2025年中考数学一轮知识梳理难点10 相似三角形的常考题型（9大热考题型）（解析版）

难点10相似三角形的常考题型

（9大热考题型）

题型一：比例的性质

题型二：黄金分割

题型三：相似多边形的性质

题型四：平行线分线段成比例定理

题型五：相似三角形的判定

题型六：相似三角形的性质

题型七：相似三角形的性质与判定的综合

题型八：相似三角形的实际应用

题型九：图形位似

题型一：比例的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·四川成都·中考真题）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随

3x

机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则的值为．

8y

3

【答案】

5

3x3

【分析】本题考查简单的概率计算、比例性质，根据随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，可得，

8xy8

进而利用比例性质求解即可．

3

【详解】解：∵随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率是，

8

x3x3

∴，则，

xy8y5

3

故答案为：．

5

a3

【变式1-1】（2023·甘肃武威·中考真题）若，则ab（）

2b

32

A．6B．C．1D．

23

【答案】A

【分析】根据等式的性质即可得出结果．

【详解】解：等式两边乘以2b，得ab6，

故选：A．

【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是本题的关键．

【变式1-2】（2023·浙江·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1比例线段”3节课后，发现学习内容是

一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：

【答案】2

2

【分析】根据题意得出a2b,cb，进而即可求解．

2

ab

【详解】解：∵2

bc

2

∴a2b,cb

2

a2b

2

∴c2，

b

2

故答案为：2．

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．

xxy

【变式1-3】（2023·四川甘孜·中考真题）若2，则．

yy

【答案】1

【分析】根据比例的性质解答即可．

x

【详解】解：2，

y

xyx

1211．

yy

故答案为：1．

【点睛】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是掌握比例的性质．

【中考模拟即学即练】

abbcac

1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知abc0，且k，那么k的值是（）

cab

A．2B．1C．2或0D．2或1

【答案】D

【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握知识点是解题的关键，注意分类讨论．

当abc0时，利用比的等比性质求解；当abc0时，则abc，再代入求值即可．

abbcac

【详解】解：①当abc0时，由等比性质可得：k

abc

2abc

即：k2；

abc

②当abc0时，则abc，

abc

∴k1，

cc

所以k的值是2或1，

故选：D．

2．（2024·浙江宁波·二模）已知3a2bab0，则下列比例式正确的是（）

a2abb2a2

A．B．C．D．

3b32a3b3

【答案】D

【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．

a2

【详解】解：A、∵，

3b

∴ab6，

故A不符合题意；

ab

B、∵，

32

∴2a3b,

故B不符合题意；

b2

C、∵，

a3

∴2a3b,

故C不符合题意；

a2

D、∵，

b3

∴3a2b,

故D符合题意；

故选：D．

abc

3．（2024·广东深圳·一模）已知0，且ab2c6，那么b．

654

【答案】10

【分析】本题主要考查了比例的性质，用k分别表示a、b、c的值是解题的关键．设比值为k，利用比例的

性质得到a6k,b5k,c4k，故6k5k8k6，求出k的值即可得到答案．

abc

【详解】解：设k，

654

故a6k,b5k,c4k，

故6k5k8k6，

k2，

b2k10，

故答案为：10．

a32a

4．（2025·上海闵行·一模）如果，那么的值为．

b2ab

【答案】6

【分析】本题考查了比例的性质．利用比例的性质，进行计算即可解答．

a3

【详解】解：∵，

b2

∴设a3k，b2k，

2a23k

∴6，

ab3k2k

故答案为：6．

abc3x2yz

5．（2024·江西九江·模拟预测）已知，则（其中3x2yz0）的值是．

xyz3x2yz

3a2bc

【答案】

3a2bc

【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

xyz

设k，则xak,ybk,zck，代入原式化简计算即可．

abc

abc

【详解】解：∵，

xyz

xyz

∴

abc

xyz

设k，

abc

则xak,ybk,zck，

3x2yz3ak2bkck3a2bc

∴，

3x2yz3ak2bkck3a2bc

3a2bc

故答案为：．

3a2bc

题型二：黄金分割

【中考母题学方法】

【典例1】（2023·四川达州·中考真题）如图，乐器的一根弦AB80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，

