2025年中考数学几何模型综合训练专题31最值模型之将军饮马模型解读与提分精练（教师版）

专题31最值模型之将军饮马模型

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系

列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。

将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马（即将军遛马、造桥

或过桥），主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就特殊的平行四边

形背景下的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

.........................................................................................................................................................................................1

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）..............................................................................................1

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）..............................................................................................5

模型3.将军饮马模型（多线段和的最值）..................................................................................................9

.................................................................................................................................................14

模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。

模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

模型（1）点A、B在直线m两侧：模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1）图（2）

模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小

值即为：线段A’B的长度。

例1．（2024·陕西西安·一模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，ABBC4，AD8，AG2，

ABC90，E是边CD上的一动点，F为AE的中点，则AFGF的最小值为．

【答案】25

【分析】本题考查轴对称中最短路线问题，正方形的判定，勾股定理，灵活运用将军饮马模型是解题的关

键．取AD的中点H连接BH，CH，CG，CF，证明出F点就是BH与AE的交点，四边形BCHD是平

行四边形，四边形ABCH是正方形，利用将军饮马模型得到CG是AFGF的最小值，再在Rt△CGH中，

利用勾股定理求出CG即可．

【详解】取AD的中点H连接BH，

BC4，AD8，AHHDBC4，

AD∥BC，四边形BCDH是平行四边形，BH∥CD，且点H为AD的中点，

AFAH1

∴，BH与AE的交点就是AE的中点F，连接CH，

AEAD2

AD∥BC，AHBC，四边形ABCH是平行四边形，

ABBC4，ABC90四边形ABCH是正方形，A，C关于BH对称，

连接CF，CG，则AFCF，AFGFCFGFCG，即AFGF的最小值为CG的长，

在Rt△CGH中，CHAB4，GHAHAG322，

由勾股定理，得CGCH4GH2482225，故答案为：25．

例2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在YABCD中，AB4，AD5，ABC30，点M为直线BC上

一动点，则MAMD的最小值为．

【答案】41

【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A，连接AD交BC于M，则AHAH，AHBC，AMAM，

当M,M重合时，MAMD最小，最小值为AD，再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作A关于直线BC的对称点A，连接AD交BC于M，则AHAH，AHBC，

AMAM，∴当M,M重合时，MAMD最小，最小值为AD，

1

∵AB4，ABC30，在YABCD中，∴AHAB2，AD∥BC，∴AA2AH4，AAAD，

2

∵AD5，∴AD425241，故答案为：41

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌

握各知识点是解题的关键．

例3．（2024·广东·二模）如图，菱形ABCD的一条对角线AC43，DAB60，P是对角线AC上的一

个动点，E，F分别为边DA，DC的中点，则PEPF的最小值是（）

A．2B．23C．4D．43

【答案】C

【分析】作点E关于直线AC的对称点G，连接PG，根据轴对称的性质可知PEPFPFPG，证明四

边形AGFD为平行四边形，PEPFFGAD为最小值，再求出菱形ABCD的边AD，即为PEPF的最

小值．

【详解】解：如图，连接BD，交AC于K，

∵菱形ABCD，∴AB∥CD，ABCDAD，KAKC23，ACBD，

∵DAB60∴DAC30，∴AD2DK，

∴AD2DK212，∴DK2，AD4，

作点E关于直线AC的对称点G，连接PG，∴PEPFPFPG，

∵点E为边AD上的中点，则点G也为边AB的中点，

∴当点P、G、F在一条直线上时，PEPF有最小值，

连接FG交AC于P，∴当P,P重合时，PEPFFG为最小值，

∵F,G为DC,AB的中点，∴DFAG，∴四边形AGFD为平行四边形，

∴FGAD4，∴PEPF的最小值是4，故选：C．

【点睛】本题考查了轴对称中的最短距离问题、菱形的性质、平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，

学会利用轴对称的性质解决最短距离问题是解答本题的关键．

例4．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形BOC中，BOC＝60，OD平分BOC交BC于点D，点E

