2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷(解析版)

第=page22页，共=sectionpages22页2022年江苏省南京市玄武区中考数学一模试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一．选择题（本题共6小题，共12分）2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约3.16亿人．用科学记数法表示3.16亿是(    )A.3.16×107 B.31.6×107 C.下列运算正确的是(    )A.(a2)3=a6 B.若式子1−1x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是A. B.

C. D.如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为(    )A.35°

B.52.5°

C.70°

D.72°已知x=7−3，下列结论错误的是(    )A.x是负数 B.x−7是27的立方根

C.x2是无理数 D.x+3是如图，矩形纸片ABCD，AB=15cm，BC=20cm，先沿对角线AC将矩形纸片ABCD剪开，再将三角形纸片ABC沿着对角线AC向下适当平移，得到三角形纸片A′BC′，然后剪出如图所示的最大圆形纸片，则此时圆形纸片的半径为(    )A.607cm B.1207cm C.36二．填空题（本题共10小题，共20分）−2的相反数是________；12的倒数是________.分解因式(a−b)(a+4b)−3ab的结果是______．计算24−13×18设x1，x2是关于x的方程x2+3x−m=0的两个根，且2x1在平面直角坐标系xOy中，作点P关于x轴的对称点，得到点P1，再将点P1向右平移3个单位，得到点P2(1,−1)，则点P的坐标为圆锥的母线长为5，底面圆的面积为9π，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______°.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA⊥OB，OB=2OA，反比例函数y1=1x(x>0)，y2=kx(x<0)的图象分别经过点如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的点，连接CD，AC，OD，且AB=4，OD//AC，设CD=x，AC=y，则y与x之间的函数表达式为______．如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接AE，C1F相交于点G，则已知P1(m,y1)，P2(m+1,y2)，P3(m+2,y3)是下列函数图象上的点：

①y=x+1；三．解答题（本题共11小题，共88分）(1)计算(−12)−1+(3.14−π)0先化简，再求值：(a+2a2−2a−如图，在等边三角形ABC中，BD=CE，BE，AD相交于点F．

(1)求证△ABD≌△BCE；

(2)求证AE2=EF⋅EB．

在某次射击训练中，小明10次射击的成绩如下(单位：环)．

(1)填表：平均数中位数方差8环______环______环 (2)你认为小明这10次射击的平均成绩8环能反映他的实际水平吗？请说明理由．

(3)若小明增加1次射击，成绩为9环，与增加前相比，小明的射击成绩______．

A.平均数变小，方差变小

B.平均数变小，方差变大

C.平均数变大，方差变小

D.平均数变大，方差变大一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．

(1)从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．

(2)从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率是______．在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若AB=12，EM=EN=5，则四边形ABCD的面积为______．如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面l上的示意图．已知支撑臂AB⊥l，AB=15cm，BC=30cm，测量得∠ABC=148°，∠BCD=28°，AE=9cm.求摄像头到桌面l的距离DE的长(结果精确到0.1cm).(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，3≈1.73)甲、乙两地相距40km，一辆慢车和一辆快车先后从甲地出发沿同一直道匀速前往乙地．慢车先出发，行驶一段时间后停车休息，待快车追上后立即以原速度匀速行驶，直至到达乙地．快车比慢车晚20min出发，始终保持匀速行驶，且比慢车提前到达乙地．两车之间的距离y(单位：km)与慢车的行驶时间x(单位：min)之间的部分函数图象如图所示．请结合图象解决下面问题：

(1)慢车的速度为______km/min；

(2)求线段AB表示的y与x之间的函数表达式；

(3)请根据题意补全图象．如图，在△ABC中，E是BC边上的点，以AE为直径的⊙O与AB，BC，AC分别交于点F，D，G，且D是FG的中点．

(1)求证AB=AC；

(2)连接DF，当DF//AC时，若AB=10，BC=12，求CE的长．已知二次函数y=(x−m)(x−m−2)(m为常数)．

(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；

(2)二次函数的图象与x轴交于点M，N，与y轴交于点P，若△MNP是等腰直角三角形，则m的值为______；

(3)点A(1,y1)，B(2,y2)，C(3,y旋转的思考

【探索发现】

(1)已知△ABC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.小美，小丽探索发现了下列结论．

小美的发现如图①，连接对应点BB′，CC′，则BB′CC′=ABAC．

小丽的发现如图②，以A为圆心，BC边上的高AD为半径作⊙A，则B′C′与⊙A相切．

(ⅰ)请证明小美所发现的结论．

(ⅱ)如图②，小丽过点A作AD′⊥B′C′，垂足为D′.证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

