2025年中考数学一轮知识梳理难点02 与三角形有关的常考题型（6大热考题型）（解析版）

难点02与三角形有关的常考题型

（6大热考题型）

题型一：三角形三边关系的应用

题型二：用三角形的高的应用

题型三：三角形中线性质的应用

题型四：与平行线有关的三角形角度计算

题型五：与角平分线有关的三角形内角计算

题型六：平行线间的距离折叠背景下的三角形内角计算

题型一：三角形三边关系的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x210x210的两个根，则这个

三角形的周长为（）

A．17或13B．13或21C．17D．13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得x13，

x27，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3，腰长为7，进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．

2

【详解】解：由方程x10x210得，x13，x27，

∵337，

∴等腰三角形的底边长为3，腰长为7，

∴这个三角形的周长为37717，

故选：C．

【变式1-1】（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在VABC中，AB32,AC2，以BC为边作Rt△BCD，

BCBD，点D与点A在BC的两侧，则的最大值为（）

𝐴

A．232B．622C．5D．8

【答案】D

【分析】如图，把VABC绕B顺时针旋转90得到△HBD，求解AHAB2BH26，结合ADDHAH，

（A,H,D三点共线时取等号），从而可得答案．

【详解】解：如图，把VABC绕B顺时针旋转90得到△HBD，

∴ABBH32，ACDH2，ABH90，

∴AHAB2BH26，

∵ADDHAH，（A,H,D三点共线时取等号），

∴AD的最大值为628，

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合

适的辅助线是解本题的关键．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·广东韶关·模拟预测）如图，人字梯的支架AB，AC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则

B，C两点之间的距离可能是（）

A．3mB．4.2mC．5mD．6m

【答案】A

【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案．本题

主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键．

【详解】解：ACAB2m，

22BC22，

即0BC4．

只有A选项数值满足上述的范围，

故选：A．

2．（2024·云南曲靖·一模）菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长是方程x27x100的一个根，则

菱形ABCD的周长为（）

A．16B．20C．16或20D．32

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程等知识，先解方程得x12，x25，

再根据菱形的性质和三角形三边关系得到AB5，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．

【详解】解：由题意可知，边AB的长是方程x27x100的一个根，

解方程：x27x100，

∴x2x50

解得：x12，x25，

∵菱形ABCD的一条对角线长为8，

∴当x12时，228，不能构成三角形，

当x25时，55108，能构成三角形，

∴AB5，

∴菱形ABCD的周长5420，

故选：B．

3．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点A，B对应的数分别为5，5，

从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为2，则点D在数轴上对应的

数可能为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】A

【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得AB，AC，设D对应的数

为x，根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择．

【详解】解：设D对应的数为x，

∵点A，B对应的数分别为5，5，点C对应的数为2，

∴AB5510，AC253，CDx2x2，BD5x，

根据题意，ACCDBD，CDACBD，

3x25x

则，

x235x

解得0x3，

∴点D在数轴上对应的数可能为2，

故选：A

4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边AC的长可能为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰三角

形的性质和三角形的三边关系求解即可．

【详解】解：VABC为等腰三角形，

AC为3或4，

ACADCD224，

AC3，

故选：B．

5．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案．

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，

662，

能构成三角形，

第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，

226，

不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6，

故答案为：6．

6．（2024·贵州黔东南·二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要

准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（）

A．6dm,6dm,12dmB．8dm,4dm,2dm

C．6dm,3dm,10dmD．6dm,8dm,7dm

【答案】D

【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系并运用是解题的关键．根据三角形三

边关系定理，即“三角形任意两边之和大于第三边”、“三角形任意两边之差小于第三边”进行计算，逐一判断

即可解答．

【详解】解：A、∵6612，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；

B、∵248，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；

C、∵3610，∴不能组成三角形，故此选项不符合题意；

D、∵678，867，∴能组成三角形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

7．（2024·河北邢台·模拟预测）题目：“如图，B30，BC2，在射线BM上取一点A，设ACd，若

对于d的一个数值，只能作出唯一一个VABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：d2，乙答：d1，

丙答：3，则正确的是（）

A．只有甲答的对B．乙、丙答案合在一起才完整

C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整

【答案】C

【分析】本题主要考查三角形的三边关系及等腰三角形以及直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性