为半径OB上一动点．若阴影部分周长的最小值为22，则扇形的半径OB的长为．

3

【答案】2

【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称

求最短路径的方法是解题的关键．根据题意可求出CODBOD30，作点D关于OB的对称点D，可

得CD最小，则扇形周长最小，由此即可求解．

【详解】解：∵OD平分BOC，BOC60，∴CODDOB30，

30r

设扇形的半径OCOBr，∴的长为：2r，阴影部分的周长最小为22，

CD36063

如图所示，作点D关于OB的对称点D，连接CD与OB交于点E，此时，CEEDCEEDCD的值

最小，即阴影部分的周长最小，

∴CODCOBBOD90，∴CD2r，

r

即2r22，解得，r2，故答案为：2．

63

模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）

条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。

模型（1）：点A、B在直线m同侧：模型（2）：点A、B在直线m异侧：

图（1）图（2）

模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|

＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。

模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。

当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，

当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。

例1．（2024·河南南阳·一模）如图，已知ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线

CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为___△_．

【答案】6

【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，

连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠

ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出A′BC是等边三角形，根据等

边三角形的性质即可得到结论．△

【详解】如图，作A关于CD的对称点A，连接AB并延长交CD延长线于点P，则点P就是使PAPB的

值最大的点，PAPBAB，连接AC，

∵ABC为等腰直角三角形，ACBC6，∴CABABC45，ACB90，

∵BCD15，∴ACD75，∵点A与A′关于CD对称，

∴CD⊥AA′，ACAC，CAACAA，∴CAA15，

∵AC=BC，∴ACBC，CAACAA15，∴ACA150，

∵ACB90，∴ACB60，∴△ABC是等边三角形，∴ABBC6．故答案为：6

【点睛】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的

作出图形是解题的关键．

例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形ABCD中，E为AB边中点，而点F在DC边上，P为对角线AC

所在直线上一动点，已知AB8，DF2，且ABC60，则PFPE的最大值为．

【答案】23

【分析】本题考查菱形的性质，轴对称中最值问题，勾股定理．取AD的中点G，连接PG，易得PGPE，

故PFPEPFPGFG，即当F,G,P共线时，PFPEFG最大，作PHAD于H，先后求出

HD,HF,GH，最后用勾股定理求FG即可．

【详解】解：如图，取AD的中点G，连接PG，四边形ABCD是菱形AGAE,GAPEAP

AGAE

在APG和VAPE中GAPEAPAPG≌APE(SAS)PGPE

APAP

连接FGPFPEPFPGFG当F,G,P共线时，PFPEFG最大，图中P处

1

作PHAD于HDB60DFH30HDDF1FH22123

2

1

GDAD4GH413FGGH2FH223．即PFPE的最大值为．

223

例3．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，在正方形ABCD中，AB8，AC与BD交于点O，N是AO

