2025年中考数学几何模型综合训练专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型解读与提分精练（学生版）

专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型

将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的

思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型

和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照长

度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥（造

桥）再也不是问题！

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模型1.将军遛马模型......................................................................................................................................1

模型2.将军造桥（过桥）模型......................................................................................................................3

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模型1.将军遛马模型

将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，

在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧（图1-2）；

图1-1图1-2

将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移

PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，

再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

图1-1图1-2

将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交

直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，

根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，

再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。

例1．（2023·陕西·模拟预测）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E

在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为________

例2．（2023·安徽合肥·校考三模）在边长为2的正方形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两个动点，且

始终保持BFBE1，连接AE、CF，则AECF的最小值为（）

A．22B．3C．25D．251

例3．（2024·河北邯郸·三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中，ABC60，将△ABD沿射线BD的方

向平移得到△ABD，分别连接AC，AD，BC，则ACBC的最小值为（）

A．1B．2C．3D．2

例4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点(点E靠近点A)，

且EF22，当BEBF的最小值为210时，AB的长为．

模型2.将军造桥（过桥）模型

将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建

造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。

图2-1图2-2

将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，

∵AA’∥MN，且AA’=MN∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，

∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。

再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。

例1．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，YABCD中，AB3，AD2，DAB60，DFAB，BECD；

垂足分别为点F和E．点G和H分别是DF和BE上的动点，GH∥AB，那么AGGHCH的最小值为______．

例2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在Rt△ABC中，ACB90,BAC30,AB23．如果在三角

形内部有一条动线段MN∥AC，且MN1，则AMBNCN的最小值为________．

例3．（2024·陕西西安·二模）如图1，正方形ABCD的边长为4，点E、F是对角线BD上两动点，且EF2，

将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H，连接CH、FH．

(1)①四边形ECHF的形状为_____________；

②连接AC、AF，当点A，F，H共线时，CECF的值为_____________．

(2)自古以来，黄河就享有“母亲河”的美誉，是中华文明的发源地之一，也是中华民族生生不息、赖以生存

的摇篮．如图2，某地黄河的一段出现了分叉，形成了“Y”字型支流，分叉口有一片三角形地带的湿地，在

支流1的左上方有一村庄A，支流2的右下方有一开发区B，为促进当地的经济发展，经政府决定在支流1

和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN（支流1的两岸互相平行，支流2的两岸也互相平行，桥梁均与河

岸垂直），你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗？（即APPQQMMNNB和

的最小值）．经测量，A、B两地的直线距离为2000米，支流1、支流2的宽度分别为1503米、250米，

且与线段AB所夹的锐角分别为60、30．

1．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为23，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，

且EF＝2，连接AE、AF，则AEF周长的最小值是（）

△

A．4B．4+3C．2+23D．6

2．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB

＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M

点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为()

A．213B．1+35C．3+37D．85

3．（2024·四川泸州·一模）如图，在直角坐标系中，A2,0，B0,2，C是OB的中点，点D在第二象限，

且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PHOA于H，Q是点B关于点A的对称点，则

BPPHHQ的最小值为．

4．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中点，线段EF在边AB

上左右滑动；若EF1，则GECF的最小值为____________．

5．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上

运动，若⊙O的周长为2，MN1，则AMN周长的最小值是．

6．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中将ABD沿射线BD平移，

得到EGF，连接EC、GC．求ECGC的最小值为______．

7．（2024·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，CBD30，ABEF，

DF

点G是边BC的中点．当GEAF取最小值时，的值为．

BE

8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB12，AD6，E是AB边上一动点，过点E作

对角线AC的垂线，分别交AC于点O、交直线CD于点F，则点E在运动过程中，AFFEEC的最小值

是．

9．（2024·广东广州·三模）如图，正方形ABCD内接于O，线段MN在对角线BD上运动，若O的面积

为2，MN1，则（1）O的直径长为；（2）AMN周长的最小值是．

10．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx24x3与y轴交于点A，与x轴的

一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD2，则四边形ABCD周长的最小值

为．

1

11．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边ABC的边长为3，点D在边AC上，AD，线段PQ在边BA上

2

1

运动，PQ，有下列结论：①CP与QD可能相等；②AQD与BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的

2

31337

最大值为；④四边形PCDQ周长的最小值为3，其中，正确结论的序号为.

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12．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OD4，E是OD

的中点，PQ是对角线AC上的一条动线段，若BPEQ的最大值为5，则PQ的长为．

13．（2024·江苏连云港·二模）如图，正方形的边ABCD长为4，E是AB的中点，P是DE上的动点，过点P

作FGDE，分别交AD，BC于点F，G．当DGEF取最小值时，则EF的长是．

14．（2024·四川广安·二模）如图，CD是直线x1上长度固定为1的一条动线段．已知点A1,0，B0,4，

则BCAD的最小值为．

15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上两点(点E靠近点A)，

且EF22，当BEBF的最小值为210时，AB的长为．

16．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，点A是直线y2x7上一动点，

将点A向右平移1个单位得到点B，点C2，0，则OBCB的最小值为，此时点B坐标为．

17．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A2，0，B0，1，C0，3，将线段AB沿x轴

向右平移得到AB，连接AC，BC，则ACBC的最小值为．

18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在ABC中，ABAC6,BAC120，

点D，E分别是AB,AC的中点．若点M，N分别是DE和BC上的动点，则AMMN的最小值是______．

（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，

才能使从A到B的路径AMNB最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河

岸的垂线，使AAMN，MN为河宽，连接AB，AB与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A

到B的路径AMNB最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在矩

形ABCD中，AB60,BC80．E、F分别在AB,CD上，且满足EF∥BC，BE20．若边长为10的正方

形MNPQ在线段EF上运动，连接BM、DP，当BMDP取值最小时，求EN的长．

19．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三

点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当SNBC=SABC