质及三角形的三边关系是解题的关键．由题意知，当CABA或CABC时，能作出唯一一个VABC，分这

两种情况求解即可．

【详解】由题意知，当CABA或CABC时，能作出唯一一个VABC，分这两种情况求解即可．

①当CABA时，

∵B30，BC2，

11

∴ACBC21，

22

此时d1时，能作出唯一一个VABC；

②当CABC时，

∵BC2，

∴当d2时能作出唯一一个VABC；

综上，当d1或d2时能作出唯一一个VABC，

故选：C．

8．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，ABCD为平行四边形，ACBC，若VABC腰长为5，则平行四边形

周长可能是（）

A．28B．30C．32D．34

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，由四边形ABCD是平行四边形，得ABCD，

ADBC，从而有ACBCAD5，则平行四边形ABCD周长为2AB10，最后由三边关系即可求解，

熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABCD，ADBC，

∴ACBCAD5，

∴平行四边形ABCD周长为2ABBC2AB10，

在VABC中，根据三角形三边关系得：0AB10，

∴02AB1030，

∴选项A符合题意，

故选：A．

9．（2024·贵州贵阳·一模）如图，VABC中，AC8，O为AC边上一点，且AOB60．点D在射线BO

上，且BD6，连接DC．则ABDC的最小值是．

【答案】213

【分析】构造​平行四边形BDCD，则当A、B、D¢三点共线时ABBD最小，然后依次求出EC,AE,AD

的长即可．

【详解】解：如图，构造​平行四边形BDCD，

∴CDBD,BDCD6，

∴ABCDABBD，

当A、B、D¢三点共线时ABBD最小，

过A作AECD交CD'于点E，

在RtACE中，AC8,ACEAOB60，

∴ECACcos604,AEACsin6043，

∴ADAE2DE2213，

即ABDC的最小值是213．

​故答案为：213．

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，添加合适的辅助线是解题关

键．

10．（2024·贵州黔南·模拟预测）如图，在VABC中，ACBC3，过点A作直线ADBC于点D，E，

F分别是直线AD，边AC上的动点，且AECF，则BFCE的最小值为．

【答案】6

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，

如图，过C作BCCG，使CGAC3，连接GF,GB，证明GCF≌CAESAS，可得GFCE，

BFCEBFGFBG，可得BFCE的最小值为BG，再进一步利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，过C作BCCG，使CGAC3，连接GF,GB，

∵ADBC，

∴CG∥AD，

∴GCFCAE，

∵AECF，

∴GCF≌CAESAS，

∴GFCE，

∴BFCEBFGFBG，

∴BFCE的最小值为BG，

∵BCGC3，BCCG，

22

∴BG336，

∴BFCE的最小值为6；

故答案为：6

11．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知等腰三角形的周长12cm，底边长ycm是腰长xcm的函数．

(1)写出这个函数关系式．

(2)求自变量x的取值范围．

(3)画出这个函数的图像．

【答案】(1)y122x

(2)3x6

(3)见解析

【分析】本题考查了一次函数关系式、函数自变量的取值范围及函数的图象；

（1）根据等腰三角形的周长计算公式表示即可；

（2）根据构成三角形三边的关系即可确定自变量x的取值范围；

（3）可取两个点，在平面直角坐标系中描点、连线即可.

【详解】（1）解：这个函数关系式为y122x；

（2）由题意得xx122xxx，即0122x2x，

解得3x6，

所以自变量x的取值范围为3x6；

（3）当x3时，y6；当x6时，y0，函数关系式y122x（3x6）的图象如图所示，

题型二：三角形高的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段BD一定是VABC的（）

A．角平分线B．高线C．中位线D．中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得BDAC，从而可得答案．

【详解】解：由作图可得：BDAC，

∴线段BD一定是VABC的高线；

故选B

【典例2】（2024·山东德州·中考真题）如图，在VABC中，AD是高，AE是中线，AD4，S△ABC12，

则BE的长为（）

A．1.5B．3C．4D．6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S△ABC12和AD4求出BC6，根据AE是中线即

可求解．

1

【详解】解：∵S△BCAD12，AD4，

ABC2

∴BC6

∵AE是中线，

1

∴BEBC3

2

故选：B

【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）如图，D是VABC的边BC上一点，将VABC折叠，使点C落在BD上

的点C处，展开后得到折痕，则是ABC的（）

𝐴𝐴

A．中线B．高线C．角平分线D．中位线

【答案】B

【分析】本题考查了翻折变换(折叠问题)，三角形的高线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠

的性质和三角形的高线的定义即可得到结论．

【详解】解：将VABC折叠，使点C落在BC边上，

∴ADCADB，

∵ADCADB180，

∴ADCADB90，

ADBC，

AD是VABC的高线，

故选：B．

【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在33的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，

