2025年中考数学几何模型综合训练专题20全等与相似模型之手拉手模型解读与提分精练（学生版）

专题20全等与相似模型之手拉手模型

全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知

识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，

熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，

方便掌握。

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模型1.手拉手模型（全等模型）................................................................................错误！未定义书签。

模型2.手拉手模型（相似模型）................................................................................错误！未定义书签。

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大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒

置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样

才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法

的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中

提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因

为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几

何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每

一个题型，做到活学活用！

模型1.手拉手模型（全等模型）

将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，

也叫旋转型全等。其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左

手”，第二个顶点记为“右手”。

等线段，共顶点，旋转前后的图形大小，形状不发生变化，只是位置不同而已。解题是通过三角形全等进

行解决。SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型

条件：ABC和DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

证明：∵ABC和DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°

∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM△=∠BCM=60°，

过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴BCQ≌△ACP（AAS）

∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。△

2）双等腰直角三角形型

条件：ABC和DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：△①△ACD△≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。

证明：∵ABC和DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90°

∴∠BCA+∠△ACE=∠△ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠A△NM=∠BCM=90°，

过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴BCQ≌△ACP（AAS）

∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。△

3）双等腰三角形型

条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。

证明：∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，

又∵BC=AC，CE=CD，∴ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，

又∵∠CMB=∠AMF，∴∠△BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，

又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴BCQ≌△ACP（AAS）

∴CQ=CP，根据角平分线的判定可△得：CF平分∠BFD。

4）双正方形形型

条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。

结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。

证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°

∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴BCG≌△DCE（SAS），

∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BC△M=∠DNM=90°，

过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴BCQ≌△DCP（AAS）

∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。△

例1．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，点A，B，C在同一条直线上，△ABD，BCE均为等边三

角形，连接AE和CD，AE分别交CD、BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①

ABE≌DBC；②DMA60；③PBQ为等边三角形；④MB平分AMC；⑤PEQ30．其中结论

正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例2．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，ABC90，ABCB，点D，E分别在AB，

CB上，DBEB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．

(1)求证：CD2BF，CDBF；(2)将DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．

①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；②求证：CD2BF．

例3．（2023·山东·九年级专题练习）已知，ABC为等边三角形，点D在边BC上．

【基本图形】如图1，以AD为一边作等边三角形VADE，连结CE．可得CECDAC（不需证明）．

【迁移运用】如图2，点F是AC边上一点，以DF为一边作等边三角DEF．求证：CECDCF．

【类比探究】如图3，点F是AC边的延长线上一点，以DF为一边作等边三角DEF．试探究线段CE，CD，

CF三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．

例4．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图，将VABC绕点A顺时针旋转得到△AED，并使C点的对应

点D点落在直线BC上．(1)如图1，证明：DA平分EDC；(2)如图2，AE与BD交于点F，若

AFB50，B20，求BAC的度数；(3)如图3，连接BE，若EB13，ED5，CD17，则AD的

长为．

例5．（2022·浙江湖州·统考中考真题）已知在RtABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，

ab．记ABC的面积为S．△

△

(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正

方形BGFC的面积为S2．①若S19，S216，求S的值；②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，

交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2S12S．

(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积

为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在ABF内），连结EF，CF．若

△

EF⊥CF，试探索S2S1与S之间的等量关系，并说明理由．

例6．（2024·黑龙江·九年级期中）已知RtABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，

∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图△1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；

（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．

模型2.手拉手模型（相似模型）

“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图

形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

手拉手模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个

三角形可以重合；3）图形是任意三角形（只要这两个三角形是相似的）。

1）手拉手相似模型（任意三角形）

ADAB

条件:如图，∠BAC=∠DAE=，k；

AEAC

BD

结论：ADE∽△ABC，ABD∽△ACE；k；∠BFC=∠BAC.

EC

△ADAE△ADAE

证明：∵k，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴ADE∽△ABC，

ABACABAC

△

∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，

ADABBDAB

∵k，∴ABD∽△ACE，∴k，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，

AEACECAC

△

2）手拉手相似模型（直角三角形）

OCOA

条件:如图，AOBCOD90，k；

ODOB

AC1

结论：AOC∽△BOD；k，AC⊥BD，SABCD.

BDABCD2

证明：∵△AOBCOD90，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，

OCOAACOA

∵k，∴AOC∽△BOD，∴k，∠OAB=∠OBD，

ODOBBDOB

△

1

∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴SABCD.

ABCD2

3）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）

BE

条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点；结论：BME∽△CMF；3.