的中点，点M在BC边上，且BM6．P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为．

【答案】2

【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题

等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN，根据对称

性质可知，PNPN，由此可得PMPNMN，当P,M,N三点共线时，取“”，此时即PMPN的值

CMCN1

最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得ONON22，AN62，再证明，可

BMAN3

得NM∥AB，CMN90，判断出△NCM为等腰直角三角形，求得NM长即可得答案．

【详解】解：如图，以BD为对称轴作N的对称点N，连接PN，

根据轴对称性质可知，PNPN，∴PMPNMN，当P,M,N三点共线时，取“”，

∵在正方形ABCD中，ABBCCDAD8，∠ABC∠BCD∠CDA∠DAC90，∴

AC2AB82，∵O为AC中点，∴AOOC42，

∵N为OA中点，∴ON22，∴ONON22，∴AN62，

CMCN1

∵BM6，∴CMABBM862，∴，

BMAN3

∴NM∥AB，∴∠CMN∠CBA90，∵∠MCN45，

∴△NCM为等腰直角三角形，∴CMNM2，故答案为：2．

模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）

模型（1）：两定点+两动点

条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3）

图1-1图1-1图1-1图2

模型（2）：一定点+两动点

条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。

图1-1图1-1图1-1图2

模型（1-1）（两点都在直线外侧型）

如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。

模型（1-2）（直线内外侧各一点型）

如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，

根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。

模型（1-3）（两点都在直线内侧型）

如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,

根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，

根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。

模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,

根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，

再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。

例1．（2023·四川广元·一模）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE1，点P，Q分别

是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）

3943

A．B．C．D．

4255

【答案】B

【分析】作E关于BC的对称点E，点A关于DC的对称点A，连接AE，四边形AEPQ的周长最小，根

据S四边形AEPQS正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP，即可解．

【详解】解：如图1所示，作E关于BC的对称点E，点A关于DC的对称点A，连接AE，四边形AEPQ

的周长最小，

∵ADAD3，BEBE1，∴AA6，AE4．

∵DQ∥AE，D是AA的中点，∴DQ是△AAE的中位线，

1

∴DQAE2，CQDCCQ321，∵BP∥AA，∴△BEP∽△AEA，

2

BPBEBP1333

∴，即，BP，CPBCBP3，

AAAE64222

111

S四边形AEPQS正方形ABCDS△ADQS△PCQS△BEP9ADDQCQCPBEBP

222

113139

93211，故选：B．

222222

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，三角形相似的判定和性质，中位线的性质，三角

形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，找出四边形AEPQ的周长最小时，P、Q的位置．

例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM3,ON5，

点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是（）

A．34B．35C．342D．352

【答案】A

【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；

证出ONN′为等边三角形，OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′=90°，由勾股定理求出M′N′即可．

【详解△】解：作M关于OB△的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：ONON5，OMOM3，∠N′OQ=∠M′OB=30°，

∴∠NON′=60°，MOM'60，∴△ONN′为等边三角形，OMM′为等边三角形，

△

∴∠N′OM′=90°，∴在RtM′ON′中，M′N′=325234．故选：A．

△

【点睛】本题考查了轴对称--最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题

的关键．

例3．（23-24九年级上·陕西汉中·期中）（1）如图①，在Rt△ABC中，B90，AB3，BC4．若点P

是边AC上一点．则BP的最小值为．（2）如图②，在Rt△ABC中，ÐB=90°，ABBC2，点E是

BC的中点．若点P是边AC上一点，求PBPE的最小值．（3）公园内有一条四边形ABCD型环湖路，如

图③．若AD2000米，CD1000米，A60，B90，C150．为满足市民健身需求，现要修一

条由CE，EF，FC连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边AB，AD上．为了节省成本，要使所修

