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文档简介

专题32最值模型之将军遛马模型与将军过桥(造桥)模型

将军遛马模型和将军过桥(造桥)模型是将军饮马的姊妹篇,它是在将军饮马的基础上加入了平移的

思想,主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主,本专题就将军遛马模型

和将军过桥(造桥)模型进行梳理及对应试题分析,方便掌握。

在解决将军遛马和将军过桥(造桥),不管是横向还是纵向的线段长度(定长),只要将线段按照长

度方向平移即可,即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型,再依据同侧做对称点变异侧,异侧直接连

线即可。利用数学的转化思想,将复杂模型变成基本模型就简单容易多了,从此将军遛马和将军过桥(造

桥)再也不是问题!

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.将军遛马模型......................................................................................................................................1

模型2.将军造桥(过桥)模型......................................................................................................................3

...................................................................................................................................................6

模型1.将军遛马模型

将军遛马模型:已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,

在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。

点A、B在直线m异侧(图1-1);点A、B在直线m同侧(图1-2);

图1-1图1-2

将军遛马模型(异侧型):如图1-1,过A点作AC∥m,且AC=PQ,连接BC,交直线m于Q,Q向左平移

PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。

∵PQ为定值,∴求PA+PQ+QB的最小值,即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AC∥m,AC=PQ,得到四边形APQC为平行四边形,故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB,

再利用“两点之间线段最短”,可得PA+QB的最小值为CB,故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.

图1-1图1-2

将军遛马模型(同侧型):如图1-2,过A点作AE∥m,且AE=PQ,作B关于m的对称点B’,连接B’E,交

直线m于Q,Q向左平移PQ长,即为P点,此时P、Q即为所求的点。

∵PQ为定值,∴求PA+PQ+QB的最小值,即求PA+QB的最小值+PQ。

∵AE∥m,AE=PQ,得到四边形APQE为平行四边形,故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB,

根据对称,可得QB’=QB,即QE+QB=QE+QB’,

再利用“两点之间线段最短”,可得QE+QB’的最小值为EB’,故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。

例1.(2023·陕西·模拟预测)如图,菱形ABCD的边长为3,∠BAD=60°,点E、F在对角线AC上(点E

在点F的左侧),且EF=1,则DE+BF最小值为________

例2.(2023·安徽合肥·校考三模)在边长为2的正方形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两个动点,且

始终保持BFBE1,连接AE、CF,则AECF的最小值为()

A.22B.3C.25D.251

例3.(2024·河北邯郸·三模)如图,在边长为1的菱形ABCD中,ABC60,将△ABD沿射线BD的方

向平移得到△ABD,分别连接AC,AD,BC,则ACBC的最小值为()

A.1B.2C.3D.2

例4.(2024·陕西西安·模拟预测)如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上两点(点E靠近点A),

且EF22,当BEBF的最小值为210时,AB的长为.

模型2.将军造桥(过桥)模型

将军造桥(过桥)模型:已知,如图2,将军在图中点A处,现要过河去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建

造,问:桥建在何处能使路程最短?(即:AM+MN+NB的值最小)。

图2-1图2-2

将军造桥(过桥)模型:如图2-2,过A点作AA’∥MN,且AA’=MN,连接A’B,

∵AA’∥MN,且AA’=MN∴四边形APQC为平行四边形,故AM=A’N,

∵MN为定值,∴求AM+MN+NB的最小值,即求AM+NB的最小值+MN。

再利用“两点之间线段最短”,可得AM+NB的最小值为A’B,故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。

例1.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图,YABCD中,AB3,AD2,DAB60,DFAB,BECD;

垂足分别为点F和E.点G和H分别是DF和BE上的动点,GH∥AB,那么AGGHCH的最小值为______.

例2.(2023·江苏苏州·校考二模)如图,在Rt△ABC中,ACB90,BAC30,AB23.如果在三角

形内部有一条动线段MN∥AC,且MN1,则AMBNCN的最小值为________.

例3.(2024·陕西西安·二模)如图1,正方形ABCD的边长为4,点E、F是对角线BD上两动点,且EF2,

将点C沿EF的方向平移2个单位得到点H,连接CH、FH.

(1)①四边形ECHF的形状为_____________;

②连接AC、AF,当点A,F,H共线时,CECF的值为_____________.

(2)自古以来,黄河就享有“母亲河”的美誉,是中华文明的发源地之一,也是中华民族生生不息、赖以生存

的摇篮.如图2,某地黄河的一段出现了分叉,形成了“Y”字型支流,分叉口有一片三角形地带的湿地,在

支流1的左上方有一村庄A,支流2的右下方有一开发区B,为促进当地的经济发展,经政府决定在支流1

和支流2上分别修建一座桥梁PQ、MN(支流1的两岸互相平行,支流2的两岸也互相平行,桥梁均与河

岸垂直),你能帮助政府计算一下由村庄A到开发区B理论上的最短路程吗?(即APPQQMMNNB和

的最小值).经测量,A、B两地的直线距离为2000米,支流1、支流2的宽度分别为1503米、250米,

且与线段AB所夹的锐角分别为60、30.

