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文档简介
专题31最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗,由此却引申出一系
列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来,同时还需掌握平移型将军饮马(即将军遛马、造桥
或过桥),主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主,本专题就特殊的平行四边
形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
.........................................................................................................................................................................................1
模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)..............................................................................................1
模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)..............................................................................................5
模型3.将军饮马模型(多线段和的最值)..................................................................................................9
.................................................................................................................................................14
模型1.将军饮马模型(双线段和的最小值)
条件:A,B为定点,m为定直线,P为直线m上的一个动点,求AP+BP的最小值。
模型(1)点A、B在直线m两侧:模型(2)点A、B在直线同侧:
模型(1)点A、B在直线m两侧:模型(2)点A、B在直线同侧:
图(1)图(2)
模型(1):如图(1),连结AB,根据两点之间线段最短,AP+BP的最小值即为:线段AB的长度。
模型(2):如图(2),作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短,AP+BP的最小
值即为:线段A’B的长度。
例1.(2024·陕西西安·一模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,ABBC4,AD8,AG2,
ABC90,E是边CD上的一动点,F为AE的中点,则AFGF的最小值为.
【答案】25
【分析】本题考查轴对称中最短路线问题,正方形的判定,勾股定理,灵活运用将军饮马模型是解题的关
键.取AD的中点H连接BH,CH,CG,CF,证明出F点就是BH与AE的交点,四边形BCHD是平
行四边形,四边形ABCH是正方形,利用将军饮马模型得到CG是AFGF的最小值,再在Rt△CGH中,
利用勾股定理求出CG即可.
【详解】取AD的中点H连接BH,
BC4,AD8,AHHDBC4,
AD∥BC,四边形BCDH是平行四边形,BH∥CD,且点H为AD的中点,
AFAH1
∴,BH与AE的交点就是AE的中点F,连接CH,
AEAD2
AD∥BC,AHBC,四边形ABCH是平行四边形,
ABBC4,ABC90四边形ABCH是正方形,A,C关于BH对称,
连接CF,CG,则AFCF,AFGFCFGFCG,即AFGF的最小值为CG的长,
在Rt△CGH中,CHAB4,GHAHAG322,
由勾股定理,得CGCH4GH2482225,故答案为:25.
例2.(2024·四川广安·中考真题)如图,在YABCD中,AB4,AD5,ABC30,点M为直线BC上
一动点,则MAMD的最小值为.
【答案】41
【分析】如图,作A关于直线BC的对称点A,连接AD交BC于M,则AHAH,AHBC,AMAM,
当M,M重合时,MAMD最小,最小值为AD,再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解:如图,作A关于直线BC的对称点A,连接AD交BC于M,则AHAH,AHBC,
AMAM,∴当M,M重合时,MAMD最小,最小值为AD,
1
∵AB4,ABC30,在YABCD中,∴AHAB2,AD∥BC,∴AA2AH4,AAAD,
2
∵AD5,∴AD425241,故答案为:41
【点睛】此题考查了平行四边形的性质,勾股定理,轴对称的性质,求最小值问题,正确理解各性质及掌
握各知识点是解题的关键.
例3.(2024·广东·二模)如图,菱形ABCD的一条对角线AC43,DAB60,P是对角线AC上的一
个动点,E,F分别为边DA,DC的中点,则PEPF的最小值是()
A.2B.23C.4D.43
【答案】C
【分析】作点E关于直线AC的对称点G,连接PG,根据轴对称的性质可知PEPFPFPG,证明四
边形AGFD为平行四边形,PEPFFGAD为最小值,再求出菱形ABCD的边AD,即为PEPF的最
小值.
