2025年中考数学一轮知识梳理难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题（原卷版）

难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题题型一：方程法求角度问题题型二：分类讨论法求角度问题题型三：A字模型题型四：8字模型题型五：飞镖（燕尾）模型题型六：三角形折叠模型题型七：双角平分线模型题型一：方程法求角度问题方程法的解题步骤第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数第三步：用所设角度表示出其他角度第四步：通过列方程求解【中考母题学方法】【典例1】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动．

【解决问题】(1)在旋转过程中，请填出、之间的数量关系______；(2)当运动时间为秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；(3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值．【中考模拟即学即练】【变式1-1】（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线在的内部，且，则是的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图1，，若是的内半角，则______，______．(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值．(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，请求出的值．【变式1-2】（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角．根据以上信息，解决下面的问题：(1)如图1，，若是的内余角，则______；(2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值；(3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值．【变式1-3】（23-24河南焦作）一副三角板按如图1所示放置，边，在直线上，．如图2，将三角板绕点O顺时针旋转到，转速为每秒钟转动，当旋转一周回到射线上时停止转动，设转动时间为秒．(1)当与重合时，直接写出的值；(2)①当正好平分时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值；②在旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出t的值．题型二：分类讨论法求角度问题常考分类讨论的情形1.若题中出现角度大小,但不明确角度边的位置,需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解:2.若题中出现射线旋转,并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线,需分别讨论哪条射线是角平分线的情况;3.若题中出现射线三等分角,但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论.【中考母题学方法】【典例2】（22-23浙江）【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数．【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．在图①中，当射线在的内部时，由题意易得；在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题(1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长．(2)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）．①若，求的垂角；②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．【中考模拟即学即练】【变式2-1】（24-25·江苏无锡）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________．(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．【变式2-2】（23-24·广东广州）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．（ⅰ）________cm．（ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，．（ⅰ）________度．（ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．①当平分，，其中的两边组成的角时，________．②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由．【变式2-3】（24-25陕西西安）探究与实践将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧：【问题发现】（1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则①__________；②__________．【问题探究】（2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）．【问题解决】（3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．题型三：A字模型模型结论：．【中考母题学方法】【典例3】（2024·贵州·模拟预测）教材回顾我们知道，直角三角形的两个锐角互余，你能对直角三角形的这一性质进行证明吗？性质证明（1）为了证明该性质，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在直角三角形中，求证：性质运用（2）如图2，在中，，点，分别在，上，且，，，求证：．拓展提升（3）如图3，在中，，，，分别为，的中点．，分别在，上，且，，与相交于，与相交于求证：点是的中点【中考模拟即学即练】【变式3-1】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（

）．A． B． C． D．【变式3-2】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．【变式3-3】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.题型四：8字模型模型结论：2∠P=∠B+∠D【中考母题学方法】【典例4】（2024·宁夏·中考真题）综合与实践如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．【发现结论】结论1：___________；结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．【应用结论】（1）求证：；（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．【中考模拟即学即练】【变式4-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·山西·三模）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，的延长线交于点F．(1)求的长；(2)如图2，的角平分线交于点P，点Q在上；①当为等腰三角形时，求的长；②如图3，当点Q在线段上，连接，将沿翻折得到，点M恰好落在边上，试求线段的长．题型五：飞镖（燕尾）模型模型结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．∠O=（∠A+∠C）。∠O=（∠D-∠B）。【中考母题学方法】【典例5】（2024·河南·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，若，则（

）A． B． C． D．【中考模拟即学即练】【变式5-1】如图，，，，的度数是A． B． C． D．【变式5-2】请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如图3，连结CD并延长至F，∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．．大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．【变式5-3】（2024·江苏·统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若、互为组角，且，则________；【理解运用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示）（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；②直接运用（2）中的结论，试说明：；（5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示）题型六：三角形折叠模型模型结论：2∠C=∠1+∠2；2∠C=∠2-∠1。【中考母题学方法】【典例6-1】（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为．【典例6-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则．【典例6-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则．【中考模拟即学即练】【变式6-1】（2024·湖南·二模）如图，在四边形内部，若，，则（

）A． B． C． D．【变式6-2】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（

）A．12 B．18 C．15 D．21【变式6-3】（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（）A． B． C． D．【变式6-4】（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为，请说明理由；深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由；结论运用：（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．①的度数为；②若，，求点到的距离．题型七：双角平分线模型1.双内角平分线模型结论：2∠P=∠A+∠D。2.双外角平分线模型结论：．3.内角平分线+外角平分线模型结论：．的度数是．【中考母题学方法】【典例7-1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则度．【典例7-2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为