1.(2023安徽中考学二模)如图,菱形ABCD的边长为23,∠ABC=60°,点E、F在对角线BD上运动,

且EF=2,连接AE、AF,则AEF周长的最小值是()

A.4B.4+3C.2+23D.6

2.(2023·广西·二模)已知,在河的两岸有A,B两个村庄,河宽为4千米,A、B两村庄的直线距离AB

=10千米,A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米,计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸,M

点为靠近A村庄的河岸上一点,则AM+BN的最小值为()

A.213B.1+35C.3+37D.85

3.(2024·四川泸州·一模)如图,在直角坐标系中,A2,0,B0,2,C是OB的中点,点D在第二象限,

且四边形AOCD为矩形,P是CD上一个动点,过点P作PHOA于H,Q是点B关于点A的对称点,则

BPPHHQ的最小值为.

4.(2022·四川自贡·中考真题)如图,矩形ABCD中,AB4,BC2,G是AD的中点,线段EF在边AB

上左右滑动;若EF1,则GECF的最小值为____________.

5.(2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习)如图,正方形ABCD内接于⊙O,线段MN在对角线BD上

运动,若⊙O的周长为2,MN1,则AMN周长的最小值是.

6.(2023秋·河南南阳·九年级校联考期末)如图,在边长为4的正方形ABCD中将ABD沿射线BD平移,

得到EGF,连接EC、GC.求ECGC的最小值为______.

7.(2024·江苏扬州·一模)如图,在矩形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,CBD30,ABEF,

DF

点G是边BC的中点.当GEAF取最小值时,的值为.

BE

8.(2024·陕西西安·模拟预测)如图,矩形ABCD中,AB12,AD6,E是AB边上一动点,过点E作

对角线AC的垂线,分别交AC于点O、交直线CD于点F,则点E在运动过程中,AFFEEC的最小值

是.

9.(2024·广东广州·三模)如图,正方形ABCD内接于O,线段MN在对角线BD上运动,若O的面积

为2,MN1,则(1)O的直径长为;(2)AMN周长的最小值是.

10.(2024·吉林长春·三模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx24x3与y轴交于点A,与x轴的

一个交点为点B,点B在抛物线对称轴左侧,线段CD在对称轴上,CD2,则四边形ABCD周长的最小值

为.

1

11.(2024·江苏苏州·二模)如图,等边ABC的边长为3,点D在边AC上,AD,线段PQ在边BA上

2

1

运动,PQ,有下列结论:①CP与QD可能相等;②AQD与BCP可能相似;③四边形PCDQ面积的

2

31337

最大值为;④四边形PCDQ周长的最小值为3,其中,正确结论的序号为.

162

12.(2024·陕西咸阳·模拟预测)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,OD4,E是OD

的中点,PQ是对角线AC上的一条动线段,若BPEQ的最大值为5,则PQ的长为.

13.(2024·江苏连云港·二模)如图,正方形的边ABCD长为4,E是AB的中点,P是DE上的动点,过点P

作FGDE,分别交AD,BC于点F,G.当DGEF取最小值时,则EF的长是.

14.(2024·四川广安·二模)如图,CD是直线x1上长度固定为1的一条动线段.已知点A1,0,B0,4,

则BCAD的最小值为.

15.(2024·陕西西安·模拟预测)如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上两点(点E靠近点A),

且EF22,当BEBF的最小值为210时,AB的长为.

16.(23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习)如图,平面直角坐标系xOy中,点A是直线y2x7上一动点,

将点A向右平移1个单位得到点B,点C2,0,则OBCB的最小值为,此时点B坐标为.

17.(2024·陕西西安·二模)如图,在平面直角坐标系中,点A2,0,B0,1,C0,3,将线段AB沿x轴

向右平移得到AB,连接AC,BC,则ACBC的最小值为.

18.(2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习)(1)问题提出如图①,在ABC中,ABAC6,BAC120,

点D,E分别是AB,AC的中点.若点M,N分别是DE和BC上的动点,则AMMN的最小值是______.

(2)问题探究:如图②,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥(与河床垂直),桥造在何处,

才能使从A到B的路径AMNB最短.博琳小组针对该问题展开讨论,小旭同学认为:过A作河

岸的垂线,使AAMN,MN为河宽,连接AB,AB与河的一岸交于点N,此时在点N处建桥,可使从A

到B的路径AMNB最短.你认为小旭的说法正确吗?请说明理由.(3)问题解决:如图③,在矩

形ABCD中,AB60,BC80.E、F分别在AB,CD上,且满足EF∥BC,BE20.若边长为10的正方

形MNPQ在线段EF上运动,连接BM、DP,当BMDP取值最小时,求EN的长.

19.(2023.山东中考二模)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三

点.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2)连接AC、BC,N为抛物线上的点且在第四象限,当SNBC=SABC

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