【详解】解:如图,连接BD,交AC于K,
∵菱形ABCD,∴AB∥CD,ABCDAD,KAKC23,ACBD,
∵DAB60∴DAC30,∴AD2DK,
∴AD2DK212,∴DK2,AD4,
作点E关于直线AC的对称点G,连接PG,∴PEPFPFPG,
∵点E为边AD上的中点,则点G也为边AB的中点,
∴当点P、G、F在一条直线上时,PEPF有最小值,
连接FG交AC于P,∴当P,P重合时,PEPFFG为最小值,
∵F,G为DC,AB的中点,∴DFAG,∴四边形AGFD为平行四边形,
∴FGAD4,∴PEPF的最小值是4,故选:C.
【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质,勾股定理的应用,
学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键.
例4.(2024·河南洛阳·模拟预测)如图,在扇形BOC中,BOC=60,OD平分BOC交BC于点D,点E
为半径OB上一动点.若阴影部分周长的最小值为22,则扇形的半径OB的长为.
3
【答案】2
【分析】本题主要考查扇形周长的计算,轴对称最短路径的计算方法,掌握扇形弧长的计算方法,轴对称
求最短路径的方法是解题的关键.根据题意可求出CODBOD30,作点D关于OB的对称点D,可
得CD最小,则扇形周长最小,由此即可求解.
【详解】解:∵OD平分BOC,BOC60,∴CODDOB30,
30r
设扇形的半径OCOBr,∴的长为:2r,阴影部分的周长最小为22,
CD36063
如图所示,作点D关于OB的对称点D,连接CD与OB交于点E,此时,CEEDCEEDCD的值
最小,即阴影部分的周长最小,
∴CODCOBBOD90,∴CD2r,
r
即2r22,解得,r2,故答案为:2.
63
模型2.将军饮马模型(双线段差的最大值)
条件:A,B为定点,m为定直线,P为直线l上的一个动点,求|AP-BP|的最大值。
模型(1):点A、B在直线m同侧:模型(2):点A、B在直线m异侧:
图(1)图(2)
模型(1):如图(1),延长AB交直线m于点P,当A、B、P不共线时,根据三角形三边关系,有:|P’A-P’B|
<AB,当A、B、P共线时,有|PA-PB|=AB,故|PA-PB|≤AB,即|AP-BP|的最大值即为:线段AB的长度。
模型(2):如图(2),作点B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交直线m于点P,此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时,根据三角形三边关系,有:|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|<AB’,
当A、B、P共线时,有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’,故|PA-PB|≤AB’,即|AP-BP|的最大值即为:线段AB’的长度。
例1.(2024·河南南阳·一模)如图,已知ABC为等腰直角三角形,AC=BC=6,∠BCD=15°,P为直线
CD上的动点,则|PA-PB|的最大值为___△_.
【答案】6
【分析】作A关于CD的对称点A′,连接A′B交CD于P,则点P就是使|PA-PB|的值最大的点,|PA-PB|=A′B,
连接A′C,根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°,∠ACB=90°,根据角的和差关系得到∠
ACD=75°,根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC,∠CA′A=∠CAA′=15°,推出A′BC是等边三角形,根据等
边三角形的性质即可得到结论.△
【详解】如图,作A关于CD的对称点A,连接AB并延长交CD延长线于点P,则点P就是使PAPB的
值最大的点,PAPBAB,连接AC,
∵ABC为等腰直角三角形,ACBC6,∴CABABC45,ACB90,
∵BCD15,∴ACD75,∵点A与A′关于CD对称,
∴CD⊥AA′,ACAC,CAACAA,∴CAA15,
∵AC=BC,∴ACBC,CAACAA15,∴ACA150,
∵ACB90,∴ACB60,∴△ABC是等边三角形,∴ABBC6.故答案为:6
【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题,等腰直角三角形的性质,等边三角形的判定和性质,正确的
作出图形是解题的关键.
例2.(2024·陕西渭南·二模)如图,在菱形ABCD中,E为AB边中点,而点F在DC边上,P为对角线AC
所在直线上一动点,已知AB8,DF2,且ABC60,则PFPE的最大值为.