B，C都在网格线的交点上，则VABC中边BC上的高为（）

521010410

A．B．C．D．

4525

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出BC的长，再由三角形

面积求出VABC中边BC上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键．

【详解】解：设VABC中边BC上的高为h，

由勾股定理得：BC123210，

1111

∵S△BCh232211312，

ABC2222

1

∴10h2，

2

210

∴h，

5

210

即VABC中边BC上的高为，

5

故选：B．

【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，若ABAC5，BC6，点E为BC的中点，过点E作EFAC

于点F，则EF的长为（）

9125

A．2B．C．D．

552

【答案】C

【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理，连接AE．由等腰三角形三线合一性质可知AEBC，

CE3，再由勾股定理求出AEAC2CE24，进而由三角形面积求出高EF．

【详解】如图，连接AE．

∵ABAC，点E为BC的中点，BC6，

∴AEBC，CE3，

∵AC5，

∴在RtACE中，AEAC2CE252324，

11

∵SAE·CEAC·EF，

ACE22

AECE3412

∴EF．

AC55

故选C．

【中考模拟即学即练】

1．（2024·重庆·三模）如图，VABC中，BDAC于点D，AB^CE于点E，CE与BD相交于点H，已知

ADHD2，CD6，则VABC的面积为．

【答案】24

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明△ADB≌△HDC，得到BDCD6，再根

1

据VABC的面积AC·BD解答即可求解，证明△ADB≌△HDC是解题的关键．

2

【详解】解：∵BDAC，CEAB，

∴HDCADBAEC90，

∴AHCD90，DHCHCD90，

∴ADHC，

在ADB与△HDC中，

ADHC

ADHD，

ADBHDC

∴ADB≌HDCASA，

∴BDCD6，

∵ACADCD268，

11

∴VABC的面积ACBD8624，

22

故答案为：24．

2．（2024·安徽·模拟预测）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的88网格中，VABC的顶点均

为格点（网格线的交点）．

(1)将VABC向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的△A1B1C1；

(2)仅用无刻度直尺作出△A1B1C1的高A1P．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）根据平移的性质求解即可；

（2）根据网格线的特点取格点G，连接AG交B1C1于点P，A1P即为所求．

【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1为所求；

（2）解：如图所示，A1P为所求．

取格点D，连接AG交B1C1于点P，A1P即为所求；

取格点M，N，AM与B1C1相交于点G，

∵A1MB1N，C1NMD，A1MGB1NC1

≌

∴A1MDB1NC1SAS

∴MA1DNB1C1

∵NB1C1B1GM90，B1GMAGC1

∴AGC1GAD90

∴A1PG90，点P即为所求

3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）实践操作：如图，在55正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段AB

的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图．

(1)作出一个面积等于9个平方单位的VABC，使得点C落在格点上；

(2)在（1）的条件下，作出VABC最大边上的高，垂足为D，并保留作图痕迹．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查格点作图，三角形的面积，勾股定理．

（1）设VABCAB边上的高为h，利用勾股定理求出AB32，再根据三角形面积公式得到h32，取格

点P，Q，利用格点的性质，易得PQAB，连接PQ交AB于格点H，再取格点G，延长PQ交过格点G的

竖网格线与格点C，格点C即为所求；

（2）根据格点的性质，取格点E，连接BE，交AC于点D，易得BEAC，即BD为所求．

【详解】（1）解：设VABCAB边上的高为h，

1

=×=，22，

SABCABh9AB3332

2

h32，

如图所示，格点C即为所求；

（2）解：如图所示，BD为所求．

4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在77的正方形网格中，A，B，C均为小正方形的顶点，仅用无刻度

的直尺画图，保．留．画．图．痕．迹．．

(1)在图1中，点D为BC与网格线的交点，先将点D绕点C顺时针旋转90，画出点D的对应点E，再在BE

上找点F，使FAFE；

11

(2)在图2中，先找点M，使AMAB，且CAMBAC，再在AC上找点N，使SS．

2ΔAMN5ΔABC

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）作出线段BC绕点C顺时针旋转90得到的线段HC，HC与网格线的交点即为点D的对应点E，