【问题解决】

(2)在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=25，M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针旋转得到△A′B′C′．

(ⅰ)如图③，当边B′C′恰好经过点C时，连接BB′，则BB′的长为______．

(ⅱ)在旋转过程中，若边B′C′所在直线l恰好经过点B，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线l.(保留作图痕迹，不写作法)

【拓展研究】

(3)在(2)的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线BB′，CC′交于点P，则BP

答案和解析1.【答案】C解：316亿=3.16000000=3.16×108．

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n2.【答案】A解：A、原式=a6，符合题意；

B、原式=a6，不合题意；

C、原式=a5，不合题意；

D、原式=8a3b3，不合题意；

故选：A．

A、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；

B3.【答案】D解：由题可知：x−1>0，

解得x>1．

故选：D．

直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．

4.【答案】C解：连接OD，如图，设∠C的度数为n，

∵CD=OA=OD，

∴∠C=∠DOC=n，

∴∠ADO=∠DOC+∠C=2n，

∴OA=OD，

∴∠A=∠ADO=2n，

∵∠AOC+∠C+∠A=180°，∠AOC=75°，

∴75°+n+2n=180°，

解得n=35°，

∴∠A=2n=70°．

故选：C．

连接OD，如图，设∠C的度数为n，由于CD=OA=OD，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠DOC=n，则利用三角形外角性质得到∠ADO=2n，所以∠A=2n，然后利用三角形内角和定理得到75°+n+2n=180°，然后解方程求出n，从而得到∠A的度数．

本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等).也考查了等腰三角形的性质．

5.【答案】B解：x=7−3，

A、x一定是负数，原说法正确，故此选项不符合题意；

B、x−7是−27的立方根，原说法错误，故此选项不符合题意；

C、x2是无理数，原说法正确，故此选项不符合题意；

D、x+3是7的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意．

故选：B．

根据无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义解答即可．

此题主要考查了无理数、有理数、立方根、算术平方根的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…(每两个8之间依次多16.【答案】A解：过点A′作A′P⊥AD于点P，设AP=x cm，A′P=y

cm，圆的直径为d cm，

由题意可得：d+x=20，d−y=15，

∴20−x=15+y，即x+y=5，

∵∠A=∠A，∠APA′=∠ADC，

∴△APA′∽△ADC，

∴APAD=A′PCD，即x20=y15，

∴y=34x，

∴x=207，d=1207，

∴半径为：607cm．

故选：A．

过点A′作A′P⊥AD于点P，设AP=x cm，A′P=y

cm，圆的直径为d cm，利用对边之间的关系可得7.【答案】2；2【解析】【分析】

本题考查了倒数以及相反数，属于基础题．

根据只有符号不同的两个数互为相反数，乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．

【解答】

解：−2的相反数是2；12的倒数是2，

故答案为：2；2．8.【答案】(a−2b)(a+2b)解：原式=a2+4ab−ab−4b2−3ab

=a2−4b2

=(a+2b)(a−2b)．

故答案为：9.【答案】2解：原式=26−63=63=210.【答案】2解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x−m=0的两个根，

∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−m，

∵2x1=x211.【答案】(−2,1)解：∵将点P1向右平移3个单位，得到点P2(1,−1)，

∴P1(−2,−1)，

∵点P关于x轴的对称点，得到点P1，

∴点P的坐标为(−2,1)．

故答案为：(−2,1)．

直接利用平移的性质得出12.【答案】216解：底面圆的面积为9π，

∴圆的半径为3，

∴底面圆的周长为6π，

设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，

根据题意得6π=nπ×5180，

解得n=216，

所以这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．

故答案为216．

设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到6π=nπ×518013.【答案】−4解：如图，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F．

∵OA⊥OB，

∴∠AOE+∠BOF=90°，

∵∠AOE+∠OAE=90°，

∴∠OAE=∠BOF，

∵∠AEO=∠OFB=90°，

∴△AEO∽△OFB，

∴S△AOES△BOF=(OAOB)2=14，

∴12×112|k|=14

∴|k|=4，

∴k<0，

∴k=−4，

故答案为：−4．

过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，先证得△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质得出14.【答案】y=4−解：连接BC，交OD于点E，