【答案】23
【分析】本题考查菱形的性质,轴对称中最值问题,勾股定理.取AD的中点G,连接PG,易得PGPE,
故PFPEPFPGFG,即当F,G,P共线时,PFPEFG最大,作PHAD于H,先后求出
HD,HF,GH,最后用勾股定理求FG即可.
【详解】解:如图,取AD的中点G,连接PG,四边形ABCD是菱形AGAE,GAPEAP
AGAE
在APG和VAPE中GAPEAPAPG≌APE(SAS)PGPE
APAP
连接FGPFPEPFPGFG当F,G,P共线时,PFPEFG最大,图中P处
1
作PHAD于HDB60DFH30HDDF1FH22123
2
1
GDAD4GH413FGGH2FH223.即PFPE的最大值为.
223
例3.(23-24八年级下·山东聊城·期中)如图,在正方形ABCD中,AB8,AC与BD交于点O,N是AO
的中点,点M在BC边上,且BM6.P为对角线BD上一点,则PMPN的最大值为.
【答案】2
【分析】本题考查了正方形的性质,平行线分线段成比例定理,等腰直角三角形的判定与性质,最值问题
等,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.以BD为对称轴作N的对称点N,连接PN,根据对称
性质可知,PNPN,由此可得PMPNMN,当P,M,N三点共线时,取“”,此时即PMPN的值
CMCN1
最大,由正方形的性质求出AC的长,继而可得ONON22,AN62,再证明,可
BMAN3
得NM∥AB,CMN90,判断出△NCM为等腰直角三角形,求得NM长即可得答案.
【详解】解:如图,以BD为对称轴作N的对称点N,连接PN,
根据轴对称性质可知,PNPN,∴PMPNMN,当P,M,N三点共线时,取“”,
∵在正方形ABCD中,ABBCCDAD8,∠ABC∠BCD∠CDA∠DAC90,∴
AC2AB82,∵O为AC中点,∴AOOC42,
∵N为OA中点,∴ON22,∴ONON22,∴AN62,
CMCN1
∵BM6,∴CMABBM862,∴,
BMAN3
∴NM∥AB,∴∠CMN∠CBA90,∵∠MCN45,
∴△NCM为等腰直角三角形,∴CMNM2,故答案为:2.
模型3.将军饮马(多线段和的最值模型)
模型(1):两定点+两动点
条件:A,B为定点,在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧(图1-1);内外侧各一点(图1-2);两个点都在内侧(图1-3)
图1-1图1-1图1-1图2
模型(2):一定点+两动点
条件:如图2,A为定点,在直线m、n上分别找两点P、Q,使三角形APQ的周长(AP+PQ+QA)最小。
图1-1图1-1图1-1图2
模型(1-1)(两点都在直线外侧型)
如图(1-1),连结AB,根据两点之间线段最短,PA+PQ+QB的最小值即为:线段AB的长度。
模型(1-2)(直线内外侧各一点型)
如图(1-2),作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到:QB=QB’,故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’,
根据两点之间线段最短,PA+PQ+QB的最小值即为:线段AB’的长度。
模型(1-3)(两点都在直线内侧型)
如图(1-3),作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到:QB=QB’,PA=PA’,故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’,
根据两点之间线段最短,PA+PQ+QB的最小值即为:线段A’B’的长度。
模型(2):如图(2),作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到:QA=QA’,PA=PA’’,故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’,
再利用“两点之间线段最短”,得到PA+PQ+QA的最小值即为:线段A’A’’的长度。
例1.(2023·四川广元·一模)如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上且BE1,点P,Q分别
是边BC,CD的动点(均不与顶点重合),当四边形AEPQ的周长取最小值时,四边形AEPQ的面积是()
3943
A.B.C.D.
4255
【答案】B
【分析】作E关于BC的对称点E,点A关于DC的对称点A,连接AE,四边形AEPQ的周长最小,根
据S四边形AEPQS正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP,即可解.
