高等数学第61章

第6章

函数积分

第1页本章研究定积分：特定和式极限，是一个数；不定积分：知道导函数，求原函数；第2页第3页第4页目录：§1定积分概念§2定积分基本定理§3不定积分§4定积分计算§5广义积分课时：16课时，第9、10、11周第5页教学要求：了解原函数概念，了解不定积分和定积分概念，了解不定积分和定积分性质。熟练掌握不定积分基本公式，熟练掌握不定积分与定积分换元法和分部积分法，掌握较简单有理函数部分分式分解，掌握积分表使用。了解变上限积分函数概念，掌握变上限积分函数求导，了解变上限积分函数与原函数关系，熟练掌握牛顿(Newton)—莱布尼兹(Leibniz)公式。了解反常积分概念，知道

函数(第五节第四目“反常积分收敛原理”，第五目“反常积分柯西主值”可略去)。第6页考研要求：1.了解原函数概念，了解不定积分和定积分概念.2.掌握不定积分基本公式，掌握不定积分和定积分性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数积分.4.了解积分上限函数，会求它导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.5.了解反常积分概念，会计算反常积分.

第7页§1定积分概念和性质1、定积分概念问题1曲边梯形面积曲边梯形第8页圆面积计算割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.––––刘徽《九章算书注》••••••••••••第9页曲边梯形面积A计算(1)分割a=x0<x1<…<xi–1<xi<…<xn=b分割[a,b]得:[xi–1,xi](i=1,2,…,n)且记

xi=xi–xi–1任取分点：第10页(2)作近似任取

i[xi–1,xi],

Ai

f(

i)xi(i=1,2,…,n)(3)求和作(4)取极限1≤i≤n第11页问题2变速直线运动旅程0abttiti–1已知质点运动速度v=v(t).求在时间段[a,b]内运动旅程s.匀速运动：距离＝速度×时间(1)分割任取分点:

a=t0<t1<…<ti–1<ti<…<tn=b分割[a,b]得:[ti–1,ti](i=1,2,…n)且记：

ti=ti–ti–1第12页(2)作近似任取

i

[ti–1,ti],(3)求和(4)取极限1≤i≤n

i0abttiti–1作特点？第13页1).定积分定义定义1

设xi

[a,b],(i=0,1,2,…,n)且满足a=x0<x1<…<xi–1<xi<…<xn=b则点集{xi}称为闭区间[a,b]一个划分；若记xi=xi–xi–1，则称为该划分直径.定义2设f(x)在[a,b]上有界，若对于[a,b]任意划分和任意取点

i(xi–1≤

i≤xi)，极限都存在，则称其为f(x)在[a,b]上定积分[黎曼积分].第14页记：此时亦称f(x)在[a,b]上可积.记为f(x)

R([a,b]).shuim第15页第16页问题：什么情况下可积？定理：(1)若f(x)

C([a,b]),则f(x)

R([a,b])； (2)若f(x)在[a,b]上单调有界，则f(x)

R([a,b])； (3)若f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)

R([a,b])； (4)若f(x),g(x)

R([a,b])，则kf(x),f(x)+g(x),f(x)·g(x),|f(x)|

R([a,b]).其中k为常数.第17页例1.计算积分解.由f(x)=x2

C([0,1])，故f(x)=x2

R([0,1]).于是其积分值与区间[0,1]划分和点

i取法无关，从而将[0,1]n等分，得分点和且取

i，则有：P181，例2第18页2）几何意义y=f(x)a

0bxyf(x)>00xbf(x)<0a

yy=f(x)面积代数和第19页例2.例3.0y=sinxyx显然第20页要求如此下面讨论假设所列出积分均存在.2、定积分性质//含有极限性质第21页第22页性质1.证：其中

,

为常数.线性性第23页性质2.若a<c<b,则ya

y=f(x)0bxc可加性证：因为f(x)

R([a,b]),故取[a,b]划分，使c成为分点:则令0得第24页性质3.若

x[a,b]有f(x)1,

则a

0bxy1性质4.

若

x[a,b]有f(x)≥0，则≥0第25页推论1.

若

x[a,b]有f(x)≥g(x),则≥a

0bxyy=f(x)a

0bxy=g(x)y第26页推论2.