支撑点C是靠近点B的黄金分割点，即AC2ABBC，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则两个支撑

点C，D之间的距离cm．（结果保留根号）

【答案】805160

【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设ACxcm，则

2

BC80xcm，由AC2BCAB得x8080x，解方程求出AC的长，同理求出AC的长，进而可求

出点C，D之间的距离．

【详解】解：设ACxcm，则BC80xcm，

AC2BCAB，

x28080x，

解得x140540,x240540（舍），

AC40540cm，

同理可求，BD40540cm，

∴ADABBD8040540=120405cm，

∴CDACAD40540120405=805160cm．

故答案为：805160．

【变式2-1】（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉

字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”

BC51

字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP2cm，则BC的长为cm（结

AB2

果保留根号）．

【答案】51/15

【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形ABPN是矩形，

BC51

根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键．

AB2

【详解】∵四边形MNPQ是正方形，

∴NP90，

又∵AB∥NP，

∴BANN180，

∴BAN90，

∴四边形ABPN是矩形，

∴ABNP2cm．

BC51

又∵，

AB2

∴BC51cm，

故答案为：51．

【变式2-2】（2022·陕西·中考真题）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种

“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为

上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2AEAB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．

【答案】51/15

AEBE51

【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案．

BEAB2

【详解】∵点E是AB的黄金分割点，

AEBE51

∴．

BEAB2

∵AB=2米，

∴BE（51）米．

故答案为：（51）．

【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·广东·模拟预测）大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，

AP5151

点P是AB的黄金分割点，即，这个无理数约是（）

AB22

A．0.505B．0.618C．0.707D．0.828

【答案】B

【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出2.252.3，据此求解即可．

【详解】解：∵2.252.3，

∴1.2511.3，

51

∴0.60.65，

2

观察四个选项，选项B符合题意；

故选：B．

2．（2024·安徽合肥·三模）古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于

中国各地．若古筝上有一根弦AB90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，则BC（）

A．45545cmB．90545cm

C．45545cmD．135455cm

【答案】C

【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是

解此题的关键．

【详解】解：∵AB90cm，支撑点C是靠近点A的一个黄金分割点，

5151

∴BCAB9045545cm，

22

故选：C．

3．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与

较大部分的比值，其比值为51．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，

2

乐器上的一根弦长AB80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支

撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为cm．（结果保留根号）

【答案】805160

【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出AC，DB，再根据线段的和差关

系进行计算即可解答．

【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB80cm，

5151

∴ACAB8040540cm，

22

∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB80cm，

5151

∴DBAB8040540cm

22

∴CDACBDAB24054080805160cm，

∴支撑点C，D之间的距离为805160cm，

故答案为：805160．

4．（2024·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此

MN

时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则．

AM

【答案】51

2

【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键．连接AE，根据题意可得：ABDE，从而利用等弧所对的圆周角相等可得AEBDAE，进而可

得MAME，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答．

【详解】解：连接AE，

∵将O的圆周分成五等份，

∴ABDE，

∴AEBDAE，

∴MAME，

∵点M是NE的黄金分割点，

MENM51

∴，

NEME2

NM51

∴

AM2

故答案为：51．

2

5．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可

以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽MN为2cm）

①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然

后把纸片展平，则NC______cm；

②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则

AC_______cm；

③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，

则ADAB_______cm；

CD

④展平纸片，按照所得到的点D折出DE，则_______，我

BC

们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为

黄金矩形，如图4矩形BCDE就是一个黄金矩形．

活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形．

如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以2a为腰长的黄金三角形ABC．（要求：尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度等于ABC的腰长；