【详解】解:如图1所示,作E关于BC的对称点E,点A关于DC的对称点A,连接AE,四边形AEPQ
的周长最小,
∵ADAD3,BEBE1,∴AA6,AE4.
∵DQ∥AE,D是AA的中点,∴DQ是△AAE的中位线,
1
∴DQAE2,CQDCCQ321,∵BP∥AA,∴△BEP∽△AEA,
2
BPBEBP1333
∴,即,BP,CPBCBP3,
AAAE64222
111
S四边形AEPQS正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP9ADDQCQCPBEBP
222
113139
93211,故选:B.
222222
【点睛】本题主要考查了正方形的性质,轴对称的性质,三角形相似的判定和性质,中位线的性质,三角
形面积的计算,解题的关键是作出辅助线,找出四边形AEPQ的周长最小时,P、Q的位置.
例2.(2022·山东泰安·中考真题)如图,AOB30,点M、N分别在边OA、OB上,且OM3,ON5,
点P、Q分别在边OB、OA上,则MPPQQN的最小值是()
A.34B.35C.342D.352
【答案】A
【分析】作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值;
证出ONN′为等边三角形,OMM′为等边三角形,得出∠N′OM′=90°,由勾股定理求出M′N′即可.
【详解△】解:作M关于OB△的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,如图所示:
连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可知:ONON5,OMOM3,∠N′OQ=∠M′OB=30°,
∴∠NON′=60°,MOM'60,∴△ONN′为等边三角形,OMM′为等边三角形,
△
∴∠N′OM′=90°,∴在RtM′ON′中,M′N′=325234.故选:A.
△
【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题,根据轴对称的定义,找到相等的线段,得到等边三角形是解题
的关键.
例3.(23-24九年级上·陕西汉中·期中)(1)如图①,在Rt△ABC中,B90,AB3,BC4.若点P
是边AC上一点.则BP的最小值为.(2)如图②,在Rt△ABC中,ÐB=90°,ABBC2,点E是
BC的中点.若点P是边AC上一点,求PBPE的最小值.(3)公园内有一条四边形ABCD型环湖路,如
图③.若AD2000米,CD1000米,A60,B90,C150.为满足市民健身需求,现要修一
条由CE,EF,FC连接而成的步行景观道,其中点E,F分别在边AB,AD上.为了节省成本,要使所修
的这条步行景观道最短,即CEEFFC的值最小,求此时BE,DF的长.(路面宽度忽略不计)
12
【答案】(1);(2)PBPE的最小值为5;(3)BE的长为500米,DF的长为1000米
5
【分析】(1)过B作BPAC于P,由垂线段最短可知,BPAC时,BP的值最小,由面积法即可求解;
(2)作E关于直线AC的对称点E,连接CE,EE,PE,BE交AC于P,由E,E关于直线AC对称,
可知PBPEPBPEBE,当B,P,E共线时,此时PBPE最小,最小值为BE的长度,根据
B90,ABBC2,点E是BC的中点,可得CECE1,BCE90,再用勾股定理可得答案;
(3)作C关于AD的对称点M,连接DM,CM,CM交AD于H,作C关于AB的对称点N,连接BN,
延长DC,AB交于G,连接NG,连接MN交AB于E,交AD于F,由C,N关于AB对称,C,M关于AD
对称,CENE,CFMF,当N,E,F,M共线,CEEFCF最小,根据A60,ABC90,
BCD150,可得ADC60,MCDCMD30,即得DH500米,CHMH5003米,
CM10003米,由ADC60,A60,知△ADG是等边三角形,从而CGDGCD1000米,同
1
理可得CGNG1000米,BNGBCG30,即得BGCG500米,BCBN3BG5003米,
2
BN
故CN10003米CM,知CNMCMN30,在RtBNE中,BE500米,在RtMHF中,
3
MH
FH500米,即得DFFHDH1000米.