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵OD//AC，OA=OB，

∴∠OEB=∠CED=∠ACB=90°，CE=BE，

∴CE2=CD2−DE2，BE2=OB2−OE2，

∴CD2−DE2=OB2−OE2，

∵CD=x，OB=OD=2，

∴x2−DE2=22−(2−DE)2，

∴DE=14x2，

∴OE=2−14x215.【答案】78解：连接OA，OB1，OC1，

∵点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，

∴∠AOB1=∠B1OC1=360°5=72°，

∴∠AOC1=144°，

∴∠AFC1=12∠AO16.【答案】④解：P1(m,y1)，P2(m+1,y2)，P3(m+2,y3)是下列函数图象上的点，

①y=x+1，

则y1=m+1.y2=m+1+1=m+2.y3=m+2+1=m+3，

∵|m+1−(m+2)|=1，|m+3−(m+2)|=1，

∴|y1−y2|=|y3−y2|，

故①不合题意；

②y=3x(x>0)，

则y1=3m.y2=3m+1.y3=3m+2，

∵|3m−3m+1|=3m(m+1)，|3m+2−3m+1|=3(m+1)(m+2)，

∴|y1−y2|>|y3−y2|，

17.【答案】解：(1)(−12)−1+(3.14−π)0−2cos60°

=−2+1−2×12

=−2+1−1

=−2；

(2)xx+1=2x3x+3+1，

两边都乘以3(x+1)得：【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．

本题考查了解分式方程，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：原式=[a+2a(a−2)−a−1(a−2)2]÷(aa−4a)

=(a+2)(a−2)−a(a−1)【解析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．

本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．

19.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，

在△ABD和△BCE中，

AB=BC∠ABC=∠CBD=CE，

∴△ABD≌△BCE(SAS)；

(2)∵∠ABC=∠BAC，

∴∠ABE+∠CBE=∠BAF+∠EAF，

∵△ABD≌△BCE，

∴∠CBE=∠BAF，

∴∠ABE=∠EAF，

∵∠AEF=∠BEA，

∴△ABE∽△FAE，

∴AEEF【解析】(1)根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，然后利用SAS证明△ABD≌△BCE，即可解答；

(2)利用(1)的结论可得∠ABC=∠BAC，∠CBE=∠BAF，从而可得∠ABE=∠EAF，然后利用两角相等的两个三角形相似证明△ABE∽△FAE，再利用相似三角形的性质即可解答．

本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】9

3.8

C解：(1)小明成绩的方差c=110×[(3−8)2+(6−8)2+(9−8)2×5+(8−8)2×2+(10−8)2]=3.8，

把小明的成绩从小到大排列为3，6，8，8，9，9，9，9，9，10，

则中位数9+92=9(环)，

故答案为：9，3.8；

(2)不能较好的反映，

理由：该组数据中“3”与其他数据的大小差异很大，因此不能较好的反映小明的实际水平；

(3)若小明增加1次射击，成绩为9环，

平均成绩x−=(8×10+9)÷11=8911(环21.【答案】1解：(1)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，

∴两次摸出的球都是红球的概率为212=16．

(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有8种，

∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的概率为816=12，

故答案为：12．

(1)画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；

(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于10分的结果有22.【答案】96【解析】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB//DC．

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴BE=12AB，DF=12DC，

∴BE=DF，

∵BE//DF

∴四边形BFDE是平行四边形；

(2)解：连接EF，

∵四边形BFDE是平行四边形，

∴DE=BF，

∵M，N分别是BF，DE的中点，

∴EN=DN=BM=FM=12BF，

∵EM=EN=5，

∴EM=12BF，

∴∠BEF=90°，BF=2EM=10，

∵AB=12，

∴BE=6，

∴EF=BF2−BE2=8，

∴四边形ABCD的面积为AB⋅EF=12×8=96，

故答案为：96．

(1)根据平行四边形的性质得到AB=DC，AB//DC.根据线段中点的定义得到23.【答案】解：过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，