CF

BM△EM

证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴3，∠BMC=∠EMF=90°，

MCMF

BEBM

∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴BME∽△CMF，∴3，

CFCM

△

BD2

条件:ABC和ADE是等腰直角三角形；结论：ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.

CE2

△AB△AD2

证明：∵ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，

ACAE2

△

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴ABD∽△ACE，

BDAB2△

∴，∠ACE=∠ABD=90°

CEAC2

例1．（2023·江西·一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的

旋转变换进行研究．

(1)[观察猜想]如图1，ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，

将ADE绕点A逆时针△旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系；

(2)△[探究证明]如图2，ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、

点D．将ADE绕点A△逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；

若不成立△，请说明理由；

(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将ABE绕点B逆时针旋转到

FBE，点A落在点F的位置，若△等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出△DF2的值．

△

例2．（2024·山东枣庄·二模）综合实践

问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度

存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在ABC中，ÐB=90°，ABBC4，分别取AB，

AC的中点D，E，作VADE．如图2所示，将VADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE．

(1)探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

(2)性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长．

例3．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个

顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，

ABAD3，BCDE4，ABCADE90．

BD

【初步感知】（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究的值．

CE

【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，

延长ED交AC于点F，求CF的长．

【拓展延伸】（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直

接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．

例4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践

数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知

识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)发现问题：如图1，在ABC和△AEF中，ABAC，AEAF，BACEAF30，连接BE，CF，

延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：______，BDC______；

(2)类比探究：如图2，在ABC和△AEF中，ABAC，AEAF，BACEAF120，连接BE，CF，

延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及BDC的度数，并说明理由；

(3)拓展延伸：如图3，ABC和△AEF均为等腰直角三角形，BACEAF90，连接BE，CF，且点B，

E，F在一条直线上，过点A作AMBF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：______；

(4)实践应用：正方形ABCD中，AB2，若平面内存在点P满足BPD90，PD1，则S△ABP______．

例5．（2024·山西·模拟预测）综合与实践

问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知VABC和DEF均为等边三角

形，O是BC和DF的中点，将DEF绕点O顺时针旋转．

猜想证明：(1)如图①，在DEF旋转的过程中，当点E恰好在CB的延长线上时，AB交EF于点H，试判

断△BEH的形状，并说明理由；(2)如图②，在DEF旋转的过程中，当点E恰好落在边AC上时，连接CF，

试猜想线段AE与线段CF的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若AB23,DE2，连接BF，设DE所

在直线与BC所在直线交于点M，在DEF旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点

中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时BF的长．

例6．（2024·山东济南·模拟预测）

(1)问题发现：如图1，矩形AEFG与矩形ABCD相似，且矩形AEFG的两边分别在矩形ABCD的边AB和AD

上，BC:AB1:3，连接CF．线段CF与DG的数量关系为；

(2)拓展探究：如图2，将矩形AEFG绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是

否仍然成立，请利用图2进行说理．

(3)解决问题：当矩形ABCD的边ADAB时，点E为直线CD上异于D，C的一点，以AE为边作正方形AEFG，

点H为正方形AEFG的中心，连接DH，若AD4，DE2，直接写出DH的长．

例7．（2024·广东深圳·二模）如图，在等腰直角ABC中，ABBC4，D为BC上一点，E为BC延长线

上一点，且∠DAE45，AE2AD，则BD．

1．（23-24九年级·辽宁盘锦·开学考试）如图，在VABC中，ABC45，过点C作CDAB于点D，过

点B作BMAC于点M，连接MD，过点D作DNMD，交BM于点N．CD与BM相交于点E，若点E是

CD的中点，则下列结论：①ACBE；②DMDN；③AMD45；④NE3ME．其中正确的有（）

个．

A．4B．3C．2D．1

2．（2022·湖南·中考真题）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA2，OB1，OC3，则AOB与

BOC的面积之和为（）

3333

A．B．C．D．3

424

3．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，在ABC中，ACBC，ACB90，AB8，点D是边AB上

的一个动点，连接CD，过点C作CECD，使CECD，连接DE，点F是DE的中点，连接CF并延长，

交AB边所在直．线．于点G，若BG2，则AD的长为．

4.（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，等腰直角ABC中，BAC90，BC6，过点C作CDBC，

CD2，连接BD，过点C作CEBD，垂足为E，连接AE，则AE长为．

5．（2024·河南周口·模拟预测）如图，ABC是等边三角形，AB6，点E是BAC的平分线AD上的一动

点，连接CE，将点E绕点C顺时针旋转60得到点F，连接CF，BF．若△BCF是直角三角形，则线段AE

的长为

6．（2024·山东泰安·三模）将矩形ABCD绕点B顺时针旋转得到矩形A1BC1D1，点A、C、D的对应点分别

为A1、C1、D1．如图，当A1D1过点C时，若BC5，CD3，则A1A的长为．

7．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，将YABCD绕点A逆时针旋转到ABCD的位置，使点B落在BC

