2025年中考数学一轮知识梳理难点05一次函数反比例函数实际应用、面积、存在性、最值（6大热考题型）原卷版

难点05一次函数反比例函数实际应用、面积、存在性、最值

（6大热考题型）

题型一：方案选择问题

题型二：费用最少、利润最大问题

题型三：反比例函数面积问题

题型四：特殊三角形存在性问题

题型五：特殊四边形存在性问题

题型六：最值问题

题型一：方案选择问题

求最值的本质为求最优方案，解法有两种：

①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；

②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及

最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．

【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或

线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．

【中考母题学方法】

【典例1】（电话计费）（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．

计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫

A782000.25免费

B5000.19免费

108

(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计

费金额关于t的函数解析式；

(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；

(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．

【变式1-1】（租车问题）（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、

育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老

师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动

实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现

有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示

甲型客车乙型客车

载客量/（人/辆）4530

租金/（元/辆）400280

(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；

(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【变式1-2】（购买方案）（2024·河南周口·三模）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每

个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：

方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；

方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．

某厨具店计划购进80个电饭煲和x个电热水壶x80．设选择方案一需付款y1元，选择方案二需付款y2元．

(1)分别写出y1，y2关于x的函数表达式．

(2)当x200时．

①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．

②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的

商品不能再使用方案一优惠），请你设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·河南周口·三模）春和75景明，草长莺飞的四月和五月，全家最适合周末去附近的公园里踏青或爬

山，并且进行野餐，某便民商店计划在春天踏春之际购进A，B两种不同型号的野餐垫共100个，已知购进

A型号的野餐垫2个和B型号的野餐垫3个需要740元，购进A型号的野餐垫3个和B型号的野餐垫2个需要

710元．

(1)求该商店购进每个A型号和B型号的野餐垫的价格；

1

(2)该商店在调查后根据实际需求，现在决定购进A型号的野餐垫不超过B型号野餐垫数量的，为使购进

3

野餐垫的总费用最低，应购进型A号野餐垫和B型号的野餐垫各多少个?购进野餐垫的总费用最低为多少元?

2．（2024·山西忻州·三模）“传承红色基因，赓续红色血脉”．某中学八年级510名师生一起乘坐客车去参观

八路军太行纪念馆，下面是王老师和小强、小国同学有关租车问题的对话．

王老师：“客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金1000元，B型客车每辆租金800

元．”

小强：“七年级540人，租用6辆A型客车和4辆B型客车恰好坐满．”

小国：“九年级525人，租用5辆A型客车和5辆B型客车恰好坐满．”

根据以上对话，解答下列问题：

(1)分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数；

(2)因司机紧缺，客运公司只能给八年级师生安排10辆客车，要使八年级每位师生都有座位，八年级应租用

A，B两种客车各多少辆才能使租金最少？

3．（2024·山东青岛·模拟预测）自2022年新课程标准颁布以来，某校高度重视新课标的学习和落实，开展

了信息技术与教学深度融合的“精准化教学”．该校计划购买A，B两种型号的教学设备，已知A型设备价格

比B型设备价格每台高10%，用20000元购买B型设备的数量比用33000元购买A型设备的数量少5台．

(1)求A，B型设备每台的价格分别是多少元．

1

(2)该校计划购买两种设备共60台，要求A型设备的数量不少于B型设备数量的．设购买a台A型设备，

4

购买总费用为元，求关于a的函数表达式，并设计出购买总费用最低的购买方案．

4．（2024·湖南长沙·模拟预测）为响应国家关于推动各级各类生产设备、服务设备更新和技术改造的号召，

某公司计划将办公电脑全部更新为国产某品牌，市场调研发现，A

品牌的电脑单价比B品牌电脑的单价少

元，通过预算得知，用30万元购买A品牌电脑比购买B品牌电脑多台．

(110)0试0求A，B两种品牌电脑的单价分别是多少元；10

3

(2)该公司计划购买A，B

两种品牌的电脑一共台，且购买B

品牌电脑的数量不少于A品牌电脑的，试

5

求出该公司费用最少的购买方案．40

题型二：费用最少、利润最大问题

【中考母题学方法】

【典例2】（一次函数与二元一次方程组结合）（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）某超市从某水果种植基地

购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示：

水果种类进价（元/千克）售价（元/千克）

甲a22

乙b25

该超市购进甲种水果18千克和乙种水果6千克需366元：购进甲种水果30千克和乙种水果15千克需705

元．

(1)求a,b的值；

(2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于50千克，且不大

于120千克．实际销售时，若甲种水果超过80千克，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售

完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式（写出自变量x的取

值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润．

【变式2-1】（一次函数与二元一次方程组、不等式综合）（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助