则FN=AB=15cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM//BN，

∵∠ABC=148°，

∴∠CBN=∠ABC−∠ABN=148°−90°=58°，

在Rt△CBN中，BC=30cm，

∴CN=30⋅sin58°≈30×0.85=25.5(cm)，

BN=30⋅cos58°≈30×0.53=15.9(cm)，

∴AF=BN=15.9cm，

∴DM=EF=AE+AF=9+15.9=24.9(cm)，

∵DM//BN，

∴∠CGM=∠CBN=58°，

∴∠CDM=∠CGM−∠DCB=58°−28°=30°，

在Rt△CDM中，CM=DM⋅tan30°=33×24.9≈14.36(cm)，

∴MN=CN−CM=25.5−14.36=11.14(cm)，

∴MF=MN+NF=11.14+15≈26.1(cm)，

∴DE=MF=26.1cm，

∴摄像头到桌面【解析】过点C作CF⊥l，垂足为F，过点B作BN⊥CF，垂足为N，过点D作DM⊥CF，垂足为M，设DM与BC交于点G，根据题意可得FN=AB=15cm，BN=AF，DM=EF，DE=MF，∠ABN=90°，DM//BN，从而求出∠CBN=58°，进而求出∠CDM=∠CGM−∠DCB=30°，然后先在Rt△CBN中，利用锐角三角函数的定义求出BN，CN的长，从而求出EF，DM的长，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，从而求出MN的长，进行计算即可解答．

本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

24.【答案】1解：(1)由图象得：慢车20min行驶10km，

∴慢车的速度为：10÷20=12(km/min)，

故答案为：12；

(2)设线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

将(20,10)(30,5)代入y=kx+b得：20k+b=1030k+b=5，

解得：k=−12b=20，

∴线段AB表示的y与x之间的函数关系式为y=−12x+20(20≤x≤30)；

(3)快车的速度为：30×12−530−20=1(km/min)，

快车追上慢车时x=30+5÷1=35(min)，

快车到达乙地用时40÷1=40(min)，此时，x=40+20=60(min)，

慢车到达乙地用时40÷12+5=85(min)，

补全图象如图：

(1)根据图象即可得出A点坐标即可得出慢车的速度；

(2)设线段25.【答案】(1)证明：连接AD，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠EDA=90°，

∵D是FG的中点，

∴FD=DG，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠B+∠BAD=90°，∠C+∠CAD=90°，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

(2)解：连接DF，DG．

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

∵AB=10，BC=12，

∴AC=10，CD=6，

由勾股定理得：AD=AC2−CD2=8，

∵DF//AC，

∴BFFA=BDDC，

∴BF=FA，

在Rt△ADB中，AB=10，BF=FA，

∴DG=DF=12AB=5，

∴DG=DF=5，

∵∠C=∠C，∠CDG=∠CAE，

∴△AEC∽△DGC，

∴ACDC=AEDG，即【解析】(1)连接AD，根据圆周角定理得到∠EDA=90°，根据圆心角、弧、弦之间的关系得到∠BAD=∠CAD，进而证明∠B=∠C，根据等腰三角形的判定定理证明结论；

(2)连接DF，DG，证明△AEC∽△DGC，根据相似三角形的性质求出AE，根据勾股定理求出DE，进而求出CE．

本题考查的是三角形的外接圆与外心、相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系，根据△AEC∽△DGC求出AE是解题的关键．

26.【答案】−1【解析】(1)证明：令y=0，则(x−m)(

x−m−2)=0．

∴x1=m，x2=m+2．

∵m≠m+2，

∴该方程有两个不相等的实数根．

∴不论m为何值，该函数图像与x轴有两个不同的公共点．

(2)由(1)知M(m+2,0)，N(m+2,0)，

令x=0，得y=m2+2m，

∴P(0,m2+2m)．

由题意得，△MNP是等腰直角三角形，

∴m2+2m=−1，

解得m=−1．

故答案为：−1；

(3)法一：根据题意可知，需要分三种情况：

①当有1个点在x轴下方时，有m<1<m+2<2<3或1<2<m<3<m+3，

解得−1<m<0或2<m<3；

②当有3个点在x轴下方时，

∵m+2−m=2<3，

∴此种情况不存在；

综上可知，m的取值范围为：−1<m<0或2<m<3．

法二：由题意可知，y1=(1−m)(1−m−2)=(m−1)(m+1)，

y2=(2−m)(2−m−2)=m(m−2)，

y3=(3−m)(3−m−2)=(m−1)(m−3)，

∵y1⋅y2⋅y3<0，

∴(m−1)(m+1)⋅