BFBG

连接BE，取AB的中点为G，作GF∥AE交BE于点F，根据平行线分线段成比例可知1，即

EFAG

11

FEBE，在Rt△ABE中，AF为斜边上的中线，有AFBE，即有FAFE；

22

（2）将线段AC向下平移2个单位得到GQ（G为AB中点），作GQ的垂线PG，再将线段AC向上平移2个

1

单位与PG的交点即为点M，则有GSMS，易得AGS≌AMSSAS，即有AMAGAB且

2

1

CAMBAC，取OQ5，连接GO交AC于点N，利用相似三角形性质即可推出SS．

ΔAMN5ΔABC

【详解】（1）解：所作点D的对应点E，以及点F，如下图所示：

（2）解：所作点M，点N如图所示：

11

S448，又SS，

△ABC2ΔAMN5ΔABC

8

S，

ΔAMN5

AM=AG，MANGAN，ANAN，

AGN≌AMNSAS，

SAGNSAMN，

AG∥OQ，

GANGOQ，

GNAONC，AC∥GQ，

OGQONC，

OGQGNA，

OQ5

OGQ∽GNA，且相似比为，

AG2

SOGQ25

，

SGNA4

1

S5410，

OGQ2

1048

SS，

AMNAGN255

1

点N满足SS．

ΔAMN5ΔABC

【点睛】本题考查复杂作图，旋转作图，平移作图，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，直

角三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

题型三：三角形中线性质的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：VABC．

(1)尺规作图：画出VABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

(2)在（1）的条件下，连接AG，BG．已知ABG的面积等于5cm2，则VABC的面积是______cm2．

【答案】(1)见解析

(2)15

【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；

（1）分别作BC,AC的中线，交点即为所求；

S2

ABG2

（2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得SABC2SABD15cm

SABD3

【详解】（1）解：如图所示

作法：①作BC的垂直平分线交BC于点D

②作AC的垂直平分线交AC于点F

③连接、BF相交于点G

④标出点𝐴G，点G即为所求

（2）解：∵G是VABC的重心，

2

∴AGAD

3

S2

∴ABG

SABD3

∵ABG的面积等于5cm2，

2

∴SABD7.5cm

又∵D是BC的中点，

2

∴SABC2SABD15cm

故答案为：15．

【变式3-1】（2024·河北唐山·三模）对于题目：如图1，在钝角VABC中，AB5，BC3，AC边上的中

线BD2，求VABC的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法．

则下列说法正确的是（）

A．只有方法一可行B．只有方法二可行

C．方法一、二都可行D．方法一、二都不可行

【答案】C

【分析】图2中，证明ADE≌CDBSAS，则AEBC3，AEDCBD，AE∥BC，证明四边形ABCE

1222

是平行四边形，则SABCSABCESABE，由AEBEAB，可知AEB是直角三角形，AEB90，

2

1

则SSAEBE6；可判断方法一可行；图3中，由题意知，BD是△ACF的中位线，则

ABCABE2

2221

AF2BD4，由BFAFAB，可知△AFB是直角三角形，AFB90，则SABCBCAF6；

2

可判断方法二可行．

【详解】解：图2中，∵EDBD2，ADECDB，ADCD，

∴ADE≌CDBSAS，

∴AEBC3，AEDCBD，

∴AE∥BC，

∴四边形ABCE是平行四边形，

1

∴SSS，

ABC2ABCEABE

∵324252，

∴AE2BE2AB2，

∴AEB是直角三角形，AEB90，

1

∴SSAEBE6；方法一可行；

ABCABE2

图3中，由题意知，BD是△ACF的中位线，

∴AF2BD4，

∵324252，

∴BF2AF2AB2，

∴△AFB是直角三角形，AFB90，

1

∴SBCAF6；方法二可行；

ABC2

故选：C．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等

知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题

的关键．

【变式3-2】（2024·云南昆明·二模）如图，AD，CE是VABC的两条中线，连接ED．若SVABC16，则阴

影部分的面积是（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．根

据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可．

【详解】解：AD是VABC的中线，SVABC16，

11

SS168，

ABD2ABC2

E是AB的中点，

1

SS4，

BED2ABD

故选：B

【中考模拟即学即练】

1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）如图，ABC的面积为10，点D，E，F分别在边，BC，上，AD2，