步骤二：作一条线段PQ，使得PQ的长度等于ABC的底边长；

步骤三：作黄金三角形ABC．

51

【答案】（1）活动一：①2；②1；③51；④；

2

（2）见解析

【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可；

活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和SSS公理解答即可．

【详解】解：活动一：

①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则NCMN2cm；

1

②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则ACANNC1cm；

2

③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，则

ADABAC2BC212225cm；

CD51

④展平纸片，按照所得到的点D折出DE，DEBC2cm,CDADAC51cm，则；

BC2

活动二：

步骤一：作一条线段GH，使得GH的长度为2a，

步骤二：1．过点H作HLGH于点H，

2．在HL上截取HEa，连接GE，

3．在EG上截取EKa，

51

4．以点G为圆心，以GK为半径画弧交GH于点M，则点M为GH的黄金分割点，GM的长度等于GH，

2

则GM的长度等于ABC底边的长度，即GMPQ，如图：

步骤三：作ABC，作线段BCGM，分别以B,C为圆心，以GM为半径画弧，两弧交于点A，连接

AB,AC，如图，

则ABC为黄金三角形．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基

本作图，本题是操作性题目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键．

6．（2024·江苏盐城·二模）【教材呈现】苏科版数学九年级下册课本P52第2题

如图1，点P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以AB为

长、PB为宽的矩形的面积，请根据教材内容，尝试解决以下两个问题：

（1）若AB10，则PA（结果保留根号）；

（2）S1S2（填“”、“”或“”)．

【初步探究】

（3）将图1补成矩形DEGF，如图2，小明猜想点P在矩形DEGF的对角线DG上，请帮助小明判断其猜

想是否正确，并说明理由．

【深入探究】

（4）如图3，已知线段AB为O的弦，请利用无刻度直尺和圆规，在线段AB上作一点P，在圆上作一点

FBPQ51

Q，使得．（不写作法，保留作图痕迹）

PAAQ2

【答案】（1）555；（2）；（3）正确，理由见解析；（4）见解析

【分析】（1）利用黄金分割比解答即可；

（2）利用黄金分割的性质得到：设PB(51)k，则PA2k，ABPAPB(51)k，利用矩形的性质，

正方形的性质和矩形的面积公式解答即可；

（3）连接DP，GP，过点P作PHAB，交DE于点H，交GF于点I，利用黄金分割比的性质和相似三

角形的判定与性质得到PGIDPB，再利用平角的定义解答即可；

（4）利用线段垂直平分线的性质，勾股定理解答即可得出线段AB的黄金分割点；再利用相似三角形的判

定与性质解答即可．

【详解】解：（1）点P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，

PA51

，

AB2

AB10，

PA555．

故答案为：555；

（2）点P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，

PB51

．

PA2

设PB(51)k，则PA2k，ABPAPB(51)k．

222

S1PA4k，S2(51)k(51)k4k，

S1S2，

故答案为：；

（3）小明猜想点P在矩形DEGF的对角线DG上，小明的猜想正确，理由：

连接DP，GP，过点P作PHAB，交DE于点H，交GF于点I，如图，

则四边形DBPH，四边形DBAE，四边形PIGA，四边形PFGA为矩形，

DHPB，PAIG，PIBFAB，EDABFG，DBPPIG90，

四边形HPAE为正方形，

PAHEAEBD，

BDPA，

点P是线段AB的黄金分割点，且PAPB，

PAPB

，

ABPA

IGPB

，

PIBD

DBPPIG，

PIG∽DBP，

PGIDPB．

PGIIPG90，

DPBIPG90，

DPBBPIIPG9090180，

点D，P，G在同一直线上，

点P在矩形DEGF的对角线DG上；

（4）①．过点O作OMAB于点M，

②．过点B作AB的垂线，在此垂线上截取BCBM，

③．连接AC，以点C为圆心，BC为半径画弧交AC于点D，

④．以点A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点P，则点P为AB的黄金分割点．

⑤．以点B为圆心，以AP的长为半径画圆交圆O于点Q，

⑥．连接AQ，PQ，则点Q为所求的点．如图：

【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，线段的

垂直平分线的性质，线段的黄金分割，相似三角形的判定与性质，基本作图，矩形的判定与性质，熟练掌

握黄金分割的性质是解题的关键．

题型三：相似多边形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2022·广西梧州·中考真题）如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A'B'C'D'﹐已