力乡村振兴，某乡镇帮助农户将A、B两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件A品种柑橘礼盒比

B品种柑橘礼盒的售价少20元．且出售25件A品种柑橘礼盒和15件B品种柑橘礼盒的总价共3500元．

(1)求A、B两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？

(2)已知加工A、B两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、60元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出A、

B两种柑橘礼盒共盒，且A品种柑橘礼盒售出50的数量不超过B品种柑橘礼盒数量的1.5倍．总成本不

超过54050元．要使1农00户0收益最大，该乡镇应怎样安排A、B两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次

农产品展销活动中的最大收益为多少元？

【变式2-2】（一次函数与分式方程结合）（2024·四川眉山·中考真题）眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近

年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的A款文创产品和用780元购

进的B款文创产品数量相同．每件A款文创产品进价比B款文创产品进价多15元．

(1)求A，B两款文创产品每件的进价各是多少元？

(2)已知A，B文创产品每件售价为100元，B款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不

超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，

最大利润是多少元？

【变式2-3】（一次函数与分式方程、不等式结合）（2024·内蒙古赤峰·中考真题）一段高速公路需要修复，

现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队

单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．

(1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；

(2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的

工期，两队最多能修复公路多少千米？

【中考模拟即学即练】

1．（2024·四川德阳·中考真题）罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，至今有200多年历史，采用

罗江当地林下养殖的鹅产的散养鹅蛋，经过传统秘方加以糯米、青豆等食材以16道工序手工制作而成．为

了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，德阳某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A、

B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽．A、B

两种组合的进价和售价如下表：

价格AB

进价（元/件）94146

售价（元/件）120188

(1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少？

(2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95

件，假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合？最大利润为多少？

2．（2024·四川广安·中考真题）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种

花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．

(1)求A，B两种花卉的单价．

(2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4

倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．

3．（2024·云南·中考真题）A、B两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．

某超市销售A、B两种型号的吉祥物，有关信息见下表：

成本（单位：元/个）销售价格（单位：元/个）

A型号35a

B型号42b

若顾客在该超市购买8个A种型号吉祥物和7个B种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个A种型号

吉祥物和5个B种型号吉祥物，则一共需要410元．

(1)求a、b的值；

(2)若某公司计划从该超市购买A、B两种型号的吉祥物共90个，且购买A种型号吉祥物的数量x（单位：

4

个）不少于B种型号吉祥物数量的，又不超过B种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物

3

获得的总利润为y元，求y的最大值．

注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差．

4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购

买A、B两种电动车．若购买A种电动车25辆、B种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买A种电动

车60辆、B种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变．

(1)求A、B两种电动车的单价分别是多少元？

(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买A、B两种电动车200辆，其中A种电动车的数量不多

于B种电动车数量的一半．当购买A种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？

(3)该公司将购买的A、B两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用y元与骑行时间xmin之间的

对应关系如图．其中A种电动车支付费用对应的函数为y1；B种电动车支付费用是10min之内，起步价6元，

对应的函数为y2．请根据函数图象信息解决下列问题．

①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为

300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为8km，那么小刘选

择______种电动车更省钱（填写A或B）．

②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，x的值______．

5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，

需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌

毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．

(1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？

(2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙

种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？

(3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，

学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？

6．（2024·四川广元·中考真题）近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某

服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：

价格/类别短款长款

进货价（元/件）8090

销售价（元/件）100120

(1)该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；

(2)第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不

变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大

销售利润是多少？

7．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10

元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同．

(1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？

(2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过

11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？

8．（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分

拣．

相关信息如下：

信息一

A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）

13260

32360

信息二

(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；

(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，

能使每天分拣快递的件数最多?

题型三：反比例函数面积问题

【类型一：三角形面积与k的关系】

���

�△𝑨�=|�|�△𝑨�=|�|�△���=|�|

���

��△𝑨�=|�|�△𝑨�=|�|

�△𝑨�=|�|

�

�△𝑨�=�|�|�△𝑨�=�|�|�△���=�△���

【类型二：四边形面积与k的关系】

�=|�|�=|�|�=|�|

�△𝑨�=�|�|�△𝑨�=�|�|�=|��−��|

�=|��−��|�=|��−��|�=|��−��|

【类型三：重叠部分面积与k的关系】

四四四四

�△𝑨�=������△𝑨�=�𝑩�����𝑪=���𝑩

【类型四：反比例函数与图形中点与k的关系】

D为AB中点，点E为平行四边形ADBC的对角点E为矩形ADBC的对角线的交

线的交点点

▱

�矩

�△𝑨�=�

���𝑨�=��

�=��

�

�△���=�△���=�

�

【类型五：反比例函数中的特殊线段的关系】

BC⊥x轴，BA⊥y轴

AC=BDDE∥BC

DF=EG,DE∥AC

【中考母题学方法】

k

【典例3】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线y1(x0)上，连接AO并延长，交双曲线

x

k

y(x0)于点B，点C为x轴上一点，且AOAC，连接BC，若VABC的面积是6，则k的值为（）

24x

A．2B．3C．4D．5

【变式3-1】（2024·广西贺州·三模）如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点B，CB为A的直径，点