3

上，BC与CD交于点E若AB3,AD4,BB，则BAB（从“行1,2,3”中选择一个符合

2

要求的填空）；DE．

8．（2024·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在RtABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点D为斜边BC上一点，

且BD=3CD，将ABD沿直线AD翻折，点B的对△应点为B′，则sin∠CB′D=．

△

9．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）在数学活动课上，王老师给出下面问题：如图1，ABC

和△DCE是等边三角形，点B、C、E不在同一条直线上，请找出图中的全等三角形并直接写出结论

________________；（写出一对即可）

上面几何模型被称为“手拉手”模型，面对题目时我们也会“寻模而入，破模而出”．

【类比分析】（2）如下图，已知四边形ABCD中，ADC0180，ABCD，CE是BCD的平

1

分线，且CDDE．将线段AE绕点E顺时针旋转得到线段EP．当120时，连接PD，试判断线段PD

2

和线段BD的数量关系，并说明理由；①小明同学从结论出发给出如下解题思路：可以先猜测线段PD和线

段BD的数量关系，然后通过逆用“手拉手”模型，合理添加辅助线，借助“全等”来解决问题；②小玲同学从

条件入手给出另一种解题思路：可以根据条件120，则AEP60，再通过“手拉手”模型，合理添加辅

助线，构造与△PDE全等的三角形来解决问题．

请你选择一名同学的解题思路（也可另辟蹊径）来解决问题，并说明理由．

【拓展延伸】（3）如下图，ABC中，当A60时，点D、E为AC、AB上的点，CDBE，CED30，

若BC7，CE5，求线段ED的长．

10．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）已知，VABC与VADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，

ABAD，连接BD，CE．

(1)如图1，求证BDCE；(2)如图2，点D在VABC内，B，D，E三点在同一直线上，过点A作VADE的

高AH，证明：BECE2AH；(3)如图3，点D在VABC内，AD平分BAC，BD的延长线与CE交于

点F，点F恰好为CE中点，若BC4，求线段AD的长．

11．（2023·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在ABC中，AB＝AC，BAC60，D为BC边上

一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋△转60°得到AE，则：

(1)①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．

拓展探究：(2)如图2，在ABC中，AB＝AC，BAC90，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线

段AD绕点A逆时针旋转△90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量关

系，并说明理由；

解决问题：(3)如图3，在RtDBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，

请直接写出线段AD的长度．△

12．（2024·河南新乡·模拟预测）问题发现：如图1，在ABC中，AB＝AC，BAC60，D为BC边上

一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋△转60°得到AE，则：

(1)①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．

拓展探究：(2)如图2，在ABC中，AB＝AC，BAC90，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线

段AD绕点A逆时针旋转△90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量关

系，并说明理由；

解决问题：(3)如图3，在RtDBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，

请直接写出线段AD的长度．△

13．（2024·浙江绍兴·校考一模）【问题探究】（1）如图1，锐角ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰

直角ABE和等腰直角ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝△∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与

CE的△大小关系，不需要△证明．

【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；

甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确

的叙述辅助线的作法，再计算；△

【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则

CD＝．

14．（2024·江西·中考真题）综合与实践：如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不

CECB

重合），连接CD，以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，DCE90，连接BE，m．

CDCA

特例感知（1）如图1，当m1时，BE与AD之间的位置关系是______，数量关系是______；

类比迁移（2）如图2，当m1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．

拓展应用（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，连接DF，EF，BF，如图3．已知AC6，

设ADx，四边形CDFE的面积为y．①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；②当BF2时，请

直接写出AD的长度．

15．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度0180，

再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变

换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作TA,顺,k；若逆时针旋转，记作TA,逆,k．

VV

例如：如图①，先将ABC绕点B逆时针旋转50，得到A1BC1，再将A1BC1以点B为位似中心缩小到原

11

来的，得到A2BC2，这个变换记作TB,逆50,．

22

(1)如图②，ABC经过TC,顺60,2得到△ABC，用尺规作出△ABC．（保留作图痕迹）

(2)如图③，ABC经过TB,逆,k1得到△EBD，ABC经过TC,顺,k2得到△FDC，连接AE，AF．求

证：四边形AFDE是平行四边形．(3)如图④，在