3
【详解】解:(1)过B作BPAC于P,如图:
由垂线段最短可知,BPAC时,∵ABC90,AB3,∴AC=AB2+BC2=5,
11341212
∵SAB·BCAC·BP,∴BP;故答案为:;
ABC22555
(2)作E关于直线AC的对称点E,连接CE,EE,PE,BE交AC于P,如图:
∵E,E关于直线AC对称,∴PEPE,∴PBPEPBPEBE,
当B,P,E共线时,PBPE最小,最小值为BE的长度,
∵B90,ABBC2,∴ACB45,∵点E是BC的中点,∴CE1,
∵E,E关于直线AC对称,∴ACEACB45,CECE1,∴BCE90,
在Rt△BCE中,BEBC2CE222125,∴PBPE的最小值为5;
(3)作C关于AD的对称点M,连接DM,CM,CM交AD于H,作C关于AB的对称点N,连接BN,
延长DC,AB交于G,连接NG,连接MN交AB于E,交AD于F,如图:
∵由C,N关于AB对称,C,M关于AD对称,
∴CENE,CFMF,∴CEEFCFNEEFMFMN,
当N,E,F,M共线时,此时CEEFCF最小;
∵A60,B90,C150,∴ADC60,
∵C,M关于AD对称,∴MDHCDH60,CHDMHD90,
1
∴MCDCMD30,∴DHCD500米,由勾股定理得DH5003米,∴CM2CH10003米,
2
∵ADC60,A60,∴△ADG是等边三角形,∴DGAD2000米,∴CGDGCD1000米,
∵BCD150,∴BCG30,∵C,N关于AB对称,∴C,B,N共线,BNGBCG30,
1
∴BGCG500米,由勾股定理得BC3BG5003米,∴CN10003米CM,∴CNMCMN,
2
∵BCD150,MCD30,∴NCM120,∴CNMCMN30,
BN5003MH5003
在RtBNE中,BE500(米),在RtMHF中,FH500(米),
3333
∴DFFHDH5005001000(米),答:BE的长为500米,DF的长为1000米.
【点睛】本题是四边形综合题,考查了直角三角形性质,勾股定理,解直角三角形,等边三角形的判定和
性质,轴对称的性质等,解题的关键是作对称,根据两点之间线段最短解决问题.
1.(2024·河南周口·一模)如图,正方形ABCD中,点M,N分别为AB,BC上的动点,且AMBN,DM,
AN交于点E,点F为AB的中点,点P为BC上一个动点,连接PE,PF.若AB4,则PEPF的
最小值为()
9
A.101B.2102C.5D.
2
【答案】B
【分析】先根据SAS得DAM≌ABN,进而可得AED90,由此可得E点的运动轨迹在是以AD为直径
的圆上.延长AB至F使BFBF,得F与F关于直线BC对称.连接OF交BC于P点,交圆O于E点,
则PEPFPEPFOFOE,此时PEPF的值最小,根据勾股定理求出OF的长,即可得PEPF的
最小值.
【详解】∵ABCD是正方形,DADB,DAMABN90,
又AMBN,DAM≌ABN(SAS),ADMBAN,
又DAEBAN90,DAEADM90,AED90,
∴E点在以AD为直径的圆上运动.设AD的中点为O,则R2,
延长AB至F使BFBF,则F与F关于直线BC对称,
连接OF交BC于P点,交圆O于E点,则PFPF,PEPFPEPFOFOE,
此时P、E、F三点共线,因此PEPF的值最小.在RtOAF中,OA2,AF426,
OF2262210,OFOE2102,∴PEPF的最小值为2102,故选:B.
【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目,考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、
直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质.找出E点的运动轨迹是解题的关键.