4

C在函数yx0的图象上，D为y轴上一点，则ACD的面积为．

x

k1k2

【变式3-2】（2024·山东滨州·模拟预测）如图，垂直于x轴的直线l分别交反比例函数y的图象、y2

1xx

的图象于点A、B，若△OAB的面积为5，则k1k2．

k

【变式3-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数y(x0)的图象经过平行四边形ABCO

x

的顶点A，OC在x轴上，若点B1,3，SABCO3，则实数k的值为．

【变式3-4】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为5,0，

k

2,6，过点B作BC∥x轴交y轴于点C，点D为线段AB上的一点，且BD2AD．反比例函数y(x0)

x

的图象经过点D交线段BC于点E，则四边形ODBE的面积是．

k

【变式3-5】（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B在函数y(x0)

x

的图象上，A(1,0)，C(0,2)．将线段AB沿x轴正方向平移得线段AB（点A平移后的对应点为A），AB交

k

函数y(x0)的图象于点D，过点D作DEy轴于点E，则下列结论：

x

①k2；

②OBD的面积等于四边形ABDA的面积；

③AE的最小值是2；

④BBDBBO．

其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）

【中考模拟即学即练】

43

1．（2024·安徽安庆·三模）已知反比例yx0与yx0的图像如图所示，B为x轴正半轴上一

xx

43

动点，过点B作ACy轴，分别交反比例函数yx0与yx0的图像于点A，C，点D，E（点

xx

E在点D的上方）在y轴上，且DEAC，则四边形ACDE的面积为（）

A．6.5B．7C．7.5D．8

2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，A与x轴相切于点B，CB为A的直径，点C在

k

函数yx0的图象上，D为y轴上一点，若ACD的面积为1，则k．

x

mn

3．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，反比例函数ym0在第三象限的图象是l，yn0在第四

x1x

象限的图象是l2，点A、C在l1上，过A点作AB∥x轴交l2于B点，过C点作CDy轴于D点，点P为x

，

轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若SABP5SCDP2，则n．

k

4．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，过原点的线段AB的两端点A，B分别在反比例函数y(k0,x0)

x

1

和y(x0)的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为C．若BOC的面积为1，则k的值为．

x

a

5.（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，点A，B分别在函数ya0图像的两支上（A在第一象限），连

x

b

结AB交x轴于点C．点D，E在函数yb0,x0图像上，AEx轴，BD∥y轴，连结DE，BE．若

x

AC2BC，ABE的面积为12，四边形ABDE的面积为15，则ab的值为．

6.（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，将直角ABO向右平移到CDE位置，A的对

k

应点是C，O的对应点是E，函数y(k0)的图象经过OB与CE的交点F，连接AF并延长交x轴于点G，

x

若△CFG的面积为3，则k的值是．

7．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCPD的边OC,OD分别在x轴、y轴上，

5

点P的坐标为3,4，双曲线y(x0)分别与边PC,PD交于点A,B，则阴影部分的面积是．

x

8．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边VAOB和菱形OBCD的边AO、OD都在x

k

轴上，反比例函数y（k0）的图象经过点C．已知VABC的面积为43，则k的值为．

x

9．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，VABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，且点

k

Ax,y,Bx,y在反比例函数y（k为大于0的常数，x>0）的图象上．若x2x,△ABC的面积是2，

1122x21

则k的值是．

10．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，点C、E在坐标轴上，矩形OCDE分别交某反比例函数于点F、G，

OC6，OE4，△OFG的面积为9，则该反比例函数解析式为．

4k

11．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，过原点的直线与反比例函数y和y的图象在第一象限内分别

xx

交于点A，B．过点A作ACx轴于点C，过点B作BDAC，交CA的延长线于点D．若△ABD的面积

1

为，则k．

2

12．（2024·贵州黔东南·一模）如图，平行四边形OABC中，S四边形OABC8，B(0,4)，它的边OC在x轴的负半

k

轴上，对角线OB在y轴的正半轴上．反比例函数y的图像经过点A．

x

(1)求反比例函数的表达式；

(2)过点A的直线与反比例函数在第三象限的图像相交于点D，连接，直接写出△ABD面积的取值范围．

𝐵

13．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知点A在正比例函数y2x的图象上，过点A作ABx轴于点B，

k

以AB为边作正方形ABCD，点D在反比例函数y的图象上．

x

(1)当点A的横坐标为2时，求反比例函数的表达式；

(2)若正方形ABCD的面积为m，试用含m的代数式表示k的值．

题型四：特殊三角形存在性问题

【中考母题学方法】

k

【典例4】（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数yk0的图象交于A1，2，

1x

，

B两点，一次函数y2mxbm0的图象过点A与反比例函数交于另一点C2n．

(1)求反比例函数的解析式；当y1y2时，根据图象直接写出x的取值范围；

(2)在y轴上是否存在点M，使得COM为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式4-1】（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD的顶点B，C在x轴上，

