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文档简介

曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关

主要内容:一、弧微分二、曲率及其计算公式三、曲率圆与曲率半径平面曲线的曲率

一、弧微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为

AB,弧长

则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:

二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点M开始取弧段,其长为对应切线定义弧段上的平均曲率点M处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为0!

转角为例1.

求半径为R的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R愈小,则K愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R愈大,则K愈小,圆弧弯曲得愈小.

有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K的计算公式二阶可导,设曲线弧则由

说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则

例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放\暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点

且

l<<R.

其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例2.

我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且

l<<R.

处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点

解:显然例3.

求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K最大最小

求驻点:设从而K取最大值.这说明椭圆在点处曲率

计算驻点处的函数值:最大.三、曲率圆与曲率半径设M为曲线C上任一点,在点在曲线把以D为中心,R为半径的圆叫做曲线在点M处的曲率圆(密切圆),R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点D使

设曲线方程为且求曲线上点M

处的曲率半径及曲率中心设点M处的曲率圆方程为故曲率半径公式为满足方程组的坐标公式.

由此可得曲率中心公式(注意与异号)当点M(x,y)沿曲线移动时,的轨迹G称为曲线C的渐屈线,相应的曲率中心曲率中心公式可看成渐曲线C称为曲线G的渐伸线.

屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.例3(仍为摆线)例5.

求摆线的渐屈线方程.解:代入曲率中心公式,得摆线摆线半径为a的圆周沿直线无滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停其上定点M的轨迹即为摆线.参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停

内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率圆曲率半径曲率中心

思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线的曲

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