2.(2024·山东泰安·二模)如图,在矩形ABCD中,AB6,AD5,点E是AD边的点,ED3,点F是
线段CD上一点,连接EF,以EF为直角边作等腰直角EFG,FG为斜边,连接AG,则AGEG的最小
值为()
13
A.6B.210C.D.35
2
【答案】B
1
【分析】过点G作GHAD于H,则可证明VEDF≌VGHE,得GHDE3;取AB中点O,则AOAB3,
2
则点G在直线OG上运动,连接BG,则BGAG,AGEGBGEG,当E、G、B三点共线时BGEG
最小,从而AGEG最小,由勾股定理即可求得最小值.
【详解】解:如图,过点G作GHAD于H,则GHE90°,GEHEGH90;
四边形ABCD是矩形,DDAB90,FEG90,DEFGEH90,DEFEGH;
EFEG,VEDF≌VGHE(AAS),GHDE3;
1
取AB中点O,连接GO,则AOAB3,GHAO3,四边形AHGO是平行四边形,
2
DAB90,四边形AHGO是矩形,GOAB,则点G在直线OG上运动;
连接BG,则GO垂直平分AB,BGAG,AGEGBGEG,
当E、G、B三点共线时BGEG最小,从而AGEG最小,
QAEADDE2,则由勾股定理BEAE2AB2436210,即AGEG的最小值为210.
故选:B.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理,
确定点G运动的路径是解题的关键.
3.(2022·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图,菱形ABCD,点A、B、C、D均在坐标轴上,ABC120,
点A3,0,点E是CD的中点,点P是OC上的一动点,则PDPE的最小值是()
3
A.3B.5C.D.3
222
【答案】A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型,由D关于直线AC的对称点
B,连接BE,则线段BE的长即是PD+PE的最小值.
【详解】如图:连接BE,∵菱形ABCD,∴B、D关于直线AC对称,
,
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值.,
∵菱形ABCD,ABC120,点A3,0,∴CDB60,DAO30,OA3,
∴OD3,ADDCCB23∴△CDB是等边三角形∴BD23
1
∵点E是CD的中点,∴DECD3,且BE⊥CD,∴BEBD2DE23故选:A.
2
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题,解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长.
4.(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图,四边形ABCD是矩形,AB=10,AD42,点P是边AD上
一点(不与点A,D重合),连接PB,PC.点M,N分别是PB,PC的中点,连接MN,AM,DN,点E
在边AD上,ME∥DN,则AMME的最小值是()
A.23B.3C.32D.42
【答案】C
11
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AMBP,DNCP,通过证明四边形MNDE是平行四
22
1
边形,可得MEDN,则AMMEAMDNBPCP,作点C关于直线AD的对称点M,则
2
BPCPBPPM,点B,P,M三点共线时,BPPM的值最小,最小值为BM.
【详解】解:四边形ABCD是矩形,BAPCDP90,AD∥BC,
111
点M,N分别是PB,PC的中点,AMBP,DNCP,MNBC,MN∥BC,
222
AD∥BC,MN∥BC,MN∥BC,又ME∥DN,四边形MNDE是平行四边形,
1
MEDN,AMMEAMDNBPCP,
2
如图,作点C关于直线AD的对称点M,连接PM,BM,则BPCPBPPM,
当点B,P,M三点共线时,BPPM的值最小,最小值为BM,
在Rt△BCM中,MC=2CD=2AB=210,BCAD42,
22
BMBC2MC24221062,
1
AMME的最小值BM32,故选C.
2
【点睛】本题考查矩形的性质,直线三角形斜边中线的性质,中位线的性质,平行四边形的判定与性质,
轴对称的性质,勾股定理,线段的最值问题等,解题的关键是牢固掌握上述知识点,熟练运用等量代换思
想.
