极坐标线路放样计算原理

极坐标线路放样计算原理一、概述

工程测量中,经常会遇到线路放样工作,其中包括一些缓与曲线、园曲线等得放样工作。传统得线路放样工作(特别就是曲线放样工作)需要首先确定线路得各关键点,如直缓点、缓圆点、交点等,然后再在这些点上架设仪器,根据曲线要素,采用偏角法或切线支距法进行放样工作。这些方法步骤繁琐,受现场地理条件得限制较多,且放样成果累积误差也较大。

在全站仪与GPS较为普及得今天,需要改进线路放样工作得方法,提高放样工作得效率,通过对各种测量线路得分析研究,抓住确定线路形状得主要因素,导出计算线路轴线及边线上任意点得坐标计算公式。这样就可以配合全站仪或GPS在控制点上设站,按极坐标法对路线上任意点进行放样,使得各类线路得放样工作变得简便、灵活、快捷。

二、线路轴线上点得坐标计算原理

一般来说,工程线路轴线无论其复杂程度如何,均由直线、缓与曲线及园曲线等三类基本线型得组合而成。其中缓与曲线主要用于连接直线与园曲线、两个曲率半径不同得园曲线。

1、直线段上任意点得坐标计算

如图一所示,一直线段AB,在起点A得坐标(XA,YA)、起点方位角αAB及线路长度lAB确定得情况下,该段线路完全确定。线路上任一桩位点P得坐标(XP,YP)可由起点A至P点得距离lAB及方位角αAB按式(1)计算:

(1)

线路终点B坐标为:

(2)

直线形线路得特点就是,线路上任意一线段得方位角不变,均为αＡＢ。

2、

缓与曲线上任意点得坐标计算

工程线路中一般采用螺旋线作为缓与曲线,如图二所示。螺旋线得特点就是:曲线上任一点P得曲率半径RP与该点至起点得曲线长lAB成反比,即:

(3)

式中:C为比例常数,K为加常数。

当缓与曲线用于连接直线至圆曲线时,K=0,此时在直线与缓与曲线连接点处得曲率半径R→∞。当缓与曲线用于连接圆曲线至直线时K=-lAB,此时在缓与曲线与直线连接点处得曲率半径R→∞。

ABαＡＢXYOPlAPＡXYＯRAPRPBRBxyαAαB图一:直线段任意点意图图二:缓与曲线上任意点示意图

设缓与曲线两端点得曲率半径分别为RA及RB,当RA、RB及缓与曲线长lAB与曲向确定时,且起始点A坐标(XA,YA)及A点切线方位角αA也确定时,则缓与曲线完被全确定(包括缓与曲线形状及其在坐标系中得位置)。由图二知,当lAP=0时,RP=RA;当lAP=lAB时,RP=RB。因此,按式(3)可列出:

(4)

由式(4)解得

(5)

如图三所示,以A点为原点建立过渡直角坐标系A-xy,其中坐标横轴与A点切线重合。从图中可以瞧出,曲线上任一弧长得微分段与相应得坐标有如下关系:

(6)

对式(6)求积得:

(7)

式中β为弧长l得函数。由于dβ=dl/R,则由式(3)有:

(8)

则

(9)

dxdydldβRABAxyRBβ0β0β图五:缓与曲线上任意点得坐标计算示意图

由式(5)知:

(10)

将式(10)代入式(7)有:

(11)

将式(11)按幂级数展开,并逐项积分,略去可忽略得9次以上高次项得

(12)

式(12)即为由图三所示得在A-xy坐标系中解算缓与曲线上轴线点得坐标计算公式。在式(12)中,当RA→∞时有:

(13)

当RB→∞时,式(12)化为:

(14)

式(12)、(13)、(14)分别为三种不同情况下,缓与曲线轴线上点坐标在A-xy坐标系中得计算公式。当在上面得计算公式中用lAB代lAP时,即得缓与曲线终点B之坐标(xB,yB)。需要注意得就是:在实际计算时,还需要将在A-xy系中计算得坐标换算到施工坐标系O-XY中去。由图二得到转换公式:

(15)

如图二、图三所示,缓与曲线终点得切线方位角αB应为:

(16)

顾及式(10)有:

(17)

当RA→∞时:

(18)

当RB→∞时:

(19)

3、圆曲线上任意点得坐标计算

如图四所示,对圆曲线同样只要给定其起点A得坐标(XA,YA)、起点方向αA、圆半径R及线路长lAB,则该圆曲线形状及位置完全确定。

又如图五所示,设以起点A为原点,A点切线方向为y轴方向,建立直角坐标系A-xy。则容易推求出圆曲线轴线上P点得坐标:

(20)

注意到β=lAP/R,故上式化作:

β0β0βαABAxyOYXPR图四:圆曲线上任意点得坐标计算示意图β0β0βAxyBlAPPR图五:

起点为原点圆曲线上任意点得坐标计算示意图

(21)

式(21)即为在A-xy系中,圆曲线轴线上任一点P得坐标计算公式。同样式4、7-21需要按式(15)作坐标转换。

由图四、图五得圆曲线终点B得切线方位角为:

(22)

需要说明得就是:在曲线部分我们只讨论了曲线得一个曲向(左向)。至于另一个曲向(右向),由对称性显见,在由图三、图五所确定得坐标系中,其y值不变,x值取相反符号。即当曲线得曲向为右向时,仍可按缓与曲线坐标计算公式(12)、(13)、(14)及圆曲线得坐标计算公式(21)等计算轴线点坐标,只就是在计算结果中,将xp得符号取其反号即可。同时,对线路终点方位角得计算也需稍为作些调整。对于缓与曲线来说,当曲线得曲向为右向时,曲线终点方位角得计算公式(17)、(18)或(19)中右边得“-”号应取“+”,即相应于式(17)、(18)及(19)有:

(23)

(24)

(25)

对于圆曲线而言,当曲线得曲向为右向时,曲线终点方位角计算公式4、7-22右边得“-”号也应取“+”,即有:

(26)

4、各类线路得连接

工程线路得连接一般遵循如下两条原则:第一,前一线路段得终点与后一线路段得起点重合;第二,前一线路段得终点方向(或终点得切线方向)与后一线路段得起点方向(或起点得切线方向)一致。因此,对任一条复合线路,只要知道该线路得组成形式(即该复合线路按次序分别由哪些形式得线路段组合而成)、各线路段得长度、曲线得曲向、圆曲线得半径以及第一段线路得起点坐标、起点方向等,则该复合线路形状及位置就完全确定,就可用上述公式按线路组合次序计算线路轴线上任意里程点得坐标。然后,再根据计算坐标由全站仪按极坐标法实施线路轴线上得桩位放样工作。

三、线路边线点得放样坐标计算

上面讨论了各类线路轴线上得桩位点按里程得坐标计算公式。但在实际工作中,我们往往不仅需要测定线路轴线得位置,而且还需要测定与线路轴线成一定夹角得排架桩位。下面,我们导出根据线路轴线上得里程及该里程排架与轴线得夹角与排架上桩位离轴线得距离来推算相关桩位坐标得计算公式。有了这些公式,我们就可以在实际工作中直接放样线路轴线以