的这条步行景观道最短，即CEEFFC的值最小，求此时BE，DF的长．（路面宽度忽略不计）

12

【答案】（1）；（2）PBPE的最小值为5；（3）BE的长为500米，DF的长为1000米

5

【分析】（1）过B作BPAC于P，由垂线段最短可知，BPAC时，BP的值最小，由面积法即可求解；

（2）作E关于直线AC的对称点E，连接CE，EE，PE，BE交AC于P，由E，E关于直线AC对称，

可知PBPEPBPEBE，当B，P，E共线时，此时PBPE最小，最小值为BE的长度，根据

B90，ABBC2，点E是BC的中点，可得CECE1，BCE90，再用勾股定理可得答案；

（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，

延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，由C，N关于AB对称，C，M关于AD

对称，CENE，CFMF，当N，E，F，M共线，CEEFCF最小，根据A60，ABC90，

BCD150，可得ADC60，MCDCMD30，即得DH500米，CHMH5003米，

CM10003米，由ADC60，A60，知△ADG是等边三角形，从而CGDGCD1000米，同

1

理可得CGNG1000米，BNGBCG30，即得BGCG500米，BCBN3BG5003米，

2

BN

故CN10003米CM，知CNMCMN30，在RtBNE中，BE500米，在RtMHF中，

3

MH

FH500米，即得DFFHDH1000米．

3

【详解】解：（1）过B作BPAC于P，如图：

由垂线段最短可知，BPAC时，∵ABC90，AB3，∴AC=AB2+BC2=5，

11341212

∵SAB·BCAC·BP，∴BP；故答案为：；

ABC22555

（2）作E关于直线AC的对称点E，连接CE，EE，PE，BE交AC于P，如图：

∵E，E关于直线AC对称，∴PEPE，∴PBPEPBPEBE，

当B，P，E共线时，PBPE最小，最小值为BE的长度，

∵B90，ABBC2，∴ACB45，∵点E是BC的中点，∴CE1，

∵E，E关于直线AC对称，∴ACEACB45，CECE1，∴BCE90，

在Rt△BCE中，BEBC2CE222125，∴PBPE的最小值为5；

（3）作C关于AD的对称点M，连接DM，CM，CM交AD于H，作C关于AB的对称点N，连接BN，

延长DC，AB交于G，连接NG，连接MN交AB于E，交AD于F，如图：

∵由C，N关于AB对称，C，M关于AD对称，

∴CENE，CFMF，∴CEEFCFNEEFMFMN，

当N，E，F，M共线时，此时CEEFCF最小；

∵A60，B90，C150，∴ADC60，

∵C，M关于AD对称，∴MDHCDH60，CHDMHD90，

1

∴MCDCMD30，∴DHCD500米，由勾股定理得DH5003米，∴CM2CH10003米，

2

∵ADC60，A60，∴△ADG是等边三角形，∴DGAD2000米，∴CGDGCD1000米，

∵BCD150，∴BCG30，∵C，N关于AB对称，∴C，B，N共线，BNGBCG30，

1

∴BGCG500米，由勾股定理得BC3BG5003米，∴CN10003米CM，∴CNMCMN，

2

∵BCD150，MCD30，∴NCM120，∴CNMCMN30，

BN5003MH5003

在RtBNE中，BE500（米），在RtMHF中，FH500（米），

3333

∴DFFHDH5005001000（米），答：BE的长为500米，DF的长为1000米．

【点睛】本题是四边形综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和

性质，轴对称的性质等，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题．

1．（2024·河南周口·一模）如图，正方形ABCD中，点M，N分别为AB，BC上的动点，且AMBN，DM，

AN交于点E，点F为AB的中点，点P为BC上一个动点，连接PE，PF．若AB4，则PEPF的

最小值为（）

9

A．101B．2102C．5D．

2

【答案】B

【分析】先根据SAS得DAM≌ABN，进而可得AED90，由此可得E点的运动轨迹在是以AD为直径

的圆上．延长AB至F使BFBF，得F与F关于直线BC对称．连接OF交BC于P点，交圆O于E点，

则PEPFPEPFOFOE，此时PEPF的值最小，根据勾股定理求出OF的长，即可得PEPF的

最小值．

【详解】∵ABCD是正方形，DADB，DAMABN90，

又AMBN，DAM≌ABN(SAS)，ADMBAN，

又DAEBAN90，DAEADM90，AED90，

∴E点在以AD为直径的圆上运动．设AD的中点为O，则R2，

延长AB至F使BFBF，则F与F关于直线BC对称，

连接OF交BC于P点，交圆O于E点，则PFPF，PEPFPEPFOFOE，

此时P、E、F三点共线，因此PEPF的值最小．在RtOAF中，OA2，AF426，

OF2262210，OFOE2102，∴PEPF的最小值为2102，故选：B．

【点睛】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键．

2．（2024·山东泰安·二模）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD5，点E是AD边的点，ED3，点F是