OA1

知=，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A'B'C'D'的面积是（）

OA'3

A．4B．6C．16D．18

【答案】D

【分析】两图形位似必相似，再由相似的图形面积比等于相似比的平方即可求解．

【详解】解：由题意可知，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，

22

S骣OA骣11

由两图形相似面积比等于相似比的平方可知：ABCD=琪=琪=，

桫'桫

SA'B'C'D'OA39

又四边形ABCD的面积是2，

∴四边形A'B'C'D'的面积为18，

故选：D．

【点睛】本题考查相似多边形的性质，属于基础题，熟练掌握相似图形的性质是解决本题的关键．

【变式3-1】（2023·山东·中考真题）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使

DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若

矩形HEFG与原矩形ABCD相似，AD1，则CD的长为（）

A．21B．51C．21D．51

【答案】C

【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得DHCG1，设CD的长为x，则HGx2，再根据相似多

EHHG1x2

边形性质得出，即，求解即可．

CDADx1

【详解】解：，由折叠可得：DHAD，CGBC，

∵矩形ABCD，

∴ADBC1，

∴DHCG1，

设CD的长为x，则HGx2，

∵矩形HEFG，

∴EH1，

∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，

EHHG1x2

∴，即，

CDADx1

解得：x21（负值不符合题意，舍去）

∴CD21，

故选：C．

【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题

的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·云南昆明·模拟预测）如图ABCD与YAEFG关于点A成位似图形，若他们的位似比为2:3，则

ABCD与YAEFG的面积比为（）

A．4:9B．1:9C．2:3D．1:3

【答案】A

【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，掌握位似图形的概念、相似多边形的面积比等于相似比的

平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到ABCD与YAEFG相似，根据相似多边形的性质计算，得到

答案．

【详解】解：∵ABCD与YAEFG关于点A成位似图形，他们的位似比为2:3，

∴ABCD与YAEFG相似，他们的相似比为2:3，

2

24

∴ABCD与YAEFG的面积比为4:9，

39

故选：A．

2．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽45cm、长60cm的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原

矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为12cm，若装裱上去的左右部分的宽都为xcm(x20)，则x（）

A．9B．12C．16D．18

【答案】A

【分析】本题考查了相似图形的性质，解分式方程的运用，根据相似的性质“对应边成比例”即可求解．

【详解】解：根据题意，大矩形的长为：6012284（cm），宽为：452xcm，

∵大矩形与原矩形画相似，

60456045

∴或，

84452x452x84

解得，x9或x33.520（不符合题意，舍去），

检验，当x9时，原分式方程的分母不为0，有意义，

∴x9，

故选：A．

3．（2024·重庆渝北·模拟预测）我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对

开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸ABCD沿EF对

AB

开后，再把矩形纸EBCF沿GH对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（）

AD

2

A．0.618B．C．2D．2

2

【答案】C

【分析】该题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质．

根据矩形ABCD与矩形ADFE相似，且矩形ABCD的面积是矩形ADFE面积的2倍，根据相似图形面积比

是相似比的平方，即可得；

【详解】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ADFE面积的2倍，

∵各种开本的矩形都相似，

2

AB

2，

AD

AB

2，

AD

故选：C．

4．（2024·浙江宁波·一模）如图，点O为四边形ABCD内的一点，连结OA,OB,OC,OD，若

OAOBOCOD1

，则四边形ABCD的面积与四边形ABCD的面积比为（）

OAOBOCOD4

A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16

【答案】D

【分析】本题主要考查了位似图形的性质，得出两四边形的相似比是解题关键．利用位似图形的定义得出

1

四边形ABCD与四边形ABCD的位似比为，进而得出面积比，即可得出四边形ABCD的面积与四边形

4

ABCD的面积比．

OAOBOCOD1

【详解】解：∵，

OAOBOCOD4

1

∴四边形ABCD与四边形ABCD的位似比为，

4

∴四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为1:16，

故选：D．

5．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知ABCD中，点E，F，G，H分别为AB，CD，AD，BC上