5.(2023·安徽·统考中考真题)如图,E是线段AB上一点,VADE和BCE是位于直线AB同侧的两个等边
三角形,点P,F分别是CD,AB的中点.若AB4,则下列结论错.误.的是()
A.PAPB的最小值为33B.PEPF的最小值为23
C.CDE周长的最小值为6D.四边形ABCD面积的最小值为33
【答案】A
【分析】延长AD,BC,则ABQ是等边三角形,观察选项都是求最小时,进而得出当E点与F重合时,则
Q,P,F三点共线,各项都取得最小值,得出B,C,D选项正确,即可求解.
【详解】解:如图所示,延长AD,BC,依题意QADQBA60∴ABQ是等边三角形,
∵P是CD的中点,∴PDPC,∵DEACBA,∴ED∥CQ
∴PQCPED,PCQPDE,∴PDE≌PCQ∴PQPE,
∴四边形DECQ是平行四边形,则P为EQ的中点,如图所示,
11
设AQ,BQ的中点分别为G,H,则GPAE,PHEB
22
∴当E点在AB上运动时,P在GH上运动,当E点与F重合时,即AEEB,
1
则Q,P,F三点共线,PF取得最小值,此时AEEBAEEB2,
2
则△ADE≌△ECB,∴C,D到AB的距离相等,则CD∥AB,
3
此时PFAD3此时VADE和BCE的边长都为2,则AP,PB最小,
2
32
∴PF23,∴PAPB2237∴PAPB27,
2
或者如图所示,作点B关于GH对称点B,则PBPB,则当A,P,B三点共线时,APPBAB
2
此时ABAB2BB422327故A选项错误,
根据题意可得P,Q,F三点共线时,PF最小,此时PEPF3,则PEPF23,故B选项正确;
CDE周长等于CDDECECDAEEBCDABCD4,即当CD最小时,CDE周长最小,
如图所示,作平行四边形GDMH,连接CM,
∵GHQ60,GHMGDM60,则CHM120
如图,延长DE,HG,交于点N,则NGDQGH60,NDGADE60
∴△NGD是等边三角形,∴NDGDHM,
NPDHPC
在NPD与△HPC中,NCHP60∴NPD≌HPC
PDPC
∴NDCH∴CHMH∴HCMHMC30
∴CM∥QF,则CMDM,∴DMC是直角三角形,
1
在△DCM中,DCDM∴当DCDM时,DC最短,DCGHAB2
2
∵CDPC2PC∴CDE周长的最小值为2226,故C选项正确;
∵NPD≌HPC∴四边形ABCD面积等于SADESEBCSDECSADES平行四边NEBH
∴当△BGD的面积为0时,取得最小值,此时,D,G重合,C,H重合
3
∴四边形ABCD面积的最小值为322=33,故D选项正确,故选:A.
4
【点睛】本题考查了解直角三角形,等边三角形的性质,勾股定理,熟练掌握等边三角形的性质,得出当E
点与F重合时得出最小值是解题的关键.
6.(2023·广东广州·统考中考真题)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在边BC上,且BE1,F为对
角线BD上一动点,连接CF,EF,则CFEF的最小值为.
【答案】17
【分析】连接AE交BD于一点F,连接CF,根据正方形的对称性得到此时CFEFAE最小,利用勾股
定理求出AE即可.
【详解】解:如图,连接AE交BD于一点F,连接CF,
∵四边形ABCD是正方形,∴点A与点C关于BD对称,∴AFCF,
∴CFEFAFEFAE,此时CFEF最小,
∵正方形ABCD的边长为4,∴AD4,ABC90,∵点E在AB上,且BE1,
∴AEAB2BE2421217,即CFEF的最小值为17故答案为:17.
【点睛】此题考查正方形的性质,熟练运用勾股定理计算是解题的关键.
7.(2024·陕西宝鸡·二模)如图,点O是矩形ABCD的对称中心,点P,Q分别在边AD,BC上,且PQ经
过点O,AB6,AP3,BC8,点E是边AB上一动点.则EPQ周长的最小值为.
