312成比例线段讲课教案

3.1.2成比例线段做一做

如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）△ABC

和△，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB，BC，AC，，，的长度，并计算AB与，BC与，AC与的长度的比值.

一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB，的长度分别为m，n

，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与的比，记作，或.

如果的比值为k，那么上述式子也可写成

或．在上图中，对于△ABC

和△，有

.１、设线段ＡＢ＝２cm，ＡＣ＝４cm,两条线段的长度比是记作:2、设线段ＡＢ＝200cm，ＡＣ＝４m,两条线段的长度比是200：４＝200：４00＝两条线段单位要统一两条线段的长度比叫做这两条线段的比２：４＝

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.

类似地，如果，那么称线段AB，BC，AC

与线段，，

对应成比例.

例如，已知四条线段a，b，c，d，若，则a，b，c，d是比例线段.如果作为比例内项的是两条相等的线段即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项.举例例

已知四条线段a，b，c，d的长度分别为0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d是比例线段吗？

即a，b，c，d是比例线段.∴∵解1.已知线段a=2cm,b=4.1cm,c=4cm,d=8.2cm,下面哪个选项是正确的？()A.d,b,a,c成比例线段B.a,d,b,c成比例线段C.a,c,b,d成比例线段D.a,d,c,b成比例线段2.下列各组线段的长度成比例的是（）A.2cm,3cm,4cm,1cmB.1.5cm,2.5cm,6.5cm,4.5cmC.1.1cm,2.2cm,3.3cm,4.4cmD.1cm,2cm,2cm,4cmCD课堂练习4.已知线段a=3,b=12,而线段c是线段a,b的比例中项,则c=3.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=665.指出下列比例线段中的内项和外项.PAPCPBPD=SBEFEFSC=（3）中SB和SC是：，EF是SB和SC的：PB和PCPA和PDCD和EFAB和MN比例外项（2）AB：CD=EF：MN内项为：,外项为：（1）内项为：

，外项为：比例中项6.

已知线段a=10mm,b=6cm,c=2cm,d=3cm.

问：这四条线段是否成比例？为什么?答：这四条线段成比例.∵a=10mm=1cm即线段a、c、d、b成比例.例2.已知A.B两地相距40km，问在比例尺为1:5000000的地图上,A.B两地相距多少厘米？答：A.B两地的图上距离是8cm.解：设A.B两地的图上距离为A`B`

则：

即

所以A`B`==8cmABA`B`15000000A`B`4×107150000004×1075×106==挑战例3.在相同时刻的物高与影长成比例.如果一古塔在地面上的影长为50m，同时，高为1.5m的测竿的影长为2.5m，那么古塔的高是多少？x米50米古塔影长测竿1.5米测竿影长2.5米解：设古塔的高为xm，根据题意得∴2.5x=1.5×50∴x=30(m)答：古塔的高为30m.

古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约公元前400—前347)提出一个问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？即，使得如果这能做到的话，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与

原线段AB的比叫作黄金分割比.

成立？①黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫黄金分割比.CAB（或BC:AC）如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比(0.618),人们称它为“黄金矩形”,黄金矩形曾一度统治着西方世界的建筑美学,巴黎圣母院是它的一个杰出代表作,它的整个结构就是按照黄金矩形建造的.运用一元二次方程的知识，可以求出黄金分割比的数值.ACB②

如上图，设线段AB的长度为1个单位，点C为线段AB上一点，且AC的长度为x

个单位，则CB的长度为(1-x)个单位.根据①式，列出方程：ACB②由于x≠0

，因此方程②两边同乘x，得

即(舍去).解得因此，.

事实上，我们一定可以把一条线段黄金分割，黄金分割比为，它约等于ACB（1）如上图,若线段AB=6,C为线段AB的黄金分割点(AC＞BC),则AC=走进黄金屋线段AB上只有一个黄金分割点C吗?ACBD答:一条线段有两个黄金分割点,它们关于线段的中点对称,因此,它还有一个黄金分割点D.

视觉生理学的研究成果表明，符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感．许多世界著名古建筑物中都包含有“黄金分割比”，例如古希腊的巴台农神庙、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院这些著名建筑的正面高度与底部宽度之比均约为黄金分割比.巴台农神庙泰姬陵

在现代，许多建筑的设计中也采用了黄金分割，

例如，上海的东方明珠广播电视塔的上球体就处于整个塔身高度的黄金分割处.

神奇的“黄金分割比”也出现在许多著名艺术作品中，如在意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，人物的脸的宽度与高度的比就是一个黄金分割比．蒙娜丽莎黄金分割

与生活赏心悦目的摄影作品,都凝聚着设计师对黄金分割的运用,中央电视台的主持人均处在屏幕的黄金分割点位置.·舞台上的报幕员一般站在舞台的什么位置?黄金趣题1.请问大热天开空调应调在什么温度最佳？2.人体下半身(即脚底到肚脐的长度)与身高的比越接近0.618越给人以美感,遗憾的是即使是身材修长的芭蕾舞演员也达不到如此完美.某女士身高1.68米,下半身1.02米,她应选择多高的高跟鞋看起来更美丽?答:人体正常体温的平均值为36.5℃,因此36.5×0.618=22.557所以,大热天开空调应定在22℃～23℃较为适宜.解:设她应选择高跟鞋的高为x米,由题意得,解这个方程得,x≈0.048经检验,x≈0.048符合题意答她应选择大约4.8厘米的高跟鞋看起来更美丽.练习1.已知a，b，c，d是成比例线段．（1）若a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求d；（2）若a=12cm，c=3cm，d=15cm，求b；（3）若a=5cm，b=

4cm，d=8cm，求c．（1）

若a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求d；解∵a，b，c，d是成比例线段，∴，即∴．（2）若a=12cm，c=3cm，d=15cm，求b；∴．解∵a，b，c，d是成比例线段，∴