的点，且EF∥BC，GH∥AB，GH分别与EF，BF相交于点M，N，若AEMG∽EBCF，则△BHN

的面积一定可以表示为（）

11

A．SSB．SS

2EBCFAEFD2EBHNGMFD

11

C．SSD．SS

2ABHGGHCD2EBHNAEMG

【答案】B

【分析】如图，过点A作AQEF于点Q，过点E作EPBC于点P，过N作NWBC于W，设D，

BE

设AEa，EMb，k，由AEMG∽EBCF，得BEak，BCbk，再证AEFEBP，四

AE

边形AEMG，四边形AEFD，四边形ABHG，四边形BCFE，四边形MHCF，四边形GHCD，四边形EBHM

都是平行四边性质，得EFBCbk，CFEBak，BHEMb，NHWD，MFbk1，

进而利用面积公式即可得解．

【详解】解：如图，过点A作AQEF于点Q，过点E作EPBC于点P，过N作NWBC于W，设D，

BE

设AEa，EMb，k，

AE

∵AEMG∽EBCF，

BEBC

∴k，

AEEM

∴BEak，BCbk，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，EBPD，

∵EF∥BC，GH∥AB，

∴EF∥BC∥AD，GHABCD，

∴AEFEBP，四边形AEMG，四边形AEFD，四边形ABHG，四边形BCFE，四边形MHCF，四

边形GHCD，四边形EBHM都是平行四边性质，

∴EFBCbk，CFEBak，BHEMb，NHWD，

∴MFbk1，

∵AQEF于，EPBC，

∴EPBEsinEBPaksin，AQAEsinAEFasin，

∴SEBHMSGMFDabksinabk1sinabsinSAEMG．

∵GH∥CD，

∴BHNC，BNHBFC，

∴△BHN∽△BCF，

HNBHHNb

∴，即，HNa．

CFBCakbk

∵NWBC，

∴NWNHsinNHWasin，

111

∴SBHNWabsinSS．

BHN222EBHNGMFD

故选B．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定及性质，平行四边形的判定及性质，解直角三角形，相似形的性质，

熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．

6．（2023·海南海口·模拟预测）有一张矩形纸片ABCD(ABBC)，M、N分别是AD，BC的中点，现沿

线段MN将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么AB:BC的值

为．

【答案】1:2

【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．

设ABCDa，BCAD2b，0a2b，则AMbBN，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相

ABBCa2b

似，可得矩形ABCD和矩形AMNB相似，则，即，可求a2b，进而可求AB:BC的值．

AMMNba

【详解】解：∵矩形ABCD，

设ABCDa，BCAD2b，0a2b，则AMbBN，

∴四边形ABNM是矩形，

∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，

∴矩形ABCD和矩形AMNB相似，

ABBCa2b

∴，即，

AMMNba

解得，a2b或a2b（舍去），

∴AB:BCa:2b2:21:2，

故答案为：1:2．

题型四：平行线分线段成比例定理

【中考母题学方法】

1

【典例1】（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的

2

长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于

点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK2，则正方形ABCD的边长为（）

535

A．21B．C．D．31

22

【答案】D

【分析】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AGAD2x，EF垂直平分AB，

得到AHBHx，AHG90，由勾股定理得到GH3x，证明ADGHBC，推出DGGK，推出

GHx1，得到3xx1，即得2x31．

【详解】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，

由作图知，AGAD2x，EF垂直平分AB，

1

∴AHBHABx，AHG90，

2

∴GHAG2AH23x，

∵BAD90，

∴AD∥GH，

∵AD∥BC，

∴ADGHBC，

DGAH

∴1，

GKHB

∴DGGK，

∵BK2，

1

∴GHADBKx1，

2

∴3xx1，

31

∴x，

2

∴2x31．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾

股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．

【变式4-1】（2024·山东·中考真题）如图，点E为ABCD的对角线AC上一点，AC5，CE1，连接DE

并延长至点F，使得EFDE，连接BF，则BF为（）

57

A．B．3C．D．4

22

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键．

CEDEDC

解法一：延长DF和AB，交于G点，先证DEC∽GAE，得到，再证BGF∽AGE，得

AEGEAG

BFFG3

到，即可求得结果；

AEEG4

解法二：作FH∥AB交AC于点H，证明出CDE≌HFEAAS，得到HECE1，FHCD，然后证明

出四边形ABFH是平行四边形，得到BFAHACCH3．

【详解】解：解法一：延长DF和AB，交于G点，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DCAB即DC∥AG，

∴DEC∽GAE

CEDEDC

∴，

AEGEAG

∵AC5，CE1，

∴AEACCE514，

CEDEDC1

∴，

AEGEAG4

DEDE1

又∵EFDE，，

GEEFFG4

EF1

∴，

FG3

DCDC1

∵，DCAB，

AGABBG4

DC1

∴，

BG3

EFDC1

∴，

FGBG3

BGFG3

∴

AGEG4

∴AE∥BF，

∴BGF∽AGE，

BFFG3

∴

AEEG4

∵AE4，

∴BF3．

解法二：作FH∥AB交AC于点H

∴CDEHFE，DCEFHE，

又∵EFDE，

∴CDE≌HFEAAS，

∴HECE1，FHCD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，CDAB，

∴HF∥AB，HFAB，

∴四边形ABFH是平行四边形，

∴BFAHACCH3．

故选：B．

【变式4-2】（2024·吉林长春·中考真题）如图，在VABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：

①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；

②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；

③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；

④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）

A．AOMBB．OMCC180

1

C．AMCMD．OMAB

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的

关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出AOMB，根据平行线的判定得出OM∥BC，根据平行

AMAO

线的性质得出OMCC180，根据平行线分线段成比例得出1，即可得出AMCM．

CMOB

【详解】解：A．根据作图可知：AOMB一定成立，故A不符合题意；

B．∵AOMB，

∴OM∥BC，

∴OMCC180一定成立，故B不符合题意；

C．∵O是边AB的中点，

∴AOBO，

∵OM∥BC，

AMAO

∴1，

CMOB

∴AMCM一定成立，故C不符合题意；

1

D．OMAB不一定成立，故D符合题意．

2

【变式4-3】（2024·重庆·中考真题）如图，在VABC中，延长AC至点D，使CDCA，过点D作DE∥CB，

且DEDC，连接AE交BC于点F．若CABCFA，CF1，则BF．

【答案】3

【分析】先根据平行线分线段成比例证AFEF，进而得DECDAC2CF2，AD4，再证明

CAB≌DEA，得BCAD4，从而即可得解．

【详解】解：∵CDCA，过点D作DE∥CB，CDCA，DEDC，

FACA

∴1，CDCADE，

FECD

∴AFEF，

∴DECDAC2CF2，

∴ADACCD4，

∵DE∥CB，

∴CFAE，ACBD，

∵CABCFA，

∴CABE，

∵CDCA，DECD，

∴CADE，

∴CAB≌DEA，

∴BCAD4，

∴BFBCCF3，

故答案为：3，

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判

定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关

键．

【变式4-4】（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在ABCD中，AB6，AD4，以A为圆心，AD的长为

1

半径画弧交AB于点E，连接DE，分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作

2

射线AF，交DE于点M，过点M作MN∥AB交BC于点N．则MN的长为．

【答案】4

【分析】由尺规作图可知，射线AF是BAD的角平分线，由于ADAE4，结合等腰三角形“三线合一”

得M是DE边中点，再由MN