D在y轴上，OB，OC的长是方程x26x80的两个根（OBOC）．请解答下列问题：

(1)求点B的坐标；

(2)若OD:OC2:1，直线yxb分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交

DC延长线于点N，求tanMND的值；

(3)在（2）的条件下，点P在y轴上，在直线EF上是否存在点Q，使△NPQ是腰长为5的等腰三角形？若

存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

1

【变式4-2】（2024·浙江·模拟预测）如图，直线yx5与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，与反比

2

8

例函数yx0的图象相交于P、Q两点．过点Q作x轴的垂线，垂足为C，连接OQ、OP，并延长OP，

1x

与直线QC相交于点M．在第一象限找点N，使以P，Q，N，M为顶点的四边形为平行四边形，反比例函

k

数y，k0,x0经过点N．

2x

(1)求△POQ的面积．

k

(2)在反比例函数yx0，k0的图象上找点D，使△PQD是直角三角形，求出符合要求的点D的坐

2x

标．

k

(3)如图2，在反比例函数yx0，k0的图象上有一点E，EFx轴于点F，EGy轴于点G，

2x

8

EF、EG分别交反比例函数y1的图象于H，I两点，求OHI的面积．

x

【中考模拟即学即练】

k

1．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，一次函数yx4与反比例函数yx0的图象交于A、B两点，

x

与x轴交于点C，其中点A的坐标为1,a

(1)求反比例函数的解析式；

(2)若点P在x轴上，且△APC是直角三角形，求点P的坐标．

1k

2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线l:yx与反比例函数y的图象交

12x

于点A，B（点A在点B的左侧），已知点A的纵坐标是1．

(1)求反比例函数的表达式；

1

(2)如图，将直线l:yx向上平移2个单位长度后得到新的直线l，点M在直线l上，设点M的横坐标

1222

为t0t4．连接AM，BM．

①求ABM的面积；

②当ABM是直角三角形时，求点M的坐标．

m

3．（2024·湖南·模拟预测）如图，反比例函数y图象与正比例函数y2nx图象相交于点A1，2与点B．

1x

m

(1)试求反比例函数y与正比例函数ynx的函数表达式及点B的坐标．

1x2

m

(2)请直接写出nx的解集．

x

(3)现把y2nx的图象绕O点顺时针旋转90得到了y3ax．试问在y3ax函数图象上是否存在一动点E，

使ABE是以BE为底边的等腰三角形？如果有，请求出这个点E的坐标；如果没有，请说明理由．

题型五：特殊四边形存在性问题

【中考母题学方法】

【典例5】（2023·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:ykx2与x，y轴分别相

m

交于点A，B，与反比例函数yx0的图象相交于点C，已知OA1，点C的横坐标为2．

x

(1)求k，m的值；

(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平

行四边形，求点D的坐标．

【变式5】（2023·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：P为图形M上任意一点，如

果点P到直线EF的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点”．

例如：如图1，已知点A1,2，B3,2，P2,2在线段AB上，则点P是直线EF：x轴的“伴随点”．

3

(1)如图2，已知点A(1,0)，B3,0，P是线段AB上一点，直线EF过G1,0，T0,两点，当点P是

3

直线EF的“伴随点”时，求点P的坐标；

(2)如图3，x轴上方有一等边三角形ABC，BCy轴，顶点A在y轴上且在BC上方，OC5，点P是VABC

上一点，且点P是直线EF：x轴的“伴随点”．当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长；

(3)如图4，以A(1,0)，B2,0，C2,1为顶点的正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：yxb

的“伴随点”．请直接写出b的取值范围．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·广东广州·一模）如图，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA4，OB2，

k

反比例函数yk0在第一象限的图象经过正方形的顶点C．

x

(1)求点C的坐标和反比例函数的解析式；

(2)若点N为直线OD上的一动点（不与点O重合），在y轴上是否存在点M，使以点A、M、C、N为顶

点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

2

2.（2023·广东广州·中考真题）已知点Pm,n在函数yx0的图象上．

x

(1)若m2，求n的值；

(2)抛物线yxmxn与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．

①m为何值时，点E到达最高处；

②设GMN的外接圆圆心为C，C与y轴的另一个交点为F，当mn0时，是否存在四边形FGEC为平

行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．

题型六：最值问题

【中考母题学方法】