≤(a<b)证：因为|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|则≤≤故≤第27页（1）设≥≡则对于性质4，深入有：（2）设≥≡则（3）设≥≡则在[a,b]上第28页证：因为f(x)≥0，且f(x)≡0，则x0

[a,b],f(x0)=y0>0不妨设x0

(a,b),则由f(x)连续性,

U(x0,

)(a,b)使得x

U(x0,

)时有|f(x)-y0|≤y0/2,从而有f(x)≥y0/2.再由性质1,2,3,4和推论1,有：当x0=a,b时,考虑x0左右邻域类似可证.(1)得证.(2)显然;(3)反证之;第29页性质5.设≤≤证：因为m≤f(x)≤M则≤≤故≤≤估值定理第30页x0yMmx0yx0ya

ba

by=f(x)a

b第31页例4.预计解：轻易求得在[

1,1]上最大值1，故有≤≤2第32页性质6(定积分中值定理)若f(x)

C([a,b]),则

[a,b]使得分析：可证证：由性质5有≤≤或≤≤mM其中第33页由闭区间连续函数介值定理知

[a,b]，使得ya

y=f(x)0bx

f(

)推广形式：P185，性质6第34页设f(x)

C([a,b])将[a,b]n等分：得[xi1,xi],且(i=1,2,…,n)取令n,称为f(x)在[a,b]上平均值.3、连续函数平均值第35页此时：由性质6，定积分中值定理中f(

)恰是函数f(x)在区间[a,b]上平均值.第36页例5.设气温T是时间t连续函数T=f(t),则日平均气温为例6.已知自由下落物体运动速度为v=gt,则它在0秒到T秒时间内平均速度为第37页4、定积分近似计算矩形法梯形法抛物线法第38页作业：P187，习题6-1，1（1），4，7（1）思索：定积分计算程序？第39页回顾：积分定义：有界函数，特定和式极限；可积条件：连续；单调/离散有界；顺便：作业问题；考试问题；函数图形；数学家；分享：懂味；带望远镜摄像机（SONYDEV3）；第40页第41页第42页关于题为《选择力量》演讲：

凌小宁结合20多年从业经历，向湖大学生分享学习方法和创新能力培养点点滴滴，并告诉大家该选择怎样大学生活。

谈微软招人法则

谈赚到钱和学经验

谈团体意识我把学习境界由低到高分为五个层次。1.学会答案;2.学会方法;3.学会学习;4.学会做事;5.学会做人。学习第五层境界，学会做人，我认为是学习最高境界，也最难。除了诚信之外，学会做人另一点是要学会与他人一起有效地工作，又叫团体精神。这是我们学生一个大弱点。大家多是独生儿女，多年来读书升学个人奋斗，没得到很好团体合作学习环境。现在，大家上了大学，学习生活在集体里，有了团体环境，应该主动培养团体意识。为何微软亚洲研究院已出了三个微软全球副总裁，而微软其它研究院没有?为何从那出来人都混得好，是老总，副总，技术总监什么?因为全世界都知道，这个研究院做得非常成功，是一个非常优异团体。所以，人们相信那里人一定很棒。要有这么理念，团体成功是个人成功前提，团体失败了，个人也是失败，团体成功了，个人也是一份功劳。第43页今日主题：求定积分有效方法；原函数与积分上限函数；定积分基本定理；P188-192；第44页1、原函数概念首先：v=v(t)故另首先：s=s(t)故

应有：注意：

s'(t)=v(t).b00s(a)s(b)asts

变速直线运动旅程：求时间段[a,b]内质点运动旅程s.§2微积分基本定理第45页定义1.设区间I

R，若F(x)使x

I

有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在I上一个原函数(反导数).例：sinx是cosx在R上一个原函数；ln|x|是在(,0)(0,+)内一个原函数；第46页原函数性质：(1)若F(x)是f(x)一个原函数，则对任何常数C，F(x)+C也是f(x)原函数.因为：[F(x)+C]‘=F’(x)=f(x)所以，f(x)若有原函数，则它就有没有穷多个原函数.第47页(2)

f(x)任意两个原函数之间仅相差一个常数.设F(x)和

(x)是f(x)任两个原函数，则F'(x)=f(x),

'(x)=f(x)于是[

(x)

F(x)]'=

'

(x)

F'(x)=f(x)

f(x)

0故

(x)

F(x)=C0

(C0为常数)所以：若F(x)是f(x)一个原函数，则{F(x)+C|C

R}为f(x)全体原函数.第48页2、微积分基本定理定理1.设f(x)

R([a,b])，F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数，则：Newton-Leibniz公式第49页证实.因为F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数，故F(x)

C([a,b])，且在[a,b]上F'(x)=f(x).设a=x0<x1<…<xi–1<xi<…<xn=b是[a,b]任意一个划分,在每个小区间[xi–1,xi]上利用Lagrange中值定理，得F(xi)–F(xi)=f(

i)

xi

,

i(xi–1,xi),

xi=xi–xi–1,i=1,2,…,n,从而记则第50页设f(x)

R([a,b]),取x

[a,b],有：xx(a≤x≤b)称为积分上限函数.记为：y=f(x)ya

0bxxtt3、积分上限函数积分下限函数？第51页定理2.若f(x)

R([a,b])，则：分析：需证

x0[a,b],即

>0,

>0,使当|x

x0|<

时，都有|

(x)

(x0)|<

第52页证：首先由f(x)

R([a,b])知M>0,使x[a,b]有|f(x)|≤M从而

x0,x[a,b]有：

≤≤M|x

x0|第53页于是

>0，取则当|x

x0|<

时

f(x)C([a,b]).≤M|x

x0|第54页定理3.若f(x)