线段CD上一点，连接EF，以EF为直角边作等腰直角EFG，FG为斜边，连接AG，则AGEG的最小

值为（）

13

A．6B．210C．D．35

2

【答案】B

1

【分析】过点G作GHAD于H，则可证明VEDF≌VGHE，得GHDE3；取AB中点O，则AOAB3，

2

则点G在直线OG上运动，连接BG，则BGAG，AGEGBGEG，当E、G、B三点共线时BGEG

最小，从而AGEG最小，由勾股定理即可求得最小值．

【详解】解：如图，过点G作GHAD于H，则GHE90°，GEHEGH90；

四边形ABCD是矩形，DDAB90，FEG90，DEFGEH90，DEFEGH；

EFEG，VEDF≌VGHE(AAS)，GHDE3；

1

取AB中点O，连接GO，则AOAB3，GHAO3，四边形AHGO是平行四边形，

2

DAB90，四边形AHGO是矩形，GOAB，则点G在直线OG上运动；

连接BG，则GO垂直平分AB，BGAG，AGEGBGEG，

当E、G、B三点共线时BGEG最小，从而AGEG最小，

QAEADDE2，则由勾股定理BEAE2AB2436210，即AGEG的最小值为210．

故选：B．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，

确定点G运动的路径是解题的关键．

3．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上，ABC120，

点A3,0，点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PDPE的最小值是（）

3

A．3B．5C．D．3

222

【答案】A

【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型，由D关于直线AC的对称点

B，连接BE，则线段BE的长即是PD+PE的最小值．

【详解】如图：连接BE，∵菱形ABCD，∴B、D关于直线AC对称，

，

∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小

∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，

∵菱形ABCD，ABC120，点A3,0，∴CDB60,DAO30，OA3，

∴OD3,ADDCCB23∴△CDB是等边三角形∴BD23

1

∵点E是CD的中点，∴DECD3,且BE⊥CD，∴BEBD2DE23故选：A．

2

【点睛】本题考查菱形性质及动点问题，解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长．

4．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD42，点P是边AD上

一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E

在边AD上，ME∥DN，则AMME的最小值是（）

A．23B．3C．32D．42

【答案】C

11

【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得AMBP，DNCP，通过证明四边形MNDE是平行四

22

1

边形，可得MEDN，则AMMEAMDNBPCP，作点C关于直线AD的对称点M，则

2

BPCPBPPM，点B，P，M三点共线时，BPPM的值最小，最小值为BM．

【详解】解：四边形ABCD是矩形，BAPCDP90，AD∥BC，

111

点M，N分别是PB，PC的中点，AMBP，DNCP，MNBC，MN∥BC，

222

AD∥BC，MN∥BC，MN∥BC，又ME∥DN，四边形MNDE是平行四边形，

1

MEDN，AMMEAMDNBPCP，

2

如图，作点C关于直线AD的对称点M，连接PM，BM，则BPCPBPPM，

当点B，P，M三点共线时，BPPM的值最小，最小值为BM，

在Rt△BCM中，MC=2CD=2AB=210，BCAD42，

22

BMBC2MC24221062，

1

AMME的最小值BM32，故选C．

2

【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，

轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思

想．

5．（2023·安徽·统考中考真题）如图，E是线段AB上一点，VADE和BCE是位于直线AB同侧的两个等边

三角形，点P,F分别是CD,AB的中点．若AB4，则下列结论错．误．的是（）

A．PAPB的最小值为33B．PEPF的最小值为23

C．CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为33

【答案】A

【分析】延长AD,BC，则ABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与F重合时，则

Q,P,F三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．

【详解】解：如图所示，延长AD,BC，依题意QADQBA60∴ABQ是等边三角形，

∵P是CD的中点，∴PDPC，∵DEACBA，∴ED∥CQ

∴PQCPED,PCQPDE，∴PDE≌PCQ∴PQPE，

∴四边形DECQ是平行四边形，则P为EQ的中点，如图所示，

11

设AQ,BQ的中点分别为G,H，则GPAE,PHEB

22

∴当E点在AB上运动时，P在GH上运动，当E点与F重合时，即AEEB，

1

则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AEEBAEEB2，

2

则△ADE≌△ECB，∴C,D到AB的距离相等，则CD∥AB，

3

此时PFAD3此时VADE和BCE的边长都为2，则AP,PB最小，

2

32

∴PF23，∴PAPB2237∴PAPB27，

2

或者如图所示，作点B关于GH对称点B，则PBPB，则当A,P,B三点共线时，APPBAB

2

此时ABAB2BB422327故A选项错误，

根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PEPF3，则PEPF23，故B选项正确；

