、线段上的点,,分别平分和,直接写出与,的关系.题型四:8字模型模型结论:2∠P=∠B+∠D【中考母题学方法】【典例4】(2024·宁夏·中考真题)综合与实践如图1,在中,是的平分线,的延长线交外角的平分线于点.【发现结论】结论1:___________;结论2:当图1中时,如图2所示,延长交于点,过点作的垂线交于点,交的延长线于点.则与的数量关系是___________.【应用结论】(1)求证:;(2)在图2中连接,,延长交于点,补全图形,求证:.【中考模拟即学即练】【变式4-1】(2024·山东潍坊·模拟预测)潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品,最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹;如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎,其侧面图如图所示,,与地面平行,,则(
)A. B. C. D.【变式4-2】(2024·山西·三模)如图1是一个可调节的电脑桌,它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量.图2是将其正面抽象成的图形,其中桌面与底座平行,等长的支架交于它们的中点E.液压杆.若,则的度数为(
)A. B. C. D.【变式4-3】(2024·湖北武汉·模拟预测)如图1,在平行四边形中,,的延长线交于点F.(1)求的长;(2)如图2,的角平分线交于点P,点Q在上;①当为等腰三角形时,求的长;②如图3,当点Q在线段上,连接,将沿翻折得到,点M恰好落在边上,试求线段的长.题型五:飞镖(燕尾)模型模型结论:∠BDC=∠A+∠B+∠C.∠O=(∠A+∠C)。∠O=(∠D-∠B)。【中考母题学方法】【典例5】(2024·河南·模拟预测)如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,若,则(
)A. B. C. D.【中考模拟即学即练】【变式5-1】如图,,,,的度数是A. B. C. D.【变式5-2】请阅读下列材料,并完成相应的任务:有趣的“飞镖图”.如图,这种形似飞镖的四边形,可以形象地称它为“飞镖图”.当我们仔细观察后发现,它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢?又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究:凹四边形通俗地说,就是一个角“凹”逃去的四边形,其性质有:凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.(即如图1,∠ADB=∠A+∠B+∠C)理由如下:方法一:如图2,连结AB,则在△ABC中,∠C+∠CAB+∠CBA=180°,即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°,又:在△ABD中,∠1+∠2+∠ADB=180°,∴∠ADB=∠3+∠4+∠C,即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C.方法二:如图3,连结CD并延长至F,∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角,..........大家在探究的过程中,还发现有很多方法可以证明这一结论.任务:(1)填空:“方法一”主要依据的一个数学定理是_________;(2)探索及应用:根据“方法二”中辅助线的添加方式,写出该证明过程的剩余部分.【变式5-3】(2024·江苏·统考期中)【概念学习】在平面中,我们把大于且小于的角称为优角,如果两个角相加等于,那么称这两个角互为组角,简称互组.(1)若、互为组角,且,则________;【理解运用】习惯上,我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形.(2)如图①,在镖形中,优角与钝角互为组角,试探索内角、、与钝角之间的数量关系,并说明理由;【拓展延伸】(3)如图②,________;(用含的代数式表示)(4)如图③,已知四边形中,延长、交于点,延长、交于,、的平分线交于点,;①写出图中一对互组的角________(两个平角除外);②直接运用(2)中的结论,试说明:;(5)如图④,、分别为,的2019等分线().它们的交点从上到下依次为,,,…,.已知,,则_______.(用含、的代数式表示)题型六:三角形折叠模型模型结论:2∠C=∠1+∠2;2∠C=∠2-∠1。【中考母题学方法】【典例6-1】(2024·四川·中考真题)如图,中,,,,折叠,使点A与点B重合,折痕与交于点D,与交于点E,则的长为.【典例6-2】(2024·江苏常州·中考真题)如图,在中,,,,D是边的中点,E是边上一点,连接.将沿翻折,点C落在上的点F处,则.【典例6-3】(2024·广东深圳·模拟预测)如图,在中,,E是中点,F是上一点,沿着折叠,若,则.【中考模拟即学即练】【变式6-1】(2024·湖南·二模)如图,在四边形内部,若,,则(
)A. B. C. D.【变式6-2】(2024·江苏徐州·模拟预测)如图,在中,将沿折叠后,点D恰好落在的延长线上的点E处,若,,则的周长为(
)A.12 B.18 C.15 D.21【变式6-3】(2024·广东·模拟预测)如图所示,在中,将点A与点B分别沿和折叠,使点A,B都与点C重合,若,则的度数为()A. B. C. D.【变式6-4】(2024·贵州贵阳·二模)综合与实践问题情境:在综合与实践课上,老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动.独立思考:(1)如图①,将三角形纸片沿折叠,使点落在四边形内点的位置,则与之间的数量关系为,请说明理由;深入探究:(2)如图②,若点落在四边形的边下方时,试猜想此时与,之间的数量关系,并说明理由;结论运用:(3)如图③,在四边形中,,,分别是,边上的一点,沿将四边形折叠,点的对应点恰好落在边上,且,.①的度数为;②若,,求点到的距离.题型七:双角平分线模型1.双内角平分线模型结论:2∠P=∠A+∠D。2.双外角平分线模型结论:.3.内角平分线+外角平分线模型结论:.的度数是.【中考母题学方法】【典例7-1】(2024·四川达州·中考真题)如图,在中,,分别是内角、外角的三等分线,且,,在中,,分别是内角,外角的三等分线.且,,…,以此规律作下去.若.则度.【典例7-2】(2024·黑龙江绥化·中考真题)如图,已知,点为内部一点,点为射线、点为
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