C([a,b])，则在[a,b]上可导，且：(a≤x≤b)分析：需证

x[a,b]，第55页证实：

x[a,b]，取x，x+x[a,b]

=

(x+x)

(x)第56页令

x0,得

'(x)=f(x)推论1(原函数存在定理)若f(x)

C([a,b]),则f(x)在[a,b]上存在原函数，且为f(x)一个原函数.第57页例1.普通地：另外：第58页{P191}P190，例1，例2；第59页例2.=例3.求解：F'(x)=(x1)(x2)2令F'(x)=0得驻点x=1,x=2对x=1,当x<1时F'(x)<0,当1<x<2时F'(x)>0故x=1为F(x)极小值点对x=2,当1<x<2时F'(x)>0,当x>2时F'(x)>0故x=2不是F(x)极值点于是F(x)极小值第60页定理1.设f(x)

C([a,b])，F(x)是f(x)在[a,b]上一个原函数，则：证：由定理3之推论知一个原函数，于是：也是f(x)4、微积分基本定理再证实第61页再令x=b.F(b)

(b)移项便得：为书写方便，记：(a≤x≤b)F(x)

(x)=C令x=a，得F(a)

(a)=C=0故C=F(a)=F(a)第62页例3.计算解：例4.计算解：第63页解：例5.

设≤x≤0≤x≤因为(cosx)'=sinx,(sinx)'=cosx故第64页练习第65页作业：P192，习题6-2，1（3），3（1）预习：不定积分思索：怎样求定积分?原函数存在条件？怎样求原函数?怎样利用定积分求极限？第66页回顾：原函数有，有没有穷多个；两个原函数之间相差一个常量；积分上限函数是连续函数；假如f(x)连续，对应积分上限函数可导；微积分基本定理积分与微分桥梁；第67页6-3-1概念与性质6-3-2换元积分法6-3-3分部积分法6-3-4有理函数积分6-3-5怎样求不定积分重点：怎样求不定积分？§3不定积分第68页一、不定积分概念若F(x)是f(x)在I

上一个原函数，则{F(x)+C|C

R}是f(x)在I上全体原函数.6-3-1概念与性质第69页定义1在区间I上,f(x)全体原函数{F(x)+C|C

R}称为f(x)在I上不定积分.记为注意：原函数与导函数定义域！第70页比如：第71页f(x)原函数图形称为f(x)积分曲线，则比如：y=x2+C是y=2x积分曲线族.对于C一个确定值C0就对应y=2x一个原函数x2+C0.

取C0=0,则y=x2.y=x2+C0xyx积分曲线族特点:在横坐标相同点x处,全部切线都是彼此平行.第72页由定义知，求原函数与求导数互为逆运算,于是：第73页由基本求导公式可得到基本求积公式！基本求导公式：P108-109；每一个求导公式,反过来就是一个求原函数公式,加上积分常数C就成为一个求不定积分公式.第74页二、基本求积公式（P195）(1)(2)(3)(4)(5)第75页(6)(7)(8)(9)第76页(10)(11)(12)(13)第77页(14)(15)第78页三、不定积分性质设f(x),g(x)不定积分存在,且

和

为常数，则线性性质第79页证:等式右端对x求导，得=f(x)+g(x)中积分号表这表明是f(x)+g(x)原函数.示含有任意常数,故它是f(x)+g(x)不定积分.第80页例1.第81页例2.第82页例3.第83页例4.第84页例5.第85页例6.第86页例7.第87页例8.第88页例9.设f(x)=x2

x<0x

x≥0,求解：x<0时，x≥0时，因为一个函数若是f(x)在(,+)上原函数，则它必须连续.于是在x=0有故C1=C2.第89页所以x<0x≥0第90页例10.一曲线过点(1,1)且在任一点(x,y)处切线斜率为该点横坐标平方3倍，求此曲线方程.解：设此曲线方程为y=f(x),据题意有y'=3x2故又该曲线过点(1,1)，即x=1时y=1,故C=0于是所求曲线为y=x3第91页例11解第92页解第93页作业：P217，习题6-3，1（1）、（5），2思索：怎样验证计算正确？第94页6-3-2换元积分法

利用积分性质和基本求积公式能够求出不少函数原函数,但还很有限，实际碰到积分计算远比这复杂。

换元积分法是与复合函数求导法则相对应求不定积分方法，我们在积分运算过程中进行适当变量代换,将原来积分化为对新变量积分,而后者积分比较轻易积出。一、第一换元积分法u=(x)二、第二换元积分法x=(t)第95页一、第一换元积分法例1.令u=2x,du=2dx第96页例2.令u=2x,du=2dx第97页普通地有：定理1.设F(u)是f(u)在区间I上一个原函数,u=

(x)在区间J上可导，且

(J)I,则在J上有证：由复合函数求导法有故第98页则当u=

(x),且

(x)可导时,有第99页