CDE周长等于CDDECECDAEEBCDABCD4，即当CD最小时，CDE周长最小，

如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM，

∵GHQ60,GHMGDM60，则CHM120

如图，延长DE,HG，交于点N，则NGDQGH60，NDGADE60

∴△NGD是等边三角形，∴NDGDHM，

NPDHPC

在NPD与△HPC中，NCHP60∴NPD≌HPC

PDPC

∴NDCH∴CHMH∴HCMHMC30

∴CM∥QF，则CMDM，∴DMC是直角三角形，

1

在△DCM中，DCDM∴当DCDM时，DC最短，DCGHAB2

2

∵CDPC2PC∴CDE周长的最小值为2226，故C选项正确；

∵NPD≌HPC∴四边形ABCD面积等于SADESEBCSDECSADES平行四边NEBH

∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合

3

∴四边形ABCD面积的最小值为322=33，故D选项正确，故选：A．

4

【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E

点与F重合时得出最小值是解题的关键．

6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE1，F为对

角线BD上一动点，连接CF，EF，则CFEF的最小值为．

【答案】17

【分析】连接AE交BD于一点F，连接CF，根据正方形的对称性得到此时CFEFAE最小，利用勾股

定理求出AE即可．

【详解】解：如图，连接AE交BD于一点F，连接CF，

∵四边形ABCD是正方形，∴点A与点C关于BD对称，∴AFCF，

∴CFEFAFEFAE，此时CFEF最小，

∵正方形ABCD的边长为4，∴AD4,ABC90，∵点E在AB上，且BE1，

∴AEAB2BE2421217，即CFEF的最小值为17故答案为：17．

【点睛】此题考查正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．

7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经

过点O，AB6，AP3，BC8，点E是边AB上一动点．则EPQ周长的最小值为．

【答案】10210/21010

【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段和的最小值计算；作P关于AB的对称点P，连接PQ，

交AB于E，连接PE，则PEQE的最小值为PQ，证明出△EPQ周长的最小值为PQPQ，作PFBC

于F，PHBC于H，利用勾股定理求出PQ和PQ即可．

【详解】解：如图，作P关于AB的对称点P，连接PQ，交AB于E，连接PE，

PEPE，PEQE的最小值为PQ，EPQ周长的最小值为PQPQ，

作PFBC于F，PHBC于H，AP3，PA3FB，

点O是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点O，APCQ3

∵BC8，BQ5，FQ8，PFAB6，PQ10，

PHAB6，HQ532，PQ210，EPQ周长的最小值为10210．

8．（2024·陕西渭南·二模）如图，在四边形ACBD中，BACBAD60，ACBADB90，BC6，

连接CD、AB交于点O，点E为AB上一动点，连接CE，点P为CE的中点，连接OP、DP，则OPDP的

最小值为．

【答案】6

【分析】本题考查全等三角形、等边三角形的性质和判定、轴对称最短路径问题，找到对称点转化线段是

解题关键．

过点P作AB的平行线分别交AC、BC于点M、N，由点E为AB上一动点，点P为线段CE的中点可得到

点P在线段MN上运动，MN为ABC的中位线，求证△ABC≌△ABD，用等腰三角形“三线合一”证明

ABCD，所以MNCD，即点C与点O关于MN对称，所以DPOPDPCPCD，同时证明△BCD

是等边三角形，CDBC6，即OPDP的最小值为6．

【详解】解：过点P作MN∥AB分别交AC、BC于点M、N，

∵点E为AB上一动点，点P为线段CE的中点∴点P在线段MN上运动，且MN为ABC的中位线，

ACBADB

∵在ABC和△ABD中BACBAD60，∴ABC≌ABDAAS，

ABAB

∴BCBD,ABCABD906030，∴ABCD，CBD60，

∴MNCD，△BCD是等边三角形，∴点C与点O关于MN对称，∴DPOPDPCPCD，

又∵CDBC6∴OPDP的最小值为6．

9．（2024·陕西商洛·三模）如图，点O为正方形ABCD的对称中心，点E为AD边上的动点，连接OE，作

OFOE交CD于点F，连接EF，P为EF的中点，G为边CD上一点，且CD4CG8，连接PA，PG，

则PAPG的最小值为．

【答案】229

【分析】如图，连接OA，OD，由题意知，OAEODF45，AOD90，OAOD，由

AOEAODDOE，∠DOF∠EOF∠DOE得，∠AOE∠DOF，证明AOE≌DOFASA，则

OEOF，EOF是等腰直角三角形，由P是EF中点，则OPEF，OPF90，PFO45POF，

如图，过O作OMAD于M，过O作ONCD于N，由OPFONF180，可知O，P，F，N四点

共圆，由PFPF，可得PNFPOF45，进而可得P在线段MN上运动，如图，延长MN，作点A关

'1

于MN对称的点A'，过A'作A'HCD于H，连接A'G交MN于P'，连接AP'，由题意知DHAHAB4，

2

A'P'AP'，且A'P'P'GAP'P'G，可知当A'，P'，G三点共线时，AP'P'G值最小，在RtA'GH中，

由勾股定理得，A'GA'H2HG2，计算求解A'G的值即可．

【详解】解：如图，连接OA，OD，

由题意知，OAEODF45，AOD90，OAOD，∵OFOE，∴EOF90AOD，

∵AOEAODDOE，DOFEOFDOE，∴∠AOE∠DOF，

AOEDOF

在△AOE和DOF中，∵OAOD，∴AOE≌DOFASA，

OAEODF

∴OEOF，∴EOF是等腰直角三角形，∵P是EF中点，∴OPEF，

∴OPF90，PFO45POF，如图，过O作OMAD于M，过O作ONCD于N，∴ONF90，

∵OPFONF180，∴O，P，F，N四点共圆，∵