【答案】10210/21010
【分析】本题考查了矩形的性质,勾股定理,线段和的最小值计算;作P关于AB的对称点P,连接PQ,
交AB于E,连接PE,则PEQE的最小值为PQ,证明出△EPQ周长的最小值为PQPQ,作PFBC
于F,PHBC于H,利用勾股定理求出PQ和PQ即可.
【详解】解:如图,作P关于AB的对称点P,连接PQ,交AB于E,连接PE,
PEPE,PEQE的最小值为PQ,EPQ周长的最小值为PQPQ,
作PFBC于F,PHBC于H,AP3,PA3FB,
点O是矩形ABCD的对称中心,PQ经过点O,APCQ3
∵BC8,BQ5,FQ8,PFAB6,PQ10,
PHAB6,HQ532,PQ210,EPQ周长的最小值为10210.
8.(2024·陕西渭南·二模)如图,在四边形ACBD中,BACBAD60,ACBADB90,BC6,
连接CD、AB交于点O,点E为AB上一动点,连接CE,点P为CE的中点,连接OP、DP,则OPDP的
最小值为.
【答案】6
【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题,找到对称点转化线段是
解题关键.
过点P作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N,由点E为AB上一动点,点P为线段CE的中点可得到
点P在线段MN上运动,MN为ABC的中位线,求证△ABC≌△ABD,用等腰三角形“三线合一”证明
ABCD,所以MNCD,即点C与点O关于MN对称,所以DPOPDPCPCD,同时证明△BCD
是等边三角形,CDBC6,即OPDP的最小值为6.
【详解】解:过点P作MN∥AB分别交AC、BC于点M、N,
∵点E为AB上一动点,点P为线段CE的中点∴点P在线段MN上运动,且MN为ABC的中位线,
ACBADB
∵在ABC和△ABD中BACBAD60,∴ABC≌ABDAAS,
ABAB
∴BCBD,ABCABD906030,∴ABCD,CBD60,
∴MNCD,△BCD是等边三角形,∴点C与点O关于MN对称,∴DPOPDPCPCD,
又∵CDBC6∴OPDP的最小值为6.
9.(2024·陕西商洛·三模)如图,点O为正方形ABCD的对称中心,点E为AD边上的动点,连接OE,作
OFOE交CD于点F,连接EF,P为EF的中点,G为边CD上一点,且CD4CG8,连接PA,PG,
则PAPG的最小值为.
【答案】229
【分析】如图,连接OA,OD,由题意知,OAEODF45,AOD90,OAOD,由
AOEAODDOE,∠DOF∠EOF∠DOE得,∠AOE∠DOF,证明AOE≌DOFASA,则
OEOF,EOF是等腰直角三角形,由P是EF中点,则OPEF,OPF90,PFO45POF,
如图,过O作OMAD于M,过O作ONCD于N,由OPFONF180,可知O,P,F,N四点
共圆,由PFPF,可得PNFPOF45,进而可得P在线段MN上运动,如图,延长MN,作点A关
'1
于MN对称的点A',过A'作A'HCD于H,连接A'G交MN于P',连接AP',由题意知DHAHAB4,
2
A'P'AP',且A'P'P'GAP'P'G,可知当A',P',G三点共线时,AP'P'G值最小,在RtA'GH中,
由勾股定理得,A'GA'H2HG2,计算求解A'G的值即可.
【详解】解:如图,连接OA,OD,
由题意知,OAEODF45,AOD90,OAOD,∵OFOE,∴EOF90AOD,
∵AOEAODDOE,DOFEOFDOE,∴∠AOE∠DOF,
AOEDOF
在△AOE和DOF中,∵OAOD,∴AOE≌DOFASA,
OAEODF
∴OEOF,∴EOF是等腰直角三角形,∵P是EF中点,∴OPEF,
∴OPF90,PFO45POF,如图,过O作OMAD于M,过O作ONCD于N,∴ONF90,
∵OPFONF180,∴O,P,F,N四点共圆,∵
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