DB3，ABE的面积与四边形DBEF的面积相等，则ABE的面积为（）𝐴��

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之

间的关系．

由题意可知ABE的面积和四边形DBEF的面积相等，可通过连接DE,DC的方法，证明出DE∥AC，进而

求出BDC的面积，然后即可求出答案．

【详解】解：连接DE,DC．

∵S四边形DBEFSABE,S四边形DBEFSBDESFDE,SABESBDESADE，

∴SADESFDE，

∵两个三角形有公共底DE，且面积相等，

∴高相等，

∴DE∥AC，

从而可得：SADESCDE，

∴SABESBDC，

又AD2,DB3，

33

SS106，

BDC5ABC5

即S△ABE6，

故选：C．

2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，AD是VABC的中线，点E是AD的中点，连接CE并延长，交AB于

点F，若AB6．则AF的长为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的

关键．过点A作BC平行线交CF延长线于点G，可得△AGF∽△CBF,△AGE∽△CDE，通过比例式即可

AF1

求出，即可解决问题．

FB2

【详解】解：过点A作BC平行线交CF延长线于点G，

∵AGBC，

∴△AGF∽△BCF,△AGE∽△DCE，

AFAGAGAE

∴,，

FBBCCDED

∵点E是AD的中点，

AGAE

∴1，

CDED

∴AGCD，

∵AD是VABC的中线，

∴BDCD，

∴AGCDBD，

AFAG1

∴，

FBBC2

1

∴AFAB2，

3

故选：B．

3．（2024·上海浦东新·一模）如图，在VABC中，AB4，AC6，E为BC中点，AD为VABC的角平分线，

:

VABC的面积记为S1，VADE的面积记为S2，则S2S1．

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答．根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可．

【详解】解：过点D作DMAB,DNAC，

AD为VABC的角平分线，

DMDN,

∵AB4,AC6,E为BC中点，

1

∴SVSVSV,

ABEAEC2ABC

1

ABDM

S42

VABD2,

S163

VADCACDN

2

5

设SV2x,SV3x，则SV5x,SVSVx,

ABDADCABCABEAEC2

5

3xx

S1

则22，

S15x10

故答案为：1:10．

3

4．（2024·湖北随州·二模）如图，点A在反比例函数y的图象上，ABx轴于点B，已知点B，C关于

x

原点对称，则VABC的面积为．

【答案】3

3

【分析】根据题意先求出S△，再根据点B，C关于原点对称得到S2S计算即可．本题考查

ABO2ABCABO

了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值几何意义是关键．

3

【详解】解：点A在反比例函数y的图象上，ABx轴于点B，

x

3

S，

ABO2

点B，C关于原点对称，

BOCO，

3

S2S23．

ABCABO2

故答案为：3．

5．（2024·河南新乡·三模）如图是正方形网格，请仅用无．刻．度．的．直．尺．，分别根据下列要求画出图形，并用．实．

线．保．留．作．图．痕．迹．．

(1)请在图（1）中的线段AB上作点D，使PD最短；

(2)请在图（2）中．在AB上找一点M、使得CM平分VABC面积；

(3)访在图（3）中，在BC上找一点N，使得AN将VABC分成面积比为2:3的两部分（找到一个即可）．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查网格作图，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关

键．

（1）根据网格的特点和垂线段最短画图即可；

（2）根据三角形中线的性质找到AB的中点即为所要求作的点M；

（3）构造相似三角形利用相似三角形的性质将BC分成2:3的两部分，连接AN，即为所求．

【详解】（1）如图所示，点D即为所求；

（2）如图所示，点M即为所求；

（3）如图所示，点N即为所求；

∵BE∥CF，

∴BEN∽CFN

BEBN2

∴

FCCN3

SBN2

∴ABN．

SACNCN3

6．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在VABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一

点P，使得S△ABC4S△ADP.（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析

1

【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，与三角形中线有关的面积的计算，分别以点A、C为圆心，大于AC

2

的长度为半径画弧，交于M、N，作直线MN角AC于点P，点P即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活

运用是解此题的关键．

【详解】解：如图，点P即为所求，

，

在VABC中，AD是BC边上的中线，

S△ABC2S△ACD，

由作图可得：MN垂直平分AC，

APCP，

SACD2SAPD，

SABC4SAPD．

7．（2023·山东青岛·二模）【模型】

同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．

SABDBD

已知，如图1，VABC中，D为线段BC上任意一点，连接AD，则有：．

SACDCD

【模型应用】

（1）如图2，任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF，若四边形ABCD的

面积为S，则S四边形AECF___________．

（2）如图3，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，连接

AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF___________．

（3）如图4，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，连接

AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形AECF___________．

【拓展与应用】

（4）如图5，若任意的十边形的面积为100，点K、L、M、N、O、P、Q、R分别是AB、CD、DE、

EF、FG、HI、IJ、JA边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接BL、DK、DR、

MJ、NJ、FQ、OI、GP，则图中阴影部分的面积是___________．

SSn1

【答案】[模型应用]（1）；（2）；（3）S；[拓展与应用]（4）75

23n

【分析】本题考查了四边形面积、三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识；

11

[模型应用]（1）由三角形的中线性质得SS，SS，即可解决问题；

AEC2ABCAFC2ACD

11

（2）连接AC，由模型得SS，SS，即可解决问题；

AEC3ABCAFC3ACD

11

（3）连接AC，由模型得SS，SS,根据S四边形S四边形SS，即可

BECnABCADFnACDAECFABCDBECADF

求解；

413

[拓展与应用]（4）连接AD、JE、IF，由（3）得：S四边形S四边形S四边形，同理，

BLDK4ABCD4ABCD

333

S四边形S四边形，S四边形S四边形，S四边形S四边形，根据

RDMJ4ADEJJNFQ4JEFIIOGP4IFGH

S阴影S四边形BLDKS四边形RDMJS四边形JNFQS四边形IOGP，即可求解．

【详解】解：[模型应用]（（1）E、F分别是AB、CD边的中点，

11

AEAB，CFCD，

22

11

SS，SS，

AEC2ABCAFC2ACD

S四边形ABCDSABCSACD，S四边形AECFSAECSAFC，

1S

S四边形S四边形，

AECF2ABCD2

S

故答案为：；

2

（2）如图，连接AC，

点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，

11

AEAB，CFCD，

33

11

SS，SS，

AEC3ABCAFC3ACD

S四边形ABCDSABCSACD，S四边形AECFSAECSAFC，

1S

S四边形S四边形，

AECF3ABCD3

S

故答案为：；

3

（3）如图，连接AC，

点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，

11

BEAB，DFCD，

nn

11

SS，SS，

BECnABCADFnACD

S四边形ABCDSABCSACD，S四边形AECFS四边形ABCDSBECSADF，

S四边形AECFS四边形ABCDSBECSADF

1

S四边形SS

ABCDnABCACD

1

S四边形S四边形

ABCDnABCD

S

S

n

n1

S，

n

n1

故答案为：S；

n

[拓展与应用]（4）如图，连接AD、JE、IF，

413

由（3）得：S四边形S四边形S四边形，

BLDK4ABCD4ABCD

333

同理，S四边形S四边形，S四边形S四边形，S四边形S四边形，

RDMJ4ADEJJNFQ4JEFIIOGP4IFGH

S十边形ABCDEFGHIJS四边形ABCDS四边形ADEJS四边形JEFIS四边形IFGH，

S阴影S四边形BLDKS四边形RDMJS四边形JNFQS四边形IOGP

3333

S四边形S四边形S四边形S四边形

4ABCD4ADEJ4JEFI4IFGH

3

S四边形S四边形S四边形S四边形

4ABCDADEJJEFIIFGH

3

S十边形

4ABCDEFGHIJ

3

100

4

75，

故答案为：75．

题型四：与平行线有关的三角形角度计算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，

小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿AB折叠，量得1259；小铁把纸带②沿GH折

叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则

下列判断正确的是（）

A．纸带①、②的边线都平行

B．纸带①、②的边线都不平行

C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

【答案】D

【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得1=ADB=59，利用三角形内角和定理求得DBA=62，

再根据折叠的性质可得ABC=DBA=62，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，

CGH=DGH，EHG=FHG，由平角的定义从而可得EHGFHG90，CGHDGH90，

再根据平行线的判定即可判断．

【详解】解：对于纸带①，

∵1259，

∴1=ADB=59，

∴DBA=1805959=62，

由折叠的性质得，ABC=DBA=62，

∴2ABC，

∴AD与BC不平行，

对于纸带②，由折叠的性质得，CGH=DGH，EHG=FHG，

又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，

∴CGHDGH=180，EHGFHG=180，

∴EHGFHG90，CGHDGH90，

∴EHGCGH=180，

∴CD∥EF，

综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，

故选：D．

【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定

和折叠的性质是解题的关键．

【变式4-1】（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（E30）按如